Rèn luyện kỹ năng giải toán trong dạy học tổ hợp xác suất lớp 11 trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ MINH HUỆ

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
TRONG DẠY HỌC TỔ HỢP XÁC SUẤT
LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
\

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ MINH HUỆ

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
TRONG DẠY HỌC TỔ HỢP XÁC SUẤT
LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 01 11
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Nhụy

HÀ NỘI – 2016

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong trường Đại
học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng dạy và hết lòng
giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài.
Luận văn này được hoàn thành tại khoa sư phạm dưới sự hướng dẫn
khoa học của PGS. TS Nguyễn Nhụy. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và
biết ơn sâu sắc tới thầy.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, các thầy cô
trường Trung học phổ thông Tân Lập, Đan Phượng, Hà Nội đã tạo điều kiện
cho tác giả học tập và hoàn thành luận văn, các em học sinh lớp 11A và 11D
của trường cho tôi môi trường tốt để thực hiện việc thực nghiệm sư phạm xin
chân thành cảm ơn tới các em.
Sự quan tâm giúp đỡ của gia đình và bạn bè, đặc biệt là lớp cao học
Toán khóa 10 khoa sư phạm, trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà
Nội là nguồn động viên cổ vũ và tiếp thêm sức mạnh cho tác giả trong những
năm tháng học tập và thực hiện đề tài.
Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những
thiếu sót, tác giả mong được lượng thứ và rất mong nhận được những ý kiến
đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn.
H
Hà Nội, tháng 10 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Thị Minh Huệ

i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Chữ viết tắt

Chữ viết đầy đủ

TH

Trường hợp

ĐS

Đáp số

HS

Học sinh

GV

Giáo viên

THPT

Trung học phổ thông

TN

Thực nghiệm

TNKQ

Trắc nghiệm khách quan

TNTL

Trắc nghiệm tự luận

SGK

Sách giáo khoa

BT

Bài tập

đpcm

Điều phải chứng minh

ii


MỤC LỤC
Lời cảm ơn ........................................................................................................ i
Danh mục chữ viết tắt ....................................................................................... ii
Mục lục ............................................................................................................ iii
Danh mục bảng ................................................................................................. v
Danh mục biểu đồ ............................................................................................. v
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1

Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................... 7
1.1 .Kĩ năng ....................................................................................................... 7
1.1.1 Khái niệm về kĩ năng ............................................................................... 7
1.1.2. Phân loại kĩ năng trong môn toán ........................................................... 8
1.1.3. Rèn luyện kĩ năng.................................................................................... 9
1.2. Một số bước thực hiện việc rèn luyện kĩ năng giải toán ...................... .111
1.3. Liên hệ thực tiễn trong dạy học chương “Tổ hợp – Xác suất” lớp 11
THPT. Thực trạng việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học
chương “Tổ hợp - Xác suất” ........................................................................... 12
1.4. Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển năng lực phân tích, nhận dạng
bài toán cho học sinh ....................................................................................... 14
1.5. Tiếp cận quan điểm dạy học hiện đại, nâng cao rèn luyện kỹ năng giải
toán phần Tổ hợp - Xác suất cho học sinh ...................................................... 20
1.5.1. Bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh cần kết hợp với các hoạt
động trí tuệ khác .............................................................................................. 20
1.5.2. Bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc
rèn khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng mới ............................ 20
1.5.3. Bồi dưỡng kĩ năng giải Toán cho học sinh là một quá trình lâu dài có
tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học .................................... 21
1.5.4. Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của kĩ năng giải Toán qua việc
xây dựng và dạy học hệ thống bài tập ............................................................. 21
1.5.5. Thực hiện vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trong dạy
học bài tập Tổ hợp - Xác suất lớp 11 .............................................................. 22
Kết luận chương 1 ........................................................................................... 25

iii


Chƣơng 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC CHƢƠNG TỔ HỢP XÁC SUẤT LỚP

11TRUNG HỌC PHỔ THÔNG................................................................... 26
2.1. Phân tích nội dung Tổ hợp - Xác suất trong chương trình toán Trung học
phổ thông (Ban cơ bản) ................................................................................... 26
2.1.1. Mục tiêu, nhiệm vụ và cấu tạo của chương “Tổ hợp - Xác suất” lớp 11
trung học phổ thông (ban cơ bản) ................................................................... 26
2.1.2. Các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi giải toán Tổ hợp ............. 27
2.1.3. Những chú ý khi dạy và học chương “Tổ hợp - Xác suất ” lớp 11 Trung
học phổ thông (ban cơ bản) ............................................................................. 29
2.2. Các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải Toán Tổ hợp - Xác suất ............... 30
2.2.1. Biện pháp 1: Phân tích định nghĩa, khái niệm vận dụng quy tắc, công
thức vào giải toán Tổ hợp - Xác suất .............................................................. 30
2.2.2. Biện pháp 2: Rèn luyện khả năng phân tích bài toán, hình thành kĩ năng
nhận dạng bài toán cho học sinh dưới nhiều góc độ ....................................... 37
2.2.3. Biện pháp 3: Phân tích các sai lầm thường gặp khi giải toán Tổ hợp Xác suất ........................................................................................................... 49
2.2.4. Biện pháp 4: Hệ thống hóa các dạng toán thường gặp trong toán Tổ hợp
- Xác suất ......................................................................................................... 64
2.2.5. Biện pháp 5: Rèn luyện kỹ năng tính toán ............................................ 80
Kết luận chương 2 ........................................................................................... 90
Chƣơng 3 THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ..................................................... 91
3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm ................................... 91
3.2. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ......................................................... 91
3.3. Kế hoạch và nội dung thực nghiệm sư phạm ........................................... 92
3.4 .Tiến hành thực nghiệm sư phạm ............................................................ 108
3.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm ............................................................... 108
Kết luận chương 3 ......................................................................................... 114
KẾT LUẬN .................................................................................................. 115
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 116
PHỤ LỤC .................................................................................................... 118

iv

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Bảng thống kê về mức độ cần thiết của Toán học trong cuộc sống24
Bảng 1.2. Bảng thống kê về nhu cầu muốn rèn luyện kĩ năng giải toán ........ 24
Bảng 3.1. Tại trường THPT Tân Lập, Đan Phượng, Hà Nội ....................... 110
Bảng 3.2. Tại trường THPT Tân Lập Đan Phượng Hà Nội .......................... 111
DANH MỤC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 1.1. Biểu đồ đánh giá mức độ khó của việc tự rèn luyện kĩ năng giải
toán .................................................................................................................. 24
Biểu đồ 3.1. Biểu đồ so sánh kết quả bài kiểm tra số 1 ................................ 111
Biểu đồ 3.2. Biểu đồ so sánh kết quả bài kiểm tra số 2 ................................ 112

v


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Xã hội ngày nay đang phát triển với tốc độ nhanh chóng, lượng thông tin
bùng nổ. Cùng với đó nó đòi hỏi con người phải có tính năng động và có khả
năng thích nghi cao với sự phát triển mạnh mẽ về mọi mặt khoa học kĩ thuật,
đời sống… Vì vậy để tránh nguy cơ tụt hậu, Nghị quyết trung ương Đảng đã
chỉ rõ chúng ta phải đổi mới giáo dục và đào tạo, đổi mới phương pháp giáo
dục. Như vậy rèn luyện kĩ năng làm việc, học tập cho học sinh là một nhiệm
vụ quan trọng của nhà trường phổ thông.
Toán học là môn khoa học cơ bản, là công cụ để học tập và nghiên cứu các
môn học khác. Nó giúp người học rất nhiều trong việc rèn luyện phương pháp
suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề, giải quyết
các tình huống trong công việc và trong cuộc sống. Toán học có vai trò to lớn
trong sự phát triển của các ngành khoa học kĩ thuật. Nó liên quan chặt chẽ và

có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kĩ thuật và
đời sống. Vì thế, dạy học môn Toán ở nhà trường phổ thông giữ vai trò quan
trọng trong nghiên cứu và đời sống thực tế.
Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán
nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta
hiện nay. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi
mới nội dung và phương pháp dạy học. Định hướng đổi mới phương pháp
dạy học đã được chỉ rõ trong Luật Giáo dục (1998): “…Phương pháp giáo
dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo
cho học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng
phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực
tiễn…”.
Chương trình môn toán (thí điểm) trường trung học phổ thông (năm 2002)
cũng đã chỉ rõ: “...Môn toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển

1


năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học cần
thiết cho cuộc sống, ... rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào
việc giải các bài toán đơn giản của thực tiễn, phát triển khả năng suy luận có
lý, hợp logic trong những tình huống cụ thể, khả năng tiếp cận và biểu đạt
các vấn đề một cách chính xác…”.
Theo Nguyễn Cảnh Toàn dạy toán là dạy kiến thức, tư duy và tính cách,
trong đó dạy kĩ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu không có kĩ
năng thì sẽ không phát triển được tư duy và cũng không đáp ứng được nhu
cầu giải quyết vấn đề.
Nhiều công trình nghiên cứu về tâm lý học, phương pháp dạy học,… đã
khẳng định sự cần thiết phải rèn luyện một số kĩ năng trong dạy học Đại số
nói chung và Đại số Tổ hợp nói riêng cho học sinh. Tác giả Lê Văn Hồng cho

rằng: “Kĩ năng là một trong những yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệ
giữa học và hành. Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học
thuộc các định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng vào việc giải các bài
tập”, còn Nguyễn Bá Kim viết: “Nó là cơ sở để thực hiện các phương diện
mục đích khác” [14, tr.46]. Như vậy có thể khẳng định rằng cần thiết phải rèn
luyện cho học sinh các kĩ năng trong dạy học Toán.
Các kiến thức về Tổ hợp - Xác suất đang ngày càng trở nên quan trọng đối
với mỗi con người trong xã hội hiện đại. Vì vậy, ở nhiều quốc gia, Tổ hợp Xác suất đã được giảng dạy trong trường phổ thông từ lâu nhưng với mức độ
rất khác nhau. Ở nước ta, trong sách giáo khoa năm 2000 chỉ có Tổ hợp mà
không có Xác suất. Trong thực tế, Xác suất mới chỉ được đưa vào chương
trình phổ thông từ năm 2007 (không kể đến chương trình thí điểm phân ban
năm 1995).
Trong chương trình Toán phổ thông, Tổ hợp - Xác suất là một trong những
nội dung quan trọng luôn xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp phổ thông cũng
như đề thi đại học. Tổ hợp luôn được đánh giá là một nội dung khó. Các bài

2


toán Tổ hợp thường đòi hỏi học sinh hiểu chính xác những mối quan hệ giữa
các đối tượng được xét mà đôi khi bằng ngôn ngữ cũng khó diễn đạt một cách
đầy đủ. Nội dung Xác suất có khá nhiều khái niệm mới và khó. Nếu học sinh
không nắm chắc các khái niệm thì không thể hiểu được các công thức tính
Xác suất. Các bài toán về Xác suất rời rạc có liên quan chặt chẽ đến vấn đề Tổ
hợp. Do đó, nếu học sinh có kỹ năng giải các bài toán Tổ hợp tốt thì có nhiều
thuận lợi khi giải các bài toán Xác suất rời rạc. Mục đích của chương “Tổ hợp
- Xác suất” là để học sinh làm quen với những vấn đề đơn giản có nội dung
Tổ hợp thường gặp trong đời sống và khoa học.
Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài luận văn tốt nghiệp của mình là:
“Rèn luyện kỹ năng giải toán trong qua dạy học Tổ hợp - Xác suất lớp 11

Trung học phổ thông’’.

2. Lịch sử nghiên cứu
Ở nước ta, có nhiều nhà toán học nghiên cứu về Tổ hợp - Xác suất như
Nguyễn Văn Mậu, Vũ Đình Hòa, Phan Huy Khải, Trần Nam Dũng, Đặng
Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng,… Tuy nhiên, những nghiên cứu thuần là các
kết quả chuyên môn. Ngoài ra, các thầy giáo như: Giáo sư Nguyễn Cảnh
Toàn, Giáo sư Nguyễn Bá Kim… cũng đã nhiều lần nói về việc rèn luyện kỹ
năng giải toán cho học sinh trong dạy học môn Toán. Tuy những nghiên cứu
đó về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh mới chỉ là lý luận
chung nhưng đã có những gợi mở quan trọng cho tôi trong quá trình thực hiện
đề tài.
Trên cơ sở lý thuyết mà các nhà toán học đã đưa ra, căn cứ vào thực trạng
dạy học chương “Tổ hợp - Xác suất” ở một số trường trung học phổ thông
trong giai đoạn hiện nay thì với luận văn này, tác giả xin được trình bày một
vấn đề rất hẹp và cụ thể là: vận dụng lý luận về phương pháp giảng dạy vào
rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học chương “Tổ hợp Xác suất” lớp 11 nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường

3


Trung học phổ thông.

3. Mục tiêu nghiên cứu
Dạy học nội dung phần Tổ hợp - Xác suất trong chương trình Toán lớp 11
có gắn liền với kỹ năng giải toán như kĩ năng tính toán, suy luận các khả năng
xảy ra, các khả năng giải quyết bài toán... từ đó phát huy tính tích cực, chủ
động, sáng của người học, đồng thời rèn cho học sinh nhiều đức tính quý như:
cần cù, nhẫn lại, tính tự lập cao và ý chí vượt khó.
Giới thiệu một số ví dụ trong thực tiễn liên gắn với kỹ năng giải toán và

đưa ra các phương án giải quyết cụ thể. Tiến hành điều tra quan sát mức độ
quan tâm của học sinh đến những ứng dụng thực tế của toán học và khai thác
những tình huống thực tế vào dạy học môn toán của giáo viên bậc Trung học
phổ thông.
Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần rèn luyện kĩ năng
giải toán cho học sinh qua dạy học Tổ hợp - Xác suất lớp 11 Trung học phổ
thông.

4. Phạm vi nghiên cứu
- Phạm vi về thời gian: Trong thời gian từ tháng 3/2015 đến nay.
- Phạm vi về nội dung: Nghiên cứu những kỹ năng giải toán cần rèn luyện
cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp - Xác suất” lớp 11 trung họcphổ
thông.

5. Nơi khảo sát
Học sinh các lớp 11D, 11A trường Trung học phổ thông Tân Lập, Đan
Phượng, Hà Nội.

6. Vấn đề nghiên cứu
Trong nghiên cứu này, một số vấn đề sau đây được đưa ra xem xét:
– Hiểu thế nào là kỹ năng giải toán?

4


– Vai trò của việc rèn luyện kỹ năng giải toán là gì?
– Dùng những phương pháp nào để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học
sinh khi dạy học chương “Tổ hợp - Xác suất ”.
– Trong dạy học chương “Tổ hợp - Xác suất” cần rèn luyện những kỹ năng
giải toán nào?

7. Giả thuyết khoa học
Nếu rèn luyện được các kỹ năng giải toán cần cho học sinh khi dạy học
chương “Tổ hợp - Xác suất” lớp 11 Trung học phổ thông thì sẽ giúp học sinh
khắc sâu kiến thức đã học, phát huy tính tích cực trong việc tiếp thu kiến thức
mới và sẽ tạo được kĩ năng giải toán nhanh và chính xác.

8. Phƣơng pháp nghiên cứu
– Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu và phân tích các tài
liệu về lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu tham khảo
liên quan đến môn học.
– Phương pháp điều tra: Điều tra khả năng rèn luyện các kỹ năng giải toán
cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp - Xác suất” lớp 11 Trung họcphổ
thông (ban cơ bản); chất lượng của học sinh trước và sau thực nghiệm.
– Phương pháp quan sát: Dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp trong tổ chuyên
môn, học hỏi kinh nghiệm của lớp thầy cô đi trước về phương pháp dạy học
môn học; phân tích kết quả học tập của học sinh nhằm tìm hiểu thực trạng về
rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong quá trình giảng dạy chương
“Tổ hợp - Xác suất” lớp 11 Trung học phổ thông (ban cơ bản) của các giáo
viên.
– Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm tại
trường Trung học phổ thông Tân Lập, Đan Phượng, Hà Nội cung cấp bài tập
và kiểm tra kết quả sau thực nghiệm.
– Phương pháp thống kê toán học: Xử lý các số liệu thu được sau khi điều

5


tra.

9. Kết quả nghiên cứu
– Trình bày cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán.
– Thực trạng về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học
chương “Tổ hợp - Xác suất” lớp 11 Trung học phổ thông (ban cơ bản).
– Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi dạy học chương
“Tổ hợp - Xác suất” lớp 11 Trung học phổ thông (ban cơ bản).
– Kết quả của luận văn có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho sinhviên
ngành Sư phạm Toán và giáo viên Toán ở trường THPT.

10. Cấ u trúc luâ ̣n văn
Ngoài phần mở đầu , phần kế t luâ ̣n và khuyế n nghi ̣, danh mu ̣c tài liê ̣u tham
khảo, luâ ̣n văn đươ ̣c trin
̀ h bày trong ba chương.
Chương 1. Cơ sở lý luâ ̣n và thực tiễn.
Chương 2. Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy
chương Tổ hợp - Xác suất lớp 11 THPT.
Chương 3. Thực nghiê ̣m sư pha ̣m.

6

học


Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kĩ năng
1.1.1. Khái niệm về kĩ năng
Kĩ năng là sự thực hiện có hiệu quả một hành động bằng cách vận dụng
những tri thức, kinh nghiệm về hoạt động để tiến hành phù hợp với những
điều kiện cho phép. Vì vậy, kĩ năng không chỉ là mặt kĩ thuật của hành động
mà còn biểu hiện năng lực của chủ thể. Chính vì thế, để một người có được kĩ

năng hành động phải có các yêu cầu sau đây:
– Có tri thức, kinh nghiệm về hành động, tức là nắm được nội dung, mục
đích, cách thức, điều kiện thực hiện v.v…của hành động;
– Tiến hành hành động theo đúng yêu cầu của nó với thời gian giới hạn
tương ứng;
– Đạt kết quả hành động trong cả điều kiện quen thuộc lẫn cả trong những
điều kiện thay đổi nhất định.
Kĩ năng học tập là sự thực hiện có hiệu quả các hoạt động học tập như hoạt
động phân tích, mô hình hóa, khái quát hóa các đối tượng nhận thức…bằng
cách vận dụng những tri thức, kinh nghiệm về hoạt động này để tiến hành phù
hợp với những điều kiện cho phép. Vì vậy, kĩ năng học tập không chỉ là mặt
kĩ thuật của hoạt động, của các thao tác mà còn biểu hiện năng lực thực tiễn,
năng lực học tập của chủ thể. Bên cạnh các hoạt động học tập, kĩ năng học tập
còn bao gồm các kĩ năng tổ chức hoạt động của chủ thể như kĩ năng lập kế
hoạch, kĩ năng sử dụng thời gian, kĩ năng nghiên cứu, kĩ năng làm việc nhóm,
kĩ năng đọc, viết, ghi chép v.v…
Trong tài liệu tâm lý giáo dục, đã nêu lên một số quan điểm về khái niệm kĩ
năng như sau:
Quan điểm 1 cho rằng: Kĩ năng là sự nắm vững nhưng có ý thức các
phương thức hoạt động.

7


Quan điểm 2 cho rằng: Kĩ năng là sự sử dụng kiến thức và kĩ xảo đã có để
lựa chọn và thực hiện các phương thức hành động phù hợp với mục đích đặt
ra.
Theo giáo trình tâm lý học đại cương thì: “Kĩ năng là năng lực sử dụng các
dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát
hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công

những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [13, tr. 149].
Có thể chỉ ra một số cách định nghĩa khác về kĩ năng, chẳng hạn: “Kĩ năng
là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào
đó vào thực tế” [22, tr. 462] hoặc “Kĩ năng là sự lựa chọn trong tình huống cụ
thể các phương thức đúng đắn của hành động để đạt được mục đích” .
Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng tựu chung
lại thì đều nói rằng kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách
thức, phương pháp,…) để giải quyết một nhiệm vụ mới.
Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến
thức vào việc giải quyết các bài tập cụ thể chính là do kiến thức không chắc
chắn, khái niệm trở nên chết cứng và không biến thành cơ sở của kĩ năng.
Muốn kiến thức là cơ sở của kĩ năng thì kiến thức đó phải phản ánh đầy đủ
thuộc tính của bản chất, được thử thách trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức
với tư cách là công cụ của hành động (kĩ năng).
1.1.2. Phân loại kĩ năng trong môn Toán
Có nhiều cách phân loại kĩ năng.Theo tâm lý giáo dục, người ta thường
chia kĩ năng học tập cơ bản thành ba nhóm:
1.1.2.1. Kĩ năng nhận thức
Kĩ năng nhận thức trong môn toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: kĩ năng
nắm một khái niệm, định lý; kĩ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc, trong đó
có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc,…

8


1.1.2.2. Kĩ năng thực hành
Trong môn toán bao gồm kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải bài
toán, kĩ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn (trong bài toán hoặc trong
đời sống), kĩ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tế.
1.1.2.3. Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá

Theo các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thuỵ,… lại xem xét kĩ năng
toán học trên 3 bình diện: kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán, kĩ
năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kĩ năng vận dụng
toán học vào đời sống.
Kĩ năng và tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhau: Kĩ năng là cơ sở để
tiến hành các thao tác tư duy và kĩ năng chỉ được hình hành thông qua quá
trình tư duy để giải quyết nhiệm vụ đặt ra.
1.1.3. Rèn luyện kĩ năng
Rèn luyện kĩ năng phán đoán: Phán đoán là hình thức tư duy trong đó
khẳng định một dấu hiệu thuộc hay không thuộc một đối tượng. Phán đoán có
tính chất hoặc đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp
đó mà thôi. Phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu: trực tiếp
và gián tiếp. Trong trường hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả nghiên
cứu của quá trình tự giác một đối tượng, còn trong trường hợp thứ hai, phán
đoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy luận.
Cũng như các khoa học khác, Toán học thực chất là một hệ thống các phán
đoán về những đối tượng của nó, với nhiệm vụ Xác định tính đúng sai của các
luận điểm.
Rèn luyện kĩ năng suy luận: Suy luận là một quá trình tư duy có quy luật,
quy tắc nhất định (gọi là quy luật, quy tắc suy luận). Muốn suy luận đúng cần
phải tuân theo quy luật, quy tắc ấy. Có hai hình thức suy luận là suy diễn và
quy nạp, suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng còn quy nạp đi từ cái riêng

9


đến cái chung.
Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau, quy nạp để
đi đến các luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngược lại suy diễn
kiểm chứng kết quả của quy nạp.

Rèn luyện kĩ năng phân tích - tổng hợp: Phân tích là thao tác tư duy để
phân chia đối tượng nhận thức thành các bộ phận, các mặt, các thành phần
khác nhau. Còn tổng hợp là thao tác tư duy để hợp nhất các bộ phận, các mặt,
các thành phần đã tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể.
Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là hai
mặt đối lập của một quá trình thống nhất. Phân tích tiến hành theo hướng tổng
hợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích. Trong học tập môn toán
phân tích - tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy quan
trọng nhất để giải quyết vấn đề.
Rèn luyện kĩ năng so sánh - tương tự: So sánh là thao tác tư duy nhằm xác
định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự
bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức. So sánh liên
quan chặt chẽ với phân tích, tổng hợp và đối với các hình thức tư duy đó có
thể ở mức độ đơn giản hơn nhưng vẫn có thể nhận thức được những yếu tố
bản chất của sự vật, hiện tượng.
Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu
hiệu rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác.
Trong cuốn sách "Toán học và những suy luận có lý", G.Polya viết: "Hai hệ là
tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan hệ xác định rõ ràng
giữa bộ phận tương ứng" [7, tr.29] .
Như vậy tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một mức
độ nào đó, trong một quan hệ nào đó.
Rèn luyện kĩ năng khái quát hoá - đặc biệt hoá: Khái quát hoá là thao tác tư
duy nhằm hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo

10


những thuộc tính, những liên hệ hay quan hệ chung nhất định. Các thuộc tính
chung đó gồm hai loại như: những thuộc tính chung giống nhau và những

thuộc tính chung bản chất.
Theo Nguyễn Bá Kim: "Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng lớn
hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các
phần tử trong tập hợp xuất phát" [14, tr.46].
Như vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt đến
cái chung, cái tổng quát hoặc từ một cái tổng quát đến cái tổng quát hơn.
Trong toán học người ta thường khái quát hoá một số yếu tố hoặc nhiều yếu
tố của khái niệm, định lý, bài toán... thành những kết quả tổng quát.
Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược của khái quát hóa.
Mối quan hệ giữa khái quát hoá và đặc biệt hoá thường được vận dụng trong
tìm tòi, giải toán. Từ một tính chất nào đó, ta muốn khái quát hóa ta thử đặc
biệt hóa. Nếu kết quả của đặc biệt hóa là đúng thì ta mới tìm cách chứng minh
dự đoán từ khái quát hóa. Nhưng nếu sai thì dừng lại.
Rèn luyện kĩ năng trừu tượng hoá: Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm
gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu không
cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho tư duy. Tất nhiên sự phân biệt
bản chất hay không bản chất ở đây chỉ mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc
mục đích hành động.

1.2. Một số bƣớc thực hiện việc rèn luyện kĩ năng giải toán
Việc hình thành kĩ năng còn tùy thuộc vào đặc điểm tâm lí của mỗi cá nhân.
Tuy nhiên có thể khái quát thành những bước sau:
Bước 1. Hướng dẫn lý thuyết. Trong quá trình hình thành các kĩ năng, tri
thức có vai trò quan trọng, nhận thức càng đầy đủ, tích cực, kĩ năng càng
được nhanh chóng hoàn thiện sớm hơn. Vì vậy thầy giáo cần cung cấp những
tri thức rõ ràng về mục đích, tính chất bài luyện tập, tri thức về hành động cần

11

nắm vững, người học cần ghi nhớ kĩ mục đích, điều kiện, quy trình của việc
thực hiện hành động.
Bước 2. Làm mẫu. Người dạy thao tác mẫu, người học quan sát nhiều lần,
giải thích các thao tác và ý nghĩa của thao tác, những quy định, điều kiện của
hành động, những điều nên tránh.
Bước 3. Người học xây dựng kế hoạch thực hiện. Căn cứ vào những tri thức
về cách tiến hành hoạt độngvà biểu tượng về những thao tác, người học vạch
cho mình kế hoạch, cách thức, thứ tự các thao tác thực hiện.
Bước 4. Thực hành và luyện tập. Người học lặp lại các thao tác như thao
tác mẫu của giáo viên và luyện tập các thao tác đó trong những tình huống
khác nhau.
Bước 5. Tự kiểm tra. Người học tiến hành so sánh, đối chiếu với các thao
tác mẫu, phát hiện ra các thiếu sót, phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm
trong hành động và sửa chữa. Trong các bước này sự đánh giá kịp thời, chính
xác chất lượng thao tác có tác dụng lớn đối với việc củng cố hành động, nếu
thao tác đúng chúng ta sẽ được củng cố, những thao tác không đúng, sai lầm
sẽ được khắc phục kịp thời.
Bước 6. Thao tác sáng tạo. Việc hình thành kĩ năng sư phạm là phải tiến
hành hoạt động sư phạm (các thao tác) trong các tình huống sư phạm khác
nhau, tức là biết vận dụng một cách linh hoạt mềm dẻo vào các hoàn cảnh,
tình huống mới. Vì vậy người thầy phải xây dựng các tình huống khác nhau
để người học giải quyết.

1.3. Liên hệ thực tiễn trong dạy học chƣơng “Tổ hợp – Xác suất” lớp
11 THPT
1.3.1. Đối với giáo viên
a. Khi dạy lý thuyết
– Giáo viên không khó khăn để tạo được không khí học tập sôi nổi, hào

12

hứng cho học sinh qua các ví dụ thực tế.
– Dạy định nghĩa, công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, xác suất thì giáo
viên phải thuyết trình nhiều hơn khi dạy các nội dung toán học khác.
– Giáo viên mất nhiều thời gian để tìm tòi và vẽ hình minh họa cho các quá
trình chọn lựa, mất thời gian viết bảng.
– Giáo viên gặp khó khăn khi tìm tài liệu để mở rộng kiến thức và các ví dụ
ứng dụng trong thực tế.
– Giáo viên chưa có hoặc có rất ít kinh nghiệm giảng dạy phần xác suất.
b. Khi dạy bài tập
– Giáo viên mất nhiều công sức chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành
một hệ thống bài tập phù hợp với nhiều trình độ nhận thức khác nhau của học
sinh.
– Thời gian để giáo viên hướng dẫn và chữa bài tập trên lớp cho học sinh
không nhiều.
1.3.2. Đối với học sinh
a. Khi học lý thuyết
– Về nội dung học: Đây là một phần Toán mới, không có liên hệ nhiều với
các dạng toán đã được học. Phần Tổ hợp có nhiều công thức mới, nhất là khái
niệm giai thừa thường gây khó hiểu cho học sinh. Phần này kiến thức cũng rất
trừu tượng. Công thức của phần Tổ hợp tương đối nhiều và khó phân biệt.
Gắn với Xác suất, phần Tổ hợp lại thành một phần của chương nên chung cả
chương thì là cả một nội dung lớn.
– Học sinh thường có hứng thú với những vấn đề giáo viên đặt ra lúc bắt
đầu giờ học. Tuy nhiên, khi học đến các định nghĩa và xây dựng các công
thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp thì học sinh lại thấy trừu tượng, khó hiểu.
Những học sinh trung bình thì chưa thể phân biệt được ngay sự khác nhau
giữa tổ hợp và chỉnh hợp trong giờ lý thuyết.

13


– Một số học sinh do chưa nắm vững được kiến thức về Tổ hợp nên khi học
sang nội dung Xác suất gặp rất nhiều khó khăn để nắm bắt kiến thức.
b. Khi học bài tập
– Học sinh ở mức trung bình chưa biết phân biệt được bài toán khi nào
dùng tổ hợp, khi nào dùng chỉnh hợp.
– Học sinh có học lực khá giỏi đôi khi vẫn lúng túng trong việc thiết kế các
công đoạn chọn lựa hoặc tìm mối quan hệ giữa các khái niệm toán học để đưa
về bài toán Tổ hợp.
– Khi mới học, thậm chí đã học qua nhưng học sinh vẫn thường không biết
diễn đạt ý hiểu của mình nên trình bày còn dài dòng, phức tạp, khó hiểu.
– Hầu như học sinh đều thấy khó rút kinh nghiệm, phương pháp làm bài và
rất dễ quên khi chuyển sang học phần kiến thức mới.
– Các bài tập phải vận dụng cả công thức riêng của Tổ hợp lẫn công thức
chung của các phần học khác như: phương trình, đẳng thức… Các bài toán
gắn với thực tiễn thường gây hiểu nhầm trong việc sử dụng các công thức.
Việc kết hợp kiến thức phần Tổ hợp và các kiến thức toán khác khiến cho
việc giải toán Tổ hợp thêm phần khó khăn.
c. Về kỹ năng giải toán
Trong phần bài tập về Tổ hợp, học sinh đã gặp khó khăn khi thiếu các kỹ
năng sau: Toán hóa thực tế, phân biệt các khái niệm, thiếu đánh giá điều kiện.
Như vậy dạng này cần áp dụng nhiều các kỹ năng khác hơn với các dạng toán
thông thường khác. Học sinh dễ nhầm lẫn dẫn đến giải thiếu, giải sai trong
quá trình làm bài.

1.4. Vận dụng tƣ duy biện chứng để phát triển năng lực phân tích,
nhận dạng bài toán cho học sinh
Trong toán học nói riêng và các môn khoa học nói chung, việc giải quyết

vấn đề đã quan trọng, nhưng nêu vấn đề cũng không kém phần quan trọng và

14


được đánh giá rất cao. Nêu được vấn đề mới, những khả năng mới nhìn nhận
những vấn đề cũ dưới một góc độ mới đòi hỏi phải có trí tưởng tượng và nó
đánh dấu bước tiến bộ thực sự của khoa học". Sáng tạo chính là nêu vấn đề.
Với nhận thức như trên, trong dạy học kĩ năng phải luyện tập cho học sinh
thói quen và khả năng biến đổi các sự vật, hiện tượng, quá trình. Đồng thời,
đối với học sinh phổ thông, sự sáng tạo đối với họ không nhất thiết đòi hỏi
phải đưa ra các mới đối với nhân loại. Nếu họ đương đầu với những vấn đề
mới đối với họ và họ tự mình tìm tòi độc lập những vấn đề đó để thu được cái
mới mà họ chưa từng biết, hoặc thu được các kết quả bằng những thủ pháp
mới, các thao tác mới, các công cụ mới, thì đó chính là sự sáng tạo.
Theo sự công nhận rộng rãi của nhiều nhà khoa học thì quá trình rèn luyện kĩ
năng trải qua bốn giai đoạn:
- Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn chủ thể hoạt động tìm kiếm cách giải
quyết vấn đề, thu thập tài liệu, tìm hiểu các thông tin liên quan.
- Giai đoạn ấp ủ: Giai đoạn này bắt đầu khi công việc giải quyết các vấn đề
một cách có ý thức bị ngừng lại, chỉ còn các hoạt động của tiềm thức, các hoạt
động bổ sung cho vấn đề được quan tâm.
- Giai đoạn bừng sáng: Giai đoạn ấp ủ kéo dài cho đến khi sự "bừng sáng"
trực giác, một bước nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức, xuất hiện đột
ngột và kéo theo là sự sáng tạo. Đây là giai đoạn quyết định trong quá trình
tìm kiếm lời giải.
- Giai đoạn kiểm chứng: Là giai đoạn chủ thể kiểm tra trực giác, triển khai
các luận chứng lôgic để có thể chứng tỏ tính đúng đắn của cách thức giải
quyết vấn đề, khi đó sự sáng tạo mới được khẳng định.
Trong quá trình sáng tạo toán học, thường xuất hiện những trạng thái hay

tình huống một tư tưởng nào đó đột nhiên "bừng sáng" trong đầu óc con
người hoặc đặt con người trong trạng thái "hứng khởi cao độ”, khi đó các tư
tưởng hình như cứ theo nhau kéo đến một cách dồn dập, những "ý hay", theo

15


cách nói của G.Polya, sẽ giúp họ đi đến những kết quả mới.
Tuỳ vào mức độ tư duy, người ta chia nó thành: tư duy tích cực, tư duy độc
lập, tư duy sáng tạo, mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền đề tạo nên mức độ tư
duy đi sau. Đối với chủ thể nhận thức, tư duy tích cực đặc trưng bởi sự khát
vọng, sự cố gắng trí tuệ và nghị lực còn tư duy độc lập thể hiện ở khả năng tự
phát hiện và giải quyết vấn đề, tự kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được.
Không thể có tư duy sáng tạo nếu không có tư duy tích cực và tư duy độc lập.
Mặt khác, một số tác giả cho rằng: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê
phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về
những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo".
Nhà tâm lý học V.A Krutexcki lấy ví dụ cho ba loại hình tư duy:
– Mức tư duy tích cực: Học sinh chăm chú lắng nghe, cố gắng hiểu, tham
gia nhiệt tình vào bài giảng.
– Mức tư duy độc lập: Học sinh tự đọc, tự chứng minh các vấn đề được
thầy nêu ra, có thể là nghiên cứu gợi ý hoặc thậm chí đáp án, miễn là hoạt
động độc lập theo dụng ý trước của thầy (định hướng).
– Mức tư duy sáng tạo: Học sinh tự khám phá ra định lý, tự chứng minh
định lý đó.
V.A. Krutecxki đã nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của học sinh. Năng
lực ở đây được hiểu theo hai nghĩa, hai mức độ:
– Một là, theo nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc
học toán, đối với việc nắm giáo trình Toán học ở trường phổ thông, nắm một
cách nhanh và tốt các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng.

– Hai là, theo nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực đối với
hoạt động sáng tạo toán học tạo ra những kết quả mới, khách quan, có một giá
trị lớn đối với loài người.
Tác giả đã sử dụng một hệ thống bài toán thực nghiệm được chọn lọc

16


một cách công phu để nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của học sinh. Từ
các kết quả nghiên cứu đó, tác giả kết luận: Tính linh hoạt của quá trình tư
duy khi giải toán thể hiện trong việc dễ dàng và nhanh chóng chuyển từ một
thao tác trí tuệ này sang một thao tác trí tuệ khác, trong tính đa dạng của các
cách xử lý khi giải toán, trong việc thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những
phương pháp dập khuôn.
Krutecxki cũng nghiên cứu sâu về tính thuận nghịch của quá trình tư duy
trong lập luận toán học (khả năng chuyển nhanh chóng và dễ dàng từ tư duy
thuận sang tư duy đảo). Tác giả đã nêu lên sơ đồ khái quát của cấu trúc năng
lực toán học ở lứa tuổi học sinh bao gồm các mặt:
– Thu nhận thông tin toán học
– Chế biến thông tin toán học
– Lưu trữ thông tin toán học
– Thành phần tổng hợp khái quát.
Trong đó, tính linh hoạt của tư duy trong hoạt động toán học, năng lực
nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá trình tư duy, năng lực
nhanh chóng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy đảo là những thành phần
quan trọng về mặt chế biến thông tin toán học. Đặc biệt năng lực khái quát
hóa tài liệu toán học được coi là thành phần cơ bản của năng lực toán học.
Ở nước ta khi nói đến những công trình nghiên cứu về dạy học kĩ năng giải
toán cho học sinh trong những năm vừa qua, trước hết phải kể đến tác giả
Nguyễn Cảnh Toàn, Hoàng Chúng, Phạm Gia Đức, Phạm Văn Hoàn, Trần

Thúc Trình, Phạm Gia Cốc, Tôn Thân, Trần Luận,…
Trong [3], tác giả Hoàng Chúng đã nghiên cứu về vấn đề rèn luyện cho học
sinh các phương pháp suy nghĩ cơ bản trong rèn luyện kĩ năng toán học, cụ
thể là phương pháp đặc biệt hóa, tổng quát hóa và tương tự. Trong tài liệu
này, tác giả đã phân tích vấn đề trên một hệ thống ví dụ cụ thể kèm theo việc
đề xuất một số lượng bài tập thực hành hết sức phong phú. Đặc biệt là, để

17


giúp học sinh rèn luyện phương pháp tư duy, tác giả đã vạch ra và phân tích kĩ
qui trình suy nghĩ để tìm lời giải hoặc sáng tạo các bài toán mới cũng như
việc phân tích về những khó khăn thường gặp khi giải toán và phương hướng
khắc phục những khó khăn đó. Đó là việc mò mẫm và dự đoán kết quả, tìm ra
các phương pháp giải bài toán để mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa kiến thức.
Theo tác giả, để rèn luyện khả năng sáng tạo toán học, ngoài lòng say mê học
tập cần rèn luyện khả năng phân tích vấn đề một cách toàn diện ở nhiều khía
cạnh khác nhau biểu hiện ở hai mặt quan trọng dưới đây:
– Khả năng phân tích khái niệm, bài toán, kết quả đã biết dưới nhiều khía
cạnh khác nhau từ đó tổng quát hoá hoặc xét các vấn đề tương tự theo nhiều
khía cạnh khác nhau.
– Khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán, khai thác các lời
giải đó để giải các bài toán tương tự hay tổng quát hơn hoặc là đề xuất các bài
toán mới.
Trong [19], tác giả Nguyễn Cảnh Toàn đã đề ra mục đích chủ yếu của cuốn
sách là rèn luyện tư duy sáng tạo nhất là tư duy biện chứng, đặt trọng tâm vào
việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề, rèn luyện tư duy biện chứng thông
qua lao động tìm tòi cái mới. Tác giả khẳng định: "Muốn sáng tạo, muốn tìm
ra cái mới thì trước hết phải có "vấn đề" có thể do tự mình phát hiện, có thể
do người khác đề xuất cho mình giải quyết. Nhưng muốn trẻ thành một người

có khả năng chủ động độc lập nghiên cứu thì phải lo bồi dưỡng năng lực, phát
hiện vấn đề" [19, tr.166].
Để đi đến cái mới trong toán học, phải kết hợp được tư duy logic và tư duy
biện chứng, cả tư duy hình tượng và thói quen tìm tòi thực nghiệm. Trong
việc phát hiện vấn đề và định hướng cho cách giải quyết vấn đề thì tư duy
biện chứng đóng vai trò chủ đạo. Khi hướng giải quyết vấn đề đã có thì tư duy
lôgic giữ vai trò chính. Muốn sáng tạo toán học, rõ ràng là phải giỏi vừa cả về
phân tích, vừa cả tổng hợp, phân tích và tổng hợp đan xen vào nhau, nối tiếp

18