CHUONG 3 KHONG GIAN VECTO (LOI GIAI)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (129.62 KB, 14 trang )
Bài tập
1. Hỏi các tập dưới đây có là một không gian con của hay không ?
{( a, 0, 0) a ∈ } .
= {( a,1,1) a ∈ } .
a) W1 =
b) W2
ĐS: a) W1 là một không gian con của
( a, b ∈
) và với k ∈
3
bất kỳ, ta có u + v = ( a + b, 0, 0) , ku = ( ka, 0, 0 ) ∈ W1 .
b) W2 không là một không gian con của
( a, b ∈
) và với k ∈
vì với u = ( a, 0, 0 ) , v = ( b, 0, 0 ) ∈ W1
3
vì với u = ( a,1,1) , v = ( b,1,1) ∈ W2
, k ≠ 1 , bất kỳ, ta có u + v = ( a + b, 2, 2 ) , ku = ( ka, k, k ) ∉ W2 .
2. Cho không gian vectơ V và a là một vectơ cố đònh thuộc V. Chứng minh rằng tập
là một không gian vectơ con của V.
hợp W = ka k ∈
{
}
ĐS: Với u = ha, v = ka ∈ W ( h, k ∈
u + v = ( h + k ) a, αu = ( αh ) a ∈ W .
3. Trong
3
) và α ∈
bất kỳ, ta có
, cho các vectơ u1 = (1, −2, 3) , u 2 = ( 0,1, −3) . Xét xem vectơ u = ( 2, −3, 3)
có phải là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 hay không ?
⎧ k1
⎪
ĐS: Xét hệ ⎨−2k1
⎪ 3k
⎩ 1
=
+
k2
2
= −3 , ta có
− 3k 2
=
3
⎛1 0 2⎞
⎛1 0 2 ⎞
⎛1 0 2 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
2
:
=
2
+
2
1
3
:
=
3
+
2
( ) ( ) ( ) → 0 1 1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( ) ( ) ( ) →⎜0 1 1 ⎟ .
⎜ −2 1 −3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜
⎟
⎜
⎟
( 3 ) : = ( 3 ) − 3 (1 )
⎜ 3 −1 3 ⎟
⎜ 0 −1 −3 ⎟
⎜ 0 0 −2 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
Hệ vô nghiệm : u không là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 .
4. Trong
3
, xét xem vectơ u có phải là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 , u 3 không
a) u1 = (1, 0,1) , u 2 = (1,1, 0 ) , u 3 = ( 0,1,1) , u = (1, 2,1) .
b) u1 = ( −2,1, 0 ) , u 2 = ( 3, −1,1) , u 3 = ( 2, 0, −2 ) , u = ( 0, 0, 0) .
⎧ k1
⎪
ĐS: a) Xét hệ ⎨
⎪k
⎩ 1
+ k2
k2
= 1
+ k3
+ k3
= 2 , ta có
= 1
⎛1 1 0 1⎞
⎛1 1 0 1⎞
⎛1 1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
3 ) : = ( 3 ) − (1 )
3 ): = ( 3 ) + ( 2 )
(
(
→ ⎜ 0 1 1 2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→⎜0 1
⎜ 0 1 1 2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜1 0 1 1⎟
⎜ 0 −1 1 0 ⎟
⎜0 0
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
Hệ có nghiệm ( 0,1,1) : u là tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 , u 3
1
0 1⎞
⎟
1 2⎟ .
2 2 ⎟⎠
( u = 0u1 + u 2 + u 3 ).
b) Xét hệ
⎛ −2 3
⎜
⎜ 1 −1
⎜ 0 1
⎝
⎧−2k1 + 3k 2 + 2k 3 = 0
⎪
− k2
= 0 , ta có
⎨ k1
⎪
k 2 − 2k 3 = 0
⎩
⎛ 1 −1 0 0 ⎞
⎛ 1 −1 0 0 ⎞
2 0⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
1) ∼ ( 2 )
2 ) : = ( 2 ) + 2 (1 )
(
(
0 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ −2 3 2 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 2 0 ⎟
⎜ 0 1 −2 0 ⎟
⎜ 0 1 −2 0 ⎟
−2 0 ⎟⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 1 −1 0
⎜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→⎜0 1 2
⎜ 0 0 −4
⎝
( 3 ): = ( 3) − ( 2 )
0⎞
⎟
0⎟
0 ⎟⎠
Hệ có nghiệm ( 0, 0, 0) : u là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 , u 3 ( u = 0u1 + 0u 2 + 0u 3 ).
5. Trong không gian vectơ các ma trận vuông cấp hai M2 (
) , cho bốn vectơ
⎛ 1 3⎞
⎛1 0⎞
⎛1 1⎞
⎛ 0 1⎞
u=⎜
⎟ , u1 = ⎜
⎟ , u2 = ⎜
⎟ , u3 = ⎜
⎟
⎝ 2 2⎠
⎝1 0⎠
⎝ 0 0⎠
⎝ 1 1⎠
Hỏi vectơ u có phải là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 , u 3 không ?
⎧ k1 + k 2
= 1
⎪
k2 + k3 = 3
⎪
ĐS: Xét hệ ⎨
, ta có
+ k3 = 2
⎪ k1
⎪
k3 = 2
⎩
⎛1 1 0 1⎞
⎛1 1 0 1⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
( 3 ) : = ( 3 ) − (1 ) → ⎜ 0 1 1 3 ⎟
⎜ 0 1 1 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜1 0 1 2⎟
⎜ 0 −1 1 1 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 1 2⎟
⎜ 0 0 1 2⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛1 1 0 1⎞
⎛1 1 0 1⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
0 1 1 3⎟
3 ): = ( 3) + ( 2 )
( 4 ):= ( 4 ) − 12 ( 3) ⎜ 0 1 1 3 ⎟
(
⎜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜0 0 2 4⎟
⎜0 0 2 4⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜0 0 1 2⎟
⎜ 0 0 0 0⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Hệ có nghiệm ( 0,1, 2 ) : u là tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 , u 3 ( u = 0u1 + u 2 + 2u 3 ).
6. Trong
3
, cho các vectơ u1 = (1, −2, 3) , u 2 = ( 0,1, −3) . Tìm m để vectơ u = (1, m, −3)
là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 .
2
⎧ k1
⎪
ĐS: Xét hệ ⎨−2k1
⎪ 3k
⎩ 1
+
k2
− 3k 2
=
1
=
m , ta có
= −3
⎛1 0 1⎞
⎛1 0
1 ⎞
⎜
⎟
⎟
( 2 ) : = ( 2 ) + 2 (1 ) ⎜
→ ⎜ 0 1 m + 2⎟
⎜ −2 1 m ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
:
3
3
1
=
−
( ) ( ) ()
⎜ 3 −3 − 3 ⎟
⎜ 0 −3 −6 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛1 0
⎞ ⎛1 0 1 ⎞
1
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1
m+2
⎟ = ⎜ 0 1 m + 2⎟
⎜ 0 0 −6 + 3 ( m + 2) ⎟ ⎜ 0 0 3m ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
Khi m = 0 thì u là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 . Khi m ≠ 0 thì u không là một
( 3):= ( 3) + 3( 2)
tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 .
7. Trong 3 , các hệ vectơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
a) u1 = (1,1, 0 ) , u 2 = ( 0,1,1) , u 3 = (1, 0,1) .
( )
( )
(
)
c) u1 = (1,1,1) , u 2 = (1,1, 2) , u 3 = (1, 2, 3) .
d) u1 = (1,1, 2 ) , u 2 = (1, 2, 5 ) , u 3 = ( 0,1, 3) .
b) u1 = 1,1, 0 , u 2 = 0,1,1 , u 3 = 2, 3,1 .
⎧ k1
⎪
ĐS: a) Xét hệ ⎨k1
⎪
⎩
+ k2
k2
+ k3
= 0
+ k3
= 0
= 0.
⎛1 0 1⎞
⎛1 0 1 ⎞
⎛1 0 1 ⎞
2):= ( 2) − (1)
3) := ( 3 ) − ( 2 )
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
(
(
→ ⎜ 0 1 −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜ 0 1 −1 ⎟ : Hệ độc lập tuyến
Ta có ⎜ 1 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝0 1 1⎠
⎝0 1 1 ⎠
⎝ 0 0 −2 ⎠
tính.
⎧ k1
⎪
b) Xét hệ ⎨k1
⎪
⎩
+ k2
k2
+ 2k 3
= 0
+ 3k 3
= 0.
+
k3
= 0
⎛1 0 2⎞
⎛ 1 0 1⎞
⎛ 1 0 1⎞
⎜
⎟
⎟
⎟
( 2):= ( 2) − (1) ⎜
( 3) := ( 3 ) − ( 2 ) ⎜
Ta có ⎜ 1 1 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜ 0 1 1 ⎟ : Hệ phụ thuộc tuyến
⎜0 1 1⎟
⎜ 0 1 1⎟
⎜ 0 1 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
tính.
⎧ k1
⎪
c) Xét hệ ⎨k1
⎪k
⎩ 1
+
k2
+
+
k2
+ 2k 3
+ 2k 2
k3
+ 3k 3
= 0
= 0.
= 0
3
⎛1 1 1 ⎞
⎛1 1 1⎞
⎛1 1 1⎞
⎜
⎟
⎟
⎟
( 2 ) : = ( 2 ) − (1 ) ⎜
( 2 ) ∼ ( 3) ⎜
Ta có ⎜ 1 1 2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ 0 0 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 2 ⎟ : Hệ độc lập tuyến tính.
( 3 ) : = ( 3 ) − (1 ) ⎜
⎜1 2 3⎟
⎜ 0 1 2⎟
⎜0 0 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎧ k1
⎪
d) Xét hệ ⎨ k1
⎪2k
⎩ 1
k2
+
= 0
+ 2k 2
k3
+
+ 5k 2
+ 3k 3
= 0.
= 0
⎛1 1 0⎞
⎛1 1 0⎞
⎛ 1 1 0⎞
2 ) : = ( 2 ) − (1 )
3 ): = ( 3 ) − 3( 2 )
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
(
(
Ta có ⎜ 1 2 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 1 ⎟ : Hệ phụ thuộc
( 3 ) : = ( 3 ) − 2 (1 )
⎜ 2 5 3⎟
⎜ 0 3 3⎟
⎜ 0 0 0⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
tuyến tính.
8. Chứng minh rằng hệ vectơ v1 , v2 ,..., v r phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có
một vectơ v i , i ∈ {1, 2,..., r} là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.
ĐS: Chiếu thuận : Khi hệ vectơ v1 , v2 ,..., v r phụ thuộc tuyến tính, ta có các hệ số
không đồng thời bằng 0 sao cho k1 v1 + k 2 v 2 + ... + k r v r = 0 . Bấy giờ,
k1 , k 2 ,..., k r ∈
( )
( )
k
k
nếu k1 ≠ 0 thì v1 = − k 2 v2 + ... + − k r v r , nghóa là v1 là một tổ hợp tuyến tính của
2
2
các vectơ v 2 ,..., v r .
Chiều đảo. Giả sử v1 là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ v 2 ,..., v r , nghóa là tồn
tại các hệ số k 2 ,..., k r ∈
sao cho v1 = k 2 v2 + ... + k r v r . Do v1 − k 2 v2 − ... − k r v r = 0
với các hệ số 1, k 2 ,..., k r không đồng thời bằng 0, ta suy ra hệ vectơ v1 , v 2 ,..., v r phụ
thuộc tuyến tính.
9. Trong không gian các ma trận vuông cấp hai M2 (
) , cho bốn vectơ
⎛1 0⎞
⎛1 1⎞
⎛1 1 ⎞
⎛1 1⎞
e1 = ⎜
⎟ , e2 = ⎜
⎟ , e3 = ⎜
⎟ , e4 = ⎜
⎟
⎝ 0 0⎠
⎝ 0 0⎠
⎝1 0⎠
⎝1 1⎠
Chứng minh rằng hệ {e1 , e2 , e3 , e4 } độc lập tuyến tính.
⎧ k1
⎪
⎪
ĐS: Xét hệ ⎨
⎪
⎪
⎩
+ k2
k2
+ k3
+ k4
= 0
k3
+ k3
+ k4
= 0
+ k4
= 0
k4
= 0
. Ta suy ra hệ độc lập tuyến tính.
10. Mỗi hệ vectơ sau đây có sinh ra 3 không ?
a) v1 = (1,1,1) , v 2 = ( 2, 2, 0 ) , v 3 = ( 3, 0, 0 ) .
(
)
(
)
(
)
b) v1 = 2, −1, 3 , v2 = 4,1, 2 , v3 = 8, −1, 8 .
⎧ k1
⎪
ĐS: a) Xét hệ ⎨k1
⎪k
⎩ 1
+ 2k 2
+ 2k 2
+ 3k 3
= a
= b . Ta có
= c
4
⎛1 2 3 a ⎞
⎛1 2 3 a ⎞
⎛1 2 3 a ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
2 ) : = ( 2 ) − (1 )
2 ) ∼ ( 3)
(
(
→ ⎜ 0 0 −3 b − a ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 −2 −3 c − a ⎟ .
⎜ 1 2 0 b ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
:
=
3
−
1
( ) ( ) ()
⎜1 0 0 c ⎟
⎜ 0 −2 −3 c − a ⎟
⎜ 0 0 −3 b − a ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
3
Hệ phương trình luôn luôn có nghiệm : hệ vectơ có sinh ra
⎧2k1 + 4k 2 + 8k 3
⎪
b) Xét hệ ⎨− k1 + k 2 − k 3
⎪ 3k + 2k + 8k
2
3
⎩ 1
⎛ 2 4 8 a⎞
⎛ −1 1
⎜
⎟
⎜
1) ∼ ( 2 )
(
⎜ −1 1 −1 b ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 2 4
⎜ 3 2 8 c⎟
⎜ 3 2
⎝
⎠
⎝
.
= a
= b . Ta có
=
c
⎛ −1 1 −1 b ⎞
−1 b ⎞
⎟
⎜
⎟
2 ) : = ( 2 ) + 2 (1 )
(
8 a ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜ 0 6 6 a + 2b ⎟
3
:
=
3
+
3
1
( ) ( ) ()
⎜ 0 5 5 c + 5b ⎟
8 c ⎟⎠
⎝
⎠
⎛ −1 1 −1
⎞ ⎛ −1 1 − 1
⎞
b
b
⎟ ⎜
⎟
( 3):= ( 3) − 56 ( 2) ⎜
a + 2b
a + 2b ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 6 6
⎟=⎜ 0 6 6
⎜ 0 0 0 c + 5b − 5 ( a + 2b ) ⎟ ⎜ 0 0 0 c + 10 b − 5 a ⎟
6
3
6 ⎠
⎝
⎠ ⎝
Hệ phương trình không luôn luôn có nghiệm : hệ vectơ không sinh ra
3
.
.
3
11. Hệ vectơ nào trong các hệ vectơ sau đây là cơ sở của
a) B1 = (1, 2, 3) , ( 0, 2, 3) .
{
}
b) B = {(1, 2, 3) , ( 0, 2, 3) , ( 0, 0, 5 )} .
c) B = {(1,1, 2 ) , (1, 2, 5 ) , ( 0,1, 3)} .
d) B = {( −1, 0,1) , ( −1,1, 0 ) , (1, −1,1) , ( 2, 0, 5 )} .
2
3
4
3
ĐS: a) B1 không là một cơ sở của
1 2 3
b) 0 2 3 = 10 ≠ 0 . B2 là một cơ sở của
0 0 5
1 1 2
3
( B1 không sinh ra
3
).
.
1 1 2
3
c) 1 2 5 = 0 1 3 = 0 . B3 không là một cơ sở của
0 1 3 0 1 3
d) B4 không là một cơ sở của
3
.
( B4 không độc lập tuyến tính).
12. Tìm hạng của các hệ vectơ sau (trong không gian vectơ
a) u1 = ( −1, 2, 0,1) , u 2 = (1, 2, 3, −1) , u 3 = ( 0, 4, 3, 0 ) .
(
)
(
)
(
)
(
4
)
)
b) v1 = −1, 4, 8,12 , v 2 = 2,1, 3,1 , v 3 = −2, 8,16, 24 , v 4 = 1,1, 2, 3 .
ĐS: a) Biến đổi
⎛ −1 2 0 1 ⎞
⎛ −1 2 0 1 ⎞
⎛ −1 2 0 1 ⎞
⎜
⎟
⎟
⎟
( 2 ) : = ( 2 ) + (1 ) ⎜
( 3) := ( 3 ) − ( 2 ) ⎜
→ ⎜ 0 4 3 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜ 0 4 3 0 ⎟ . Rank = 2
⎜ 1 2 3 −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜0 4 3 0⎟
⎜ 0 4 3 0⎟
⎜ 0 0 0 0⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
5
b) Biến
⎛ −1 4
⎜
⎜ 2 1
⎜ −2 8
⎜⎜
⎝1 1
đổi
⎛ −1
8 12 ⎞
( 2 ) : = ( 2 ) + 2 (1 ) ⎜
⎟
3 1⎟
( 3 ) : = ( 3 ) − 2 (1 ) ⎜ 0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
( 4 ) : = ( 4 ) + (1 )
⎜0
16 24 ⎟
⎟⎟
⎜⎜
2 3⎠
⎝0
⎛ −1 4 8 12 ⎞
⎜
⎟
9
( 3):= ( 3) − 5 ( 2) ⎜ 0 5 10 15 ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜ 0 0 1 −2 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝0 0 0 0⎠
⎛ −1
4 8 12 ⎞
⎟
⎜
9 19 25 ⎟
( 3) ∼ ( 4 ) ⎜ 0
⎯⎯⎯⎯→
( 2 ) ∼ ( 3) ⎜ 0
0 0 0⎟
⎟⎟
⎜⎜
5 10 15 ⎠
⎝0
4 8 12 ⎞
⎟
5 10 15 ⎟
9 19 25 ⎟
⎟
0 0 0 ⎟⎠
.
Rank = 3.
13. Tìm số chiều và một cơ sở cho không gian vectơ con của 4 sinh bởi các vectơ
v1 = (1, 2, 0, −1) , v 2 = ( 0,1, 3, −2 ) , v 3 = ( −1, 0, 2, 4 ) , v 4 = ( 3,1, −11, 0 ) .
ĐS: Biến đổi
⎛1
⎜
⎜0
⎜ −1
⎜⎜
⎝ 3
2
1
0
0
3
2
⎛1 2
⎛ 1 2 0 −1 ⎞
0 −1 ⎞
−1 ⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
0 1
3 −2 ⎟
−2 ⎟
( 3 ) : = ( 3 ) + (1 )
( 3):= ( 3) − 2( 2) ⎜ 0 1 3 −2 ⎟
⎜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
( 4 ) : = ( 4 ) − 3 (1 ) ⎜ 0 2
( 4 ):= ( 4 ) + 5( 2) ⎜ 0 0 −4 7 ⎟
4⎟
2
3⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
1 −11 0 ⎠
⎝ 0 −5 −11 3 ⎠
⎝ 0 0 4 −7 ⎠
⎛ 1 2 0 −1 ⎞
⎜
⎟
0 1 3 −2 ⎟
4 ) : = ( 4 ) + ( 3)
(
⎜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎜ 0 0 −4 7 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝0 0 0 0 ⎠
{
}
dim = 3 và một cơ sở là e1 = (1, 2, 0, −1) , e2 = ( 0,1, 3, −2 ) , e3 = ( 0, 0, −4,7 ) .
14. Xác đònh số chiều
⎧2x1 + x 2 +
⎪
a) ⎨ x1 + 2x 2
⎪
x2 +
⎩
⎧ x1 − 3x 2 +
⎪
b) ⎨2x1 − 6x 2 +
⎪3x − 9x +
2
⎩ 1
⎧ x1
⎪
⎪2x
c) ⎨ 1
⎪3x1
⎪2x
⎩ 1
− 2x 2
+
x2
− 2x 2
− 5x 2
và tìm một cơ sở cho không gian nghiệm của các hệ sau
3x3 = 0
= 0
x3
= 0
x3
= 0
2x3
= 0
3x 3
+ x3
− x3
− x3
+ x3
= 0
−
x4
+
x5
= 0
x4
+ 2x 4
+
− 2x 4
− 3x5
= 0
− 2x5
= 0
+ 2x5
= 0
6
⎧3x1
⎪
⎪6x
d) ⎨ 1
⎪9x1
⎪3x
⎩ 1
+ 2x 2
+
x3
+ 3x4
+ 5x5
= 0
+ 6x 2
+ 5x3
+ 7x4
+ 4x 2
+ 3x3
+ 2x 2
+ 4x 3
+ 5x4
+ 4x 4
+ 7x5
= 0
+ 9x5
= 0
+ 8x5
= 0
ĐS: a) Biến đổi
⎛ 2 1 3⎞
⎛ 1 2 0⎞
⎛ 1 2 0⎞
1) ∼ ( 2 )
2 ) : = ( 2 ) − 2 (1 )
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
(
(
( 2 ) ∼ ( 3) →
⎜ 1 2 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 2 1 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 −3 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
:
( ) = ( 3 ) + 3( 2 )
⎜0 1 1⎟
⎜0 1 1⎟
⎜0 1 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛1 2 0⎞
⎜
⎟
⎜0 1 1⎟
⎜ 0 0 6⎟
⎝
⎠
dim = 0
b) Biến đổi
⎛ 1 −3 1 ⎞
⎛ 1 −3 1 ⎞
⎜
⎟
⎟
( 2 ) : = ( 2 ) − 2 (1 ) ⎜
→ ⎜ 0 0 0 ⎟ cho nghiệm
⎜ 2 −6 2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
:
=
3
−
3
1
( ) ( ) ()
⎜ 3 −9 3 ⎟
⎜ 0 0 0⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Không gian nghiệm
{
(
)
⎧k1 = 3m − n
⎪
⎨ k 2 = m , với m, n ∈
⎪ k =n
3
⎩
.
{( 3m − n, m, n ) m, n ∈ } = ( 3,1, 0) , ( −1, 0,1) . dim = 2 và một cơ
(
)}
sở là e1 = 3,1, 0 , e2 = −1, 0,1 .
c) Biến đổi
⎛ 1 −2 1 −1 1 ⎞
⎛ 1 −2
( 2 ) : = ( 2 ) − 2 (1 ) ⎜
⎜
⎟
( 3):= ( 3) − 3(1) ⎜ 0 5
⎜ 2 1 −1 2 −3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
( 4 ):= ( 4 ) − 2(1) ⎜ 0 4
⎜ 3 −2 −1 1 −2 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝ 2 −5 1 −2 2 ⎠
⎝ 0 −1
⎛ 1 −2 1 −1 1 ⎞
⎛ 1 −2
⎜
⎟
⎜
( 3):= ( 3) + 4 ( 2) ⎜ 0 −1
⎜ 0 −1 −1 0 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
( 4 ): = ( 4 ) + 5 ( 2 ) ⎜ 0 0
⎜ 0 4 −4 4 −5 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝ 0 5 −3 4 −5 ⎠
⎝0 0
1 −1 1 ⎞
⎟
−3 4 −5 ⎟
( 2) ∼ ( 4 )
⎯⎯⎯⎯→
−4 4 −5 ⎟
⎟
−1 0 0 ⎟⎠
1 −1 1 ⎞
⎟
−1 0 0 ⎟
( 4 ): = ( 4 ) − ( 3 ) →
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
−8 4 −5 ⎟
⎟
−8 4 −5 ⎟⎠
⎛ 1 −2 1 −1 1 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 −1 −1 0 0 ⎟
⎜ 0 0 −8 4 −5 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝0 0 0 0 0 ⎠
⎧
k1 = − 12 m + 78 n
⎪
⎪k 2 = − 18 ( 4m − 5n ) = − 12 m + 58 n
⎪
cho nghiệm ⎨ k = 1 ( 4m − 5n ) = 1 m − 5 n , với m, n ∈
3
8
2
8
⎪
k4 = m
⎪
⎪
k5 = n
⎩
Không gian nghiệm
7
.
{( −
=
1
2
)
m + 78 n, − 12 m + 58 n, 12 m − 58 n, m, n m, n ∈
( −1,1,1, 2, 0) , (7, 5, −5, 0, 8)
} = (−
1 , 1 , 1 ,1, 0
2 2 2
{
) , ( 78 , 58 , − 58 , 0,1)
.
}
dim = 2 và một cơ sở là e1 = ( −1,1,1, 2, 0 ) , e2 = ( 7, 5, −5, 0, 8 ) .
d) Biến đổi
⎛3 2 1
⎜
⎜6 4 3
⎜9 6 5
⎜⎜
⎝3 2 4
⎛3
⎜
⎜0
⎜0
⎜⎜
⎝0
⎛3
3 5⎞
( 2 ) : = ( 2 ) − 2 (1 ) ⎜
⎟
5 7⎟
( 3 ) : = ( 3 ) − 3 (1 ) → ⎜ 0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 4 ) : = ( 4 ) − (1 )
⎜0
7 9⎟
⎟⎟
⎜⎜
4 8⎠
⎝0
⎛3
3 5⎞
⎟
⎜
0
−1 −3 ⎟
3) ∼ ( 4 )
(
⎯⎯⎯⎯⎯
→⎜
1
( 3 ): = 4 ( 3 ) ⎜ 0
0 0⎟
⎟⎟
⎜⎜
4 12 ⎠
⎝0
2 1
0 1
0 0
0 0
2 1
0 1 −1
0 2 −2
0 3 1
2 1
3
0 1 −1
0 0 1
0 0 0
⎧ k1 = − 2 m + 4 n
3
3
⎪
k2 = m
⎪
⎪
cho nghiệm ⎨
, với m, n ∈
k3 = 0
⎪
k 4 = −3n
⎪
⎪
k5 = n
⎩
Không gian nghiệm
{( −
=
2
3
)
m + 43 n, m, 0, −3n, n m, n ∈
( −2, 3, 0, 0, 0) , ( 4, 0, 0, −9, 3)
3
5⎞
⎟
−3 ⎟
( 3) := ( 3) − 2 ( 2 ) →
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4 ): = ( 4 ) − 3( 2 )
(
−6 ⎟
⎟⎟
3⎠
5⎞
⎟
−3 ⎟
3⎟
⎟
0 ⎟⎠
.
} = (−
2 ,1, 0, 0, 0
3
),(
4 , 0, 0, −3,1
3
{
)
.
}
dim = 2 và một cơ sở là e1 = ( −2, 3, 0, 0, 0 ) , e2 = ( 4, 0, 0, −9, 3) .
15. Tìm tọa độ của vectơ u trong cơ sở chính tắc B và trong cơ sở B ′ = {f1 , f2 , f3}
với f1 = (1, 0, 0 ) , f2 = (1,1, 0 ) , f3 = (1,1,1) .
(
)
(
a) u = 3,1, −4 .
ĐS: a) ⎣⎡ u ⎦⎤
B
b) ⎣⎡ u ⎦⎤
B
16. Trong
⎧ k1
⎛ 3⎞
⎪
⎜ ⎟
= ⎜ 1 ⎟ . Hệ ⎨
⎪
⎜ −4 ⎟
⎝ ⎠
⎩
⎧ k1
⎛1⎞
⎪
⎜ ⎟
= ⎜ 3 ⎟ . Hệ ⎨
⎪
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎩
4
)
b) u = 1, 3,1 .
+ k2
k2
+ k2
k2
+ k3
+ k3
k3
+ k3
+ k3
k3
3
⎧ k1 = 2
⎛ 2⎞
⎪
⎜ ⎟
= 1 cho ⎨ k 2 = 5 và ⎡⎣ u ⎤⎦ ′ = ⎜ 5 ⎟ .
B
⎪ k = −4
⎜ −4 ⎟
= −4
⎝ ⎠
⎩ 3
=
= 1
⎧k1 = −2
⎛ −2 ⎞
⎪
⎜ ⎟
= 3 cho ⎨ k 2 = 2 và ⎡⎣ u ⎤⎦ ′ = ⎜ 2 ⎟ .
B
⎪ k =1
⎜1⎟
= 1
⎝ ⎠
⎩ 3
, xét tập
W = ( a1 , a 2 , a 3 , a 4 ) : a1 + a 2 + a 3 + a 4 = 0
{
}
a) Kiểm chứng rằng W là một không gian vectơ con của
8
4
.
b) Kiểm chứng các vectơ sau nằm trong W
v1 = (1, 0, 0, −1) , v 2 = ( 0,1, 0, −1) , v 3 = ( 0, 0,1, −1) , v 4 = (1,1, −1, −1)
c) Xác đònh số chiều và tìm một cơ sở cho W.
ĐS: W là không gian nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất
x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 nên là một không gian vectơ con của 4 .
b) 1 + 0 + 0 + ( −1) = 0 nên v1 ∈ W ; 0 + 1 + 0 + ( −1) = 0 nên v 2 ∈ W ;
0 + 0 + 1 + ( −1) = 0 nên v 3 ∈ W ; 1 + 1 + ( −1) + ( −1) = 0 nên v 4 ∈ W .
c) Với x 2 = m , x 3 = n , x 4 = p , m, n, p ∈
W=
bất kỳ, ta được x1 = − m − n − p . Suy ra
{( −m − n − p, m, n, p ) m, n, p ∈ } . Vì
( −m − n − p, m, n, p ) = m ( −1,1, 0, 0) + n ( −1, 0,1, 0) + p ( −1, 0, 0,1)
ta suy ra W = ( −1,1, 0, 0 ) , ( −1, 0,1, 0 ) , ( −1, 0, 0,1) . Do đó, dim W = 3
B = {e1 = ( −1,1, 0, 0 ) , e2 = ( −1, 0,1, 0) , e3 = ( −1, 0, 0,1)}
và
là một cơ sở cho W.
17. Trong 3 , cho cơ sở chính tắc
B = e1 = (1, 0, 0 ) ,e2 = ( 0,1, 0) ,e3 = ( 0, 0,1)
và cơ sở
{
}
{
}
B ′ = f1 = ( 2,1,1) ,f2 = (1, 2,1) ,f3 = (1,1, 2 ) .
Tìm ma trận đổi
⎛2
⎜
ĐS: PB →B′ = ⎜ 1
⎜1
⎝
cơ sở từ B qua B ′ và ma trận đổi
⎛ 3
1 1⎞
−1
⎟
1⎜
2 1 ⎟ ; PB′ →B = ( PB →B′ ) = ⎜ −1
4⎜
1 2 ⎟⎠
⎝ −1
{
cơ sở từ B ′ qua B .
−1 −1 ⎞
⎟
3 −1 ⎟
−1 3 ⎟⎠
}
18. Trong, cho hai cơ sở B = u1 = (1,1, 0 ) ,u 2 = ( 0,1,1) ,u 3 = (1, 0,1) và
{
}
B ′ = v1 = ( 2,1,1) ,v2 = (1, 2,1) ,v3 = (1,1, 2 ) .
Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua B ′ và ma trận đổi cơ sở từ B ′ qua B .
ĐS: Gọi C là cơ sở chính tắc của 3 . Ta có
⎛1 0 1⎞
⎛ 1 1 −1 ⎞
−1
⎜
⎟
⎟
1⎜
= ⎜ −1 1 1 ⎟
PC →B = ⎜ 1 1 0 ⎟ ; PB →C = PC →B
2⎜
⎜0 1 1⎟
⎟
⎝
⎠
⎝ 1 −1 1 ⎠
(
PC →B′
)
⎛2 1 1⎞
⎜
⎟
= ⎜ 1 2 1 ⎟ ; PB′ →C = PC →B′
⎜1 1 2⎟
⎝
⎠
(
)
−1
⎛ 3 −1 −1 ⎞
1⎜
⎟
= ⎜ −1 3 − 1 ⎟
4⎜
⎟
⎝ −1 − 1 3 ⎠
9
⎛1 1
1⎜
Suy ra PB →B′ = PB →C ⋅ PC →B′ = ⎜ −1 1
2⎜
⎝ 1 −1
⎛ 3 −1 −1 ⎞ ⎛ 1
⎟⎜
1⎜
PB′ →B = PB′ →C ⋅ PC →B = ⎜ −1 3 −1 ⎟ ⎜ 1
4⎜
⎟⎜
⎝ −1 − 1 3 ⎠ ⎝ 0
19. Trong
−1 ⎞ ⎛ 2 1 1 ⎞ ⎛ 1
⎟⎜
⎟ ⎜
1 ⎟⎜1 2 1⎟ = ⎜0
1 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 1 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 1
⎛ 1 −1
0 1⎞
⎟ 1⎜
1 0⎟ = ⎜ 1 1
2⎜
1 1 ⎟⎠
⎝ −1 1
1 0⎞
⎟
1 1⎟ ;
0 1 ⎟⎠
1⎞
⎟
−1 ⎟ .
1 ⎟⎠
3
, cho hai cơ sở
B = u1 = (1, 2, 0 ) ,u 2 = (1, 3, 2 ) ,u 3 = ( 0,1, 3)
{
}
B ′ = {v = (1, 2,1) ,v = ( 0,1, 2 ) ,v = (1, 4, 6 )}
1
2
và vectơ u = ( a, b, c ) ∈
3
3
.
a) Tìm tọa độ của vectơ u trong cơ sở B và cơ sở B ′ .
b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua B ′ và ma trận đổi cơ sở từ B ′ qua B .
c) Kiểm chứng ⎡⎣ u ⎤⎦ = PB → B ′ ⎡⎣ u ⎤⎦ ′ và ⎡⎣ u ⎤⎦ ′ = PB ′→ B ⎡⎣ u ⎤⎦ .
B
B
B
B
ĐS: a) Ta có
⎛ k1 ⎞
⎧ k1 + k 2
⎜ ⎟
⎪
⎣⎡ u ⎦⎤B = ⎜ k 2 ⎟ ⇔ u = k1u1 + k 2u 2 + k 3u 3 ⇔ ⎨2k1 + 3k 2 + k 3
⎪
⎜k ⎟
2k 2 + 3k 3
⎝ 3⎠
⎩
Biến đổi
⎛1 1 0 a ⎞
⎛1 1 0 a ⎞
⎛1 1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
2 ) : = ( 2 ) − 2 (1 )
3 ): = ( 3 ) − 2 ( 2 )
(
(
⎜ 2 3 1 b ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 1 b − 2a ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1
⎜0 2 3 c ⎟
⎜0 2 3 c ⎟
⎜0 0
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
= a
= b
=
c
⎞
0
a
⎟
1 b − 2a ⎟
1 c − 2b + 4a ⎟⎠
ta được k 3 = 4a − 2b + c ; k 2 = −6a + 3b − c ; k1 = 7a − 3b + c . Vậy
⎛ 7a − 3b + c ⎞
⎜
⎟
⎣⎡ u ⎦⎤B = ⎜ −6a + 3b − c ⎟
⎜ 4a − 2b + c ⎟
⎝
⎠
Tương tự,
⎧ k1
⎛ k1 ⎞
+ k3
⎜ ⎟
⎪
⎡⎣ u ⎤⎦ = ⎜ k 2 ⎟ ⇔ u = k1u1 + k 2u 2 + k 3u 3 ⇔ ⎨2k1 + k 2 + 4k 3
B′
⎪k
⎜k ⎟
⎝ 3⎠
⎩ 1 + 2k 2 + 6k 3
Biến đổi
⎛1 0 1 a ⎞
⎛1 0 1 a ⎞
⎛1 0
⎜
⎟
⎜
⎟
2
:
=
2
−
2
1
3
:
=
3
−
2
2
( ) ( ) ( ) → 0 1 2 b − 2a ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( ) ( ) ( ) →⎜0 1
⎜ 2 1 4 b ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜
⎟
⎜
( 3 ) : = ( 3 ) − (1 )
⎜1 2 6 c ⎟
⎜0 2 5 c − a ⎟
⎜0 0
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
10
= a
= b
=
c
⎞
1
a
⎟
2 b − 2a ⎟
1 c − 2b + 3a ⎟⎠
ta được k 3 = 3a − 2b + c ; k 2 = −8a + 5b − 2c ; k1 = −2a + 2b − c . Vậy
⎡⎣ u ⎤⎦
B′
⎛ −2a + 2b − c ⎞
⎜
⎟
= ⎜ −8a + 5b − 2c ⎟
⎜ 3a − 2b + c ⎟
⎝
⎠
cơ sở chính tắc của 3 . Ta có
⎛ 7 −3 1 ⎞
1 0⎞
−1
⎟
⎜
⎟
= ⎜ −6 3 −1 ⎟
3 1 ⎟ ; PB →C = PC →B
⎜ 4 −2 1 ⎟
2 3 ⎟⎠
⎝
⎠
⎛1 0 1⎞
⎛ −2 2 −1 ⎞
−1
⎜
⎟
⎜
⎟
PC →B′ = ⎜ 2 1 4 ⎟ ; PB′ →C = PC →B′
= ⎜ −8 5 −2 ⎟
⎜1 2 6⎟
⎜ 3 −2 1 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 7 −3 1 ⎞ ⎛ 1 0 1 ⎞ ⎛ 2 −1 1 ⎞
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
Suy ra PB →B′ = PB →C ⋅ PC →B′ = ⎜ −6 3 −1 ⎟ ⎜ 2 1 4 ⎟ = ⎜ −1 1 0 ⎟ ;
⎜ 4 −2 1 ⎟ ⎜ 1 2 6 ⎟ ⎜ 1 0 2 ⎟
⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠
⎛ −2 2 −1 ⎞ ⎛ 1 1 0 ⎞ ⎛ 2 2 −1 ⎞
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
PB′ →B = PB′ →C ⋅ PC →B = ⎜ −8 5 −2 ⎟ ⎜ 2 3 1 ⎟ = ⎜ 2 3 −1 ⎟ .
⎜ 3 −2 1 ⎟ ⎜ 0 2 3 ⎟ ⎜ − 1 − 1 1 ⎟
⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠
b) Gọi C là
⎛1
⎜
PC →B = ⎜ 2
⎜0
⎝
(
(
)
)
c) Kiểm chứng
⎛ 7a − 3b + c ⎞ ⎛ 2 −1 1 ⎞ ⎛ −2a + 2b − c ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟⎜
⎟
⎜ −6a + 3b − c ⎟ = ⎜ −1 1 0 ⎟ ⎜ −8a + 5b − 2c ⎟ ; và
⎜ 4a − 2b + c ⎟ ⎜ 1 0 2 ⎟ ⎜ 3a − 2b + c ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠⎝
⎠
⎛ −2a + 2b − c ⎞ ⎛ 2 2 −1 ⎞ ⎛ 7a − 3b + c ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟⎜
⎟
⎜ −8a + 5b − 2c ⎟ = ⎜ 2 3 −1 ⎟ ⎜ −6a + 3b − c ⎟
⎜ 3a − 2b + c ⎟ ⎜ −1 −1 1 ⎟ ⎜ 4a − 2b + c ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠⎝
⎠
20. Trong
và
3
, cho các hệ vectơ
B1 = u1 = (1,1,1) ,u 2 = (1,1, 2 ) ,u 3 = (1, 2, 3)
{
}
{
}
B2 = v1 = ( 2,1, −1) ,v2 = ( 3, 2, 5 ) ,v3 = (1, −1, m )
3
a) Chứng minh rằng B1 là cơ sở của
.
b) Tìm tọa độ của vectơ u = ( a, b, c ) trong cơ sở B1 .
c) Tìm m để B2 là một cơ sở của
3
.
11
⎛ 2 1 −1 ⎞
⎛ 1 −1 m ⎞
⎛1
⎜
⎟
⎟
(1 ) ∼ ( 3 ) ⎜
( 2):= ( 2) − 3(1) ⎜
→ 0
⎜ 3 2 5 ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 3 2 5 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 3 ) : = ( 3 ) − 2 (1 ) ⎜
⎜ 1 −1 m ⎟
⎜ 2 1 −1 ⎟
⎜0
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎛ 1 −1
⎞ ⎛ 1 −1
m
⎟ ⎜
( 3):= ( 3) − 53 ( 2) ⎜
5 − 3m
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 5
⎟ = ⎜0 5
⎜ 0 0 −1 − 2m − 3 ( 5 − 3m ) ⎟ ⎜ 0 0
5
⎝
⎠ ⎝
−1
m
⎞
⎟
5 5 − 3m ⎟
3 −1 − 2m ⎟⎠
⎞
m
⎟
5 − 3m ⎟
−4 − 15 m ⎟⎠
d) Với m = 0 , tìm các ma trận đổi cơ sở PB → B và PB → B .
1
2
2
1
1 1 1
ĐS: a) 1 1 2 = −1 ≠ 0
1 2 3
b) Ta có
⎧ k1 + k 2
⎛ k1 ⎞
⎜ ⎟
⎪
⎡⎣ u ⎤⎦ = ⎜ k 2 ⎟ ⇔ u = k1u1 + k 2u 2 + k 3u 3 ⇔ ⎨k1 + k 2
B1
⎪k + 2k
⎜k ⎟
2
⎝ 3⎠
⎩ 1
Biến đổi
⎛1 1 1 a ⎞
⎛1 1 1 a ⎞
⎛1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
2 ) : = ( 2 ) − (1 )
3) ∼ ( 2 )
(
(
0
0
1
b
a
0
→
−
⎯⎯⎯⎯→
⎜ 1 1 2 b ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜
⎟
⎜
( 3 ) : = ( 3 ) − (1 )
⎜1 2 3 c ⎟
⎜0 1 2 c − a ⎟
⎜0
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
+
k3
+ 2k 3
+ 3k 3
= a
= b
=
c
1 1 a ⎞
⎟
1 2 c − a⎟
0 1 b − a ⎟⎠
⎛ a+b−c ⎞
⎜
⎟
ta được k 3 = b − a ; k 2 = c − 2b + a ; k1 = −c + b + a . Vậy ⎣⎡ u ⎦⎤ = ⎜ a + 2b − c ⎟ .
B
⎜ b−a ⎟
⎝
⎠
cơ sở chính tắc của 3 . Ta có
⎛ 1 1 −1 ⎞
1 1⎞
−1
⎜
⎟
⎟
= ⎜ 1 −2 1 ⎟
1 2 ⎟ ; PB →C = PC →B
1
1
⎜ −1 1 0 ⎟
2 3 ⎟⎠
⎝
⎠
⎛2 3 1⎞
⎛ 5 5 −5 ⎞
−1
⎟
1 ⎜
⎜
⎟
=
PC →B = ⎜ 1 2 −1 ⎟ ; PB →C = PC →B
1 1
3⎟
⎜
2
2
2
20 ⎜
⎟
⎜ −1 5 0 ⎟
⎝ 7 −13 1 ⎠
⎝
⎠
⎛ 1 1 −1 ⎞ ⎛ 2 3 1 ⎞ ⎛ 4 0 0 ⎞
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
Suy ra PB →B = PB →C ⋅ PC →B = ⎜ 1 −2 1 ⎟ ⎜ 1 2 −1 ⎟ = ⎜ −1 4 3 ⎟ ;
1
2
1
2
⎜ − 1 1 0 ⎟ ⎜ − 1 5 0 ⎟ ⎜ − 1 − 1 −2 ⎟
⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠
⎛ 5 5 −5 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞
⎛ 5 0
0 ⎞
⎟⎜
⎟
⎟
1 ⎜
1 ⎜
PB →B = PB →C ⋅ PC →B =
1 1
3 ⎟ ⎜1 1 2⎟ =
5 8 12 ⎟ .
⎜
⎜
2
1
2
1
20 ⎜
⎟ ⎜ 1 2 3 ⎟ 20 ⎜ −5 −4 −16 ⎟
7
13
1
−
⎝
⎠⎝
⎠
⎝
⎠
c) Gọi C là
⎛1
⎜
PC →B = ⎜ 1
1
⎜1
⎝
(
)
(
)
21. Cho hai hệ vectơ trong không gian 4
B : a1 = ( 0,1, 0, 2 ) , a 2 = (1,1, 0,1) , a 3 = (1, 2, 0,1) , a 4 = ( −1, 0, 2,1) ,
12
B ′ : b1 = (1, 0, 2, −1) , b2 = ( 0, 3, 0, 2) , b3 = ( 0,1, 3,1) , b4 = ( 0, −1, 0,1) .
a) Chứng minh chúng là hai cơ sở của 4 .
b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua B ′ .
c) Tìm tọa độ của v = ( 2, 0, 4, 0) đối với cơ sở B ′ .
ĐS: a)
0
1 0 2
1
1 0 1
1
2 0 1
= −4 ;
−1 0 2 1
b) Gọi C là
⎛0
⎜
1
PC →B = ⎜
⎜0
⎜⎜
⎝2
cơ
1
1
0
1
⎛1
⎜
0
=⎜
⎜2
⎜⎜
⎝ −1
0
PC →B′
3
0
2
1
0
2 −1
0
3
0
2
0
1
3
1
0 −1 0
1
= 15 .
chính tắc của 4 . Ta có
⎛ 2 0
−1 ⎞
⎟
⎜
−1
0⎟
1 ⎜ −6 4
; P
= PC →B
=
−4 ⎜ 2 −4
2 ⎟ B →C
⎜⎜
⎟⎟
1⎠
⎝ 0 0
⎛ 15
0 0⎞
⎟
⎜
−1
1 −1 ⎟
1 ⎜ 7
; PB′ →C = PC →B′
=
15 ⎜ −10
3 0⎟
⎟⎟
⎜⎜
1 1⎠
⎝ 11
sở
1
2
0
1
(
)
(
)
2
−2
0
−2
0
3
0
−6
−2 ⎞
⎟
−2 ⎟
2⎟
⎟
0 ⎟⎠
0 0⎞
⎟
−2 3 ⎟
5 0⎟
⎟
−1 9 ⎟⎠
Suy ra
PB →B′ = PB →C ⋅ PC →B′
PB′ →B = PB′ →C ⋅ PC →B
⎛ 2
⎜
1 ⎜ −6
=
−4 ⎜ 2
⎜⎜
⎝ 0
⎛ 15
⎜
1 ⎜ 7
=
15 ⎜ −10
⎜⎜
⎝ 11
0
2
4 −2
−4 0
0
−2
0
0
3
−2
0
5
−6 −1
⎛ 8 −4
−2 ⎞ ⎛ 1 0 0 0 ⎞
⎟⎜
⎟
⎜
− 2 ⎟ ⎜ 0 3 1 −1 ⎟
1 ⎜ −8 8
=
2 ⎟ ⎜ 2 0 3 0 ⎟ −4 ⎜ 0 −8
⎟⎜
⎟
⎜⎜
0 ⎟⎠ ⎜⎝ −1 2 1 1 ⎟⎠
⎝ −4 0
⎛ 0 15
0 ⎞ ⎛ 0 1 1 −1 ⎞
⎟⎜
⎟
⎜
3 ⎟ ⎜ 1 1 2 0 ⎟ 1 ⎜ 9 13
=
0 ⎟ ⎜ 0 0 0 2 ⎟ 15 ⎜ 0 −10
⎟⎜
⎟
⎜⎜
9 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 1 1 1 ⎟⎠
⎝ 12 14
4
−4
−2
−6
15
16
−10
8
−2 ⎞
⎟
−6 ⎟
;
6⎟
⎟
0 ⎟⎠
−15 ⎞
⎟
−8 ⎟
20 ⎟
⎟
−4 ⎟⎠
.
⎛ 2⎞
⎛ 15
⎛ 30 ⎞
0 0 0⎞ ⎛ 2⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟
0⎟
3 −2 3 ⎟ ⎜ 0 ⎟ 1 ⎜ 6 ⎟
1 ⎜ 7
⎜
c) ⎡⎣ v ⎤⎦ =
; ⎡ v ⎤ = PB′→C ⋅ ⎡⎣ v ⎤⎦ =
=
C
C
⎜ 4 ⎟ ⎣ ⎦B′
15 ⎜ −10 0 5 0 ⎟ ⎜ 4 ⎟ 15 ⎜ 0 ⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 0⎠
⎝ 11 −6 −1 9 ⎠ ⎝ 0 ⎠
⎝ 18 ⎠
d) Tìm tọa độ của v đối với cơ sở B .
⎛ 2 0 2 −2 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎛ 12 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟
⎜
⎟
1 ⎜ −6 4 −2 −2 ⎟ ⎜ 0 ⎟
1 ⎜ −20 ⎟
⎡⎣ v ⎤⎦ = PB →C ⋅ ⎡⎣ v ⎤⎦ =
=
B
C
−4 ⎜ 2 −4 0 2 ⎟ ⎜ 4 ⎟ −4 ⎜ 4 ⎟
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0 0 −2 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠
⎝ −8 ⎠
22. Xác đònh số chiều và tìm một cơ sở của không gian con W sinh bởi hệ vectơ sau
a) u1 = (1, 0, 0, −1) , u 2 = ( 2,1,1, 0 ) , u 3 = (1,1,1,1) , u 4 = (1, 2, 3, 4 ) , u 5 = ( 0,1, 2, 3) trong
4
.
13
b)
u1 = (1,1,1,1, 0 ) ,
u 5 = (1, 1, 1, 0, 0) trong
u 3 = ( 2, 2, 0, 0, 1) ,
u 2 = (1,1, 1, 1, 1) ,
5
u 4 = (1,1, 5, 5, 2 ) ,
.
ẹS: a) Bieỏn ủoồi
1
2
1
1
0
1
0 0 1
( 2 ) : = ( 2 ) 2 (1 ) 0
1 1 0
( 3 ) : = ( 3 ) (1 )
1 1 1
0
( 4 ) : = ( 4 ) (1 )
2 3 4
0
0
1 2 3
1
0
3) ( 5 )
(
0
0
0
1
0 0 1
( 3) := ( 3 ) ( 2 )
1 1 2
0
4 ): = ( 4 ) 2 ( 2 )
(
0
1 1 2
( 5 ) := ( 5 ) ( 2 )
2 3 5
0
0
1 2 3
1
0 0 1
1 1 2
0
4 ) : = ( 4 ) ( 3)
(
0
0 1 1
0 1 1
0
0
0 0 0
0 0 1
1 1 2
0 0 0
0 1 1
0 1 1
0 0 1
1 1 2
0 1 1
0 0 0
0 0 0
{
}
dim = 3 vaứ moọt cụ sụỷ laứ B = e1 = (1, 0, 0, 1) ; e2 = ( 0,1,1, 2 ) ; e3 = ( 0, 0,1,1)
b) Bieỏn ủoồi
1 1 1 1 0
1 1
( 2):= ( 2) (1)
1 1 1 1 1
0 0
3 ) : = ( 3 ) 2 (1 )
(
2 2 0 0 1 0 0
( 4 ) : = ( 4 ) (1 )
( 5 ) : = ( 5 ) (1 )
1 1 5 5 2
0 0
1 1 1 0 0
0 2
1 1 1 1 0
1 1
0 2 2 1 0
0 2
4 ): = ( 4 ) + 2 ( 3 )
(
0 0 2 2 1 0 0
( 5 ): = ( 5 ) ( 3 )
0 0 4 4 2
0 0
0 0 3 2 1
0 0
{
1
1
0
3 2 1
( 2) ( 5)
2 2 1
4 4 2
2 1 0
1
1
0
2 1 0
2 2 1
0 0 0
0 0 0
}
dim = 3 vaứ moọt cụ sụỷ laứ B = e1 = (1,1,1,1, 0) ; e2 = ( 0, 2, 2, 1, 0 ) ; e3 = ( 0, 0, 2, 2, 1)
14
