Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao Phạm Minh Tuấn File word có lời giải chi tiết

Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Bài 1: Cho số phức z thoả mãn z = 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
2
biểu thức P = z + 1 + z − z + 1 . Tính giá trị của M.n

13 3
4
 Cách 1:
A.

B.

39
4

C. 3 3

D.

13
4

Re(z) là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z = 1 ⇔ z.z = 1
 Đặt t = z + 1 , ta có: 0 = z − 1 ≤ z + 1 ≤ z + 1 = 2 ⇒ t ∈ [ 0; 2]

(

)

 t 2 = ( 1 + z ) 1 + z = 1 + z.z + z + z = 2 + 2 Re( z ) ⇒ Re( z ) =

t2 − 2
2

 z 2 − z + 1 = z 2 − z + z. z = z z − 1 + z = t 2 − 3
2
 Xét hàm số: f (t ) = t + t − 3 , t ∈ [ 0; 2] . Xét 2 TH:

⇒ Maxf (t ) =

13
; Minf (t ) = 3 ⇒ M .n = 13 3
4
4

 Cách 2:
 z = r (cos x + i s inx) = a + bi

 z.z = z 2 = 1
 Do z = 1 ⇒ 
 r = a 2 + b 2 = 1
 P = 2 + 2 cos x + 2 cos x − 1 , dặt t = cos x ∈ [ −1;1] ⇒ f (t ) = 2 + 2t + 2t − 1
 1
 TH1: t ∈  −1; 
 2

max f (t ) = f (1) = 3
1

f '(t ) =
+2>0⇒

1
2 + 2t
min f (t ) = f  2 ÷ = 3
 

1 
 TH2: t ∈  ;1
2 
1
7
 7  13
f '(t ) =
− 2 = 0 ⇔ t = − ⇒ max f (t ) = f  − ÷ =
8
2 + 2t
 8 4
13
13 3
⇒ Maxf (t ) = ;
Minf (t ) = 3 ⇒ M .n =
4
4
Bài 2: Cho số phức z thoả mãn z − 3 − 4i = 5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỉ nhất của
2

2

biểu thức P = z + 2 − z − i . Tính module số phức w = M + mi.
A. w = 2 314
 Cách 1:

B. w = 1258

 P = 4x + 2 y + 3 ⇒ y =

C. w = 3 137

D. w = 2 309

P − 4x − 3
2
2

P − 4x − 3
2
2
2

 z − 3 − 4i = 5 ⇔ ( x − 3 ) + ( y − 4 ) = 5 ⇔ ( x − 3 ) + 
− 4 ÷ − 5 = f ( x)
2


 f '( x) = 8( x − 3) − 8( P − 4 x − 11) = 0 ⇔ x = 0, 2 P − 1, 6 ⇒ y = 0,1P + 1, 7

1


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

 P = 33
2
2
 Thay vào f ( x) ta được: ( 0, 2 P − 1, 6 − 3) + (0,1P + 1,7 − 4) − 5 = 0 ⇔ 
 P = 13
 Cách 2:
 z − 3 − 4i = 5 ⇔ ( x − 3) + ( y − 4 ) = 5 : (C )
2

2

 ( ∆ ) : 4x + 2 y + 3 − P = 0
 Tìm P sao cho dường thẳng ∆ và đường tròn (C) có điểm chung
⇔ d ( I ; ∆ ) ≤ R ⇔ 23 − P ≤ 10 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33
 Vậy MaxP = 33; MinP = 13
 w = 33 + 13i ⇒ w = 1258

Soạn tin nhắn
“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn
Toán”
Rồi gửi đến số điện thoại

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành
liên lạc lại để hỗ trợ và hướng dẫn
GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS

Bài 3: Cho số phức z thoả mãn z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z + 1 + 2 z − 1
A. Pmax = 2 5
B. Pmax = 2 10
 Giải: Theo BĐT Bunhiacopxki:

(

C. Pmax = 3 5
2

 P = z + 1 + 2 z − 1 ≤ (12 + 2 2 ) z + 1 + z − 1

2

D. Pmax = 3 2

) = 10 ( z + 1) = 2
2

5

Bài 4: Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ R) thoả mãn z − 2 − 4i = z − 2i và m = min z . Tính module số
phức w = m − ( x + y )i.
A. w = 2 3

B. w = 3 2

C. w = 5

D. w = 2 6

 Cách 1:
 z − 2 − 4i = z − 2i ⇔ x + y = 4

( x + y)

2

42
=2 2
2
2
x + y = 4
x = 2
⇔
⇒ w = 2 2 − 4i ⇒ w = 2 6
 min z = 2 2 , Dấu “=” xảy ra khi 
y = 2
x = y
( x + y )2
Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x 2 + y 2 ≥
2
Dấu “=” xảy ra khi x = y
 Cách 2:
 z − 2 − 4i = z − 2i ⇔ y = 4 − x

 z = x +y ≥
2

2

=

2

Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
 z = x 2 + y 2 = x 2 + (4 − x )2 = 2( x − 2) 2 + 8 ≥ 2 2
x + y = 4
x = 2
⇔
⇒ w = 2 2 − 4i ⇒ w = 2 6
 min z = 2 2 . Dấu “=” xảy ra khi 
y = 2
x = 2
Bài 5: Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ R) thoả mãn z + i + 1 = z − 2i . Tìm môđun nhỏ nhất của z.
B. min z = 1

A. min z = 2

D. min z =

C. min z = 0

1
2

 Cách 1:
 z + i + 1 = z − 2i ⇔ x − y = 1

( x − y)2 1
=
2
2

1
1
 z = x2 + y2 ≥
=
2
2
 x2 + y2 ≥

( x − y )2
Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x + y ≥
2
 Cách 2:
2

2

 z + i + 1 = z − 2i ⇔ y = x − 1
2

1
1
1
1
 z = x 2 + y 2 = x 2 + ( x − 1) 2 = 2  x − ÷ + ≥
=
2 2
2
2

1

 Vậy min z =
2

Soạn tin nhắn
“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn
Toán”
Rồi gửi đến số điện thoại

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành
liên lạc lại để hỗ trợ và hướng dẫn
GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS

Bài 6 : Cho số phức z thoả mãn z = 1 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
P = z 3 + 3 z + z − z + z . Tính M + m
A.

7
4

B.

13
4

C.

3
4

D.

15
4
Sáng tác: Phạm Minh Tuấn

 Cách 1:
2

 Ta có: z = 1 ⇔ z.z = 1
3


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
 Đặt t = z + z ∈ [ 0; 2] ⇒ t 2 = ( z + z )( z + z ) = z 2 + 2 z.z + z = 2 + z 2 + z
2

2

2

 z 3 + 3z + z = z z 2 + 3 + z = t 2 + 1 = t 2 + 1
2

1
3 3
 P = t 2 − t + 1 ≥  t − ÷ + ≥
 2 4 4
3
 Vậy min P = ; max P = 3 khi t = 2
4

15
 M +n=
4
 Cách 2: Cách này của bạn Trịnh Văn Thoại



P = z + 3z + z − z + z =
3

z 3 + 3z + z
z

(

2

− z + z = z2 + 3 + z − z + z = z + z

)

2

+1 − z + z

3
. Đến đây các bạn tự tìm max nhé
4
Bài 7: Cho các số phức a, b, c, z thoả az 2 + bz + c = 0(a ≠ 0) . Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của
2

 P = z + z + 1− z + z ≥

phương trình bậc hai đã cho. Tính giá trị của biểu thức P = z1 + z2 + z1 − z2 − 2 ( z1 − z2
2

c
a

A. P = 2
B. P =

2

)

2

c
a
1 c
D. P = .
2 a

C. P = 4

c
a

Soạn tin nhắn

“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn
Toán”
Rồi gửi đến số điện thoại

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành
liên lạc lại để hỗ trợ và hướng dẫn
GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS
C.
 Giải:

(

)

(

)

 Ta có: z1 + z2 + z1 − z2 = ( z1 + z2 ) z1 + z2 + ( z1 − z2 ) z1 − z 2 = 2 z1 + 2 z 2
2

2

2

2

 Khi đó: P = 4 z1 z2
c
c

⇒ P = 4 z1 z 2 = 4
a
a
Bài 8: Cho 3 số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 + z2 + z3 = 0 và z1 = z2 = z3 = 1 . Mệnh đề nào dưới đây
 Ta lại có: z1 z2 =

đúng?
2
2
2
A. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 là số thuần ảo
4


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
2

2

2

2

2

2

2

2

2

B. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 là số nguyên tố
C. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 là số thực âm
D. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 là số 1
 Chứng minh công thức:


2

2

2

2

2

2

z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3

2

2

 Ta có: z = z.z và z1 + z2 + ... + z n = z1 + z2 + ... + zn . Áp dụng tính chất này ta có vế trái :

(

)

(

)

(

= ( z1 + z2 ) z1 + z2 + ( z2 + z3 ) z2 + z3 + ( z3 + z1 ) z3 + z1

)

= z1 z1 + z2 z2 + z3 z3 + z1 z1 + z2 z2 + z3 z3 + z1 z2 + z2 z1 + z2 z3 + z3 z2 + z3 z1 + z1 z3
2

2

2

(

)

(

)

(

= z1 + z2 + z3 + z1 z1 + z2 + z3 + z2 z1 + z2 + z3 + z3 z1 + z2 + z3

(

= z1 + z2 + z3 + ( z1 + z2 + z3 ) z1 + z2 + z3
2

2

2

2

2

2

= z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3

)

)

2

Soạn tin nhắn
“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn
Toán”
Rồi gửi đến số điện thoại

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành
liên lạc lại để hỗ trợ và hướng dẫn
GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS
2

2

2

 Áp dụng công thức đã chứng minh suy ra: z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = 3 là số nguyên tố
z z
Bài 9: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn hai điều kiện z = 1 và  +  = 1 ?
z z
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
 Giải:
2

 Ta có: z = 1 = z.z
2
 Đặt z = cos x + i sin x, x ∈ [ 0; 2π ] ⇒ z = cos 2 x + i sin 2 x

1

2
cos 2 x = 2
z
z2 + z

= 1 ⇔ 2 cos 2 x = 1 ⇔ 
 =1⇔
z
z. z
cos 2 x = − 1

2
 Giải 2 phương trình lượng giác trên với x ∈ [ 0; 2π ] nên ta chọn được các giá trị
z
  +
z

 π 5π 7π 11π π 2π 4π 5π 
x= ; ;
;
; ;
;
; 
6 6 6 6 3 3 3 3 
 Vậy có 8 số phức thoả 2 điều kiện đề cho
5


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Bài 19: Cho số phức z thoả mãn z − 2 − 3i = 1 . Gọi M = max z + 1 + i , m = min z + 1 + i . Tính giá trị
2
2
của biểu thức ( M + n ) .

A. M 2 + m2 = 28

B. M 2 + m2 = 24
 Giải:

C. M 2 + m2 = 26
D. M 2 + m 2 = 20

 z − 2 − 3i = 1 ⇔ ( x − 2 ) + ( y − 3) = 1 (1)
2

2

2
 Đặt P = z + 1 + i ⇒ ( x + 1) + ( y − 1) = P
2

 Lấy (1)-(2) ta được: y =

2

(2) với P > 0

P 2 + 10 − 6 x
. Thay vào (1):
4
2

 P 2 + 10 − 6 x

 ( x − 2) + 
− 3 ÷ = 1 ⇔ 52 x 2 − ( 40 + 12 P 2 ) x + ( P 4 − 4 P 2 + 52 ) = 0

4


 Để PT (*) có nghiệm thì:
2

(*)

∆ = ( 40 + 12 P 2 ) − 4.52. ( P 4 − 4 P 2 + 52 ) ≥ 0 ⇔ 14 − 2 13 ≤ P ≤ 14 + 2 13
2

 Vậy M = 14 + 2 13 , m = 14 − 2 13 ⇒ M 2 + m 2 = 28
1
1
3
Bài 20: Cho số phức z ∈£ * thoả mãn z + 3 ≤ 2 và M = max z + . Khẳng định nào sau đây
z
z
đúng?
C. 2 < M <

A. −1 < M < 2
B. 1 < M <

5
2

7
2

D. M 3 + M 2 + M < 3

 Giải:
3

3

1
1
1
1
1
1
  z + ÷ = z 3 + 3 + 3  z + ÷ ⇔ z 3 + 3 =  z + ÷ − 3  z + ÷
z
z
z
z 
z
z



3

1
1
1



⇔ z + 3 =  z + ÷ − 3 z + ÷ ⇔
z
z
z


3

3

3

1
1


 z + ÷ − 3 z + ÷ ≤ 2
z
z


3

1
1
1
1


−3 z +

 Mặc khác:  z + ÷ − 3  z + ÷ ≥ z +
z
z
z
z


3

1
1
1
 Suy ra: z +
− 3 z + ≤ 2 , đặt t = z + ≥ 0 , ta được:
z
z
z
1
2
 t 3 − 3t − 2 ≤ 0 ⇔ ( t − 2 ) ( t + 1) ≤ 0 ⇒ t ≤ 2 ⇒ z + ≤ 2 ⇒ M = 2
z
 CẮT NỘI DUNG VÌ BẢO MẬT
2 2
Bài 31: Cho 3 số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 + z2 + z3 = 0 và z1 = z2 = z3 =
. Mệnh đề nào dưới
3

đây đúng?
2

2

2

A. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 =

2 2
3
6


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
2

2

2

2

2

2

2

2

2

8
3
=2 2

B. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 =
C. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1

D. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = 1
8
3
Bài 32: Gọi S là tập hợp các số phức z thoả mãn z − i ≥ 3 và z − 2 − 2i ≤ 5 . Kí hiệu z1, z2 là hai số
2

2

2

2

2

2

2

 Giải: z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3 =

phức thuộc S và là những số phức có môđun lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức
P = z2 + 2 z1 .

A. P = 2 6
B. P = 3 2
 Giải:
 3 ≤ z − i ≤ z +1 ⇒ z ≥ 2

C. P = 33
D. P = 8

 x 2 + ( y − 1) 2 = 9
⇔ z1 = −2i
o Dấu “=” xảy ra khi:  2
2
 x + y = 4
 z − 2 2 ≤ z − 2 − 2i ≤ 5 ⇒ z ≤ 5 + 2 2
( x − 2 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 25
4+5 2  4+5 2 
⇔ z2 =
+ 
o Dấu “=” xảy ra khi: 
÷i
2
2
2
2 ÷


 x + y = 33 + 20 2
 P=

4+5 2  4+5 2 

+ 
÷
÷i − 4i = 33
2
2



Bài 33: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thoả mãn z + 1 + i = 2 z + z − 5 − 3i sao cho biểu
thức P = z − 2 − 2i đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm phần thực của số phức z đó.
8+ 7
2
8+ 2
B. ℜ( z ) =
2
 Giải:

4+ 6
2
12 + 2
D. ℜ( z ) =
2

A. ℜ( z ) =

C. ℜ( z ) =

 z + 1 + i = 2 z + z − 5 − 3i ⇔ y = ( x − 2 )
 P=

( x − 2)

2

+ ( y − 2) =
2

2

2

3 7
7
2

y + ( y − 2) =  y − ÷ + ≥
2 4
4


 y = 3
4+ 6 3
+ i
 Dấu “=” xảy ra khi: 
2 ⇔ z =
2
2
 y = ( x − 2 )

Soạn tin nhắn

“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn
Toán”
7


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

Rồi gửi đến số điện thoại

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành
liên lạc lại để hỗ trợ và hướng dẫn
GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS
Bài 51: Cho số phức z thoả mãn z ≥ 2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P =
A.

z +i
. Tính giá trị của biểu thức M.n:
z

1
4

C. 1

3
4
2
Bài 52: Chi số phức z thoả mãn z + 4 = 2 z . Gọi M = max z và m = min z , tính môđun của số

B. 2

phức ω = M + mi .
A. ω = 2 3

D.

C. ω = 14

6
2
D. ω =
3
3
2
2
Bài 53: Cho số phức: z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) là số phức thoả mãn hai điều kiện z + 2 + z − 2 = 26 và
B. ω =

3
3
−
i đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức (x.y)
2
2
9
9
A. xy =
C. xy =
4

2
16
17
B. xy =
D. xy =
9
2
1
15
Bài 54:Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 z2 z3 = −
i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4
4
biểu thức P = z −

P=

1
1
1
1
+
+
+
.
z1 z2
z3
z1 + z2 + z3

A. Pmin = 6

B. Pmin = 4

C. Pmin = 5
D. Pmin = 3

Bài 55: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn z1 = z2 = 1 . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = z1 + 1 + z2 + 1 + z1 z2 + 1 . Khẳng định nào sau đây sai?
7
4
11
B. 1 < m <
5

A.

7
2
1
5
D. < m <
4
2

C. 3 < m <

8


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

Bài 56: Cho số phức z = a + bi ≠ 0 sao cho z không phải là số thực và ω =

z

z
là số thực. Tính
1 + z3

2

1+ z

2

.

1
3a + 1
2
B.
a+2
 Giải:

1
3a + 2
1
D.
2a + 1

A.

C.

b = 0( Loai )
z
z
2
−
= 0 ⇔ z − z 1 − z z + z  = 0 ⇔  2 1
 Theo đề:
3
3


z =
1+ z 1+ z
2a

1
2
z
1
= 2a =

2
2a + 1 2a + 1
1+ z
2a
CẮT NỘI DUNG VÌ BẢO MẬT
Bài 60: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn điều kiện z1 = z2 = 2017 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(

2

)

(

)

2

 z1 + z2   z1 − z2 
P=
÷ +
÷
2
2
 2017 + z1 z2   2017 − z1 z2 
1
2
A.
C.
2017
2017 2
2
1
B.
D.

2017
2017 2
Đặt z1 = 2017 ( cos 2 x + i sin 2 x ) và z2 = 2017 ( cos 2 y + i sin 2 y )

z1 + z2
cos 2 x + i sin 2 x + cos 2 y + i sin 2 y
cos( x − y )
=
Ta có: 2017 2 + z z =
2017 ( 1 + cos ( 2 x + 2 y ) + i sin ( 2 x + 2 y ) )  2017 cos( x + y)
1 2
z1 − z2
sin( y − x)
=
Tương tự:
2
2017 + z1 z2 2017 sin( y + x)

cos 2 ( x − y )
sin 2 ( y − x)
+
Suy ra P =
2017 2 cos 2 ( x + y ) 2017 2 sin 2 ( y + x)
cos 2 ( x + y ) ≤ 1
1
1
cos 2 ( x − y ) + sin 2 ( x − y )  =
Vì  2
nên P ≥
2 

2017
2017 2
sin ( x + y ) ≤ 1
Bài 61: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn điều kiện z1 = z 2 = z3 = 1 và
Khẳng định nào sau đây đúng?.
A. z1 + z2 + z3 = 3
1
B. z1 + z2 + z3 =
3

z2
z12
z2
+ 2 + 3 +1 = 0 .
z2 z3 z3 z1 z1 z2

C. z1 + z2 + z3 = 2
D. z1 + z2 + z3 = 4
9


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Bài 62: Cho số phức z thoả mãn điều kiện z = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 1008 1 + z + 1 + z 2 + ... + 1 + z 2016 + 1 + z 2017

A. 2017
C. 2018
B. 1008
D. 2016
Bài 63: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn điều kiện z1 = z2 = z3 = 1, z1 + z 2 + z3 ≠ 0 và

z12 + z22 + z32 = 0 . Khẳng định nào sau đây sai?
2017
2017
2017
A. z1 + z2 + z1 = 0

2017
2017
2017
C. z1 + z2 + z1 = 1

2017
2017
2017
B. z1 + z2 + z1 = 3

2017
2017
2017
D. z1 + z2 + z1 = 4

1+ z + z2
Bài 64: Cho số phức z ∈ ℂ ∖ℝ và ω =
là số thực. Khẳng định nào sau đây đúng?.
1− z + z2
A. 0 < z < 2
C. 1 < z < 3
B. 2 < z < 4

D. 3 < z < 5

Bài 65: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn điều kiện z1 + z2 + z3 = 0 và z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = 0 . Tính giá
trị của biểu thức P =
A. 3
1
B.
2

z1 z2 + z2 z3 + z3 z1
z22

C. 2
1
D.
3

10