Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian pdf

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN
$1. MẶT PHẲNG
===================
Dạng 1. Bài tập cơ bản
Bài 1. Cho 3 điểm A(0;-1;1), B(1;0;0) và
C(-1;2;0)
1) Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh
của một tam giác.
2) Tìm chu vi và diện tích ∆ABC
3) Tìm tọa độ trung điểm các cạnh và tọa
độ trọng tâm ∆ABC
Bài 2. Cho 3 điểm A(1;0;1), B(-1;-1,0)
và C(2;1;1)
1) Chứng minh rằng 3 vectơ
OCOBOA ,,
không đồng phẳng
2) Tính thể tích hình chóp OABC.
3) Tìm trên mặt phẳng Oyz các điểm
cách đều A, B, C.

Dạng 2. Phương trình mặt phẳng
Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng (P)
thỏa mãn
1) đi qua điểm A(1;-1;3) và có véc tơ
pháp tuyến (1;0;-3)
2) đi qua điểm B(2;0;1) và có cặp véc tơ
chỉ phương là (1;-1;0), (-2;1;2)
3) đi qua các hình chiếu của M(1;-1;3)
trên các trục tọa độ.
Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng (P)

đi qua A(1;-1;3) và thỏa mãn
1) vuông góc với trục tung
2) song song với mặt phẳng (Oxz)
3) song song với mặt phẳng
(P): 2x + 3y – z + 3 = 0
4) vuông góc với các mặt phẳng (Q): x –
y + 1 = 0 và (R): -4x + 2y + 4z – 1 = 0
5) chứa trục Ox
6) chắn ra trên các trục tọa độ các đoạn
thẳng bằng nhau và khác 0.
7) vuông góc với (Q): 2x – y + z - 1 = 0
và song song với trục tung
Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng
trung trực của đoạn AB, với A(3;5;-2),
B(-1;1;4).
Bài 4. Cho 4 điểm A(-1;2;0), B(1;0,3),
C(0;0;5) và D(-2;3;1)
1) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh
của 1 tứ diện.
2) Viết phương trình mặt phẳng (BCD).
3) Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A
của tứ diện.
4) Tính thể tích của tứ diện.
5) Viết phương trình mặt phẳng đi qua
AB và song song với CD.
6) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A
và vuông góc với CD. Từ đó tính khoảng
cách từ điểm A đến đường thẳng CD.
Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng đi
qua điểm A(2;-3;1), B(-1;0;2) và:

1) song song với trục hoành.
2) vuông góc với mặt phẳng (P): 2x – y
+ 3z + 1 = 0.
Bài 6. Cho ∆OAB đều trong mp(Oxy)
có cạnh bằng a, đường thẳng AB // Oy,
điểm A ∈ góc phần tư thứ nhất của
mp(Oxy). Xét điểm S(0;0;a/3)
1) Xác định tọa độ các điểm A, B và
trung điểm E của đoạn OA. Sau đó viết
phương trình mặt phẳng (P) chứa SE và
song song với Ox.
2) Tính khoảng cách từ O đến mp(P), từ
đó suy ra khoảng cách từ Ox đến SE.
1
Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng đi
qua điểm M(2;4;3) và cắt 3 tia Ox, Oy,
Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích
tứ diện OABC nhỏ nhất.
Bài 8. Viết phương trình mặt phẳng đi
qua M(-4;-9;12) và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz
lần lượt tại A(2;0;0), B, C sao cho OB =
1 + OC (B, C ≠ O)
Dạng 3. Ph.trình chùm mặt phẳng
Bài 1. Cho các mặt phẳng
(P): x – 2y + z – 1 = 0
(Q): 3x + y + m.z + 2 = 0
(R): 2x + 2y – z = 0.
1) Tìm m để (P) ⊥ (Q).
2) Viết phương trình mặt phẳng qua giao
tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q),

đồng thời ⊥ (R), với m tìm được ở trên.
Bài 2. Cho phương trình đường thẳng
d:



=++
=−−
0323
012
zx
yx

và (P): 2x + 5y + 3z + 5 = 0
1) Chứng minh rằng d // (P).
2) Viết phương trình mặt phẳng chứa
đường thẳng d và // mp(P).
Bài 3. Cho phương trình đường thẳng d
1
:



=++
=++
033
03
zy
yx
và d

2
:





+−=
=
+=
tz
ty
tx
2
5
21
1) Viết phương trình mặt phẳng chứa
đường thẳng d
1
và ⊥ d
2
2) Viết phương trình mặt phẳng chứa
đường thẳng d
1
và // d
2
.
Bài 4. Cho A(-1;0;2) và đường thẳng
d:
2

2
21
1
−
+
==
− zyx
1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A
và chứa đường thẳng d
2) Viết phương trình mặt phẳng chứa d
và cách A một khoảng bằng 1.
Bài 5. Cho phương trình đường thẳng
d:



=−
=−+−
02
0323
zx
zyx
và mp(P): 3x + 4y - 6 = 0.
1) Tìm góc tạo bởi đường thẳng d và
mp(P).
2) Viết phương trình mặt phẳng chứa
đường thẳng d và vuông góc với mặt
phẳng (P).
3) Viết phương trình mặt phẳng đi qua
đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (P)

một góc 60
0
.
6.ĐHA’02. Cho các đường thẳng
∆
1
:



=+−+
=−+−
0422
042
zyx
zyx
và ∆
2
:





+=
+=
+=
tz
ty
tx

21
2
1
1) Viết phương trình mặt phẳng chứa
đường thẳng ∆
1
và // đường thẳng

∆
2
.
2) Cho điểm M(2;1;4). Tìm H ∈ ∆
2
sao
cho MH có độ dài nhỏ nhất.
7.ĐHD’05. Cho d
1
:
2
1
1
2
3
1 +
=
−
+
=
− zyx
và d

2
:



=−+
=−−+
0123
02
yx
zyx
1) Chứng minh rằng d
1
// d
2
. Viết
phương trình mặt phẳng chứa cả hai
đường thẳng trên.
2) Mặt phẳng (xOz) cắt d
1
và d
2
lần lượt
tại các điểm A, B. Tính diện tích ∆OAB.
2
$2. ĐƯỜNG THẲNG
===================
Dạng 1. Phương trình đường thẳng
Bài 1. Viết phương trình đường thẳng
biết rằng

1) đường thẳng đi qua A(-1;2;4) và
song song với d:
2
1
2
3
3
+
=
−
−
=
zyx
2) đường thẳng đi qua A(-1;2;4) và //
với d:



=++
=−+−
0
012
zyx
zyx

3) đường thẳng đi qua B(-2;1;1) và
vuông góc (P): 2x – y + z – 3 = 0.
Bài 2. Cho điểm M(0;3;1) và N(-3;2;-2).
1) Viết phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm M, N.

2) Tìm điểm P trên đường thẳng MN
sao cho đoạn PQ nhỏ nhất, trong
đó Q(-1;1;-1).
Bài 3. Cho điểm A(2;-3;1) và mặt phẳng
(P): x – 3y + z = 0.
1) Tìm hình chiếu của điểm A trên
mặt phẳng (P).
2) Tìm điểm đối xứng của điểm A
qua mặt phẳng (P).
Bài 4. Cho điểm A(2;-3;1), mặt phẳng
(P): x – 2y + 3z +2 = 0 và đường thẳng
d:
2
5
11
2 −
==
−
+ zyx
.
Viết phương trình đường thẳng đi qua
điểm A, //(P) và ⊥ d.
Bài 5. Cho A(1;-3;-2), các mặt phẳng
(P): x – 2y +3z +2 = 0 và (Q): 4x–3z = 0.
Viết phương trình đường thẳng đi qua
điểm A và song song với (P), (Q).
Bài 6. Cho điểm A(1;-2;3), đường thẳng
d:
2
5

11
2 −
==
−
+ zyx
, ∆:





=
+=
−=
tz
ty
tx
3
2
21

Viết phương trình đường thẳng đi qua
điểm A, ⊥ với d và ⊥ ∆ .
Bài 7. Cho điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và
mp(P): 3x – 8y + 7z – 1 = 0
1) Tìm tọa độ giao điểm I của đường
thẳng đi qua A, B với mp(P).
2) Tìm tọa độ điểm C trên mp(P) sao
cho ∆ABC là tam giác đều.
Bài 8. Cho 3 điểm A(0;-1;1), B(3;1;0),

C(-2;2;-1)
1) Tìm tập hợp tất cả các điểm trong
không gian cách đều A, B, C.
2) Viết phương trình đường thẳng đi
qua trọng tâm ∆ABC và ⊥ (ABC).
Dạng 2.Điểm, đường thẳng,mặt phẳng
Bài 1. Cho phương trình đường thẳng d:
3
1
12
3 −
=
−
=
− zyx
và (P): x + y + z = 0
1) Xác định giao điểm A của d và (P)
2) Viết phương trình đường thẳng đi
qua điểm A, vuông góc với d và
nằm trong (P).
Bài 2. Cho phương trình đường thẳng d
1
:
3
3
1
1
2
+
=

+
=
−
zyx
, d
2
:





+−=
−=
+=
tz
ty
tx
32
3
21
và mp(P): x – 2y + z – 1 = 0.
Viết phương trình đường thẳng vuông
góc với mp(P) đồng thời cắt cả hai
đường thẳng d
1
và

d
2

.
3
Bài 3. Cho điểm A(1;-2;2) và phương
trình đường thẳng d
1
:



=+++
=−+−
01
01
zyx
zyx
và d
2
:
11
1
3
1 zyx
=
−
=
−
+

1) Viết phương trình đường thẳng đi
qua điểm A, đồng thời cắt cả hai

đường thẳng d
1
và

d
2
.
2) Viết phương trình đường thẳng đi
qua điểm A, vuông góc với d
1
và
cắt đường thẳng d
2
.
3) Viết phương trình đường thẳng đi
qua điểm A, đồng thời vuông góc
với cả hai đường thẳng d
1
và

d
2
.
4) Tính góc tạo bởi d
1
và

d
2
.

Bài 4. Cho phương trình đường thẳng
d:
3
3
1
1
2
+
=
+
=
−
zyx

và mp(P): x – 2y + z – 1 = 0.
1) Tìm giao điểm của d và mp(P).
2) Tìm góc tạo bởi d và mp(P).
3) Viết phương trình đường thẳng là
hình chiếu vuông góc của d lên
mp(P).
Bài 5. Cho phương trình đường thẳng d
1
:



=+−−
=−−
05
0112

zyx
yx

và d
2
:
3
6
1
2
2
5 −
=
−
=
− zyx

1) Chứng minh rằng d
1
và d
2
cùng
thuộc một mặt phẳng.
2) Viết phương trình mặt phẳng
chứa d
1
và d
2
.
3) Viết phương trình đường thẳng là

hình chiếu song song của d
1
lên
mặt phẳng (P): 3x – 2y - 2z -1 = 0
theo phương d
2
.
Bài 6. Cho điểm A(1;2;1), B(2;1;3) và
mp(P): x – 3y + 2z – 6 = 0.
1) Viết phương trình mặt phẳng (Q)
đi qua A, B đồng thời vuông góc
với mp(P).
2) Tìm điểm H trên mp(P) sao cho
khoảng cách AH ngắn nhất.
3) Tìm điểm A’ đối xứng với A qua
mp(P).
4) Tìm M trên mặt phẳng (P) sao cho
MA + MB nhỏ nhất.
5) Tìm M trên mặt phẳng (P) sao cho
MBMA +
nhỏ nhất.
Bài 7. Cho phương trình đường thẳng
d:





=
−=

+=
tz
ty
tx
3
2
21
và (P): x – 2y + z – 1 = 0.
1) Tìm điểm M trên d sao cho
khoảng cách từ nó đến (P) bằng 1.
2) Tìm điểm đối xứng của điểm I(2;-
1;3) qua đường thẳng d.
3) Tìm m để góc tạo bởi d và mp(Q):
2x – y + m.z – 1 = 0 bằng 45
0
.
Bài 8. Cho tứ diện có bốn đỉnh là
A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8) và gốc tọa
độ O.
1) Chứng minh rằng SB ⊥ OA.
2) Chứng minh rằng hình chiếu của
SB lên mp(OAB) là đường thẳng
⊥ OA. Gọi K là giao điểm của
hình chiếu đó với OA. Xác định
tọa độ K ?
3) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm
các cạnh SO và AB. Tìm M trên
đường thẳng SB sao cho đường
thẳng PQ và KM cắt nhau.
4

9.ĐHD’02. Cho mp(P): 2x – y + 2 = 0
và d
m
:



=++++
=−+−++
024)12(
01)1()12(
mzmmx
mymxm
Xác định m để đường thẳng d
m
// mp(P).
10.ĐHB’03. Cho A(2;0;0), B(0;0;8) và
điểm C sao cho
AC
=(0;6;0). Tính
khoảng cách từ trung điểm I của BC đến
đường thẳng OA.
11.ĐHD’03. Cho (P): x – y – 2z + 5 = 0
và d
m
:



=++−

=+−+
01
023
zymx
zmyx
Xác định m để đường thẳng d
m
⊥ (P).
12.ĐHB’04.
Cho A(-4;-2;4) và d:





+−=
−=
+−=
tz
ty
tx
41
1
23
Viết phương trình đường thẳng đi qua
điểm A, cắt và vuông góc với d.
13.ĐHA’05.
Cho mp(P): 2x + y – 2z + 9 = 0 và
đường thẳng d:
1

3
2
3
1
1 −
=
+
=
−
− zyx
1) Tìm tọa độ điểm I trên d sao cho
khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2.
2) Tìm tọa độ giao điểm A của đường
thẳng d và mp(P). Viết phương trình
tham số của đường thẳng ∆ nằm trong
mp(P), biết ∆ đi qua A và ⊥ d.
Dạng 3. Hai đường thẳng
Bài 1. Cho phương trình đường thẳng d
1
:



=+−
=+−
0753
0954
zx
yx
và d

2
:
3
2
2
1
4
1 −
=
+
=
− zyx

1) Chứng minh rằng hai đường thẳng
cắt nhau.
2) Viết phương trình mặt phẳng chứa
cả hai đường thẳng đó.
Bài 2. Cho phương trình đường thẳng d
1
:





−=
−−=
+−=
tz
ty

tx
2
23
31
và d
2
:



=−+
=−−
01225
0823
zx
yx
1) Chứng minh rằng hai đường thẳng
trên là chéo nhau.
2) Tính khoảng cách giữa chúng.
3) Viết phương trình đường vuông góc
chung của chúng.
Bài 3. Cho phương trình đường thẳng d
1
:





=

−=
+=
tz
ty
tx
2
1
2
và d
2
:





=
=
−=
tz
y
tx
3
22
1) Chứng minh rằng hai đường thẳng
trên là chéo nhau.
2) Viết phương trình đường vuông góc
chung của chúng.
3) Viết phương trình mặt phẳng song
song và cách đều d

1
và d
2
.
4.ĐHD’05. Cho các đường thẳng
d
1
:
2
1
1
2
3
1 +
=
−
+
=
− zyx

và d
2
:



=−+
=−−+
0123
02

yx
zyx
1) cmr d
1
// d
2
. Viết phương trình mặt
phẳng chứa cả hai đường thẳng trên.
2) mp (xOz) cắt hai đường thẳng d
1
và
d
2
lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện
tích ∆OAB.
5
$3. MẶT CẦU
================
Dạng 1. Phương trình mặt cầu
Bài 1. Cho điểm I(2;-1;3) và mặt phẳng
(P): x – 3y + z + 2 = 0.
1) Viết phương trình mặt cầu có tâm là I
và tiếp xúc với mp(P).
2) Xác định tọa độ tiếp điểm.
Bài 2. Cho mp(P): 5x – 4y + z – 6 = 0 ,
mp(Q): 2x – y + z + 7 = 0 và đường
thẳng d:




=++−
=−+−
03
032
zyx
zyx
1) Tìm tọa độ giao điểm I của đường
thẳng d và mp(P).
2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm
là I và (S) cắt mp(Q) theo thiết diện là
hình tròn có diện tích 20π.
Bài 3. Cho điểm I(1;-2;-1) và đường
thẳng d:
2
2
31
1 +
=
−
=
− zyx
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là
I và (S) cắt đường thẳng d tại hai điểm
A, B sao cho AB = 4.
Bài 4. Cho A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3)
và D(-2;1;1)
1) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn
đỉnh của một tứ diện.
2) Chứng minh rằng tứ diện đó có các
cặp cạnh đối vuông góc nhau.

3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện ABCD.
Bài 5. Cho mặt cầu có phương trình
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x – 4y – 4z = 0
1) Xác định tọa độ tâm và tính bán kính
của mặt cầu.
2) Cọi A, B, C lần lượt là các giao điểm
( khác gốc tọa độ) của (S) với các trục
tọa độ Ox, Oy, Oz. Viết phương trình
mặt phẳng (ABC).
3) Xác định tọa độ chân đường vuông
góc hạ từ tâm mặt cầu xuống mp(ABC).
Bài 6. ( Phương trình đường tròn trong
không gian)
Cho mp(P): x + z + 1 = 0 và mặt cầu
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x – 4y – 4z = 0
1) Xác định tọa độ tâm và tính bán kính
của mặt cầu.

2) Viết phương trình đường tròn (C) là
giao tuyến của (S) và mp(P). Xác định
tọa độ tâm và tính bán kính của (C).
7.ĐHD’04. Cho A(2;0;1), B(1;0;0),
C(1;1;1) và mp(P): x + y + z – 2 = 0.
Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm
A, B, C và có tâm trên mp(P).
Dạng 2. Bài toán tiếp xúc
Bài 1. Cho phương trình mặt phẳng (P):
(8 + m)x – (11+m)y + 2(4–m)z – 30 = 0
và (S): x
2
+ y
2
+ z
2
–2x–6y + 4z – 15 = 0
Tìm m để (P) tiếp xúc với (S).
Bài 2. Cho (S): (x+1)
2
+ y
2
+ (z–2)
2
= 2
và d:
m
zyx 1
2
1

1
+
=
−
−
=
, (m ≠ 0)
Tìm m để d tiếp xúc với (S).
3.TN’05. Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
–
2x + 2y + 4z – 3 = 0
d
1
:
111
1
−
==
−
− zyx
và d
2
:




=−
=−+
02
022
zx
yx
1) Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau.
2) Viết phương trình tiếp diện của mặt
cầu (S), biết tiếp diện đó // với d
1
và d
2
.
4.TN’06. Cho A(1;0;-1), B(1;2;1),
C(0;2;0). Gọi G là trọng tâm ∆ABC.
1) Viết phương trình đường thẳng OG.
2) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại
tiếp tứ diện OABC.
3) Viết phương trình các mặt phẳng
vuông góc với OG và tiếp xúc với (S).
4) Viết pt mặt cầu đường kính OG.
6
$4. GIẢI TOÁN HHKG BẰNG
CÁCH CHỌN HỆ TỌA ĐỘ
================

Bài 1. Cho tứ diện OABC có các cạnh
OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA
= a, OB = b, OC = c. Gọi M, N, P lần
lượt là trung điểm các cạnh AB, BC,
CA. Chứng minh rằng mp(OMN) ⊥
mp(OMP) khi và chỉ khi
222
111
abc
+=
.
Bài 2. Cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b,
AA’ = c. Từ A’ và B hạ các đường A’P
và BQ vuông góc và cắt đường chéo
AC’. Tính độ dài PQ theo a, b, c.
Bài 3. Cho tứ diện đều ABCD. Tìm tập
hợp các điểm M sao cho tổng bình
phương các khoảng cách từ M tới các
mặt của tứ diện = hằng số k
2
cho trước.
4.ĐHA’02. Cho hình chóp tam giác đều
S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SB
và SC. Tính theo a diện tích ∆AMN, biết
rằng mp(AMN) ⊥ mp(SBC).
5.ĐHB’02. Cho hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a.
1) Tính theo a khoảng cách giữa hai

đường thẳng A’B và B’D.
2) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa
hai đường thẳng MP và C’N.
6.ĐHD’02. Cho tứ diện ABCD có cạnh
AD ⊥ mp(ABC), AC = AD = 4cm, AB =
3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A
tới mp(BCD).
7.ĐHA’03.
1) Cho hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo góc phẳng
nhị diện [B,A’C,D].
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’
có A trùng với gốc O, B(a;0;0), D(0;a;0),
A’(0;0;b), a > 0, b > 0. Gọi M là trung
điểm CC’.
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M
theo a và b.
b) Tìm tỉ số a/b để (A’BD) ⊥ (MBD).
8.ĐHD’03. Cho hai mp(P) và mp(Q)
vuông góc nhau, có giao tuyến là đường
thẳng ∆. Trên ∆ lấy hai điểm A, B với
AB = a. Trong mp(P) lấy điểm C, trong
mp(Q) lấy điểm D sao cho AC và BD
cùng vuông góc với ∆ và AC = BD =
AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện ABCD và tính khoảng cách từ A
đến mp(BCD) theo a.
9.ĐHA’04. Trong không gian với hệ tọa

độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy
là hình thoi, AC cắt BD tại O. Biết
A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2
2
). Gọi M
là trung điểm SC.
1) Tính góc và khoảng cách giữa hai
đường thẳng SA và BM
2) Gs mp(ABM) cắt đường thẳng SD tại
N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
10.ĐHD’04. Cho hình lăng trụ đứng
ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình
thoi cạnh a, góc BAD = 60
0
. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm AA’ và CC’.
Chứng minh rằng 4 điểm B’, M, D, N
cùng thuộc 1 mp. Tính độ dài cạnh AA’
theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
11.ĐHD’04. Trong không gian với hệ
tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng
ABC.A’B’C’. Biết A(a;0;0), B(-a;0;0),
C(0;1;0), B’(-a;0;b), a > 0, b > 0.
1) Tính theo a khoảng cách giữa hai
đường thẳng AC’ và B’C.
2) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thỏa
mãn a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách
giữa hai đường thẳng AC’ và B’C là lớn
nhất.
7

8