PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết + Bài tập ứng dụng) File word

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa.
Cho hai hàm số y = f ( x) và y = g( x) có tập xác định lần lượt là D f và D g . Đặt
D = D f Ç Dg . Mệnh đề chứa biến " f ( x) = g( x) " được gọi là phương trình một
ẩn ; x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình.
x0 Î D gọi là một nghiệm của phương trình f ( x) = g( x) nếu " f ( x0) = g( x0 ) " là
mệnh đề đúng.
Chú ý: Các nghiệm của phương trình f ( x) = g( x) là các hoành độ giao điểm
đồ thị hai hàm số y = f ( x) và y = g( x) .
2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả.
a) Phương trình tương đương: Hai phương trình f1 ( x) = g1 ( x) và
f2 ( x) = g2 ( x) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Kí hiệu
là f1 ( x) = g1 ( x) Û f2 ( x) = g2 ( x) .
• Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là
phép biến đổi tương đương.
b) Phương trình hệ quả: f2 ( x) = g2 ( x) gọi là phương trình hệ quả của
phương trình f1 ( x) = g1 ( x) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của
phương trình f1 ( x) = g1 ( x) .
Kí hiệu là f1 ( x) = g1 ( x) Þ f2 ( x) = g2 ( x)
c) Các định lý:
Định lý 1: Cho phương trình f ( x) = g( x) có tập xác định D ; y = h( x) là hàm
số xác định trên D . Khi đó trên D , phương trình đã cho tương đương với
phương trình sau


1) f ( x) + h( x) = g( x) + h( x)
2) f ( x) .h( x) = g( x) .h( x) nếu h( x) ¹ 0 với mọi x Î D
Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương
trình hệ quả của phương trình đã cho.

f ( x) = g( x) Þ f 2 ( x) = g2 ( x) .
Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần chú ý
• Đặt điều kiện xác định(đkxđ) của phương trình và khi tìm được nghiệm
của phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định.
• Nếu hai vế của phương trình luôn cùng dấu thì bình phương hai vế của
nó ta thu được phương trình tương đương.
• Khi biến đổi phương trình thu được phương trình hệ quả thì khi tìm được
nghiệm của phương trình hệ quả phải thử lại phương trình ban đầu để
loại bỏ nghiệm ngoại lai.
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TOÁN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH.
1. Phương pháp giải.

Soạn tin nhắn
“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn
Hóa”
Rồi gửi đến số điện thoại

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành
liên lạc lại để hỗ trợ và hướng dẫn
GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS
- Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của
f ( x) , g( x) cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề
bài)
- Điều kiện để biểu thức


f ( x) xác định là f ( x) ³ 0

•

1
xác định là f ( x) ¹ 0
f ( x)

•

1

•

f ( x)

xác định là f ( x) > 0

2. Các ví dụ điển hình.
Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:
a) x +

5
=1
x - 4
2

A. x¹ 0

B. x ¹ ±2

C. x¹ - 2

D. x ¹ 2

B. 2 £ x £ 3

C. x£ 3

D. 2£

3
2

D. x³

b) 1+ 3- x = x- 2
A. 2 < x < 3

c) 1+ 2x- 3 = 3x- 2
A. x<

d)

3
2

4- 2x =

B. x³

3
4

C. x³

5
2

x +1
x - 3x + 2
3

Soạn tin nhắn
“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn
Hóa”
Rồi gửi đến số điện thoại

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành
liên lạc lại để hỗ trợ và hướng dẫn
GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS


ìï x < 2
A. ïí
ïïî x ¹ - 1

ìï x < 4
B. ïí
ïïî x ¹ 1

ìï x < 2
C. ïí

ïïî x ¹ 1

ìï x < 3
D. ïí
ïïî x ¹ 1

Lời giải:
a) Điều kiện xác định của phương trình là x2 - 4 ¹ 0 Û x2 ¹ 4 Û x ¹ ±2
ìï 3- x ³ 0 ìï x £ 3
Û ïí
Û 2£ x £ 3
b) Điều kiện xác định của phương trình là ïí
ïîï x- 2 ³ 0 ïïî x ³ 2
ìï
ï
ìï 2x- 3³ 0 ïï x ³
ï
Û í
c) Điều kiện xác định của phương trình là í
ïîï 3x- 2 ³ 0 ïï
ïï x ³
ïî

3
2 Û x³ 3
2
2
3

d) Điều kiện xác định của phương trình là

ìï 4- 2x ³ 0
ïí
Û
ïïî x3 - 3x + 2 ¹ 0

x£ 2
ïì
ïí
ïï ( x- 1) ( x2 + x- 2) ¹ 0
ïî

ìï
x£ 2
ï
Û í
Û
2
ïï ( x- 1) ( x- 2) ¹ 0
ïî

ïìï x £ 2
ïíï x ¹ 1 Û
ïï
ïïî x ¹ 2

ì
ïíï x < 2
ïïî x ¹ 1

Soạn tin nhắn

“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn
Hóa”
Rồi gửi đến số điện thoại

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành
liên lạc lại để hỗ trợ và hướng dẫn
GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS


Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm
của nó:
a) 4x + 4x- 3 = 2 3- 4x + 3
ïì 3ïü
A. S = ïí ïý
ïîï 4ïþ
ï
b)

ïì
D. S = ïí
ïîï

5ü
ïï
ý
3ïþ
ï

B. S = { 3}

C. S= Æ

ïì
D. S = ïí
ïîï

5ü
ïï
ý
3ïþ
ï

B. S = { 3}

C. S= Æ

ïì
D. S = ïí
ïîï

5ü
ïï
ý
3ïþ
ï

C. S= Æ

ïì
D. S = ïí

ïîï

5ü
ïï
ý
3ïþ
ï

x + x- 2 = - 3- x
ïì 3ïü
A. S = ïí ïý
ïîï 4ïþ
ï

d)

C. S= Æ

- x2 + 6x- 9 + x3 = 27
ïì 3ïü
A. S = ïí ïý
ïîï 4ïþ
ï

c)

B. S = { 3}

2

( x- 3) ( 5ïì 3ïü
A. S = ïí ïý
ïîï 4ïþ
ï

3x) + 2x = 3x- 5 + 4
B. S = { 3}

Lời giải:
ìï
ï
ïìï 4x - 3³ 0 ïï x ³
Û í
a) Điều kiện xác định của phương trình là í
ïîï 3- 4x ³ 0 ïï
ïï x £
ïî
Thử vào phương trình thấy x=

3
4 Û x= 3
3
4
4

3
thỏa mãn
4

ïì 3ïü

Vậy tập nghiệp của phương trình là S = ïí ïý
ïîï 4ïþ
ï

Soạn tin nhắn
“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn
Hóa”


Rồi gửi đến số điện thoại

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành
liên lạc lại để hỗ trợ và hướng dẫn
GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS
2

b) Điều kiện xác định của phương trình là - x2 + 6x- 9 ³ 0 Û - ( x- 3) ³ 0 Û x = 3
Thay x = 3 vào thấy thỏa mãn phương trình
Vậy tập nghiệp của phương trình là S = { 3}
ìï x ³ 0
ïï
c) Điều kiện xác định của phương trình là ïí x- 2 ³ 0 Û
ïï
ïîï - 3- x ³ 0

ìï x ³ 0
ïï
ïí x ³ 2
ï
ïïîï x £ - 3

Không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện
Vậy tập nghiệm của phương trình là S= Æ
2
ìï
ï ( x- 3) ( 5- 3x) ³ 0
d) Điều kiện xác định của phương trình là í
(*)
ïï
3
x
5
³
0
ïî

Dễ thấy x= 3 thỏa mãn điều kiện (*).
ìï
ï
ìï 5- 3x ³ 0 ïï x £
ï
Û í
Nếu x ¹ 3 thì (*) Û í
ïïî 3x- 5³ 0 ïï
ïï x ³
ïî

5
3 Û x= 5
5

3
3

Vậy điều kiện xác định của phương trình là x = 3 hoặc x =
Thay x = 3 và x =

5
3

5
vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn.
3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 3} .


Soạn tin nhắn
“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn
Hóa”
Rồi gửi đến số điện thoại

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành
liên lạc lại để hỗ trợ và hướng dẫn
GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS
3. Bài tập luyện tập.
Bài 3.0: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:
a)

5
=3x

x - x- 1
2

A. x³ 2

B. xÎ Æ

ïìï x ³ 3
ï
C. ïí x ¹ 1
ïï
ïïî x ¹ 2

D. x ¹

B. xÎ Æ

ïìï x ³ 3
ï
C. ïí x ¹ 1
ïï
ïïî x ¹ 2

D. x ¹

B. xÎ Æ

ìï x ³ 3
ïï
C. ïí x ¹ 1

ïï
ïïî x ¹ 2

D.

1± 5
2

b) 1+ x- 2 = x- 1

A. x³ 2

1± 5
2

c) 1+ 2x- 4 = 2- 4x

A. x³ 2

d)

2x- 6 =

x +1
x - 3x + 2
2

x¹

1± 5

2


Soạn tin nhắn
“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn
Hóa”
Rồi gửi đến số điện thoại

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành
liên lạc lại để hỗ trợ và hướng dẫn
GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS

A. x³ 2

ïìï x ³ 3
ï
C. ïí x ¹ 1
ïï
ïïî x ¹ 2

B. xÎ Æ

D. x ¹

1± 5
2

Lời giải:
Bài 3.0: a) ĐKXĐ: x2 - x- 1¹ 0 Û x ¹

1± 5
2

ìï x- 1³ 0
Û x³ 2
b) ĐKXĐ: ïí
ïïî x- 2 ³ 0
ïì 2x- 4 ³ 0
Û xÎ Æ
c) ĐKXĐ: ïí
ïïî 2- 4x ³ 0
ïì 2x- 6 ³ 0
Û
d) ĐKXĐ: ïí 2
ïîï x - 3x + 2 ¹ 0

ìï x ³ 3
ï
ïíï x ¹ 1
ïï
ïïî x ¹ 2

Bài 3.1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
a) 4x + 2 4x- 3 = 2 4x- 3 + 3
A. x³

3
4

B. xÎ Æ

C. x= 2

éx = 1
D. ê
êx = 2
ë


b)

- x2 + x- 1+ x = 1
A. x³

c)

B. xÎ Æ

C. x= 2

éx = 1
D. ê
êx = 2
ë

C. x= 2

éx = 1
D. ê
êx = 2

ë

C. x= 2

éx = 1
D. ê
êx = 2
ë

2x + x- 2 = 2- x + 2
A. x³

d)

3
4

3
4

B. xÎ Æ

x3 - 4x2 + 5x- 2 + x = 2- x
A. x³

3
4

B. xÎ Æ

Soạn tin nhắn
“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn
Hóa”
Rồi gửi đến số điện thoại

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành
liên lạc lại để hỗ trợ và hướng dẫn
GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS
Lời giải:
Bài 3.1: a) ĐKXĐ: x³

3
3
. Dễ thấy x= là nghiệm của phương trình
4
4
2

æ 1ö
3
b) ĐKXĐ: - x + x- 1³ 0 Û - ç
x- ÷
- ³ 0 Û xÎ Æ
÷
ç
÷
ç 2ø 4
è
2

Vậy tập nghiệp của phương trình là S= Æ


ìï x ³ 0
ïï
c) ĐKXĐ: ïí x- 2 ³ 0 Û x = 2
ïï
ïïî 2- x ³ 0
Thử lại phương trình thấy x= 2 thỏa mãn
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 2}
ìï x3 - 4x2 + 5x- 2³ 0 ìï ( x- 1) 2 ( x- 2) ³ 0 éx = 1
Û ïí
Û ê
d) ĐKXĐ: ïí
êx = 2
ïï
ïï
2
x
³
0
x
£
2
ë
î
ïî
Thay vào phương trình ta có tập nghiệm của phương trình là S = { 1} .
 DẠNG TOÁN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI
TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ

1. Phương pháp giải.

Soạn tin nhắn
“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn
Hóa”
Rồi gửi đến số điện thoại

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành
liên lạc lại để hỗ trợ và hướng dẫn
GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS
Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình
tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số
phép biến đổi thường sử dụng
• Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện
xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương
phương trình đã cho.
• Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay
đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương
đương với phương trình đã cho.
• Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả
của phương trình đã cho.


• Bình phương hai vế của phương trình(hai vế luôn cùng dấu) ta thu được
phương trình tương đương với phương trình đã cho.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) 1+

1

5
= 2
x- 3 x - x- 6

A.1 nghiệm duy nhất
C. 3 nghiệm
b)

x2
x- 2

=

1
x- 2

-

B. vô nghiệm.
D. 5 nghiệm

x- 2

A.1 nghiệm duy nhất
C. 3 nghiệm
c)

B. vô nghiệm.
D. 5 nghiệm

x + 3(x4 - 3x2 + 2) = 0
A.1 nghiệm duy nhất
C. 3 nghiệm

d)

B. vô nghiệm.
D. 5 nghiệm

x - 1(x2 - x- 2) = 0
A.1 nghiệm duy nhất
C. 2 nghiệm

B. vô nghiệm.
D. 5 nghiệm
Lời giải:

ìï
x¹ 3
Û
a) ĐKXĐ : ïí 2
ïîï x - x- 6 ¹ 0

ìï x ¹ 3
ïí
ïîï x ¹ - 2

Với điều kiện đó phương trình tương đương với
1+

1
5
=
Û ( x- 3) ( x + 2) + x + 2 = 5
x- 3 ( x- 3) ( x + 2)

Û x2 = 9 Û x = ±3
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x =- 3 .


b) ĐKXĐ: x > 2
Với điều kiện đó phương trình tương đương với
x2 = 1- ( x- 2) Û x2 + x- 3 = 0 Û x =

- 1± 13
2

Đối chiếu với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn
Vậy phương trình vô nghiệm.
c) ĐKXĐ: x³ - 3
é x+ 3 = 0
Phương trình tương đương với ê
êx4 - 3x2 + 2 = 0
ê
ë
é
x =- 3
Û ê
êx2 - 1 x2 - 2 = 0 Û
)(

)
ê
ë(

é x =- 3
ê
êx2 - 1= 0 Û
ê
ê2
ê
ëx - 2 = 0

éx =- 3
ê
êx = ±1
ê
ê
ê
ëx = ± 2

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là
x =- 3, x = ±1 và x= ± 2 .
ïì x ³ 0
Û
d) ĐKXĐ: ïí
ïï x - 1³ 0
î

ìï x ³ 0
Û x³ 1

íï
ïïî x ³ 1

Với điều kiện đó phương trình tương đương với
é
ê x - 1= 0 Û
ê2
ê
ëx - x- 2 = 0

éx = 1
ê
êx =- 1
ê
êx = 2
ê
ë

Đối chiếu với điều kiện ta có ngiệm của phương trình là x = 1 và x = 2 .
Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình sau:
a)

2x- 3 = 4x2 - 15
A.1 nghiệm duy nhất
C. 3 nghiệm

B. vô nghiệm.
D. 5 nghiệm

b) . x2 - 3x + 4 = 8- 3x .
A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 3 nghiệm

D. 5 nghiệm

c) 2x + 1 = x- 2
A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 2 nghiệm

D. 5 nghiệm

d) 2x +1 = x- 1
A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 3 nghiệm

D. 2 nghiệm
Lời giải:

ìï 2x - 3³ 0
a) ĐKXĐ: ïí 2

(*)
ïïî 4x - 15³ 0
Với điều kiện (*) phương trình tương đương với

(

) (
2

2x- 3 =

)

2

4x2 - 15 Û 2x - 3 = 4x2 - 15

éx= 2
ê
Û 4x - 2x - 12 = 0 Û ê
êx =- 3
ê
2
ë
2

Thay vào điều kiện (*) ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
2

æ 3ö
7
b) ĐKXĐ: x - 3x + 4³ 0 Û ç
x- ÷
÷ + ³ 0 (luôn đúng với mọi x )
ç
ç
÷ 4
è 2ø
2

Bình phương hai vế của phương trình ta được
2

x2 - 3x + 4 = ( 8- 3x) Û x2 - 3x + 4 = 9x2 - 48x + 64


8x2 - 45x + 60 = 0 Û x =

45± 105
16

Thay vào phương trình ta thấy chỉ có x =

45-

105
và đó là nghiệm duy nhất
16

của phương trình.
2

c) Phương trình tương đương với ( 2x + 1) = ( x- 2 )

2

Û 4x2 + 4x +1= x2 - 4x + 4
éx =- 3
ê
2
Û 3x + 8x- 3 = 0 Û ê
êx = 1
ê
3
ë
1
Vậy phương trình có hai nghiệm là x =- 3 và x= .
3
2

d) Ta có 2x + 1 = x- 1Þ ( 2x + 1) = ( x- 1)

2

Þ 4x2 + 4x + 1= x2 - 2x + 1Û 3x2 + 6x = 0
éx = 0
Þ ê
êx =- 2
ë

Thử vào phương trình ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn
Vậy phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 3: Tìm nghiệm ( x; y) với x là số nguyên dương của phương trình sau
20- 8x + 6x2 - y2 = y 7- 4x
æ 3+ 2 3ö
÷
ç2;
÷
A. ç
÷
ç
÷
ç
2
÷
è
ø

æ 1+ 3ö
÷
ç3;
÷
B. ç
÷
ç
÷
ç
2
÷
è

ø

æ 3+ 3÷
ö
ç1;
÷
C. ç
÷
ç
ç
2 ÷
÷
è
ø

Lời giải:

æ - 3+ 2 3ö
÷
ç- 1;
÷
D. ç
÷
ç
÷
ç
2
÷
è
ø

Nu phng trỡnh cú nghim ( x; y) thỡ x phi tha món
ỡù
20
ù
ùỡù 20- 8x 0 ùù x Ê 8
7
ớ
xÊ
ớ
ùợù 7- 4x 0 ùù
7
4
ùù x Ê
4
ùợ
Vỡ x l s nguyờn dng nờn x= 1
Thay x = 1 vo phng trỡnh ta c

12 + 6- y2 = y 3 (*)

iu kin xỏc nh ca phng trỡnh (*) l 6- y2 0
(*) ị

6- y2 = 3( y - 2) ị 6- y2 = 3( y - 2)

ị 4y2 - 12y + 6 = 0 ị y =

2

3 3
2

Th vo phng trỡnh (*) thy ch cú y =

3+ 3
l tha món
2

ổ 3+ 3ữ
ử
ỗ1;
ữ
Vy phng trỡnh cú nghim tha món bi l ỗ
.
ữ
ỗ
ữ
ỗ
2 ữ
ố
ứ
Vớ d 4: Tỡm m cp phng trỡnh sau tng ng
2
2
2
a) mx - 2( m- 1) x + m- 2 = 0 (1) v ( m- 2) x - 3x + m - 15 = 0 (2)

A. m= 1

B. m= 4

C. m= 2

D. m= 3

3
2
b) 2x2 + mx- 2 = 0 (3) v 2x +( m+ 4) x + 2( m- 1) x- 4 = 0 (4)

A. m= 1

B. m= 4

C. m= 2
Li gii:

a) Gi s hai phng trỡnh (1) v (2) tng ng
ộ
x=1
Ta cú ( 1) ( x- 1) ( mx- m+ 2) = 0 ờ
ờmx- m+ 2 = 0
ở

D. m= 3


Do hai phương trình tương đương nên x= 1 là nghiệm của phương trình (2)
Thay x= 1 vào phương trình (2) ta được

( m- 2) -

ém= 4
3+ m2 - 15 = 0 Û m2 + m- 20 = 0 Û ê
êm=- 5
ë

éx = 1
ê
• Với m=- 5 : Phương trình (1) trở thành - 5x +12x- 7 = 0 Û ê 7
êx =
ê
ë 5
2

é x=1
ê
Phương trình (2) trở thành - 7x - 3x + 10 = 0 Û ê
êx =- 10
ê
7
ë
2

Suy ra hai phương trình không tương đương
é 1
êx =
• Với m= 4 : Phương trình (1) trở thành 4x - 6x + 2 = 0 Û ê 2
ê

ê
ëx = 1
2

éx = 1
ê
Phương trình (2) trở thành 2x - 3x + 1= 0 Û ê 1
êx =
ê
ë 2
2

Suy ra hai phương trình tương đương
Vậy m= 4 thì hai phương trình tương đương.
b) Giả sử hai phương trình (3) và (4) tương đương
3
2
2
Ta có 2x +( m+ 4) x + 2( m- 1) x- 4 = 0 Û ( x + 2) ( 2x + mx- 2) = 0

é
x =- 2
Û ê 2
ê2x + mx- 2 = 0
ë
Do hai phương trình tương đương nên x=- 2 cũng là nghiệm của phương
trình (3)
2

Thay x=- 2 vào phương trình (3) ta được 2( - 2) + m( - 2) - 2 = 0 Û m= 3

éx =- 2
ê
• Với m= 3 phương trình (3) trở thành 2x + 3x- 2 = 0 Û ê
êx = 1
ê
2
ë
2

2

Phương trình (4) trở thành 2x3 + 7x2 + 4x- 4 = 0 Û ( x + 2) ( 2x + 1) = 0

éx =- 2
ê
Û ê
êx = 1
ê
2
ë
Suy ra phương trình (3) tương đương với phương trình (4)
Vậy m= 3 .
3. Bài tập tự luyện.
Bài 3.2: Tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) 1+

1
6

=
2- x 4- x2

A.1 nghiệm duy nhất
nghiệm
b)

2x
3- x

=

1
3- x

-

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm D.Vô

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm D.Vô

x + 1(x2 - 16) = 0
A.1 nghiệm duy nhất
nghiệm

d)

C.3 nghiệm D.Vô

3- x

A.1 nghiệm duy nhất
nghiệm
c)

B.2 nghiệm

3- x
=0
x - 2x- 3
2

A.1 nghiệm duy nhất
nghiệm

B.2 nghiệm
Lời giải:

C.3 nghiệm

D.Vô


ìï x ¹ 2
Û x ¹ ±2
Bài 3.2: a) ĐKXĐ : ïí 2

ïïî x - 4 ¹ 0
Với điều kiện đó phương trình tương đương với
éx = 0
4- x2 + x + 2 = 6 Û x2 - x = 0 Û ê
êx = 1(thỏa mãn)
ë
b) ĐKXĐ: x< 3
pt Û 2x = 1- ( 3- x) Û x =- 2 (thỏa mãn)
c) ĐKXĐ: x³ - 1
é x +1 = 0
Phương trình tương đương với ê
êx2 - 16 = 0 Û
ê
ë

éx =- 1
ê
êx = ±4
ë

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x =- 1 và x = 4 .
ïì x < 3
d) ĐKXĐ: ïí
. PT Û x = 3 (không thỏ mãn điều kiện)
ïïî x ¹ - 1
Bài 3.3: Tìm số nghiệm của phương trình
a)

x- 2 = x2 - 8
A.1 nghiệm duy nhất

nghiệm

b)

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm D.Vô

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm D.Vô

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm D.Vô

3x2 - x- 9 = x- 1.
A.1 nghiệm duy nhất
nghiệm

c) 2x + 3 = 2x- 3
A.1 nghiệm duy nhất
nghiệm
d) 2x- 1 = 3x- 4
A.1 nghiệm duy nhất

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.Vô


nghiệm
Lời giải:
Bài 3.3: a) x = 3 b) x = 2 c) x = 0 d) x = 3
Bài 3.4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương
2
a) x2 + mx- 1= 0 (1) và ( m- 1) x + 2( m- 2) x + m- 3= 0 (2)

A. m= 1

B. m=- 1

C. m= 2

D. m= Æ

2
2
2
2
b) ( 2m- 2) x - ( 2m+ 1) x + m + m- 17 = 0 (3) và ( 2- m) x + 3x + 15- m = 0 (4)

A. m= 4

B. m=- 4

C. m= 2

D. m= Æ

Lời giải:
Bài 3.4: a) Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương
é
x =- 1
2
ê
m
1
x
+
2
m
2
x
+
m
3
=
0
Û
)
(
)
Ta có (
ê( m- 1) x + m- 3 = 0
ê
ë
Do hai phương trình tương đương nên x=- 1 cũng là nghiệm của phương

trình (1)
Thay x=- 1 vào phương trình (1) ta được m= 0
Với m= 0 thay vào hai phương trình ta thấy không tương đương.
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.
b) Cộng vế với vế để khử m2 ta thu được phương trình mới có thể nhẩm
nghiệm
Kết quả m= 4 thì hai phương trình tương đương.
§2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa.


• Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b= 0 với a, b
là số thực và a¹ 0
• Phương trình bậc hai một ẩn phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 với
a, b, c là số thực và a¹ 0
2. Giải và biện luận phương trình ax + b= 0 (1).
b
b
do đó phương trình có nghiệm duy nhất x =a
a
• Nếu a= 0 : phương trình (1) trở thành 0x + b= 0
Th1: Với b= 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R
• Nếu a¹ 0 : ( 1) Û x =-

Th2: Với b¹ 0 phương trình vô nghiệm
3. Giải và biện luận phương trình ax2 + bx + c = 0
• Nếu a= 0 : trở về giải và biện luận phương trình dạng (1)
• Nếu a¹ 0 : D = b2 - 4ac

Th1: D > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x =

TH2: D = 0 phương trình có nghiệm kép x =-

- b± D
2a

b
2a

Th3: D < 0 phương trình vô nghiệm.
4. Định lí Vi-ét và ứng dụng.
a) Định lí Vi-ét.
Hai số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 khi và
chỉ khi chúng thỏa mãn hệ thức x1 + x2 =-

b
c
và x1x2 = .
a
a

b) Ứng dụng.
• Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
2
• Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f ( x) = ax + bx + c có hai nghiệm x1
và x2 thì nó có thể phân tích thành nhân tử f ( x) = a( x- x1) ( x- x2 ) .
• Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là S và
tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0 .
• Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai:

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (*), kí hiệu S =-

b
c
,P=
khi đó
a
a

+ Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0
ïìï D ³ 0
ï
+ Phương trình (*) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi ïí P > 0
ïï
ïïî S > 0
ïìï D ³ 0
ï
+ Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi ïí P > 0
ïï
ïïî S < 0
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TOÁN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
ax + b= 0 .
1. Phương pháp giải.
Để giải và biện luận phương trình dạng ax + b= 0 ta dựa vào kết quả đã nêu ở
trên.
Lưu ý:
é a¹ 0

• Phương trình ax + b= 0 có nghiệm Û ê
êa= b= 0
ë
ïì a= 0
• Phương trình ax + b= 0 vô nghiệm Û ïí
ïïî b¹ 0
• Phương trình ax + b= 0 có nghiệm duy nhất Û a¹ 0
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số.
a) ( m- 1) x + 2- m= 0
A. m= 1 : Phương trình vô nghiệm
B. m¹ 1 : Phương trình có nghiệm duy nhất x =
C.Cả A, B đều đúng

m- 2
m- 1


D.Cả A, B đều sai
b) m( mx- 1) = 9x + 3
A. m= 3 : Phương trình vô nghiệm
B. m=- 3 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R
C. m¹ ±3 : Phương trình có nghiệm x =

1
m- 3

D. Cả A, B, C đều đúng

c) (m+ 1)2 x = (3m+ 7)x + 2+ m

A. m= 3 : Phương trình vô nghiệm
B. m=- 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R
C. m¹ 3 và m¹ - 2 : Phương trình có nghiệm x =

1
m- 3

D.Cả A, B, C đều đúng
Lời giải:
a) Phương trình tương đương với ( m- 1) x = m- 2
+ Với m- 1= 0 Û m= 1: Phương trình trở thành 0x=- 1
Suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Với m- 1¹ 0 Û m¹ 1 : Phương trình tương đương với x =
Kết luận
m= 1 : Phương trình vô nghiệm

m¹ 1 : Phương trình có nghiệm duy nhất x =
2
b) Ta có m( mx- 1) = 9x + 3 Û ( m - 9) x = m+ 3

m- 2
m- 1

m- 2
m- 1


+ Với m2 - 9 = 0 Û m= ±3 :
•

Khi m= 3: Phương trình trở thành 0x= 6 suy ra phương trình vô
nghiệm
• Khi m=- 3 : Phương trình trở thành 0x= 0 suy ra phương trình
nghiệm đúng với mọi x Î R
m+ 3
1
=
+ Với m2 - 9 ¹ 0 Û m¹ ±3 : Phương trình tương đương với x = 2
.
m - 9 m- 3
Kết luận:
m= 3 : Phương trình vô nghiệm
m=- 3 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R
m¹ ±3 : Phương trình có nghiệm x =

1
m- 3

(m+ 1)2 - 3m- 7ù
c) Phương trình tương đương với é
ê
úx = 2+ m
ë
û
Û ( m2 - m- 6) x = 2+ m
ém= 3
2
+ Với m - m- 6 = 0 Û ê
êm=- 2 :
ë

•

Khi m= 3: Phương trình trở thành 0x= 5 suy ra phương trình vô
nghiệm
• Khi m=- 2 : Phương trình trở thành 0x= 0 suy ra phương trình
nghiệm đúng với mọi x Î R
ém¹ 3
2
+ Với m - m- 6 ¹ 0 Û ê
êm¹ - 2: Phương trình tương đương với
ë
x=

m+ 2
1
=
.
m - m- 6 m- 3
2

Kết luận:
m= 3 : Phương trình vô nghiệm
m=- 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R

m¹ 3 và m¹ - 2 : Phương trình có nghiệm x =

1
m- 3

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau với a, b là tham số.
2
2
a) a ( x- a) = b ( x- b)

A. a= b: phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R
B. a=- b và b¹ 0 : phương trình vô nghiệm
a2 + ab+ b2
C. a¹ ±b: Phương trình có nghiệm là x =
a+ b
D.Cả A, B, C đều đúng
b) b( ax- b+ 2) = 2( ax + 1)
A. a= 0 hoặc b= 2 thì phương trình vô nghiệm
b2 - 2b+ 2
B. a¹ 0 và b¹ 2 thì phương trình có nghiệm là x =
a( b- 2)
C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A, B đều sai
Lời giải:
2
2
2
2
3
3
a) Ta có a ( x- a) = b ( x- b) Û ( a - b ) x = a - b

+ Với a2 - b2 = 0 Û a= ±b
•

Khi a= b : Phương trình trở thành 0x= 0 suy ra phương trình nghiệm
đúng với mọi x Î R
• Khi a=- b và b¹ 0 : Phương trình trở thành 0x =- 2b3 suy ra phương
trình vô nghiệm
(Trường hợp a=- b,b= 0 Þ a= b= 0 thì rơi vào trường hợp a= b )
+ Với a2 - b2 ¹ 0 Û a¹ ±b: Phương trình tương đương với x =
Kết luận
a= b: phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R
a=- b và b¹ 0 : phương trình vô nghiệm

a3 - b3 a2 + ab+ b2
=
a+ b
a2 - b2


a¹ ±b: Phương trình có nghiệm là x =

a2 + ab+ b2
a+ b

2
b) Ta có b( ax- b+ 2) = 2( ax + 1) Û a( b- 2) x = b - 2b+ 2

éa= 0
+ Với a( b- 2) = 0 Û ê
êb= 2
ë
• Khi a= 0 : Phương trình trở thành 0x = b2 - 2b+ 2 , do
2

b2 - 2b+ 2 = ( b- 1) + 1> 0 nên phương trình vô nghiệm.
• Khi b= 2 : Phương trình trở thành 0x= 2 suy ra phương trình vô nghiệm
ìï a¹ 0
b2 - 2b+ 2
ï
+ Với a( b- 2) ¹ 0 Û í
: Phương trình tương đương với x =
.
ïïî b¹ 2
a( b- 2)
Kết luận
a= 0 hoặc b= 2 thì phương trình vô nghiệm
a¹ 0 và b¹ 2 thì phương trình có nghiệm là x =

b2 - 2b+ 2
a( b- 2)

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.
a) (m2 - m)x = 2x + m2 - 1
A. m¹ - 2 và m¹ 2

B. m¹ - 1 và m¹ - 2

C. m¹ - 1 và m¹ 2

D. m¹ - 1 và m¹ - 3

b) m( 4mx- 3m+ 2) = x(m+ 1)
A. m¹

1± 7
8

B. m¹

1± 17
2

C. m¹

1± 17
8

D. m¹

2± 17
8

Lời giải:
a) Ta có (m2 - m)x = 2x + m2 - 1Û (m2 - m- 2)x = m2 - 1
ìï m¹ - 1
2
Phương trình có nghiệm duy nhất Û a¹ 0 hay m - m- 2 ¹ 0 Û ïí
ïïî m¹ 2