Đề luyện thi vào lớp 10 môn toán số 2

Tuyn chn luyn vo 10

Đề S 2





x x 1 x x 1 2 x 2 x 1


x x x x :
x 1



Bài 1. Cho biểu thức: P =




a) Rút gọn P
b) Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên.
Bài 2. Cho phng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m 6 = 0 (*)
a) Tìm m để phng trình (*) có 2 nghiệm âm.
b) Tìm m để phng trình (*) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn

x1 x2
3

3

=50

Bài 3. Cho phng trình: ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dng phân biệt x1, x2 .
Chứng minh:
a) Phng trình ct2 + bt + a =0 cũng có hai nghiệm dng phân biệt t1 và t2.
b) Chứng minh: x1 + x2 + t1 + t2 4
Bài 4. Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp ng tròn tâm O . H là trực
tâm của tam giác. D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.
a) Xác định vị trí của im D để tứ giác BHCD là hình bình hành.
b) Gọi P và Q lần lt là các điểm đối xứng của điểm D qua các ng thẳng
AB và AC . Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng.
c) Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất.
Bài 5. Cho a, b là các số thực dng. Chứng minh rằng:

a b

2



ab
2a b 2b a
2

/C Lp nhúm 10-11-12 ca thy Phm Quc Vng ti H Ni: C s 1: Cu Giy (HSP)- H Ni. C s 2: Gia
Lõm (ng C Bi)- H Ni. C s 3: Ph T Quang Bu (H Bỏch Khoa)- H Ni. T: 0985.368.767

Page 1

“Tuyển chọn đề luyện vào 10”

§¸p ¸n §Ò SỐ 2

Bµi 1.
§K: x  0; x  1
a) Rót gän: P
b) P =

2x x

1

x x

1

x 1
 1
x 1

:

2

x
x

1

2

( x

1

1)( x

1)

1)2

( x

x

1

x

1

2
x 1

§Ó P nguyªn th× 2 phải chia hết cho √

hay √

là ước của 2.

Từ đó ta có:
x

1

x

1

x

1

x

1

1

x
1

2

2
x

x

2

x
0

3
x

4
x

x

0
9

1 (Loai)

VËy víi x= 0;4;9 th× P cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 2.
a) §Ó phương tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×:

  2m  12  4 m 2  m  6  0
  25  0


2
 (m  2)(m  3)  0  m  3
 x1 x 2  m  m  6  0


 x  x  2m  1  0
1
2
 1
m  
2






b) Giải phương tr×nh ta được: [
Khi đó: x13

x2 3

50

m  23  (m  3) 3

 50

Đ/C Lớp nhóm “10-11-12” của thầy Phạm Quốc Vượng tại Hà Nội: Cơ sở 1: Cầu Giấy (ĐHSP)- Hà Nội. Cơ sở 2: Gia
Lâm (Đường Cổ Bi)- Hà Nội. Cơ sở 3: Phố Tạ Quang Bửu (ĐH Bách Khoa)- Hà Nội. ĐT: 0985.368.767

Page 2


“Tuyển chọn đề luyện vào 10”

 5(3m 2  3m  7)  50  m 2  m  1  0

1 5
m1 

2

m   1  5
 2
2

Bµi 3.
a)
+) V× x1 lµ nghiÖm cña phương tr×nh: ax2 + bx + c = 0 nªn ax12 + bx1 + c =0 (*)
2

V× x1> 0 nên chia cả 2 vế của (*) cho
Chøng tá

1
x1

ta được:

1
1
c.  1   b.  a  0.
x1
x 

lµ mét nghiÖm dương cña phương tr×nh: ct2 + bt + a = 0; t1 =

1
x1

(1)

+) V× x2 lµ nghiÖm cña phương tr×nh: ax2 + bx + c = 0 => ax22 + bx2 + c =0.
2

V× x2> 0 nªn c.

1
1
   b.   a  0
 x2 
 x2 

tr×nh ct2 + bt + a = 0 ; t2 =

1
x2

Chøng tá

1
x2

lµ mét nghiÖm dương cña phương

(2)

Từ (1) và (2) ta có nÕu phương tr×nh: ax2 + bx + c =0 cã hai nghiÖm dương ph©n
biÖt x1; x2 th× phương tr×nh: ct2 + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm dương ph©n biÖt
t1 =

1
x1

; t2 =

1
x2

b) Do x1; x1; t1; t2 ®Òu lµ nh÷ng nghiÖm dương nªn ta có:
+) t1+ x1 =
+) t2 + x2 =

1
x1
1
x2

+ x1  2
+ x2

2

Cộng vế với vế ta được: x1 + x2 + t1 + t2

4

Bµi 4.
Đ/C Lớp nhóm “10-11-12” của thầy Phạm Quốc Vượng tại Hà Nội: Cơ sở 1: Cầu Giấy (ĐHSP)- Hà Nội. Cơ sở 2: Gia
Lâm (Đường Cổ Bi)- Hà Nội. Cơ sở 3: Phố Tạ Quang Bửu (ĐH Bách Khoa)- Hà Nội. ĐT: 0985.368.767

Page 3


Tuyn chn luyn vo 10

a). Giả sử đã tìm c điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD là hình bình
hành . Khi đó: BD//HC; CD//HB vì H là trực tâm tam giácAABC nên
CH

và BH AC => BD AB và CD AC .

AB

ABD

Do đó:

0

= 90 và

ACD

Q

0

= 90 .
H

Vậy AD là ng kính của ng tròn tâm O
Ngc lại nếu D là đầu ng kính AD

O

P
C

B

của ng tròn tâm O thì
D

tứ giác BHCD là hình bình hành.
b). Vì P đối xứng với D qua AB nên
ADB

M:

Do đó:

=

ACB

AHB

ACB

+

= 1800 =>

APB

Tứ giác APBH nội tiếp c ng tròn nên
Mà

PAB

=

DAB

do đó:

PHB

Chứng minh tng tự ta có:
Vậy

PHQ

ADB

=

= ACB

APB

Mặt khác:

APB

=

PHB

+

=

CHQ

BHC

+

AHB

PAB

=

= 1800

PHB

DAB

=

DAC

+ CHQ =

BAC

+

BHC

= 1800

Ba điểm P; H; Q thẳng hàng
c). Ta thấy



APQ là tam giác cân đỉnh A

Có AP = AQ = AD và

PAQ

=

2BAC

không đổi nên cạnh đáy PQ

đạt giá trị lớn nhất AP và AQ là lớn nhất hay AD là lớn nhất
D là đầu ng kính kẻ từ A của ng tròn tâm O
Bài 5.
2

2

1
1
Ta cú: a 0; b 0


a a

2



2

a,b>0

1
1
0; b b 0
4
4

/C Lp nhúm 10-11-12 ca thy Phm Quc Vng ti H Ni: C s 1: Cu Giy (HSP)- H Ni. C s 2: Gia
Lõm (ng C Bi)- H Ni. C s 3: Ph T Quang Bu (H Bỏch Khoa)- H Ni. T: 0985.368.767

Page 4


“Tuyển chọn đề luyện vào 10”

1
1
 (a  a  )  (b  b  )  0 
4
4
 ab

1
 a b 0
2

a,b>0

(1)

Mặt khác: a  b  2 ab  0

(2)

Nhân vế với vế (1) và (2) ta được:  a  b   a  b   1   2


  a  b 
2

 a  b   2a
2

2

ab



a b



b  2b a

Đ/C Lớp nhóm “10-11-12” của thầy Phạm Quốc Vượng tại Hà Nội: Cơ sở 1: Cầu Giấy (ĐHSP)- Hà Nội. Cơ sở 2: Gia
Lâm (Đường Cổ Bi)- Hà Nội. Cơ sở 3: Phố Tạ Quang Bửu (ĐH Bách Khoa)- Hà Nội. ĐT: 0985.368.767

Page 5