SKKN hệ thống bài tập phương pháp tọa độ trong không gian oxyz

MỤC LỤC
Trang
PHẦN I. MỞ ĐẦU ...............................................................................................................

2

PHẦN II. NỘI DUNG ..........................................................................................................

3

Bài 1. Hệ trục tọa độ trong không gian ..............................................................................

3

Bài 2. Phương trình mặt phẳng ..........................................................................................

10

Bài 3. Phương trình đường thẳng .......................................................................................

21

Bài 4. Phương trình mặt cầu ...............................................................................................

32

PHẦN III. KẾT LUẬN ........................................................................................................

41

Trang 1

PHẦN I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Ngày 28 – 9 – 2016, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã công bố phương án tổ chức kì thi Trung học
phổ thông quốc gia năm 2017. Nét mới của kì thi năm 2017 là có 5 bài thi: Toán, Ngữ văn, Ngoại
ngữ, Khoa học tự nhiên và Khoa học xã hội, trong đó chỉ có một bài thi tự luận là Ngữ văn, bốn bài
còn lại thi theo hình thức trắc nghiệm.
Nhằm giúp học sinh có tài liệu ôn tập đáp ứng yêu cầu đổi mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo
về kì thi Trung học phổ thông quốc gia, chúng tôi chọn đề tài “HỆ THỐNG BÀI TẬP PHƯƠNG
PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz”
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu hệ thống lý thuyết, sắp xếp các dạng toán từ dễ đến khó.
Cấu trúc nghiên cứu gồm:
1. Tên bài cần nghiên cứu.
2. Cơ sở lý thuyết.
3. Câu hỏi trắc nghiệm.
4. Hương dẫn giải và phân tích các phương án gây nhiễu.
5. Đáp án.
3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài
Học sinh khối 12 bậc trung học phổ thông.
4. Phạm vi nghiên cứu và áp dụng của đề tài
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian, lớp 12.
Toàn khối 12 của trường.
5. Phương pháp nghiên cứu của đề tài
Điều tra, quan sát. Thực nghiệm sư phạm. Tổng kết rút kinh nghiệm
Xây dựng một hệ thống lý thuyết, câu hỏi trắc nghiệm hợp lý, phân loại các dạng toán từ các
câu hỏi sử dụng kiến thức đơn đến các câu hỏi sử dụng kiến thức tổng hợp.
6. Nhiệm vụ của đề tài
Trang bị hệ thống lý thuyết và câu hỏi trắc nghiệm hợp lí để học sinh học tốt chủ đề phương

pháp tọa độ trong không gian Oxyz.
7. Thời gian nghiêm cứu của đề tài
Trong suốt quá trình được phân công dạy khối 12 bậc THPT.
Trang 2


PHẦN II. NỘI DUNG
Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian
I. Cơ sở lý thuyết
1. Hệ tọa độ trong không gian:
- Hệ tọa độ trong không gian là hệ gồm ba trục
x′Ox, y′Oy, z′Oz vuông góc với nhau từng đôi một.

z

- Trên mỗi trục nói trên lần lượt có các vectơ đơn vị i , j , k .

(

y'

)

- Kí hiệu: Oxyz hay 0; i , j , k .

k

- Điểm O là gốc tọa độ.
- Các trục x′Ox, y′Oy, z′Oz lần lượt là trục hoành, trục tung
và trục cao.

- Các mặt phẳng ( Oxy ) , ( Oyz ) , ( Oxz ) gọi là các mặt phẳng
tọa độ.

x'

O

i

x

j
z'
y

2. Tọa độ của một điểm:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , OM = x.i + y. j + z.k ⇔ M ( x; y; z ) .
3. Tọa độ của một vectơ:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , a = ( a1 ; a2 ; a3 ) ⇔ a = a1i + a2 j + a3k .
Do đó: i = (1;0;0 ) , j = ( 0;1;0 ) , k = ( 0;0;1) .
4. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , b = ( b1 ; b2 ; b3 ) và k là số tùy ý.
Ta có:
- a + b = ( a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 ) .
- a − b = ( a1 − b1 ; a2 − b2 ; a3 − b3 ) .
- ka = ( ka1 ; ka2 ; ka3 ) .

a1 = b1

- a = b ⇔ a2 = b2

a = b .
3
 3
- Vectơ 0 có tọa độ là ( 0;0;0 ) .
- Với b ≠ 0 thì hai vectơ a và b cùng phương ⇔ ∃k : a1 = kb1 , a2 = kb2 , a3 = kb3 .
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , nếu cho hai điểm A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; zB ) thì:

AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) .

 x + xB y A + y B z A + z B 
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là M  A
;
;
.
2
2 
 2
5. Tích vô hướng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , b = ( b1 ; b2 ; b3 ) . Ta có:
- ab = a1b1 + a2b2 + a3b3 .
Trang 3


- a = a12 + a22 + a32 .
- AB = AB =

( )

- cos a , b =

2

2

( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A )
ab
a b

=

a1b1 + a2b2 + a3b3
2
1

2
2

2
3

a +a +a

2
1

2
2

2
3

2

.

(với a và b khác 0 ).

b +b +b

- a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0.
6. Một số kết quả đặc biệt:
- M ∈ Ox ⇔ M ( x;0;0 ) .
- M ∈ Oy ⇔ M ( 0; y;0 ) .
- M ∈ Oz ⇔ M ( 0;0; z ) .
- M ∈ ( Oxy ) ⇔ M ( x; y;0 ) .
- M ∈ ( Oyz ) ⇔ M ( 0; y; z ) .
- M ∈ ( Oxz ) ⇔ M ( x;0; z ) .

 x + xB + xC y A + yB + yC z A + zB + zC 
- G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ G  A
;
;
.
3
3
3


II. Câu hỏi trắc nghiệm
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −3; 2;5 ) . Tìm tọa độ điểm M ′ đối xứng

với điểm M qua gốc tọa độ.
A. M ′ ( −3;0;0 ) .
B. M ′ ( 0; 2;0 ) .
C. M ′ ( 0;0;5 ) .
D. M ′ ( 3; −2; −5 ) .
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −3; 2;5 ) . Tìm tọa độ điểm M ′ là hình
chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox.
A. M ′ ( −3;0;0 ) .
B. M ′ ( 0; 2;0 ) .

C. M ′ ( 0;0;5 ) .

chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oz.
A. M ′ ( −3;0;0 ) .
B. M ′ ( 0; 2;0 ) .

C. M ′ ( 0;0;5 ) .

với điểm M qua trục Oy.
A. M ′ ( −3; −2; −5 ) .
B. M ′ ( 3; 2; −5 ) .

C. M ′ ( 3; −2;5 ) .

D. M ′ ( 3; −2; −5 ) .
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −3; 2;5 ) . Tìm tọa độ điểm M ′ là hình
chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy.
A. M ′ ( −3;0;0 ) .
B. M ′ ( 0; 2;0 ) .
C. M ′ ( 0;0;5 ) .

D. M ′ ( 3; −2; −5 ) .
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −3; 2;5 ) . Tìm tọa độ điểm M ′ là hình
D. M ′ ( 3; −2; −5 ) .
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −3; 2;5 ) . Tìm tọa độ điểm M ′ đối xứng
với điểm M qua trục Ox.
A. M ′ ( −3; −2; −5 ) .
B. M ′ ( 3; 2; −5 ) .
C. M ′ ( 3; −2;5 ) .
D. M ′ ( 3; −2; −5 ) .
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −3; 2;5 ) . Tìm tọa độ điểm M ′ đối xứng
D. M ′ ( 3; −2; −5 ) .
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −3; 2;5 ) . Tìm tọa độ điểm M ′ đối xứng
với điểm M qua trục Oz.
A. M ′ ( −3; −2; −5 ) .
B. M ′ ( 3; 2; −5 ) .
C. M ′ ( 3; −2;5 ) .
D. M ′ ( 3; −2; −5 ) .
Trang 4


Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −3; 2;5 ) . Tìm tọa độ điểm M ′ là hình
chiếu vuông góc của điểm M trên ( Oxy ) .
A. M ′ ( −3; 2;0 ) .
B. M ′ ( −3;0;5 ) .

C. M ′ ( 0; 2;5 ) .

chiếu vuông góc của điểm M trên ( Oyz ) .
A. M ′ ( −3; 2;0 ) .
B. M ′ ( −3;0;5 ) .

C. M ′ ( 0; 2;5 ) .

chiếu vuông góc của điểm M trên ( Oxz ) .
A. M ′ ( −3; 2;0 ) .
B. M ′ ( −3;0;5 ) .

C. M ′ ( 0; 2;5 ) .

xứng với điểm M qua ( Oxy ) .
A. M ′ ( 3; 2;5 ) .
B. M ′ ( −3; −2;5 ) .

C. M ′ ( −3; 2; −5 ) .

xứng với điểm M qua ( Oyz ) .
A. M ′ ( 3; 2;5 ) .
B. M ′ ( −3; −2;5 ) .

C. M ′ ( −3; 2; −5 ) .

xứng với điểm M qua ( Oxz ) .
A. M ′ ( 3; 2;5 ) .
B. M ′ ( −3; −2;5 ) .

C. M ′ ( −3; 2; −5 ) .

D. M ′ ( 0;0;5 ) .
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −3; 2;5 ) . Tìm tọa độ điểm M ′ là hình
D. M ′ ( −3;0;0 ) .

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −3; 2;5 ) . Tìm tọa độ điểm M ′ là hình
D. M ′ ( 0; 2;0 ) .
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −3; 2;5 ) . Tìm tọa độ điểm M ′ đối
D. M ′ ( 3; −2; −5 ) .
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −3; 2;5 ) . Tìm tọa độ điểm M ′ đối
D. M ′ ( 3; −2; −5 ) .
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −3; 2;5 ) . Tìm tọa độ điểm M ′ đối
D. M ′ ( 3; −2; −5 ) .

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OA = 2i − 5 j + 3k và OB = 6i + j − 4k . Tìm tọa
độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
7
1
7



A. I  2;3; −  .
B. I  4; −2; −  .
C. I ( 8; −4; −1) .
D. I  −2; −3;  .
2
2
2



Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 4; −3;0 ) và N ( 8; −10;1) . Tìm tọa độ
điểm P sao cho N là trung điểm của đoạn thẳng PM .
13 1 

7 1


A. P (12; −17; 2 ) .
B. P  6; − ;  .
C. P  2; − ;  .
D. P ( 0; 4; −1) .
2 2
2 2


Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A ( 2; −3;0 ) , B (1; 4; −2 ) ,

C ( 3; −7; −1) . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC .
3
3


B. G  3; −3; −  .
C. G ( −2; 2; −1) .
D. G  −3;3;  .
2
2


Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm E ( 4; −3; 2 ) , F ( 5;6; −1) , G ( 3;5;7 ) . Tìm
tọa độ điểm H sao cho G là trọng tâm tam giác EFH .
 8 8
A. H ( 4; −20;0 ) .
B. H ( 0;12; 20 ) .

C. H  4; ;  .
D. H ( 8;16; −12 ) .
 3 3
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M (1; 2; 4 ) , N ( 2; −1;1) và P ( 2;3; −2 ) .
Tìm tọa độ điểm Q sao cho MNQP là hình bình hành.
A. G ( 2; −2; −1) .

Trang 5


A. Q ( 3;0; −5 ) .

B. Q ( 3;0;5 ) .

C. Q ( −3;0; −5 ) .

Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba

D. Q (1;6;1) .

điểm M ( 3; 2;1) , N ( −1; −2;3) và

P ( 2; 4; −1) . Tìm tọa độ điểm Q sao cho tứ giác MQNP là hình bình hành.
A. Q ( 6;8;5 ) .

B. Q ( 0; 4; − 5 ) .

C. Q ( 6;8; − 3) .

D. Q ( 0; − 4;5 ) .

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = ( 5; 4; −1) và b = ( 2; −5; −3) . Tìm
tọa độ của vectơ x để a + 2 x = b .
 3 9

A. x =  − ; − ; −1 .
 2 2


3 9 
B. x =  ; ;1 .
2 2 
7 1

C. x = ( −6; −18; −2 ) .
D. x =  ; − ; −2  .
2 2

Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm M (1;1; 2 ) , N ( 2; −1;1) và P ( 4; −5; −1) .
Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. MP = 3MN .
B. Ba điểm M , N , P thẳng hàng.
C. MP = 3MN .
D. Ba điểm M , N , P là ba đỉnh của một tam giác.
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A ( 2;1; 4 ) , B ( −2; 2;6 ) và C ( 6;0; −1) .
Tính tích vô hướng của AB và AC.
A. AB. AC = −3.
B. AB. AC = −27.

C. AB. AC = −1.

D. AB. AC = 1.

(

)

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a = ( 2; −1; 2 ) và b = − 2; 2;0 . Gọi α là góc
giữa hai vectơ a và b . Khẳng định nào dưới đây đúng ?
A. α = 600.
B. α = 1200.
C. α = 1350.

D. α = 450.

Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a = (1;1; −2 ) và b = ( −2;1;1) . Gọi α là góc giữa
hai vectơ a và b . Khẳng định nào dưới đây đúng ?
A. α = 900.
B. α = 600.
C. α = 450.
D. α = 1200.
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = (1; 2; −3) và b = ( m − 1; 2m; 4 ) .
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để a vuông góc với b .
13
14
12
A. m = .
B. m = −1.
C. m = .
D. m = .

5
5
5
Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba vectơ a = (1;1;1) , b = (1; −1; 2 ) ,

c = ( 2;3; −1) . Tìm tọa độ x thỏa mãn đồng thời a.x = 0, b .x = −5, c .x = 5.
A. x = ( 2; 4; −5 ) .

B. x = ( −1; 2; −1) .

C. x = ( 5; −1; 4 ) .

D. x = ( 7;5; −4 ) .

Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; −1) và B ( −1;3;1) . Tìm tọa độ
điểm M trên trục tung sao cho tam giác MAB vuông tại M .
A. M ( 0;4;0 ) hoặc M ( 0;1;0 ) .
B. M ( 0;5;0 ) hoặc M ( 0; −1;0 ) .
C. M ( 0; −4;0 ) hoặc M ( 0;7;0 ) .

D. M ( 0;6;0 ) hoặc M ( 0; −2;0 ) .

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A (1;1; 4 ) , B ( 2; 2;6 ) ,

C ( 0;0;5 ) . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
Trang 6


A. Tam giác ABC là tam giác vuông và không cân.
B. Tam giác ABC là tam giác cân và không đều.

C. Tam giác ABC là tam giác đều.
D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân.
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A (1;1;1) , B ( 4;0;1) ,

C ( 2; 4;1) . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Tam giác ABC là tam giác vuông và không cân.
B. Tam giác ABC là tam giác cân và không đều.
C. Tam giác ABC là tam giác đều.
D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân.
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tọa độ điểm M trên trục Ox cách đều hai điểm
A (1; 2; −1) và B ( 2;1;2 ) .

1

3

C. M  ;0;0  .
D. M  ;0;0  .
2

2

Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng ( Oxz ) cách đều
A. M (1;0;0 ) .

B. M ( 2;0;0 ) .

ba điểm A (1;1;1) , B ( −1;1;0 ) , C ( 3;1; −1) .

7

5
1 2
B. M  ;0; −  .
C. M ( 4;0;5 ) .
D. M  ;0;  .
6
6
3 3
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 2;3; 4 ) . Gọi A, B, C lần lượt là hình
chiếu vuông góc của M trên các trục Ox, Oy, Oz. Tính thể tích V của khối tứ diện OABC .
A. V = 3.
B. V = 4.
C. V = 5.
D. V = 6.
III. Hướng dẫn giải và phân tích các phương án gây nhiễu
Câu 1. Vì M ′ là điểm đối xứng của điểm M qua gốc tọa độ O nên M ′ ( 3; −2; −5 ) . Vậy chọn D.
Chọn đáp án A hoặc B hoặc C vì nhầm lẫn hình chiếu của M lên trục Ox hoặc Oy hoặc Oz.
Câu 2. Vì M ′ là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox nên M ′ ( −3;0;0 ) . Vậy chọn A.
Chọn đáp án B hoặc C hoặc D vì nhầm lẫn hình chiếu của M lên trục Oy hoặc Oz hoặc đối xứng
qua gốc tọa độ O.
Câu 3. Vì M ′ là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy nên M ′ ( 0; 2;0 ) . Vậy chọn B.
Chọn đáp án A hoặc C hoặc D vì nhầm lẫn hình chiếu của M lên trục Ox hoặc Oz hoặc đối xứng
qua gốc tọa độ O.
Câu 4. Vì M ′ là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oz nên M ′ ( 0;0;5 ) . Vậy chọn C.
Chọn đáp án A hoặc B hoặc D vì nhầm lẫn hình chiếu của M lên trục Ox hoặc Oy hoặc đối xứng
qua gốc tọa độ O.
Câu 5. Vì M ′ đối xứng với điểm M qua trục Ox nên M ′ ( −3; −2; −5 ) . Vậy chọn A.
Chọn đáp án B hoặc C hoặc D vì nhầm lẫn đối xứng của M qua trục Oy hoặc qua trục Oz hoặc
qua gốc tọa độ O.
Câu 6. Vì M ′ đối xứng với điểm M qua trục Oy nên M ′ ( 3; 2; −5 ) . Vậy chọn B.

Chọn đáp án A hoặc C hoặc D vì nhầm lẫn đối xứng của M qua trục Ox hoặc qua trục Oz hoặc
qua gốc tọa độ O.
Câu 7. Vì M ′ đối xứng với điểm M qua trục Oz nên M ′ ( 3; −2;5 ) . Vậy chọn C.
A. M ( 6;0;3) .

Trang 7


Chọn đáp án A hoặc B hoặc D vì nhầm lẫn đối xứng của M qua trục Ox hoặc qua trục Oy hoặc
qua gốc tọa độ O.
Câu 8. Vì M ′ là hình chiếu vuông góc của điểm M trên ( Oxy ) nên M ′ ( −3; 2;0 ) . Vậy chọn A.
Chọn đáp án B hoặc C hoặc D vì nhầm lẫn hình chiếu của M lên ( Oxz ) hoặc lên ( Oyz ) hoặc lên
trục Oz.
Câu 9. Vì M ′ là hình chiếu vuông góc của điểm M trên ( Oyz ) nên M ′ ( 0; 2;5 ) . Vậy chọn C.
Chọn đáp án A hoặc B hoặc D vì nhầm lẫn hình chiếu của M lên ( Oxy ) hoặc lên ( Oxz ) hoặc lên
trục Ox.
Câu 10. Vì M ′ là hình chiếu vuông góc của điểm M trên ( Oxz ) nên M ′ ( −3;0;5 ) . Vậy chọn B.
Chọn đáp án A hoặc C hoặc D vì nhầm lẫn hình chiếu của M lên ( Oxy ) hoặc lên ( Oyz ) hoặc lên
trục Oy.
Câu 11. Vì M ′ đối xứng với điểm M qua ( Oxy ) nên M ′ ( −3; 2; −5 ) . Vậy chọn C.
Chọn đáp án A hoặc B hoặc D vì nhầm lẫn đối xứng của M qua ( Oyz ) hoặc qua ( Oxz ) hoặc qua
gốc tọa độ O.
Câu 12. Vì M ′ đối xứng với điểm M qua ( Oyz ) nên M ′ ( 3; 2;5 ) . Vậy chọn A.
Chọn đáp án B hoặc C hoặc D vì nhầm lẫn đối xứng của M qua ( Oxz ) hoặc qua ( Oxy ) hoặc qua
gốc tọa độ O.
Câu 13. Vì M ′ đối xứng với điểm M qua ( Oxz ) nên M ′ ( −3; −2;5 ) . Vậy chọn B.
Chọn đáp án A hoặc C hoặc D vì nhầm lẫn đối xứng của M qua ( Oyz ) hoặc qua ( Oxy ) hoặc qua
gốc tọa độ O.
1


Câu 14. Vì A = ( 2; −5;3) và B ( 6;1; −4 ) nên trung điểm I  4; −2; −  . Vậy chọn B.
2

Chọn đáp án A vì lấy tọa độ điểm B trừ tọa độ điểm A rồi chia cho 2.
Chọn đáp án C vì lấy tọa độ điểm B cộng tọa độ điểm A nhưng không chia cho 2.
Chọn đáp án D vì lấy tọa độ điểm A trừ tọa độ điểm B rồi chia cho 2.
 x P + xM = 2 x N

Câu 15. Vì N là trung điểm của đoạn thẳng PM nên  yP + yM = 2 y N .Vậy chọn A.
z + z = 2z
M
N
 P
Chọn đáp án B vì lấy tọa độ điểm M cộng tọa độ điểm N rồi chia cho 2.
Chọn đáp án C vì lấy tọa độ điểm N trừ tọa độ điểm M rồi chia cho 2.
Chọn đáp án D vì lấy hai lần tọa độ điểm M trừ tọa độ điểm N.
Câu 16. Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G ( 2; −2; −1) . Vậy chọn A.
Chọn đáp án B vì cộng tọa độ của ba điểm A, B, C rồi chia cho 2.
 xE + xF + xH = 3 xG

Câu 17. Vì G là trọng tâm tam giác EFH nên  yE + yF + yH = 3 yG . Vậy chọn B.
 z + z + z = 3z
F
H
G
 E
Chọn đáp án A vì lấy ba lần tọa độ của điểm E trừ tọa độ của điểm F và điểm G.
Chọn đáp án C vì cộng tọa độ của ba điểm E , F , G rồi chia 3.
Chọn đáp án D vì lấy ba lần tọa độ của điểm F trừ tọa độ của điểm E và điểm G.
Trang 8

Câu 18. Vì MNQP là hình bình hành nên MP = NQ . Vậy chọn A.
Chọn đáp án D vì nhầm MNPQ là hình bình hành.
Câu 19. Vì MQNP là hình bình hành nên MQ = PN . Vậy chọn D.
Chọn đáp án C vì nhầm MNPQ là hình bình hành.
3

m
=
−

2
 2m + 5 = 2

9


Câu 20. Gọi x = ( m, n, p ) Ta có a + 2 x = b ⇔  2n + 4 = −5 ⇔ n = − . Vậy chọn A.
2
 2 p − 1 = −3


 p = −1


Chọn đáp án B vì lấy tọa độ vectơ a trừ tọa độ vectơ b rồi chia cho 2.
Chọn đáp án C vì lấy tọa độ vectơ b trừ tọa độ vectơ a rồi nhân cho 2.
Chọn đáp án D vì lấy tọa độ vectơ a cộng tọa độ vectơ b rồi chia cho 2.
Câu 21. Do MP = ( 3; −6; −3) , MN = (1; −2; −1) nên chọn D.

Câu 22. Do AB = ( −4;1; 2 ) , AC = ( 4; −1; −5 ) nên AB. AC = −27. Vậy chọn B.
Câu 23. Ta có cos α =

a.b
a.b

=−

2
⇒ α = 1350. Vậy chọn C.
2

Chọn đáp án D vì nhầm công thức cos α =

Câu 24. Ta có cos α =

a.b
a .b

.

a.b

1
= − ⇒ α = 1200. Vậy chọn D.
2
a .b

Chọn đáp án B vì nhầm công thức cos α =

a.b
a .b

.

13
.Vậy chọn A.
5
 a. x = 0
m + n + p = 0
 m = −1



Câu 26. Gọi x = ( m; n; p ) .Ta có b .x = −5 ⇔  m − n + 2 p = −5 ⇔  n = 2 . Vậy chọn B.
c .x = 5
2m + 3n − p = 5
 p = −1



Câu 25. Ta có a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ m =

Câu 27. Vì M trên trục tung nên gọi M = ( 0; y;0 ) .

y = 4
Ta có tam giác MAB vuông tại M ⇔ MA.MB = 0 ⇔ y 2 − 5 y + 4 = 0 ⇔ 
. Vậy chọn A.
y =1
Câu 28. Ta có AB = (1;1; 2 ) , AC = ( −1; −1;1) nên AB. AC = 0 và AB = 6, AC = 3 . Vậy chọn A.

Trang 9


Câu 29. Ta có AB = ( 3; −1;0 ) , AC = (1;3;0 ) nên AB. AC = 0 và AB = 10, AC = 10 . Vậy chọn D.
Câu 30. Vì M trên trục hoành nên gọi M ( x;0;0 ) .
Ta có MA = MB ⇔

( x − 1)

2

+ 4 +1 =

( x − 2)

2

+ 4 +1 ⇔ x =

3
. Vậy chọn D.
2

Câu 31. Vì M trên mặt phẳng ( Oxz ) nên gọi M ( x;0; z ) .
Ta có AM = ( x − 1; −1; z − 1) , BM = ( x + 1; −1; z ) , CM = ( x − 3; −1; z + 1)
Vì M cách đều ba điểm A (1;1;1) , B ( −1;1;0 ) , C ( 3;1; −1) nên AM = BM = CM .

5


x
=
 AM = BM
4 x + 2 z = 1 
6
. Vậy chọn B.
Ta có 
⇔
⇔
AM
=
CM
x
−
z
=
2
7


z = −

6
Câu 32. Ta có A ( 2;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) , C ( 0;0; 4 ) .
1
1
1
VOABC = OA.S ∆OBC = .OA.OB.OC = .2.3.4 = 4. Vậy chọn B.
3
6

6
IV. Đáp án
Câu
Đáp án
Câu
Đáp án
Câu
1
D
9
C
17
2
A
10
B
18
3
B
11
C
19
4
C
12
A
20
5
A
13

B
21
6
B
14
B
22
7
C
15
A
23
8
A
16
A
24

Đáp án
B
A
D
A
D
B
C
D

Câu
25

26
27
28
29
30
31
32

Đáp án
A
B
A
A
D
D
B
B

Bài 2. Phương trình mặt phẳng
I. Cơ sở lý thuyết
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
- Nếu n ≠ 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng (α ) thì n được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng (α ) .
- Nếu a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , b = ( b1 ; b2 ; b3 ) là hai vectơ không cùng phương và có giá song song hoặc nằm
trong mặt phẳng (α ) thì mặt phẳng (α ) có một vectơ pháp tuyến là

n =  a , b  = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) .
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
- Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là
phương trình tổng quát của mặt phẳng.

- Nếu mặt phẳng (α ) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vectơ pháp
tuyến là n = ( A; B; C ) .

Trang 10


- Mặt phẳng đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận n = ( A; B; C ) làm vectơ pháp tuyến có phương trình
là Ax + By + Cz − ( Ax0 + By0 + Cz0 ) = 0.
- Các trường hợp riêng:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0.

(α ) đi qua gốc tọa độ O ⇔ D = 0.
(α ) song song với trục Oz ⇔ C = 0, D ≠ 0.
(α ) chứa trục Oz ⇔ C = 0, D = 0.
(α ) song song với trục Oy ⇔ B = 0, D ≠ 0.
(α ) chứa trục Oy ⇔ B = 0, D = 0.
(α ) song song với trục Ox ⇔ A = 0, D ≠ 0.
(α ) chứa trục Ox ⇔ A = 0, D = 0.
(α ) song song với ( Oyz ) ⇔ Ax + D = 0 ( D ≠ 0 ) .
(α ) song song với ( Oxz ) ⇔ By + D = 0 ( D ≠ 0 ) .
(α ) song song với ( Oxy ) ⇔ Cz + D = 0 ( D ≠ 0 ) .
- Nếu mặt phẳng (α ) đi qua ba điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) ,

với abc ≠ 0 thì phương trình

x y z
+ + = 1.
a b c
3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (α1 ) và (α 2 ) có phương trình

mặt phẳng (α ) là

(α1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 , (α 2 ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
A1 B1 C1 D1
=
=
≠
.
A2 B2 C2 D2
A
B
C
D
(α1 ) ≡ (α 2 ) ⇔ 1 = 1 = 1 = 1 .
A2 B2 C2 D2
A
B
A C
B
C
(α1 ) cắt (α 2 ) ⇔ 1 ≠ 1 hoặc 1 ≠ 1 hoặc 1 ≠ 1 .
A2 B2
A2 C2
B2 C2
Chú ý:
(α1 ) ⊥ (α 2 ) ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 (trường hợp đặc biệt của cắt nhau).
Trong cách viết trên, ta quy ước một phân số nào đó nếu có mẫu số bằng 0 thì tử số cũng
phải bằng 0.
- Nếu ( β ) : Ax + By + Cz + D = 0 thì (α ) // ( β ) ⇒ (α ) : Ax + By + Cz + D′ = 0 ( D′ ≠ D ) .

4. Góc giữa hai mặt phẳng:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (α1 ) và (α 2 ) có phương trình

(α1 ) // (α 2 ) ⇔

(α1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 , (α 2 ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
(α1 ) và (α 2 ) . Ta có, cos ϕ =

A1 A2 + B1 B2 + C1C2

A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22
5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Trang 11

.

Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng


- Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz ,

(α ) : Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó: d ( M , (α ) ) =

cho điểm

M ( x0 ; y0 ; z0 )

và mặt phẳng

Ax0 + By0 + Cz0 + D

.
A2 + B 2 + C 2
- Nếu (α ) // ( β ) thì d ( (α ) , ( β ) ) = d ( A, ( β ) ) = d ( (α ) , B ) , với A ∈ (α ) , B ∈ ( β ) .
II. Câu hỏi trắc nghiệm
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 3 y + z − 4 = 0. Vectơ nào
dưới đây là vectơ pháp tuyến của ( P ) .

A. n1 = ( 2;3;1) .

B. n2 = ( 2;3; −1) .

C. n3 = ( 4; −6; −2 ) .

D. n4 = ( 2; −3;1) .

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3 x − z + 2 = 0. Vectơ nào dưới
đây là vectơ pháp tuyến của ( P ) .
A. n1 = ( −1;0; −1) .

B. n2 = ( 3; −1; 2 ) .

C. n3 = ( 3; −1;0 ) .

D. n4 = ( 3;0; −1) .

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng

( P)

đi qua điểm

M ( −2;1;3) và nhận vectơ n = ( 3; −5; 4 ) làm vectơ pháp tuyến.
A. ( P ) : 3 x − 5 y + 4 z − 1 = 0.

B. ( P ) : 3 x + 5 y − 4 z − 1 = 0.

C. ( P ) : −2 x + y + 3 z − 1 = 0.

D. ( P ) : 3 x − 5 y + 4 z + 1 = 0.

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng

( P)

đi qua điểm

M ( 4;3;1) và nhận vectơ n = ( 2; −4;3) làm vectơ pháp tuyến.
A. ( P ) : 2 x − 4 y + 3 z + 1 = 0.

B. ( P ) : 2 x − 4 y + 3 z − 1 = 0.

C. ( P ) : 4 x + 3 y + z + 1 = 0.

D. ( P ) : 2 x − 4 y − 3 z + 1 = 0.

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A ( −2;0;0 ) , B ( 0;0; 4 ) , C ( 0;3;0 ) . Viết
phương trình mặt phẳng ( ABC ) .

x y z
x y z
+ + = 1.
B. ( ABC ) :
+ + = 0.
−2 3 4
−2 3 4
x y z
x y z
C. ( ABC ) :
+ + = −1.
D. ( ABC ) :
+ + = 1.
−2 3 4
−2 4 3
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A (1;0;0 ) , B ( 0; −2;0 ) , C ( 0;0;3) . Phương
A. ( ABC ) :

trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng ( ABC ) ?

x y z
x y z
+
+ = 1.
B.
+ + = 1.
3 −2 1
−2 1 3
x y z

x y z
C. +
+ = 1.
D. + +
= 1.
1 −2 3
3 1 −2
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 2;3; −5 ) và B ( −1;4;0 ) . Viết phương
A.

trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng AB.

A. ( P ) : −3x + y + 5 z + 28 = 0.

B. ( P ) : −3x + y + 5 z − 28 = 0.

C. ( P ) : 2 x + 3 y − 5 z + 28 = 0.

D. ( P ) : 3 x − y − 5 z + 28 = 0.
Trang 12


Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt
phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A ( 2;3;7 ) và B ( 4;1;3) .
A. x − y − 2 z + 9 = 0.
B. x − y − 2 z + 15 = 0.
C. x − y − 2 z + 3 = 0.
D. x − y − 2 z = 0.
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt
phẳng đi qua điểm A ( 0; −1; 2 ) và song song với giá của mỗi vectơ u = ( 3; 2;1) và v = ( −3;0;1) .

A. x + 3 y + 3z − 3 = 0.
B. x + 3 y + 3z + 3 = 0.
C. x − 3 y + 3z − 9 = 0.
D. x − 3 y + 3z + 9 = 0.
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt
phẳng đi qua điểm M ( 2;6; −3) và song song với mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) .
A. x = 2.
B. y = 6.
C. z = −3.
D. 2 x + 6 y − 3 z = 0.
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt
phẳng đi qua điểm M ( 2;6; −3) và song song với mặt phẳng tọa độ ( Oyz ) .
A. x = 2.
B. y = 6.
C. z = −3.
D. 2 x + 6 y − 3 z = 0.
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt
phẳng đi qua điểm M ( 2;6; −3) và song song với mặt phẳng tọa độ ( Oxz ) .
A. x = 2.
B. y = 6.
C. z = −3.
D. 2 x + 6 y − 3 z = 0.
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt
phẳng đi qua điểm P ( 4; −1; 2 ) và chứa trục Ox.
A. x + 4 y = 0.
B. x − 2 z = 0.
C. 2 y + z = 0.
D. 4 x − y − 2 z = 0.
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt
phẳng đi qua điểm P ( 4; −1; 2 ) và chứa trục Oy.

A. x + 4 y = 0.
B. x − 2 z = 0.
C. 2 y + z = 0.
D. 4 x − y − 2 z = 0.
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt
phẳng đi qua điểm P ( 4; −1; 2 ) và chứa trục Oz.
A. x + 4 y = 0.
B. x − 2 z = 0.
C. 2 y + z = 0.
D. 4 x − y − 2 z = 0.
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt
phẳng đi qua ba điểm A ( 5;1;3) , B ( 5;0; 4 ) , C ( 4;0;6 ) .
A. 2 x + y + z + 14 = 0.
B. 2 x + y + z − 14 = 0.
C. 2 x − y + z + 12 = 0.
D. 2 x − y + z − 12 = 0.
Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt
phẳng đi qua ba điểm A (1;6;2 ) , B ( 5;0; 4 ) , C ( 4;0;6 ) .
A. 6 x − 5 y + 3z − 18 = 0.
B. 6 x + 5 y + 3z + 42 = 0.
Trang 13


C. 6 x − 5 y + 3z + 18 = 0.
D. 6 x + 5 y + 3z − 42 = 0.
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có các đỉnh là
A ( 5;1;3) , B (1;6; 2 ) , C ( 5;0;4 ) , D ( 4;0;6 ) . Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua cạnh AB và song
song với cạnh CD.
A. (α ) :10 x + 9 y + 5 z + 74 = 0.
B. (α ) :10 x + 9 y + 5 z − 74 = 0.

C. (α ) :10 x − 9 y + 5 z − 56 = 0.

D. (α ) :10 x − 9 y + 5 z + 56 = 0.

Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −2;3; −1) và mặt phẳng

( Q ) : 2 x − 3 y + z − 11 = 0. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M và song song với mặt
phẳng ( Q ) .
A. ( P ) : 2 x − 3 y + z + 14 = 0.
B. ( P ) : 2 x − 3 y + z − 14 = 0.
C. ( P ) : 2 x + 3 y + z − 4 = 0.
D. ( P ) : 2 x + 3 y + z + 4 = 0.
Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 2; −3; −1) và mặt phẳng
( Q ) : 2 x + 3 y − z − 11 = 0. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M và song song với mặt
phẳng ( Q ) .
A. ( P ) : 2 x + 3 y − z − 4 = 0.
B. ( P ) : 2 x + 3 y − z + 4 = 0.
C. ( P ) : 2 x + 3 y + z + 6 = 0.
D. ( P ) : 2 x + 3 y + z − 6 = 0.
Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2; −1;1) , B (1; 2; 2 ) và mặt phẳng
(α ) : x − y + 2 z + 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa đường thẳng AB và vuông góc với
mặt phẳng (α ) .
A. ( β ) : 7 x − 3 y − 2 z − 15 = 0.
B. ( β ) : 7 x + 3 y − 2 z + 9 = 0.
C. ( β ) : 7 x + 3 y − 2 z − 9 = 0.
D. ( β ) : 7 x − 3 y − 2 z + 15 = 0.
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2;1; 2 ) , B (1; 2; −1) . Viết phương
trình mặt phẳng (α ) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng ( Oxy ) .
A. (α ) : 3 y + z − 5 = 0.
B. (α ) : 3 x − z − 4 = 0.

C. (α ) : 2 x + 2 y − 4 = 0.
D. (α ) : x + y − 3 = 0.
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt
phẳng đi qua điểm A (1; 2; −1) và vuông góc với hai mặt phẳng có phương trình 2 x + y = 0 và
x = z + 1.
A. 2 x + y − 4 = 0.
B. x − 2 y + z + 4 = 0.
C. x − z − 2 = 0.
D. − x + 2 y − 3 z − 6 = 0.
Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) có phương trình

x + 2 y − z − 7 = 0. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng song song với ( P ) và
đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB với A ( 3; −1; −4 ) và B ( −1;5; 2 ) .
A. x + 2 y − z − 3 = 0.
B. x + 2 y − z − 7 = 0.
C. x + 2 y − z − 5 = 0.
D. x + 2 y − z − 6 = 0.
Trang 14


Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ

(α ) : 2 x + my + 3z − 5 = 0
n sao cho (α ) song song với ( β ) .

Oxyz ,

( β ) : nx − 8 y − 6 z + 2 = 0. Tìm tất cả các tham số thực m và

cho

A. m = 4 và n = −4.
B. m = −4 và n = 4.
1
1
C. m = và n = −4.
D. m = 4 và n = − .
4
4
Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho (α ) : 3 x − 5 y + mz − 3 = 0

( β ) : 2 x + ny − 3z + 1 = 0. Tìm tất cả các tham số thực m và

và

và

n sao cho (α ) song song với ( β ) .

2
10
9
3
và n = − .
B. m = − và n = − .
9
3
2
10
9

10
2
3
C. m = − và n = − .
D. m = − và n = − .
2
3
9
10
Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3 x + 2 y − z − 5 = 0 và mặt
A. m = −

phẳng ( Q ) : 6 x + 4 y + mz + 1 = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai mặt phẳng ( P ) và

(Q )

vuông góc với nhau.
A. m = −26.
B. m = 26.

C. m = −2.

D. m = 2.

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : m x + 3 y + ( m 2 − 2 ) z − 5 = 0 và
2

mặt phẳng ( Q ) : 4 x + m 2 y − 8 z + 2 = 0. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai mặt phẳng ( P ) và

(Q )

vuông góc với nhau.

A. m = 2 hoặc m = − 2.
B. m = 16 hoặc m = −16.
C. m = 1 hoặc m = −1.
D. m = 4 hoặc m = −4.
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tính khoảng cách d từ điểm N ( −3;1; −5 ) đến mặt
phẳng ( P ) : 2 x − 5 y − 2 z − 3 = 0.

4 33
8 33
33
4 35
.
B. d =
.
C. d =
.
D. d =
.
33
33
33
35
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3 x + 4 y + 2 z + 4 = 0 và điểm
A. d =

A (1; −2;3) . Tính khoảng cách d từ A đến ( P ) .
5

5
5
5
A. d = .
B. d = .
C. d =
.
D. d =
.
9
29
3
29
Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tính khoảng cách d giữa hai mặt phẳng song song
(α ) : x + 2 y + 2 z + 11 = 0 và ( β ) : x + 2 y + 2 z + 2 = 0.
2
2
A. d = .
B. d = .
C. d = 1.
D. d = 3.
3
9
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 0; 4;0 ) , C ( 0;0;6 ) . Tính
chiều cao h của hình chóp O. ABC .
12
13
7
9
A. h = .

B. h = .
C. h = .
D. h = .
7
3
5
2
Trang 15


Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tọa độ điểm M trên trục Oy cách đều hai mặt
phẳng có phương trình x + 2 y − 2 z + 1 = 0 và 2 x + y + 2 z − 1 = 0.
 1 
A. M ( 0; −1;0 ) .
B. M  0; ;0  .
 2 
C. M ( 0;1;0 ) .
D. M ( 0;0;0 ) và M ( 0; −2;0 ) .
Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) và ( P′ ) lần lượt có phương
trình x + 2 y − 2 z + 1 = 0 và x − 2 y + 2 z − 1 = 0. Gọi ( S ) là tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng
( P ) và ( P′ ) . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. ( S ) là mặt phẳng có phương trình x = 0.
B. ( S ) là mặt phẳng có phương trình 2 y − 2 z + 1 = 0.
C. ( S ) là đường thẳng xác định bởi giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình x = 0 và
2 y − 2 z + 1 = 0.
D. ( S ) là hai mặt phẳng có phương trình x = 0 và 2 y − 2 z + 1 = 0.
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A (1; −2;0 ) , B ( 0; −1;1) , C ( 2;1; −1) ,

D ( 3;1; 4 ) . Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó ?

A. 1 mặt phẳng.
B. 4 mặt phẳng.
C. 7 mặt phẳng.
D. Có vô số mặt phẳng
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y − 2 z + 1 = 0. Tính côsin
của góc giữa ( P ) với mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) .

2
2
.
D. − .
3
3
Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng lần lượt có
phương trình x + y + z + 1 = 0 và 2 x − y − z − 1 = 0.
1
1
A. 1.
B. 0.
C.
.
D.
.
3 2
3
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho (α ) : x + 2 y − z + 2 = 0 và
A. 1.

B. 0.

( β ) : x − y + 2 z − 5 = 0. Gọi ϕ
A. ϕ = 900.
Câu 39. Trong

là góc giữa hai mặt phẳng (α ) và ( β ) . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

B. ϕ = 450.
không gian với

( Q ) : x + y + 2 z − 1 = 0.

C.

hệ

tọa

C. ϕ = 600.
độ Oxyz , cho

D. ϕ = 1200.
( P) : x + 3y − 2z + 1 = 0

và

Trong các mặt phẳng dưới đây, mặt phẳng nào tạo với ( P ) góc có số đo lớn

nhất.
A. Mặt phẳng ( Oxy ) .

B. Mặt phẳng ( Oyz ) .

C. Mặt phẳng ( Oxz ) .
D. Mặt phẳng ( Q ) .
III. Hương dẫn giải và phân tích các phương án gây nhiễu
Câu 1. Chọn D.
Câu 2. Chọn D.
Chọn đáp án B vì nhìn nhầm hệ số của y.
Câu 3. ( P ) có dạng 3 ( x + 2 ) − 5 ( y − 1) + 4 ( z − 3) = 0 ⇔ 3 x − 5 y + 4 z − 1 = 0. Vậy chọn A.
Trang 16


Chọn đáp án D vì áp dụng công thức A ( x + x0 ) + B ( y + y0 ) + C ( z + z0 ) = 0.
Chọn đáp án C vì thế nhầm điểm đi qua và vectơ pháp tuyến.
Câu 4. ( P ) có dạng 2 ( x − 4 ) − 4 ( y − 3) + 3 ( z − 1) = 0 ⇔ 2 x − 4 y + 3z + 1 = 0. Vậy chọn A.
Chọn đáp án B vì áp dụng công thức A ( x + x0 ) + B ( y + y0 ) + C ( z + z0 ) = 0.
Chọn đáp án C vì thế nhầm điểm đi qua và vectơ pháp tuyến.
Câu 5. Chọn A.
Chọn các đáp án B hoặc C hoặc D vì không nhớ công thức phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Câu 6. Chọn C.
Chọn các đáp án A hoặc B hoặc D vì không nhớ công thức phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

Câu 7. ( P ) có 1 VTPT là AB = ( −3;1;5 ) ⇒ ( P ) : −3x + y + 5 z + 28 = 0. Vậy chọn A.
Chọn đáp án B vì áp dụng công thức A ( x + x0 ) + B ( y + y0 ) + C ( z + z0 ) = 0.
Chọn đáp án C vì thế nhầm điểm đi qua và vectơ pháp tuyến.
Câu 8. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm của AB là I ( 3; 2;5 ) và có 1
VTPT là n = (1; −1; −2 ) . Vậy chọn A.
Chọn đáp án B vì cho rằng mặt phẳng trung trực đi qua điểm A.
Chọn đáp án C vì cho rằng mặt phẳng trung trực đi qua điểm B.
Chọn đáp án D vì cho rằng mặt phẳng trung trực đi qua điểm O.

1
Câu 9. Mặt phẳng đi qua điểm A ( 0; −1; 2 ) và có 1 VTPT là  a, b  = (1; −3;3) . Vậy chọn C.
2
Chọn đáp án A vì tính sai tích có hướng của hai vectơ a , b .
Chọn đáp án B vì tính sai tích có hướng của hai vectơ a , b và áp dụng công thức
A ( x + x0 ) + B ( y + y0 ) + C ( z + z0 ) = 0.
Chọn đáp án D vì áp dụng công thức A ( x + x0 ) + B ( y + y0 ) + C ( z + z0 ) = 0.

Câu 10. Mặt phẳng đi qua điểm M ( 2;6; −3) và có 1 VTPT là k = ( 0;0;1) . Vậy chọn C.
Chọn đáp án A hoặc B vì nhầm song song với ( Oyz ) hoặc ( Oxz ) .
Chọn đáp án D vì cho rằng điểm M là VTPT và điểm đi qua là O.
Câu 11. Mặt phẳng đi qua điểm M ( 2;6; −3) và có 1 VTPT là i = (1;0;0 ) . Vậy chọn A.
Chọn đáp án B hoặc C vì nhầm song song với ( Oxz ) hoặc ( Oxy ) .
Chọn đáp án D vì cho rằng điểm M là VTPT và điểm đi qua là O.
Câu 12. Mặt phẳng đi qua điểm M ( 2;6; −3) và có 1 VTPT là j = ( 0;1;0 ) . Vậy chọn B.
Chọn đáp án A hoặc C vì nhầm song song với ( Oyz ) hoặc ( Oxy ) .
Chọn đáp án D vì cho rằng điểm M là VTPT và điểm đi qua là O.
Câu 13. Do (α ) chứa trục Ox ⇔ A = 0, D = 0. Vậy chọn C.
Chọn đáp án A hoặc B vì nhầm chứa trục Oz hoặc Oy.
Chọn đáp án D vì cho rằng điểm P là VTPT và điểm đi qua là O.
Câu 14. Do (α ) chứa trục Oy ⇔ B = 0, D = 0. Vậy chọn B.
Chọn đáp án A hoặc C vì nhầm chứa trục Oz hoặc Ox.
Trang 17


Chọn đáp án D vì cho rằng điểm P là VTPT và điểm đi qua là O.
Câu 15. Do (α ) chứa trục Oz ⇔ C = 0, D = 0. Vậy chọn A.
Chọn đáp án B hoặc C vì nhầm chứa trục Oy hoặc Ox.
Chọn đáp án D vì cho rằng điểm P là VTPT và điểm đi qua là O.
Câu 16. Mặt phẳng đi qua điểm A ( 5;1;3) và có 1 VTPT là −  AB, AC  = ( 2;1;1) . Vậy chọn B.

Chọn đáp án D vì tính sai tích có hướng của hai vectơ AB, AC.
Chọn đáp án C vì tính sai tích có hướng của hai vectơ AB, AC và áp dụng công thức
A ( x + x0 ) + B ( y + y0 ) + C ( z + z0 ) = 0.
Chọn đáp án A vì áp dụng công thức A ( x + x0 ) + B ( y + y0 ) + C ( z + z0 ) = 0.

1
Câu 17. Mặt phẳng đi qua điểm A (1;6; 2 ) và có 1 VTPT là −  AB, AC  = ( 6;5;3) . Vậy chọn D.
2
Chọn đáp án C vì tính sai tích có hướng của hai vectơ AB, AC.
Chọn đáp án A vì tính sai tích có hướng của hai vectơ AB, AC và áp dụng công thức
A ( x + x0 ) + B ( y + y0 ) + C ( z + z0 ) = 0.
Chọn đáp án B vì áp dụng công thức A ( x + x0 ) + B ( y + y0 ) + C ( z + z0 ) = 0.

Câu 18. Mặt phẳng (α ) đi qua điểm A ( 5;1;3) và có 1 VTPT là  AB, CD  = (10;9;5 ) . Vậy chọn B.
Chọn đáp án C vì tính sai tích có hướng của hai vectơ AB, AC.
Chọn đáp án D vì tính sai tích có hướng của hai vectơ AB, AC và áp dụng công thức
A ( x + x0 ) + B ( y + y0 ) + C ( z + z0 ) = 0.
Chọn đáp án A vì áp dụng công thức A ( x + x0 ) + B ( y + y0 ) + C ( z + z0 ) = 0.

Câu 19. Vì ( P ) song song ( Q ) nên ( P ) : 2 x − 3 y + z + D = 0. Do ( P ) đi qua M nên D = 14.
Vậy chọn A.
Chọn đáp án B vì tính sai D.
Câu 20. Vì ( P ) song song ( Q ) nên ( P ) : 2 x + 3 y − z + D = 0. Do ( P ) đi qua M nên D = 4.
Vậy chọn B.
Chọn đáp án A vì tính sai D.

Câu 21. Mặt phẳng ( β ) đi qua A ( 2; −1;1) và có 1 VTPT là  AB, n (α )  = ( 7;3; −2 ) . Vậy chọn C.


Chọn đáp án A vì tính sai tích có hướng của hai vectơ AB, n(α ) .

Chọn đáp án D vì tính sai tích có hướng của hai vectơ AB, n(α ) và áp dụng công thức

A ( x + x0 ) + B ( y + y0 ) + C ( z + z0 ) = 0.
Chọn đáp án B vì áp dụng công thức A ( x + x0 ) + B ( y + y0 ) + C ( z + z0 ) = 0.

Câu 22. Mặt phẳng (α ) đi qua A ( 2;1; 2 ) và có 1 VTPT là  AB, k  = (1;1;0 ) . Vậy chọn D.
Chọn đáp án A hoặc B vì nhầm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( Oxy ) là i (1;0;0 ) hoặc j ( 0;1;0 ) .
Trang 18


Câu 23. Mặt phẳng (α ) đi qua A (1; 2; −1) và có 1 VTPT là −  n ( β ) , n (γ )  = (1; −2;1) . Vậy chọn B.


Chọn đáp án A vì nhầm vectơ pháp tuyến là n = ( 2;1;0 ) .
Chọn đáp án C vì nhầm vectơ pháp tuyến là n = (1;0; −1) .
Chọn đáp án D vì nhầm vectơ pháp tuyến là n =  a , b  , với a = ( 2;1;0 ) và b = (1; −1; −1) .

Câu 24. Vì ( Q ) song song

( P)

nên

( Q ) : x + 2 y − z + D = 0. Do ( Q )

đi qua I (1; 2; −1)

nên

( Q ) : x + 2 y − z − 6 = 0. Vậy chọn D.

Chọn đáp án C vì nhầm mặt phẳng đi qua điểm A.
Chọn đáp án B vì nhầm mặt phẳng đi qua điểm B.
2 m
3 −5
Câu 25. Ta có (α ) // ( β ) ⇔ =
=
≠ . Vậy chọn A.
n −8 −6 2
Chọn đáp án B hoặc C hoặc D vì thực hiện sai các phép biến đổi.
3 −5 m −3
Câu 26. Ta có (α ) // ( β ) ⇔ =
=
≠ . Vậy chọn C.
2 n −3 1
Chọn đáp án A hoặc B hoặc D vì thực hiện sai các phép biến đổi.

Câu 27. ( P ) có 1VTPT là n = ( 3; 2; −1) . ( Q ) có 1VTPT là u = ( 6;4; m )
Ta có ( P ) ⊥ ( Q ) ⇔ n.u = 0 ⇔ m = 26. Vậy chọn B.
Chọn đáp án C vì nhầm với điều kiện hai mặt phẳng song song.

Câu 28. ( P ) có 1VTPT là n = ( m 2 ;3; m 2 − 2 ) . ( Q ) có 1VTPT là u = ( 4; m 2 ; −8 )
Ta có ( P ) ⊥ ( Q ) ⇔ n.u = 0 ⇔ m 2 − 16 = 0 . Vậy chọn D.
Câu 29. Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Chọn A.
2. ( −3) − 5.1 − 2. ( −5 ) − 3 4 35
Chọn đáp án D vì áp dụng công thức d =
.
=
2
2
2

35
−
3
+
1
+
−
5
( )
( )
Chọn đáp án C vì áp dụng công thức d =

Chọn đáp án B vì áp dụng công thức d =

2. ( −3) − 5.1 − 2. ( −5 )
2

22 + ( −5 ) + ( −2 )

=

2

2. ( −3) + 5.1 + 2. ( −5 ) + 3
2

22 + ( −5 ) + ( −2 )

2

33
.
33
=

8 33
.
33

Câu 30. Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Chọn C.
Câu 31. Lấy A ( −11;0;0 ) ∈ (α ) . Khi đó d = d ( A; ( β ) ) = 3 . Vậy chọn D.

x y z
12
+ + = 1 ⇔ 6 x + 3 y + 2 z − 12 = 0 . h = d ( O; ( ABC ) ) = . Vậy chọn A.
2 4 6
7
Câu 33. M trên trục Oy nên gọi M ( 0; m;0 ) .
Câu 32. Ta có ( ABC ) :

d ( M , (α ) ) = d ( M , ( β ) ) ⇔

2m + 1 m − 1
 m = −2
. Vậy chọn D.
=
⇔
3
3
m = 0

Trang 19


Câu 34. Gọi M ( x; y; z ) là điểm cách đều hai mặt phẳng

( P)

và

( P′ ) .

Khi đó :

x + 2 y − 2z + 1 x + 2 y − 2z −1
2 y − 2 z + 1 = 0
. Vậy chọn D.
=
⇔
=
x
0
3
3

Chọn đáp án C vì nhầm kí hiệu [ và { .
d ( M , ( P ) ) = d ( M , ( P′ ) ) ⇔

Câu 35. Ta có AB = ( −1;1;1) , AC = (1;3; −1) , AD = ( 2;3; 4 ) .
Do đó:  AB, AC  = ( −4;0; −4 ) ⇒  AB, AC  . AD = −24 ≠ 0. Suy ra ABCD là một tứ diện.
Khi đó, có 7 mặt phẳng cách đều bốn điểm đã cho bao gồm:

Mặt phẳng qua trung điểm của AD và song song với mặt phẳng ( ABC ) .
Mặt phẳng qua trung điểm của AD và song song với mặt phẳng ( BCD ) .
Mặt phẳng qua trung điểm của AB và song song với mặt phẳng ( ACD ) .
Mặt phẳng qua trung điểm của
Mặt phẳng qua trung điểm của
Mặt phẳng qua trung điểm của
Mặt phẳng qua trung điểm của
Vậy chọn C.
Chọn đáp án D vì cho rằng A, B, C , D

BC
AB
AC
BC

và song song với mặt phẳng ( ABD ) .
và CD , đồng thời song song với BC , AD.
và BD , đồng thời song song với BC , AD.
và AD , đồng thời song song với AB, CD.

đồng phẳng.

Câu 36. ( P ) có 1VTPT là n = ( 2; −1; −2 ) , ( Oxy ) có 1VTPT là k = ( 0;0;1) . Vậy chọn C.
Câu 37. ( P ) có 1VTPT là n = (1;1;1) , ( Q ) có 1VTPT là u = ( 2; −1; −1) . Vậy chọn B.
Câu 38. (α ) có 1VTPT là n = (1; 2; −1) , ( β ) có 1VTPT là u = (1; −1; 2 ) . Vậy chọn C.
Câu 39. ( P ) có 1VTPT là n = (1;3; −2 ) , ( Q ) có 1VTPT là u = (1;1; 2 ) . Ta có n.u = 0 ⇒ ( P ) ⊥ ( Q ) .
Vậy chọn D.
IV. Đáp án
Câu
Đáp án

Câu
Đáp án
Câu
Đáp án
Câu
Đáp án
1
D
11
A
21
C
31
D
2
D
12
B
22
D
32
A
3
A
13
C
23
B
33
D

4
A
14
B
24
D
34
D
5
A
15
A
25
A
35
C
6
C
16
B
26
C
36
C
7
A
17
D
27
B

37
B
8
A
18
B
28
D
38
C
9
C
19
A
29
A
39
D
10
C
20
B
30
C

Trang 20


Bài 3. Phương trình đường thẳng
I. Cơ sở lý thuyết

1. Vectơ a ≠ 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của a song song hoặc
trùng với đường thẳng ∆.
2. Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ chỉ phương

 x = x0 + a1t

a = ( a1 ; a2 ; a3 ) là phương trình có dạng  y = y0 + a2t ( t ∈ ℝ ) .
z = z + a t
0
3

x − x0 y − y0 z − z0
3. Nếu a1a2 a3 ≠ 0 thì phương trình chính tắc của ∆ :
=
=
.
a1
a2
a3
4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
 x = x0 + a1t
 x = x0′ + a1′t ′


Trong không gian Oxyz , cho d :  y = y0 + a2t và d ′ :  y = y0′ + a′2t ′ ( t , t ′ ∈ ℝ ) .
z = z + a t
 z = z ′ + a′ t ′
0
3
0

3


Đường thẳng d đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ chỉ phương a = ( a1 ; a2 ; a3 ) .
Đường thẳng d ′ đi qua điểm M ′ ( x0′ ; y0′ ; z0′ ) và có vectơ chỉ phương a′ = ( a1′; a2′ ; a3′ ) .
 x0 + a1t = x0′ + a1′t ′

Xét hệ phương trình  y0 + a2t = y0′ + a2′ t ′ (*) .
 z + a t = z ′ + a ′t ′
0
3
 0 3


a = ka′
[ a , a′] = 0
- d song song với d ′ ⇔ 
⇔
M ∉ d ′
  a , MM ′  ≠ 0.

a = ka′
[ a , a′] = 0
- d trùng với d ′ ⇔ 
⇔
M ∈ d ′
  a , MM ′  = 0.
[ a , a′] ≠ 0
- d cắt với d ′ ⇔ (*) có đúng một nghiệm ⇔ 
[ a , a′].MM ′ = 0.

a và a′ không cùng phöông
- d chéo với d ′ ⇔ 
⇔ [ a , a′].MM ′ ≠ 0.
( *) voânghieäm
- Chú ý: d vuông góc với d ′ ⇔ a.a′ = 0 (trường hợp đặc biệt của cắt nhau hoặc chéo nhau).
5. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
 x = x0 + a1t

Trong không gian Oxyz , cho d :  y = y0 + a2t ( t ∈ ℝ ) và (α ) : Ax + By + Cz + D = 0.
z = z + a t
0
3

Đường thẳng d đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ chỉ phương a = ( a1 ; a2 ; a3 ) .
Mặt phẳng (α ) có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) .
Trang 21


 x = x0 + a1t
y = y + a t

0
2
Xét hệ phương trình 
(*) .
z
=
z
+
a

t
0
3

 Ax + By + Cz + D = 0
a.n = 0
- d song song với (α ) ⇔ (*) vô nghiệm ⇔ 
 M ∉ (α ) .
a.n = 0
- d nằm trong (α ) ⇔ (*) có vô số nghiệm ⇔ 
 M ∈ (α ) .
- d cắt (α ) ⇔ (*) có đúng một nghiệm ⇔ a.n ≠ 0.
- Chú ý: d vuông góc với (α ) ⇔ a = k .n ⇔ [ a , n ] = 0 (trường hợp đặc biệt của cắt nhau).
6. Góc giữa hai đường thẳng:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương a = ( a1 ; a2 ; a3 ) .
Đường thẳng d ′ có vectơ chỉ phương a′ = ( a1′; a2′ ; a3′ ) .
Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng d và d ′. Ta có: cos φ =

a.a′
.
a . a′

7. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương a = ( a1 ; a2 ; a3 ) .
Mặt phẳng (α ) có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) .
Gọi γ là góc giữa hai đường thẳng d và mặt phẳng (α ) . Ta có: sin γ =

a.n
.
a.n

II. Câu hỏi trắc nghiệm

 x = 2 − 3t

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y = 1 + t (t ∈ ℝ). Vectơ nào
 z = −4t

dưới đây là vectơ chỉ phương của d ?
A. u1 = ( 2;1;0 ) .
B. u2 = ( −3;1; −4 ) .
C. u3 = ( −3;1;0 ) .

D. u4 = ( 3; −1; −4 ) .

x = 1

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y = 2 + 3t (t ∈ ℝ ). Vectơ nào
z = 5 − t

dưới đây là vectơ chỉ phương của d ?
B. u1 = (1;3; −1) .
A. u2 = ( 0;3; −1) .
C. u3 = (1; −3; −1) .

D. u4 = (1; 2;5 ) .

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
dưới đây thuộc đường thẳng d ?
Trang 22

x−2 y +2 z −3
=
=
. Điểm nào
3
−4
5


A. M ( 3; −4;5 ) .

B. N ( −2; 2; −3) .

C. P ( 2; −2;3) .

D. Q ( −3; 4; −5 ) .

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( −2;1;3) , B ( 3; −1;0 ) . Vectơ nào dưới
đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB ?
A. u1 = ( 3; −1;0 ) .
B. u2 = (1;0;3) .
C. u3 = ( −2;1;3) .

D. u4 = ( 5; −2; −3) .

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d đi qua M ( 2;1; −4 ) và có vectơ
chỉ phương a = ( 3; 2; −1) . Viết phương trình tham số của đường thẳng d .

 x = 2 + 3t


A. d :  y = 1 + 2t (t ∈ ℝ ).
 z = −4 − t


 x = 3 + 2t

B. d :  y = 2 + t (t ∈ ℝ).
 z = −1 − 4t


 x = 2 + 3t

C. d :  y = 2 + t (t ∈ ℝ ).
 z = −4 − t


 x = 3 + 2t

D. d :  y = 1 + 2t (t ∈ ℝ ).
 z = −4 − t


Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d đi qua M ( 3; −4;5 ) và có vectơ
chỉ phương a = ( 2; −2;3) . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d .

x −2 y + 2 z −3
x−3 y +4 z −5
=
=

.
B. d :
=
=
.
3
−4
5
2
−2
3
x+3 y −4 z +5
x−3 y +4 z −3
C. d :
=
=
.
D. d :
=
=
.
−2
−2
2
3
2
5
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua
hai điểm A ( 5; −2; −3) , B ( 2;1; −1) .
A. d :

 x = 5 + 3t

A. d :  y = 2 + 3t (t ∈ ℝ ).
 z = 3 + 2t


 x = −3 + 5t

B. d :  y = 3 − 2t (t ∈ ℝ).
 z = 2 − 3t


 x = 5 + 3t
 x = 5 − 3t


C. d :  y = 2 + 3t (t ∈ ℝ).
D. d :  y = −2 + 3t (t ∈ ℝ ).
 z = −3 + 2t
 z = −3 + 2t


Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua
hai điểm M ( 2; −1; 4 ) , N ( −1;3; 2 ) .
x +1 y − 3 z − 2
x + 2 y −1 z + 4
=
=
.

B. d :
=
=
.
−3
4
−2
−3
4
−2
x −1 y + 3 z + 2
x+3 y −4 z +2
C. d :
=
=
.
D. d :
=
=
.
−3
4
−2
2
−1
4
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của đường
thẳng đi qua điểm A ( 2; −1;3) và vuông góc với mặt phẳng (α ) có phương trình x + y − z + 5 = 0.

A. d :

A.

x + 2 y −1 z + 3
=
=
.
1
1
−1

B.
Trang 23

x − 2 y +1 z − 3
=
=
.
1
1
−1


x −1 y −1 z +1
x +1 y +1 z −1
=
=
.
D.
=

=
.
2
−1
3
2
−1
3
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của
đường thẳng đi qua điểm B ( 2;1; −3) và song song với đường thẳng ∆ có phương trình

C.

 x = 1 + 2t

 y = −3 + 3t ( t ∈ ℝ ) .
 z = 4t

x−2 y −3 z −4
A.
=
=
.
2
1
−3
x − 2 y −1 z + 3
C.
=
=

.
2
3
4

x+2 y +3 z +4
=
=
.
2
1
−3
x + 2 y +1 z − 3
D.
=
=
.
2
3
4
x = 1+ t
 x = 2 + 2t ′


Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho d :  y = 2t và d ′ :  y = 3 + 4t ′ , với t , t ′ ∈ ℝ.
z = 3 − t
 z = 5 − 2t ′


Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. d song song với d ′.
B. d trùng với d ′.
C. d cắt và vuông góc với d ′.
D. d chéo và không vuông góc với d ′.
x = 3 − t

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho d :  y = 4 + t ( t ∈ ℝ ) và
 z = 5 − 2t

x−2 y −5 z −3
d′ :
=
=
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
−3
3
−6
A. d song song với d ′.
B. d trùng với d ′.
C. d cắt và vuông góc với d ′.
D. d chéo và không vuông góc với d ′.
x −1 y − 2 z − 3
=
=
và
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho d :
1
3
−1
x − 2 y + 2 z −1

d′ :
=
=
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
−2
1
3
B. d trùng với d ′.
A. d song song với d ′.
C. d cắt và không vuông góc với d ′.
D. d chéo và vuông góc với d ′.
x −1 y +1 z − 5
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho d :
=
=
và
2
3
1
x −1 y + 2 z +1
d′ :
=
=
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
3
2
2
A. d song song với d ′.
B. d trùng với d ′.
C. d cắt và vuông góc với d ′.

D. d chéo và không vuông góc với d ′.
x −1 y + 2 z − 3
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho d :
=
=
và
1
1
−1
x − 3 y −1 z − 5
d′ :
=
=
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
1
2
3
A. d cắt và không vuông góc với d ′.
B. d chéo và vuông góc với d ′.
B.

Trang 24


C. d cắt và vuông góc với d ′.

D. d chéo và không vuông góc với d ′.
 x = 2 − 2t
x − 2 y −1 z


Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho d :  y = 3
=
= .
( t ∈ ℝ ) và d ′ :
1
−1 2
z = t

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. d cắt và không vuông góc với d ′.
B. d chéo và vuông góc với d ′.
′
D. d chéo và không vuông góc với d ′.
C. d cắt và vuông góc với d .
Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 2; −1;1) và hai đường thẳng

x = t
x y +1 z

d :  y = 2 − 2t ( t ∈ ℝ ) và d ′ : =
= . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và
1
−1
2
z = 0

vuông góc với cả d , d ′.
x + 2 y −1 z +1
x − 2 y +1 z −1
A. ∆ :

=
=
.
B. ∆ :
=
=
.
−4
−2
−4
−2
1
1
x − 4 y − 2 z +1
x + 4 y + 2 z −1
C. ∆ :
=
=
.
D. ∆ :
=
=
.
2
−1
1
2
−1
1
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1;0; 2 ) và đường thẳng d có phương

x −1 y z +1
= =
. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A , vuông góc và cắt d .
1
1
2
x −1 y z − 2
x −1 y z − 2
A. ∆ :
= =
.
B. ∆ :
= =
.
1
1
1
1
1
−1
x −1 y z − 2
x −1 y z − 2
C. ∆ :
= =
.
D. ∆ :
=
=
.

2
2
1
1
−3
1
x − 2 y −1 z
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d1 :
=
=
và
1
−1 2
 x = 2 − 2t

d2 :  y = 3
( t ∈ ℝ ) . Viết phương trình đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của d1 , d 2 .
z = t

x−2 y −3 z
x+ 2 y −3 z
A. ∆ :
=
= .
B. ∆ :
=
= .
1
5
2

1
−5
2
x −1 y + 3 z −1
x−2 y −3 z
C. ∆ :
=
=
.
D. ∆ :
=
= .
1
5
2
2
1
3
 x = 12 + 4t

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y = 9 + 3t ( t ∈ ℝ ) và mặt
z = 1+ t

phẳng ( P ) : 3 x + 5 y − z − 2 = 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
trình:

A. d cắt và không vuông góc với ( P ) .

B. d vuông góc với ( P ) .

C. d song song với ( P ) .

D. d nằm trong ( P ) .
Trang 25