Đề cương bài giảng phương pháp phần tử hữu hạn trong mô phỏng và tính toán ô tô

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT HƯNG YÊN

BÀI GIẢNG

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG MÔ PHỎNG VÀ TÍNH TOÁN Ô TÔ

DÙNG CHO CHƯƠNG TRÌNH CAO HỌC

Giáo viên: TS Nguyễn Thanh Quang

Hưng Yên 2013
0


MỤC LỤC
Trang
Đề cương bài giảng

2

Phần 1
KHÁI NIỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
1.1 Mô hình rời rạc hóa kết cấu

3

1.2 Hàm chuyển vị, Hàm dạng

6

1.2.1 Hàm chuyển vị

6

1.2.2 Hàm dạng

7

1.2.3 Lực nút

9

1.3 Phương trình cơ bản của phương pháp PTHH

10

1.3.1 Các quan hệ chuyển vị, biến dạng, ứng suất trong phần tử

10

1.3.2 Phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn

11

1.3.3 Ma trận độ cứng tổng thể

12

Phần 2
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHẦN TỬ HỮU HẠN

2.1 Phương pháp sai phân PTHH

14

2.2 Phương pháp năng lượng và PP Niu tơn-Lagrăng

16

2.2.1 Cách 1: Xây dựng phiến hàm

16

2.2.2 Cách 2: Giải theo hệ PTVP cho trước

17

2.3 Phương pháp giải trên phần mềm
2.3.1 Giới thiệu PTHH trong MatLab

43

2.3.2 Giới thiệu PTHH trong Ansys

44

1


ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG
MỞ ĐẦU

Chương 1. Bổ túc về cơ học vật rắn và các phương pháp tính trong cơ học
(TL1)
1.1. Cơ học vật rắn biến dạng
1.2. Các phương pháp giải bài toán cơ vật rắn biến dạng, bài toán đàn hồi
1.3. Các nguyên lý năng lượng (các nguyên lý biến phân)
Chương 2. Cơ sở và các bước phân tích chung của phương pháp phần tử hữu
hạn (TL2)
2.1. Khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn
2.2. Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn
2.3. Hàm xấp xỉ  đa thức xấp xỉ  phép nội suy
2.4. Các phương trình cơ bản
Chương 3. Tính toán hệ thanh (TL3)
3.1. Hệ thanh dàn
3.2 Khung phẳng
3.3 Khung không gian
Chương 4. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi (TL4)
4.1 Các phương trình cơ bản của bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi
4.2 Bài toán phẳng với phần tử dạng tam giác
4.3 Phần tử chữ nhật
Chương 5. Phần tử bậc cao và phần tử đẳng tham số (TL5)
5.1 Hệ tọa độ tự nhiên của các loại phần tử
5.2 Phần tử một chiều bậc cao
5.3 Phần tử tam giác bậc cao trong hệ tọa độ tự nhiên
5.4 Phần tử 3 chiều – Khối tứ diện
5.5 Phần tử 2 chiều dạng tứ giác
5.6 Phần tử đẳng tham số
Chương 6. Tấm chịu uốn (TL6)
6.1 Các phương trình cơ bản của tấm chịu uốn
6.2 Phần tử tấm không tương thích dạng tam giác
6.3 Phần tử đẳng tham số dạng tứ giác bốn nút

Chương 7. Phần tử 3 chiều (TL7)
7.1 Phần tử tứ diện
7.2 Phần tử lục diện
2


Chương 8. Bài toán động lực học kết cấu (TL8)
8.1 Phương trình động lực học kết cấu
8.2 Ma trận khối lượng tương thích và ma trận khối lượng tập trung
8.3 Ma trận khối lượng tương thích trong hệ tọa độ tổng thể
8.4 Dao động tự do – Bài toán trị riêng xác định tần số dao động tự do của
kết cấu
Chương 9. Một số ví dụ ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong phần
mềm Matlab-Simulink
9.1. Khảo sát độ bền trục khuỷu động cơ
9.2. Khảo sát độ bền khung vỏ ô tô
9.3 Khảo sát lực cản khí động lực học trên ô tô

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.

Trần Ích Thịnh, Trần Đức Trung, Nguyễn Việt Hùng (2000), Phương
pháp phần tử hữu hạn trong kỹ thuật, Đại học Bách khoa Hà Nội

2.

Trần Ích Thịnh, Ngô Như Khoa (2007), Phương pháp phần tử hữu hạn,
Giáo trình Đại học Thái Nguyên

3.

Ngô Như Khoa (2011), Phương pháp phần tử hữu hạn, Trường Đại học
Thái Nguyên

4.

Chu Quốc Thắng (1997), Phương pháp phần tử hữu hạn, Nxb Khoa học
Kỹ thuật.

5.

Trần Vĩnh Hưng (2012), Ứng dụng phần tử hữu hạn. Bài giảng cao học,
trường ĐH Sơ phạm Kỹ thuật Hưng Yên,

3


Phần 1
KHÁI NIỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
1.1 Mô hình rời rạc hóa kết cấu
Để tìm ẩn số: chuyển vị, biến dạng, ứng suất tại mỗi điểm bất kỳ trong kết
cấu, chi tiết máy, người ta thường áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn
(PTHH). tiếng Anh: Finite Element Method (FEM).
- Ý tưởng cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn toán kết cấu: Coi vật
thể liên tục như là tổ hợp của nhiều phần nhỏ liên kết với nhau bởi một số hữu
hạn các điểm gọi là nút.
- Các phần nhỏ được hình thành gọi là các phần tử hữu hạn (phần tử)
- Hình dạng, kích thước các phần tử khác nhau, tạo thành các mạng lưới
khác nhau.
- Một số sơ đồ rời rạc hóa kết cấu liên tục thành mạng lưới PTHH (hình 1)

Hình 1 Một số sơ đồ rời rạc hóa kết cấu
- Quan niệm rời rạc hóa là gần đúng
Năng lượng bên trong mô hình thay thế bằng năng lượng trong kết cấu
thực
- Các loại phân tử: Căn cứ vào hình dạng và tình hình chịu lực.
+ Thanh: Lấy đoạn dầm làm phần tử hữu hạn
+ Tấm phẳng: Phần tử tam giác, phần tử chữ nhật, tứ giác
+ Vỏ: Phần tử tấm phẳng, vỏ.
+ Khối: Phần tử hình tứ diện, hình lập phương, hình lục diện.
+ Vật thể đối xứng trục: Phần tử hình vành khăn.
4


- Một số loại phần tử hữu hạn thường dùng:

Hình 2. Một số loại phần tử thường dùng
- Khi phân tích các kết cấu có thể sử dụng các mô hình tính như sau:
1. Mô hình chuyển vị
- Chọn chuyển vị ở các nút là giá trị cần tìm. Các giá trị này được xác
định từ hệ phương trình cân bằng được thành lập trên cơ sở nguyên lý thế năng
toàn phần dừng.
- Nguyên lý phát biểu như sau:
Trong tất cả các trường chuyển vị thỏa mãn các điều kiện tương thích và
điều kiện biên động học, thì trường chuyển vị tương ứng với sự cân bằng của vật
thể sẽ làm cho thế năng toàn phần  đạt giá trị dừng (đạt giá trị cực tiểu).
 = v + V = 0 (1.1)
Trong đó:
: v + V: Thế năng toàn phần, là hàm của các chuyển vị
v: Thế năng biến dạng đàn hồi của vật thể

V: Công của ngoại lực sinh ra trên dịch chuyển của ngoại lực do vật thể
biến dạng

5


Hình 3. Thế năng biến dạng đàn hồi
Thế năng biến dạng và thế năng bù của vật thể đàn hồi
- Nếu hệ ở trạng thái ổn định, thể năng toàn phần có giá trị cực tiểu.
- Như vậy sau khi giả thiết một dạng hàm chuyển vị trong phần tử, từ điều
kiện dừng của phiếm hàm  ta sẽ nhận được một hệ phương trình cân bằng
trong khi các điều kiện liên tục đã được thỏa mãn.
2. Mô hình cân bằng
- Chọn các ứng suất hay nội lực ở các nút làm ẩn số. Các ẩn số này được
xác định từ phương trình tương thích thành lập trên cơ sở nguyên lý cực tiểu của
thế năng bù toàn phần * đạt giá trị dừng
* = v* + V* = 0 (1.2)
Trong đó:
* = v + V*
v*: Thế năng bù của biến dạng
V*: Công bù của ngoại lực
3. Mô hình hỗn hợp
- Coi các ẩn (ứng suất, chuyển vị) là độc lâpj với nhau trong toàn bộ phần
tử. Các ẩn này được xác định từ hệ phương trình thiết lập theo nguyên lý biến
phân REISSNER.
Thông thường người ta hay sử dụng mô hình chuyển vị. Vì nó thuận lợi
cho việc tính toán trên máy tính.
1.2 Hàm chuyển vị, Hàm dạng
1.2.1 Hàm chuyển vị
6

Hàm chuyển vị được thiết lập dưới dạng một đa thức.
- Bậc của đa thức và số lượng số hạng trong đa thức phụ thuộc vào bậc tự
do của phần tử, tức là số chuyển vị ở tất cả các nút của phần tử.
Hàm có dạng
Bài toàn một chiều:
f ( x )   1   2 x : tuyến tính
f ( x)   1   2 x   3 x 2 : bậc hai

Bài toán hai chiều
f ( x , y )  1   2 x   3 y : tuyến tính
f ( x, y )   1   2 x   3 y   4 x 2   5 xy   6 y 2 : bậc hai

1.2.2 Hàm dạng
Biểu diễn hàm chuyển vị qua chuyển vị nút, áp dụng bài toán phằng của
lý thuyết đàn hồi.
- Xét một tam giác: Phần tử có 3 nút là 3 đỉnh của tam giác là khớp nối
của các phần tử khác.

Hình 4. Phần tử tam giác
- Mỗi nút có 2 bậc tự do chuyển vị theo hai phương x, y. Phần tử có 6 bậc
tự do, có 6 chuyển vị ở các nút là ui, vi, uj, vj, um, vm: gọi là chuyển vị nút
Hợp thành véc tơ chuyển vị nút của phần tử

7


u i 
v 

 i 
u 
    j  (1.3)
v j 
 
u m 
vm 

- Hàm chuyển vị là hàm của các tọa độ, cho phép xác định chuyển vị tại
mộ điểm bất kỳ trong phần tử.
- Hàm chuyển vị của các phần tử tam giác có dạng
u ( x , y )  1   2   3 y
(1.4)

v( x , y )   4   5 x   6 y

Hay
 ui 
 
 vi 
 u( x, y )  1xy 000   u j 

(1.5)
.
 f   
 0001xy   v 
v
 j
(
x

,
y
)

 
 
 um 
v 
 m

Viết gọn lại
{f} = [Q]. {} (1.6)
Trong đó:
{f}: là véc tơ chuyển vị
[Q]: là ma trận các đơn thức
{}: là véc tơ các hệ số
Chuyển vị tại các nút, theo (1.6) ta có:
{} = [C] .{} (1.7)
Trong đó [C] là giá trị [Q] tại các nút, tức là ma trận tọa độ nút
Xác định{} theo [C] từ (1.7)
{} = [C]-1.{} (1.8)
Thay (1.8) vào (1.6) ta có
{f} = [Q].[C]-1{} (1.9)
8


Hay
{f} =[N].{} (1.10)
Trong đó
[N] = [Q].[C]-1 (1.11)

[N] gọi là ma trận các hàm dạng. Hay gọi là ma trận các hàm nội suy.
Ta có thể suy ra chuyển vị của điểm bất kỳ
1.2.3 Lực nút
- Khi vật thể chịu lực, trong các phần tử sinh ra nội lực, PPPTHH giả thiết
các nội lực nằm ở điểm nút gọi là lực nút. Đó là lực tương tác giữa các phần tử
liên kết với nhau tại nút do chuyển vị nút sinh ra. Tại các nút có thể có ngoại lực
(tải trọng).
- Trong mỗi phần tử các lực nút hợp thành véc tơ lực nút{F} có số thành
phần bằng số thành phần của véc tơ chuyển vị nút, được sắp xếp tương ứng với
véc tơ chuyển vị nút.

Hình 5. Véc tơ chuyển vị nút của phần tử
{F} =[vi Vi vj Vj vm Vm]T
Đối với thanh chịu uốn
Véc tơ chuyển vị nút
{} = [vi i vj j]
Véc tơ lực nút
{F}e = [Vi Mi Vj Mj]T
9


1.3 Phương trình cơ bản của phương pháp PTHH
1.3.1 Các quan hệ chuyển vị, biến dạng, ứng suất trong phần tử
- Chuyển vị ở các nút: Trường chuyển vị theo chuyển vị nút
{f} = [N] .{} (1.12)
- Biến dạng theo lý thuyết đàn hồi
{} = [] .{f} (1.13)
[] toán tử vi phân

 x


0


0

    

 x

0



 z

0 0

0
y

0
z

0
y
 
y y

0

z









 (1.14)









Ta có véc tơ biến dạng
{} =[] . [N] .{f} (1.15)
Hay{} =[B] .{} (1.16)
Trong đó [B] = [] . N  gọi là ma trận biến dạng
- Ứng suất tại một điểm trong phần tử, xác định theo định luật Hooke:
{} = [D] .{} (1.17)
[D] gọi là ma trận đàn hồi
Thay (1.16) vào (1.17) ta có
{} = [D].[B]{} (1.18)
Hay

{} =[S].{} (1.19)
Trong đó:
[S] = [D] . [B] (1.20) gọi là ma trận tính ứng suất
10


1.3.2 Phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn (Ma trận độ
cứng phần tử và véc tơ tải phần tử)
- Sử dụng nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần (mô hình cân bằng) để
thiết lập phương trình cơ bản của phương pháp PTHH.
- Giả sử một PTHH có thể tích Ve chịu tác dụng của lực thể tích p và lực
bề mặt q trên diện tích Se
- Thế năng toàn phần tử là e viết dưới dạng
 e  
ve

1 T
  . dV   f T . p .dV    f T .q dS (1.21)
2
Ve
Se

Thay (1.21), (1.15), (1.19) vào (1.21) ta có:
e  
Ve

1 T T
  .B D B.  dV    T N T .  p . dV    T . q dS (1.22)
2
Ve

Se

Biến đổi ta có
e 

1 T
 
2





 B DB. dV    N  .p. dV   N  .qdS 
T

T

Ve

T

Ve

T

(1.23)

Se

Đặt K   B T DB dV

(1.24)

Ve

gọi là ma trận độ cứng phần tử

pe  N T .p. dV   N T .qdS
Ve

(1.25)

Se

gọi là véc tơ tải phần tử bao gồm các thành phần lực đặt tại nút. Các lực
này được quy đổi sau khi dời các tải trọng p và q về nút.

pe còn gọi là lực nút tương đương
Viết gọn lại ta có
e 

1 T
  K . T pe (1.26)
2

Trong trường hợp ở các nút có tồn tại lực tập trung

11

 R1 
R 
 2
. 
Re   
. 
. 
 
 En 

Thì phải cộng thêm các lực tập trung vào véc tơ tải pe
- Theo nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần. Điều kiện cân bằng tại các
nút của phần tử là:
 e
 0 (1.27)
 

Tức là
 e
 e
 e
 0;
 0; ....;
 0 (1.28)
1
 2 
 n 

Sau khi lấy cực tiểu từ (1.26) ta được

pe  K   (1.29)
- Đây là phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn tính theo
mô hình chuyển vị.
- Điều này có nghĩa là tại từng nút, lực nút do chuyển vị gây ra
e

F   K   phải cân bằng tải trọng đặt ở nút F e   pe
- Trong trường hợp PTHH có biến dạng ban đầu  0 và ứng suất ban đầu
 0 thì công thức (1.18) được bổ sung thành

  D.B  D. 0   0  (1.30)
Do đó công thức véc tơ tải phần tử (lực nút tương đương (1.25)) có thêm
thành phần  0 và  0 gây ra:

pe  N T .p. dV . dV   N T .qdS   B T . 0 dV   BT .  0 dV (1.31)
Ve

Se

Ve

12

Ve


1.3.3 Ma trận độ cứng tổng thể (Véc tơ tải tổng thể, phương trình cơ bản của
hệ)
- Sau khi thiết lập được các ma trận độ cứng phần tử và véc tơ tải phần tử

của tất cả các phần tử trong mạng lưới kết cấu. Ta cần phải tổ hợp tất cả chúng
lại thành ma trận độ cứng tổng thể [K] và véc tơ tải tổng thể [P] của kết cấu, từ
đó xây dựng phương trình cơ bản đối với toàn bộ kết cấu.
- Việc tổ hợp này có nghĩa là sắp xếp các thành phần trong các ma trận [k]
của các phần tử vào các vị trí thích hợp trong ma trận [K] và các thành phần
trong các ma trận{p} của các phần tử vào các vị trí thích hợp trong [p].
- Sự sắp xếp này được mô tả bằng ma trận định vị của các phần tử
- Gọi véc tơ chuyển vị nút của phần tử là  , véc tơ chuyển vị nút tổng
thể của toàn bộ kết cấu là  ta có quan hệ

 
ndx1

 L 
 
 .  (1.32)
 ndxn  e

Trong đó

Le :là ma trận định vị của phần tử
nd: số chuyển vị nút trong mỗi phần tử
n: số chuyển vị nút trong toàn bộ kết cấu.

13


Phần 2
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHẦN TỬ HỮU HẠN

2.1 Phương pháp sai phân PTHH
Ví dụ: Giải HPTVP tìm hàm y = f(x)

Y

y = f(x)

Các
α

điểm

y1

yo

nút

xo x1

xn

∆x ..

yn

X

∆x
Các phần tử

Hình 2.1 Ví dụ hàm y = f(x)

Xét trường hợp trong khoảng [0, x], điều kiện đầu vào:
 y ' ( x )  x

 y (0)  0

(2.1)

a) Phương pháp giải tích
Ta giải dễ dàng bằng giải tích, ta có:
y ( x) 

1 2
x
2

b) Phương pháp sai phân PTHH
Chia thành n đoạn trong khoảng [0, x] ta có:
y ' ( xo ) 

y ( x1 )  y ( x o ) y1  y o

 xo
x
x

14

y ' ( x1 ) 

y ( x 2 )  y ( x1 ) y 2  y1

 x1
x
x

...
y ' ( xn ) 

y ( x n 1 )  y ( x n ) y x n  1  y n

 x n  tg
x
x

Tổng quát:
y ' ( xk ) 

y ( x k  x )  y ( x k )
x

(2.2)

Trở lại bài toán trên ta có:
Tại điểm xo :

y1  y ' ( x o ).x  y o

Tại điểm x1 :

y 2  y ' ( x1 ).x  y1

...
Tại điểm xn-1 :

y n  y ' ( x n 1 ).x  y n 1

Tại điểm xn :

y n 1  y ' ( x n ).x  y n

Nối các điểm y1, y2.......yn+1 với nhau ta xác định được dạng hàm số y = f(x)
Khi chia khoảng ∆x nhỏ => đường nối “gần” hơn => kết quả chính xác hơn
Khi chia khoảng ∆x lớn => đường nối “xa” hơn => kết quả không chính xác.
Tuy nhiên việc chia nhỏ là bao nhiêu khoảng còn phụ thuộc vào dung lượng và
khả năng của máy tính điện tử nữa.
c) Lập trình trong Matlab file *.m
Function y=PTVPbac1(f,f0,x0,x1,n)
% n la khoang chia
Sym x;
f=inline(f);
Delta_x=(x1-x0)/n;
% xay dung mang tu x0 den xn+1
X=[x0:delta_x:x1];
Y=zeros(side(X));
%dua vao hàm zeros de tang toc van de su ly cua phan mem
15

Y(1)=f0;
For i=2:n+1
Y(i)=f(X(i-1))*delta_X+Y(i-1);
End
y=Y;
% ve do thi
line (X,Y);

2.2 Phương pháp năng lượng và PP Niu tơn-Lagrăng
Có hai cách giải:
 Xây dựng được phiến hàm mô tả kết cấu: Ví dụ trong cơ học biến dạng đó
là phiến hàm năng lượng. Khi kết cấu ổn định (trạng thái đạt được trong
giai đoạn đàn hồi của kết cấu khi biến dạng) thì năng lượng cực tiểu.
 Có hệ phương trình cho trước: theo Niu tơn hoặc Lagrăng.
2.2.1 Cách 1: Xây dựng phiến hàm
Ví dụ 1
Có hai điểm A và B cho trước, khảo sát khoảng cách ngắn nhất giữa A và B.
Y

y = f(x)
B
A

a

b

X

Hình 2.2 Ví dụ về phiến hàm
Rõ ràng khoảng cách ngắn nhất là đoạn thẳng nối hai điểm A và B. Ta gọi phiến
hàm là đường thẳng AB .
Xây dựng phiến hàm:
- Tính diện tích vùng S(aABb), ta có

16


b

S  y ( x )   1  ( y ' ( x )) 2
a

- Cực tiểu S
Ta có Smin khi y(x) là đường thẳng
S => là phiến hàm của hàm y(x) => tìm được hàm y(x)
2.2.2 Cách 2: Giải theo hệ PTVP cho trước
Ví dụ 2
 y ' ( x)  x

 y (0)  0

Cho HPHVP (1):

Trên hình 1, chia khoảng xo, x1, ..., xn
Phần tử thứ nhất tương ứng với nút xo, x1
Phần tử thứ hai tương ứng với nút x2, x3
...

Phần tử thứ n tương ứng với nút xn-1, xn
Xấp xỉ mỗi phần tử như sau:
Giả sử ta sử dụng hàm bậc nhất để xấp xỉ:
y = ax +b

(2.3)

y được gọi là hàm xấp xỉ khi đó là gần đúng, ta ký hiệu là y*
Phần tử thứ nhất

: y* = a1 x +b1

Phần tử thứ hai

: y* = a2 x +b2

....
Phần tử thứ n

: y* = an-1 x +bn-1

Các hệ số a1, a2,...,an-1, b1,b2,...,bn-1 là các giá trị của hàm tức là bậc tự do của
hàm.
a) Xét một phần tử thứ nhất
Trên mặt phẳng hệ trục tọa độ, theo trục tung có:
yo = a1 xo +b1
y1 = a1 x1 +b1

(2.4)

Viết dưới dạng ma trận:
17


 xo 1 a1 
 yo 
 x 1  b    y 
 1   1
 1

(2.5)

Ta cần tìm a1,b1 :
a1 
 xo 1
b    x 1
 1
 1 

1

 yo 
y 
 1

Khi y* là chính xác y*= y, ta thấy:
y  y *  y

(2.6)

Với ∆y là nhỏ nhất
Lấy đạo hàm phương trình (6) ta có:
(y ) '  ( y * ) '  y '

(2.7)

(y ) '  (a1  f ( x))

(2.8)

Và

Xét trong khoảng xo – x1 của phần tử thứ nhất:
x1

'
 (y ) .x.dx  0

xo

(2.9)

x1

'
 (y ) .b1 .dx  0
xo

Thay (8) vào (9) ta được:
x1

 (a1  f ( x )).x.dx  0

xo

(2.10)

x1

 (a1  f ( x )).b1.dx  0

xo

Từ phương trình (10) ta tìm được a1,b1 của phần tử thứ nhất
Tương tự ta cũng giải được đối với các phần tử khác.
b) Trường hợp tổng quát
- Chọn hàm xấp xỉ
y *  a1 f1 ( x)  a 2 f 2 ( x)  .....  a n f n ( x )

(2.11)

( y * ) '  a1 f1' ( x)  a 2 f 2 ' ( x)  .....  a n f n ' ( x )

(2.12)

Ta có:

18

Thay vào phương trình (1) ta có:
x k 1


xk
x k 1



(( y * ) '  y ' ) f1 ( x).dx  0

(( y * ) '  y ' ) f 2 ( x).dx  0

(2.13)

xk

.....
x k 1



(( y * ) '  y ' ) f n ( x).dx  0

xk

Và:
( y* ) '  y '

là phần dư

f n (x)

là trọng số

Trong đó

f n (x )

và y’ đã biết, y*’ là hàm xấp xỉ ta đã biết dạng hàm của nó từ việc

chọn ban đầu theo phương trình (2.11).
Các kết quả mỗi tích phân (2.13) cho ta một biểu thức. Ghép n biểu thức
với nhau ta giải tìm được a1, a2,..., an từ đó ta tìm được hàm xấp xỉ (2.11).
Ví dụ 3
Giải HPTVP
y ''  y '  y  x

(2.14)

y (0)  0

(2.15)

y ' (0)  0

Trong khoảng [0 , 10]
Hệ phương trình này đã có lời giải bằng giải tích.

0 1 2

10
Hình 2.3

Khoảng giải [0 , 10] gọi là miền không gian
- Chọn hàm xấp xỉ
19


Ta chọn hàm xấp xỉ theo công thức (2.11)
y *  a1 f1 ( x)  a 2 f 2 ( x)  .....  a k f k ( x)

(2.16)

Trong đó f1, f2, ... fk đã biết trước
Theo định nghĩa, ta chọn (tùy chọn) hàm xấp xỉ theo đa thức bậc 3,
phương trình (2.17), ta chọn bậc càng cao càng tốt. Việc chọn bậc cao phụ thuộc
vào khả năng của máy tính.
y  a1 x 3  a 2 x 2  a3 x  a 4

(2.17)

Trong đó các phần tử a1, a2, a3, a4 là khác nhau. Ta có:
y '  3a1 x 2  2a 2 x  a3

(2.18)

y ' '  6a1 x  2a 2

(2.19)

Từ phương trình (14) ta có:
y ''  y '  y  x  0

(2.20)

Thay (2.18), (2.19 vào (2.20) ta được:
a1 x 3  (a 2  3a1 ) x 2  (a3  2a 2  6a1  1) x  (a 4  a3  2a 2 )  0

(2.21)

Ta tìm a1, a2, a3, a4 theo phương pháp Galenkin (phần dư có trọng số).
Đặt
A1  a1
A2  a 2  3a1

(2.22)

A3  a3  2a 2  6a1  1
A4  a 4  a3  2a 2

Ta có:
A1 x 3  A2 x 2  A3 x  A4  0

(2.23)

Theo (2.13) ta tính hàm trọng số:
xk

k 3

k 2
k
k 3
 ( A1 x  A2 x  A3 x  A4 ).x dx  0

x k 1
xk

k 3
k 2
k
k 2
 ( A1 x  A2 x  A3 x  A4 ).x dx  0

x k 1

20


xk

k 3
k 2
k
k
 ( A1 x  A2 x  A3 x  A4 ).xdx  0

(2.24)

x k 1

xk

k 3
k 2
k
k
 ( A1 x  A2 x  A3 x  A4 ).dx  0

x k 1

Thực hiện tiếp ta có:
x

x

x

x

A1k

k
k
k
1 7 k
1
1
1
x
 A2k x 6

 A3k x 5
 A4k x 4
0
7
6
5
4
x k 1
x k 1
x k 1
x k 1

A1k

xk
xk
xk
1 6 xk
1
1
1
x
 A2k x 5
 A3k x 4
 A4k x 3
0
6
5
4
3

x
x
x
x
k 1

k 1

k 1

k 1

x

x

x

x

A1k

k
k
k
1 5 k
1
1
1
x

 A2k x
 A3k x 3
 A4k x 2
0
5
4
3
2
x k 1
x k 1
x k 1
x k 1

A1k

xk
xk
xk
1 4 xk
1
1
x
 A2k x 3
 A3k x 2
 A4k x
0
4
3
2
x k 1

x k 1
x k 1
x k 1

(2.25)

Hệ phương trình (2.25) có 4 ẩn số nhưng là hệ suy biến nên chưa giải được ngay
vì chưa có điều kiện đầu.
Các hệ số

A1k , A2k , A3k , A4k

là không độc lập tuyến tính, cần ghép tất cả các phương

trình với nhau cùng điều kiện đầu để giải.
Triển khai tiếp hệ phương trình (2.25) đưa về dạng chung ( x k

 x k 1 )

làm cơ sở

để lập trình, ta được hệ phương trình (2.26).
1 k 7
1
1
1
A1 ( x k  x k7 1 )  A2k ( x k6  x k6 1 )  A3k ( x k5  x k5 1 )  A4k ( x k4  x k4 1 )  0
7
6
5

4

1 k 6
1
1
1
A1 ( x k  x k6 1 )  A2k ( x k5  x k5 1 )  A3k ( x k4  x k4 1 )  A4k ( x k3  x k3 1 )  0
6
5
4
3
1 k 5
1
1
1
A ( x  x k5 1 )  A2k ( x k4  x k4 1 )  A3k ( x k3  x k3 1 )  A4k ( x k2  x k2 1 )  0
5 1 k
4
3
2

(2.26)

1 k 4
1
1
A1 ( x k  x k4 1 )  A2k ( x k3  x k3 1 )  A3k ( x k2  x k2 1 )  A4k ( x k  x k 1 )  0
4
3
2

Ký hiệu: x kp  xkp1  X P (với p = 17) ta viết (2.26) dưới dạng ma trận (2.27)

21


1
7
1

6
1
5
1

4

X7
X6
X5
X4

1
X6
6
1
X5
5
1
X4

4
1
X3
3

Đặt D1 =

1
7
1

6
1
5
1

4

1
X5
5
1
X4
4
1
X3
3
1
X2
2

1

X4
4

1
X3 
3

1

X2
2

X1 


1
X6
6
1
X5
5
1
X4
4
1
X3
3

X7
X6
X5
X4

 Ak 
 1
 k
 A2 
 
 Ak 
 3
 Ak 
 4

1
X5
5
1
X4
4
1
X3
3
1
X2
2

=

0
 
0
 
 
0
 
0
 

1

X4
4

1
X3 
3

1

X2
2

X1 


(2.27)

(2.28)

là ma trận đối xứng
Ta đã chọn hàm xấp xỉ là đa thức bậc 3 theo phương trình (2.17) và đạo
hàm bậc nhất theo (2.18), kết hợp với điều kiện đầu theo phương trình (2.15),
trường hợp này thì :
a4  0

(2.29)

a3  0

Từ (2.22), thay vào ta được (2.30)
 Ak 
 1
 k
 A2 
 k
 A3 
 
 Ak 
 4

=

1

3



6

0

Đặt D2 =

0 0 0

1 0 0


2 1 0

2 1 1 
1

3


6

0

 a1 
 
a 2 
 
 
 a3 
 

a 4 

+

0 0 0

1 0 0


2 1 0

2 1 1 

0
 
0
 
 
 1
 
 0 

(2.30)

(2.31)

22


Đặt D3 =

0
 
0
 
 
 1
 
 0 

(2.32)

Thay thế (2.32) vào (2.27) và chú ý điều kiện đầu (2.29) ta được (2.33)


 a1 


 


a 2 




D1 :  D2
 D3   0
 



 a3 


 


a


 4



(2.33)

 a1 
 
a 2 
D1 D2    D1 D3  0
 
 a3 
 
a 4 

(2.34)

Phương trình (2.34) là phương trình bậc nhất 4 ẩn trong đó 2 ẩn đã biết theo
(2.29)
Ký hiệu:

D1 D2  k 

(2.35)

D1 D3  P 

(2.36)

Và lập trình ma trận theo tọa độ của phần tử ta được (2.37)
 a1 
 
a 2 
k     P  0
 a3 
 
a 4 

(2.37)

 a1 
 
a 2 
k      P
 a3 
 
a 4 

(2.38)

Hay

23


Ví dụ 4
Giải hệ PTVP:
 a11

a 21


 a31

a 41

a12

a13

a 22

a 23

a32

a33

a 42

a 43

a14 

a 24 


a34 

a 44 

 x1 
 
 x2 
 
 
 x3 
 
 x 4 

 b1 
 
b2 
 
 
b3 
 
b4 

(2.39)

Ta biến đổi:
 x1 
 
 x2 
 
 
 x3 
 
 x 4 

Trong đó:

1

0


0

0

0

1


0

0

0
 
 x1   0 
 
  
 x 2   x3 
 
 x 4 

(2.40)

x1  x1.1  0.x 2

Thay (2.40) vào (2.38) ta được:
1

 0
k  
 0

 0


k 

1

0



0

0

0
 0 

 
1  a1   0  
       =  P 

 
0 a 2   a3  
 


0
a 4  
0

1   a1 
 

0  a 2 

0

=

0

 
0
 P    
 
 a3 
 
a 4 

(2.41)

(2.42)

Phương trình (2.42) có dạng:

k1 

 a1 
 
a 2 

=  P 

(2.43)

= k1  .  P 

(2.44)

Hay
 a1 

 
a 2 

Lập trình Matlab
24