Bài giảng phương pháp phần tử hữu hạn dành cho học viên cao học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.32 MB, 102 trang )
Trờng đại học lâm nghiệp
Bộ môn Toán
Vũ Khắc Bảy
Bài giảng
phơng pháp phần tử hữu hạn
Hà nội - Năm 2014
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
1
LỜI NÓI ĐẦU
Để giải và tính toán các bài toán về kêt cấu cơ học, ngoài các phương pháp giải tích ta
còn có các phương pháp số. Do các bài toán cơ học thường dẫn đến việc giải các phương
trình vi phân với các điều kiện biên xác định nào đó. Vì vậy thời kỳ đầu của các phương
pháp số là : các phương pháp tích phân số và phương pháp sai phân hữu hạn. Cùng với sự phát
triển của máy tính điện tử, phương pháp phần tử hữu hạn ra đời và phát triển rất mạnh mẽ và
là một phương pháp được dùng rất phổ biến hiện nay khi tính toán các bài toán cơ học. Nó
cũng đã được áp dụng để có được nhiều chương trình tính cho các dạng bài toán cơ học khác
nhau: Tính cho dàn thanh, khung không gian, các kết cấu dạng tấm , vỏ ,
Phương pháp phần tử hữu hạn là môn học cơ sở của các ngành kỹ thuật liên quan đến
tính toán các kết cấu và hiện cũng là một môn học của ngành Xây dựng và Kỹ thuật công
trình thuộc trường ĐHLN.
Tài liệu viết về môn học này đã có rất nhiều trên các dạng : sách , bài giảng và trên
mạng, song thiết nghĩ thì việc biên soạn một tài liệu dạng bài giảng về phương pháp phần tử
hữu hạn với thời lượng 2 tín chỉ cũng là điều cần thiết để các em sinh viên ( và cả các độc
giả lần đầu biết về phương pháp PTHH) tiếp cận với môn học này thuận lợi hơn.
Tài liệu mới chỉ đề cập đến một số nội dung và khái niệm cơ bản để dẫn đến và sử
dụng trong phương pháp phần tử hữu hạn dùng để tính toán các bài toán cơ học. Nội dung
của bàu giảng gồm có 4 chương :
Chương 1 : Bổ túc về đại số tuyến tính và các phương pháp tính trong cơ học
Chương 2 : Cơ sở và các bước phân tích của phương pháp phần tử hữu hạn - Các
phương trình cơ bản .
Chương 3 : Phương pháp phần tử hữu hạn trong tính toán hệ dàn thanh; hệ khung
phẳng và hệ khung không gian.
Chương 4 : Phương pháp phần tử hữu hạn trong động lực học kết cấu, tính toán trị
riêng xác định tần số dao động tự do của kết cấu.
Tài liệu cũng đã đưa ra một số thủ tục cơ bản trong lập trình tính toán, các thủ tục này
được viết trong Visual Basic, độc giả có thể chuyển đổi dễ dàng sang các môi trường lập
trình khác.
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
2
Với mục đích giảng dạy cho sinh viên, nên đòi hỏi người đọc phải có sự hiểu biết cơ
bản về lập trình. Vì vậy trong quá trình thực hiện bài giảng này, các tính toán đều được thực
hiện trong môi trường EXCEL cũng khá thuận lợi ( tất nhiên tính toán với lượng các phần
tử không quá nhiều)
Mong rằng với ý muốn như thế, sẽ giúp ích được phần nào cho quá trình học tập môn
học này của các em sinh viên, và rất mong được các đóng góp của độc giả về các vấn đề
trình bài trong tài liệu.
Tác giả
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
3
Chương I
BỔ TÚC VỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH &
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRONG CƠ HỌC
I.1 BỔ TÚC VỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
I.1.1 Ma trận và các khái niệm
I.1.1.1 Định nghĩa ma trận:
Ma trận là một bảng hình chữ nhật, trên đó sắp xếp các phần tử ( là các số ) theo các
hàng và các cột. Ma trận thường được ký hiệu bằng các chữ cái : A , B , …, X, Y, … ;
còn các phần tử thường được ký hiệu bằng các chữ thường : a , b , …, x , y , ….
Giả sử ma trận có m hàng và n cột, khi đó để chỉ phần tử hàng i (từ trên xuống), cột j (từ
trái qua phải) ta ký hiệu : a
ij
( chỉ số hàng trước, chỉ số cột sau). Các phần tử của ma trận
được nằm trong dấu [ ] , hoặc ( ) , hoặc || || , nó có dạng :
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
m n
a a a
a a a
A
a a a
;
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
m n
a a a
a a a
A
a a a
;
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
m n
a a a
a a a
A
a a a
Ma trận có m hàng và n cột thì cỡ của ma trận là
m n
,
ij
a
là phần tử của ma trận A nằm ở giao điểm của hàng i cột j
Ký hiệu:
ij
m n
A a
,
ij
m n
A a
.
Khi m = n (số hàng bằng số cột) thì A gọi là ma trận vuông cấp n.
Ví dụ
2 2 3 1
A 3 1 1 5
5 5 4 1
là ma trận cỡ
43
,
11
a 2
,
24
a 5
…
3 3
3 0 6
B 5 1 4
7 4 2
là ma trận cỡ 3
3 (ma trận vuông cấp 3).
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
4
C =
1 3
1 2 4
là ma trận cỡ 1
3 ( ma trận hàng có 3 phần tử )
D =
2 1
5
7
là ma trận cỡ 2
1 ( ma trận cột có 2 phần tử )
I.1.1.2 Các khái niệm liên quan đến ma trận
1) Đường chéo chính.
Cho ma trận A vuông cấp n. Khi đó các phần tử a
11
, a
22
,…, a
nn
nằm trên một đường
thẳng gọi là đường chéo chính của A, các phần tử a
11
, a
22
,…, a
nn
gọi là các phần tử chéo.
( chú ý : khái niệm về đường chéo chính chỉ có trong ma trận vuông)
2) Ma trận tam giác. Cho ma trận A vuông cấp n.
+) Ma trận tam giác trên: Nếu A có các phần tử phía dưới đường chéo chính đều
bằng 0 (Tức là: a
ij
= 0 với mọi i > j).
11 12 1
22 2
0
0 0
n
n
nn
n n
a a a
a a
A
a
+) Ma trận tam giác dưới: Nếu A có các phần tử phía trên đường chéo chính đều
bằng 0 (tức là: a
ij
= 0 với mọi i < j).
11
21 22
1 2
0 0
0
n n nn
n n
a
a a
A
a a a
3) Ma trận chéo.
Ma trận vuông A có các phần tử nằm ở ngoài đường chéo chính đều bằng 0 gọi là ma
trận chéo.
11
22
0 0
0 0
0 0
nn
n n
a
a
A
a
Như vậy ma trận chéo vừa là ma trận tam giác trên, vừa là ma trận tam giác dưới.
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
5
4) Ma trận đơn vị. Ma trận đơn vị là ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường
chéo chính đều bằng 1. Ký hiệu là I
n
(hoặc E
n
) là ma trận đơn vị cấp n.
n
n n
1 0 0
0 1 0
I
0 0 1
Ví dụ.
2
2 2
1 0
I
0 1
ma trận đơn vị cấp 2 ;
3
3 3
1 0 0
I 0 1 0
0 0 1
ma trận đơn vị cấp 3
4) Ma trận đối xứng.
Ma trận A vuông cấp n được gọi là ma trận đối xứng nếu
ij
, , 1,
ji
a a i j n
( các
cặp phần tử đối xứng với nhau qua đường chéo chính thì bằng nhau).
Ví dụ.
2 4 5
4 3 0
5 0 6
A là ma trận đối xứng
1 2 7 6
4 2 0 4
7 0 0 2
6 4 2 0
B không đối xứng vì a
12
= 2 a
21
= 4
5) Ma trận không.
Là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, ký hiệu [0] hoặc .
Ví dụ. Các ma trận sau đều là ma trận không:
2 3
3 3
0 0 0
0 0 0
; 0 0 0
0 0 0
0 0 0
6) Ma trận con.
Cho A là ma trận cỡ
m n
. Ma trận B được gọi là ma trận con của A nếu B có
được từ A bằng cách bỏ đi một số hàng, một số cột.
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
6
Ví dụ. Cho ma trận
3 4
4 5 -2 4
A 3 1 6 9
2 7 8 -3
- Bỏ đi dòng 3, cột 3 và 4, ta được ma trận
2
M
4 5
3 1
- là ma trận con cấp 2.
- Bỏ dòng 2, ta được ma trận
3
2 4
4 5 2 4
2 7 8 3
M - ma trận con cỡ 2
4.
7) Ma trận chuyển vị.
Cho A là ma trận cỡ
n
m
. Ma trận chuyển vị của A là ma trận được ký hiệu A
T
, có
cỡ n
m . Ma trận A
T
có được từ A bằng cách chuyển hàng thành cột ( hoặc chuyển cột
thành hàng )
11 12 1n 11 21 m1
21 22 2n 12 22 m2
T
m1 m 2 mn 1n 2n mn
m n n m
a a a a a a
a a a a a a
A A
a a a a a a
Nhận xét. A là ma trận đối xứng khi và chỉ khi A = A
T
.
Ví dụ.
2 3 7
A 3 0 5
1 2 1
T
2 3 1
A 3 0 2
7 5 1
;
3 2
3 0
A 4 5
1 3
T
2 3
3 4 1
A
0 5 3
8) Ma trận hàng. Là ma trận chỉ có một hàng A = [a
1
a
2
a
n
]
1 n
9) Ma trận cột. Là ma trận chỉ có một cột
1
2
m
m 1
b
b
B
b
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
7
I.1.2. Các phép toán trên ma trận.
I.1.2.1. Phép bằng nhau.
Hai ma trận gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cỡ và các phần tử tương ứng ở cùng vị
trí bằng nhau.
Ví dụ A =
a b b
c d d
; B =
4 2
3 1
; A = B <=> a + b = 4 ; b = -2 ; c -
d = 3 ; d = 1 => a = 6 ; b = - 2 ; c = 4 ; d =1 .
I.1.2.2. Phép cộng hai ma trận cùng cỡ.
I.1.2.2.1 Định nghĩa.
Cho A và B là hai ma trận cùng cỡ
m n
, A = (a
ij
)
m × n
, B = (b
ij
)
m × n
. Tổng của hai ma
trận A và B là ma trận cùng cỡ C = (c
ij
)
m × n
trong đó
ij ij ij
c a b , i 1,m, j 1,n
.
Ký hiệu:
ij ij
m n
A B a b
.
Như vậy, nếu
mn2m1m
n22221
n11211
a aa
a aa
a aa
A
,
mn2m1m
n22221
n11211
b bb
b bb
b bb
B
Khi đó ta có
11 11 12 12 1n 1n
21 21 22 22 2n 2n
ij ij m n
m1 m1 m2 m2 mn mn
a b a b a b
a b a b a b
A B [a b ]
a b a b a b
Ghi nhớ : cộng ( trừ) hai ma trận cùng cỡ là cộng ( trừ) các phần tử ở vị trí tương ứng
với nhau.
Ví dụ 1.
3 3 3 3 3 3
2 1 4 1 3 3 1 4 1
0 3 1 2 4 0 2 7 1
3 5 2 2 1 1 5 6 3
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
8
Ví dụ 2.
2 3
2 0 3
A
-4 1 -2
2 3
-2 3 7
B
1 4 9
C = A + B =
0 3 10
-3 5 7
D = A – B = A + (-B) =
4 3 4
5 3 11
Ma trận đối: Nếu A + B = [0] thì B gọi là ma trận đối của A và ngược lại.
Ký hiệu ma trận đối của A là –A
I.1.2.2.2 Tính chất.
Giả sử A, B, C là các ma trận cùng cỡ. Khi đó:
1) A + B = B + A
2) (A + B) + C = A + (B + C)
3) A +
=
+ A = A
4) A + (-A) = (-A) + A =
I.1.2.3. Phép nhân ma trận với số thực.
I.1.2.3.1 Định nghĩa
Cho
ij
m n
A a
và số thực k. Khi đó, tích của số thực k với ma trận A là một ma trận
cùng cỡ đuợc xác định bởi:
ij
m n
kA ka
(Tức là: để nhân ma trận với một số k, ta nhân tất cả các phần tử của ma trận với k.)
Ví dụ:
1)
2 2 2 2
2 4 4 8
2.
3 1 6 2
2)
3 2 3 2 3 2
2 0 1 5 11 15
4 1 3 3 3 4 5 24
4 7 2 1 10 31
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
9
Hệ quả : Nếu tất cả các phần tử của ma trận có chung một thừa số thì có thể đưa thừa số ra
ngoài ma trận :
Ví dụ :
2 12 1 6
2.
4 6 2 3
I.1.2.3.2 Tính chất
Giả sử A, B là các ma trận cùng cỡ và k , n là các số thực bất kì. Khi đó:
- k (A + B ) = k A + k B
- ( k + n) A = kA + nA
- k(nA ) = k n(A )
- 1.A = A
- 0. A =
I.1.2.4. Phép nhân hai ma trận.
I.1.2.4.1 Định nghĩa
Cho hai ma trận
ij
m p
A a
,
i j
p n
B b
( số cột của ma trận A bằng số hàng của
ma trận B). Khi đó, tích của hai ma trận A và B là ma trận
i j
m n
C c
trong đó:
p
ij ik kj i1 1j 12 2j 13 3j ip pj
k 1
c a b a b a b a b a b
tức là c
ij
bằng tích vô hướng của hàng i ( ma trận A) với cột j ( ma trận B)
Ví dụ 1.
1 1
1 3 1 1
3 1
3
2 1 3 . 1 2.3 ( 1).1 3.4 17 17
4
Ví dụ 2.
11
21
2 3 2 1
2 1
3 1
1
c 3.1 0.( 3) ( 1).2 1
3 0 1 1
. 3
c 1.1 2.( 3) 4 .2 3
1 2 4 3
2
Nhận xét.
- Phép nhân AB thực hiện được khi và chỉ khi số cột của ma trận A bằng số hàng của
ma trận B.
- Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán.
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
10
Ví dụ.
1 1 0 1 1 1 2 0
A , B AB BA
2 0 1 0 0 2 1 1
- Phép nhân AB và BA thực hiện được khi và chỉ khi nếu A là ma trận cỡ m × n thì B
là ma trận cỡ n × m nhưng kết quả khác nhau
Ví dụ
1 3 8 5 9
1 2 3 5 10
A ; B 1 2 A.B BA 7 0 11
3 1 4 12 11
2 1 1 5 2
I.1.2.4.2. Tính chất.
- A ( B + C ) = AB + AC
- ( A + B ) C = AC + BC
- ( AB )C = A ( BC )
- ( kA ) B = k ( AB ) = A ( kB )
- AI = IA = A ( A là ma trận vuông , I là ma trận đơn vị cùng cấp với A)
- (AB)
T
= B
T
A
T
I.1.2.4.3. Nhân hai ma trận trên EXCEL
Để nhân hai ma trận A.B trên EXCEL ta thực hiện :
+ Nhập các số của ma trân A và B ( chú ý : số cột của A = số hàng của B)
+ Khai báo vùng ma trận kết xuất A.B : Bấm trái chuột và quét vùng ma trận có số
hàng = số hàng A, số cột = số cột của B)
+ Từ f
x
( Insert function) => MMULT ( nhân) => Function Arguments : ARRAY1 :
địa chỉ của A ; ARRAY2 : nhập địa chỉ của B => bấm đồng thời 3 phím :
Ctrl + Shift + Enter ( không bấm OK )
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
11
I.1.4. Định thức
I.1.4.1. Định nghĩa định thức.
I.1.4.1.1 Định nghĩa 1.
Cho ma trận A =
ij
n n
a
vuông cấp n
Kí hiệu M
ij
là ma trận con cấp (n – 1) có được từ ma trận A khi bỏ đi hàng i, cột j.
Khi đó M
ij
được gọi là ma trận con của A ứng với phần tử a
ij
.
Ví dụ.
Víi
1 2 5
3 4 1
0 5 1
A
th×
11 23
4 1 1 2
,
5 1 0 5
M M
I.1.4.1.2 Định nghĩa 2.
Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Khi đó, định thức cấp n của ma trận A, kí hiệu là:
det(A) hay
A
, là một số được định nghĩa một cách qui nạp sau:
a) Định thức cấp 1. Giả sử A = [a
11
] det (A) = a
11
(1)
b) Định thức cấp 2.
11 12
11 12
11 22 12 21
21 22
21 22
a a
a a
A det (A) = a a a a
a a
a a
(2)
c) Định thức cấp 3 : Giả sử :
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
Khi đó, ta có:
11 12 13
1 1 1 2 1 3
21 22 23 11 11 12 12 13 13
31 32 33
a a a
det(A) a a a 1 a det M + 1 a det M 1 a det M
a a a
22 23 21 23 21 22
11 12 13
32 33 31 33 31 32
a a a a a a
a . a . a .
a a a a a a
Một cách tổng quát ta có :
i 1 i 2 i 3
i1 i1 i2 i2 i3 i3
det(A) 1 a det M + 1 a det M 1 a det M
(3)
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
12
hoặc
1 j 2 j 3 j
1j 1j 2 j 2 j 3j 3 j
det(A) 1 a det M + 1 a det M 1 a det M
(4)
Trong đó M
ij
là ma trận vuông cấp 2 có được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i, cột thứ j.
Công thức (3) gọi là công thức khai triển định thức theo hàng thứ i với i = 1, 2, 3.
Công thức (4) gọi là công thức khai triển định thức theo cột thứ j với j = 1, 2, 3.
Ví dụ 1. Tính định thức của ma trận
2 3 1
A 1 1 0
3 1 4
- Khai triển định thức theo hàng 1, ta được:
det(A) =
1 1 1 2 1 3
2 3 1
1 0 1 0 1 1
1 1 0 ( 1) .2. ( 1) .( 3) ( 1) .1.
1 4 3 4 3 1
3 1 4
=
2.( 4) 3.4 1.4 8
- Khai triển định thức theo cột 3, ta được:
det(A) =
1 3
3 3
2 3 1
1 1 2 3
1 1 0 1 .1. 0 ( 1) . 4 4 4 8
3 1 1 1
3 1 4
- Khai triển theo hàng 2 ta được :
det(A) = (-1)
2 + 1
.1 .
3 1
1 4
+ (-1)
2 + 2
.(-1).
2 1
3 4
+ 0 = 13 - 5 = 8
d) Định thức cấp n.
Giả sử ta đã định nghĩa được định thức cấp (n - 1). Khi đó, định thức cấp n của ma trận
A =
ij
n x n
a được xác định như sau:
i 1 i 2 i n
i1 i1 i2 i2 i n in
det(A) 1 a det M + 1 a det M 1 a det M
(5)
hoặc
1 j 2 j m j
1j 1j 2 j 2 j mj mj
det(A) 1 a det M + 1 a det M 1 a det M
(6)
Trong đó M
ij
là ma trận vuông con cấp (n - 1) có được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i
cột thứ j.
Công thức (5) gọi là công thức khai triển định thức theo hàng thứ i với i = 1, 2,…, n.
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
13
Công thức (6) gọi là công thức khai triển định thức theo cột thứ j với j = 1, 2, ….,n.
Ví dụ 2. Tính định thức: det(A) =
1 6 0 1
0 2 1 2
1 3 0 1
3 0 1 3
Giải.
Ta nên khai triển định thức theo cột 3 vì có 2 phần tử bằng 0.
Khai triển theo cột 3:
|A| =
2 3 4 3
1 6 0 1
1 6 1 1 6 1
0 2 1 2
1 1 3 2 1 0 2 2
1 3 0 1
3 0 3 1 3 1
3 0 1 3
Tính I
1
=
3 1 3 3
1 6 1
6 1 1 6
1 3 2 ( 1) .3. ( 1) .3. 3.15 3.9 72
3 2 1 3
3 0 3
Tính I
2
=
2 2 2 3
1 6 1
1 1 1 6
0 2 2 ( 1) .2. ( 1) .2. 2.0 2.9 18
1 1 1 3
1 3 1
Vậy |A| = - I
1
- I
2
= -72 + 18 = - 54
Ví dụ : Tính các định thức sau:
a)
1 2 1 3
3 4 0 0
2 6 0 4
4 3 5 0
b)
1 1 2 2
3 5 0 4
1 0 3 0
4 3 0 2
Hướng dẫn :: a) Khai triển theo hàng 2 hoặc cột 3
b) Khai triển theo cột 3 hoặc hàng 3.
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
14
I.1.4.2. Cách tính định thức EXCEL
Để tính đính thức của ma trận A vuông trong EXCEL ta thực hiện :
+ Bấm chuột vào cell muốn có kết quả được kết xuất ra tại đó.
+ Từ f
x
( Insert function ) => MDETERM ( định thức) => function Arguments =>
ARRAY : ( nhập địa chỉ của A) => bấm OK.
I.1.5. Ma trận nghịch đảo .
I.1.5.1 Định nghĩa:
Cho A là ma trận vuông cấp n. Nghịch đảo của ma trận A (nếu tồn tại) là một ma trận
vuông cấp n, được ký hiệu là A
-1
, sao cho AA
-1
= A
-1
A = I
n
(trong đó I
n
là ma trận đơn vị
cấp n), khi đó nói rằng ma trận A là khả đảo
I.1.5.2 Tính chất:
Nếu A có ma trận nghịch đảo là A
-1
thì A
-1
cũng khả đảo và nghịch đảo của
1
A
là
1 1
(A )
= A
Nghịch đảo của một ma trận vuông nếu có là duy nhất.
Nếu A và B đều có nghịch đảo thì:
*) (AB)
- 1
= B
-1
A
-1
*) (kA)
-1
=
1
1
A
k
I.1.5.3 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông
Định lý :
Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông khả đảo là định thức của nó khác không.
Chú ý : Nếu ma trận A có det(A) 0 thì ta còn gọi A là ma trận không suy biến, ngược
lại ta gọi A là ma trận suy biến.
I.1.5.4 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo trong EXCEL
Để tìm ma trận nghịch đảo trong EXCEL ta thực hiện :
+ Khai báo vùng kết xuất ma trận A
-1
: Bấm trái chuột và quét một vùng ma trận
vuông cùng cấp A.
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
15
+ Từ f
x
(Insert function) => MINVERSE ( nghịch đảo) => Function Arguments
=> ARRAY : ( nhập địa chỉ của ma trân A) => bấm đồng thời 3 phím :
Ctrl + Shift + Enter ( không bấm OK)
I.1.6 Hệ phương trình đại số tuyến tính
I.1.6.1 Định nghĩa và các định lý
I.1.6.1.1 Định nghĩa : Hệ m phương trình đại số tuyến tính của n ẩn số thực có dạng:
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
m1 1 m 2 2 mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
(I)
Trong đó x
1
, x
2
, …, x
n
là các ẩn số cần tìm
a
ij
là số thực - hệ số của phương trình thứ i gắn với ẩn
j
x
1, , 1,
i m j n
.
i
b
là số thực - vế phải của phương trình thứ i , (
1,
i m
)
Đặt
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
A
a a a
, ma trận A được gọi là ma trận hệ số của hệ (I).
n
x
x
x
X
2
1
được gọi là ma trận ẩn ;
1
2
m
b
b
B
b
được gọi là ma trận vế phải
BAA =
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
được gọi là ma trận bổ sung của hệ (I).
Bằng phép nhân ma trận, hệ phương trình (I) được viết ở dạng ma trận như sau:
AX = B (II)
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
16
Dạng (II) gọi là dạng ma trận của hệ (I).
- Nếu B =
(tức là:
i
b 0, i 1,m
) thì hệ (II) gọi là hệ thuần nhất. Nếu có ít
nhất một b
i
≠ 0 thì hệ (II) gọi là hệ không thuần nhất.
- Nếu A là ma trận vuông (tức số phương trình bằng số ẩn) thì hệ (I) và (II) gọi là hệ
vuông.
- Nghiệm của hệ (I) là một bộ gồm n số thực (x
1
, x
2
, …,x
n
) sao cho thoả mãn tất cả các
phương trình của hệ.
Nhận xét:
Hệ thuần nhất AX =
luôn có nghiệm không: (x
1
, x
2
, …,x
n
) = (0, 0, …, 0).
Nghiệm này gọi là nghiệm tầm thường. Các nghiệm khác nghiệm tầm thường gọi là
nghiệm không tầm thường.
Hệ vuông: Hệ AX = B gọi là hệ vuông nếu A là ma trận vuông.
I.1.6.2 Hệ Cramer.
I.1.6.2.1 Định nghĩa:
Hệ phương trình đại số tuyến tính AX = B là một hệ vuông, thỏa mãn điều kiện
det(A)
0 thì được gọi là hệ Cramer.
I.1.6.2.2 Tính chất:
Hệ Cramer AX = B luôn có nghiệm duy nhất xác định bởi công thức X = A
-1
B.
I.1.6.2.3 Phương pháp giải hệ Cramer bằng ma trận nghịch đảo
- Xét hệ Cramer AX = B. Vì detA 0 nên A có ma trận nghịch đảo A
-1
Do vậy từ AX = B A
-1
A X = A
-1
B => X = A
-1
B
- Tìm ma trận nghịch đảo A
-1
- Thực hiện phép nhân: X = A
-1
B
Ví dụ : Giải hệ sau theo phương pháp ma trận nghịch đảo
1 2 3
1 2 3
1 3
2 3 7
2 5 3 7
8 19
x x x
x x x
x x
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
17
Giải:
Ma trận hệ số:
801
352
321
A ; X =
1
2
3
x
x
x
; B =
7
7
19
Ta có det(A) =
1 2 3
5 3 2 3 2 5
| | 2 5 3 1 2 3 40 26 15
0 8 1 8 1 0
1 0 8
A = -1
==> det(A) = -1 0 . Vậy hệ đã cho là hệ Cramer.
Có
1
40 16 9
A 13 5 3
5 2 1
=> X = A
-1
B =
40 16 9 7 3
13 5 3 7 1
5 2 1 19 2
Vậy nghiệm của hệ phương trình trên là :
X =
1
2
3
x
x
x
=
3
1
2
II.1 CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG
II.1.1 Ten xơ ứng suất.
Dưới tác dụng của lực ngoài, vật thể chịu lực bị biến dạng và bên trong nó sẽ xuất
hiện ứng suất. Ứng suất tại mỗi điểm khác nhau là khác nhau, véc tơ ứng suất không những
phụ thuộc vào điểm mà còn phụ thuộc vào hướng của thiết diện qua nó mà được xác định
bởi pháp tuyến có hướng
n
. Như vậy tập hợp cặp véc tơ ứng suất
n
T
và véc tơ
n
tại điểm P
sẽ xác định trạng thái ứng suất tại điểm đó. Trạng thái ứng suất tại điểm hoàn toàn được xác
định qua ten-xơ ứng suất – là một ten xơ đối xứng hạng hai, nên nó có 6 thành phần độc
lập:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
σ σ σ
σ σ σ σ
σ σ σ
ij
với
σ σ
ij ji
Trong hệ tọa độ Đê-cac các thành phần của ten xơ ứng suất được ký hiệu là :
σ ;σ ; σ ; τ ;τ ; τ
x y z xy xz yz
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
18
II.1.2 Phương trình cân bằng
Tách phần thể tích V tùy ý giới hạn bởi mặt S của môi trường liên tục ở hình thái
biến dạng, xét sự cân bằng các lực tác dụng lên thể tích đó ( không kể lực quán tính) ta
được:
0
VS
n
dVKdST
hay là
0
VS
ii
dVKdSnT
Do
V
i
i
S
ii
dV
x
T
dSnT
( công thức Gaoxơ - Ôtrôgratxki) nên ta có :
V
i
i
dVK
x
T
, vì V là thể tích tùy ý nên biểu thức dưới dấu tích phân bằng không =>
ta được :
00
j
i
ij
i
i
K
x
lµhayK
x
T
(I.1)
Phương trình (I.1) được gọi là phương trình cân bằng,
ρ
là mật độ khối lượng ,
K
lực khối.
Viết (I.1) dưới dạng tường minh ta được :
τ
τ
σ
ρ 0
τ σ τ
ρ 0
τ
τ σ
ρ 0
xy
xz
x
x
yx y yz
y
zy
zx z
z
K
x y z
K
x y z
K
x y z
(I.2)
Với bài toán hai chiều ( Tấm , vỏ ), phương trình cân bằng có dạng :
τ
σ
ρ 0
τ σ
ρ 0
xy
x
x
yx y
y
K
x y
K
x y
(I.3)
Còn trong bài toán một chiều phương trình cân bằng sẽ là :
σ
ρ 0
x
x
K
x
(I.4)
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
19
II.1.3 Quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị ( hệ thức Cô-si)
Khi xây dựng hệ thức quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị, xuất phát từ sự thể hiện
thay đổi kích thước dài đoạn vô cùng nhỏ bất kỳ
X
d
lấy từ điểm
X
và thay đổi góc giữa
hai đoạn vô cùng nhỏ bất kỳ lấy từ điểm đó người ta đã dẫn đến ten-xơ biến dạng hữu hạn
viết trong hệ tọa độ Đề các : Grin và Anmăngxi
j
i k k
ij
j i i j
U
1 U U U
γ
2 X X X X
(Grin) (I.5)
j
i k k
ij
j i i j
u
1 u u u
γ
2 x x x x
(Anmăngxi) (I.6)
Trong đó X
n
- biến Lagrăng, x
k
– biến Ơ le , U
m
và u
n
là các thành phần chuyển vị theo
biến Lagrăng và Ơle.
Trường hợp biến dạng nhỏ ( t.là khi bỏ qua VCB bậc cao – là các thành phần phi tuyến
trong (1.5) và (1.6) )) khi đó hai ten xơ này xấp xỉ bằng nhau và các thành phần của ten-xơ
biến dạng nhỏ sẽ có dạng:
333231
232221
131211
ij
với các thành phần :
31 2
11 33 22
1 3 2
u
u u
ε , ε , ε ,
x x x
3 3
1 2 2 1
12 23 13
2 1 3 2 3 1
u u
1 u u 1 u 1 u
ε , ε , ε
2 x x 2 x x 2 x x
Để thuận lợi cho các công thức sau này trong tính toán theo phương pháp PTHH, người ta
ký hiệu :
- Các thành phần chuyển vị : u , v , w
- Các thành phần của ten-xơ biến dạng
ε
x
;
ε
y
;
ε
z
;
γ
xy
;
γ
xz
;
γ
yz
với :
x y z
u v w
ε ; ε ; ε ;
x y z
xy xz yz
u v u w v w
γ ; γ ; γ
y x z x z y
(I.7)
Hay viết dưới dạng ma trận :
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
20
x
y
z
xy
yz
xz
0 0
x
ε
0 0
y
ε
u
0 0
ε
z
. v
γ
0
y x
w
γ
0
z y
γ
0
z x
(I.8)
II.1.4 Phương trình liên tục
Hệ thức Cô-si (I.8) cho sự liên hệ giữa 6 thành phần biến dạng xác định duy nhất qua 3
thành phần chuyển vị cho trước. Như vậy với 6 thành phần biến dạng cho trước chỉ từ quan
hệ (I.8) sẽ không cho duy nhất 3 thành phần chuyển vị, do đó giữa các thành phần biến dạng
sẽ có 6 phương trình tương thích biến dạng ( còn gọi là các phương trình tương thích biến
dạng Xanhvơnăng), các phương trình này đảm bảo cho sự biến dạng liên tục trong môi
trường.
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
ε γ
ε
ε γ
ε
ε γ
ε
y xy
x
y yz
z
z xz
x
x y
y x
z y
z y
x z
z x
2
2
2
γ γ
γ
ε
2
γ γ ε
γ
2
γ γ
γ ε
2
yx zy
zx
x
zy yx y
zx
yz xy
zx z
x y z x y z
y x z y x z
z y x z y x
(I.9)
Trong bài toán 2 chiều : (I.9) còn 1 phương trình
2 2
2
2 2
ε γ
ε
y xy
x
x y
y x
Trong bài toán 1 chiều : các phương trình trên đều thỏa mãn.
II.1.5 Điều kiện biên
Điều kiện biên liên quan đến chuyển vị hoặc ứng suất
Điều kiện biên liên quan đến chuyển vị ( gọi là điều kiện biên động học) thường được
cho trước chuyển vị của một điểm hoặc một phần mặt biên nào đó
Điều kiện biên liên quan đến ứng suất ( gọi là điều kiện biên tĩnh học) đòi hỏi sự cân
bằng giữa ứng suất trên mặt biên với ngoại lực đặt lên đó.
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
21
Ví dụ
Hình 1.1
Một thanh chiều dài
, chi
ều dầy h,
bị ngàm chặt một đầu, một đầu tự
do, chịu tác dụng của lực phân bố
đều có cường độ q như hình vẽ.
Chọn hệ tọa độ : 0x theo chiều dài,
sát mặt dưới, 0y hướng lên trên
Đây là bài toán hai chiều và các điều kiện biên được đưa về các hệ thức sau :
- Tại x = 0 : u(0,y) = v(0,y) = 0 ;
v(0,y)
0
x
- Tại mặt trên ( y = h) :
xy y
τ (x,h) 0 ; σ (x,h) q
- Tại mặt dưới ( y = 0) :
xy y
τ (x,0) 0 ; σ (x,0) 0
- Tại đầu B ( x =
) :
xy x
τ ( , y) 0 ; σ ( , y) 0
II.1.6 Phương trình vật lý (phương trình trạng thái)–Quan hệ ứng suất và biến dạng.
Trong giáo trình này chỉ xét giai đoạn làm việc của vật liệu ở giai đoạn đàn hồi, biến
dạng là nhỏ và đàn hồi là tuyến tính. Như vậy quan hệ giữa ứng suất và biến dạng ở đây
được áp dụng bởi định luật Hooke.
Xét với vật liệu đẳng hướng :
II.1.6.1 Bài toán 3 chiều : định luật Hooke có dạng :
x x y z xy xy xy
y y x z yz yz yz
z z x y xz xz xz
1 1 2(1
ν)
ε σ ν(σ σ ) , γ τ τ
E G E
1 1 2(1
ν)
ε σ ν(σ σ ) , γ τ τ
E G E
1 1 2(1
ν)
ε σ ν(σ σ ) , γ τ τ
E G E
(I.10)
Chú ý rằng các thành phần của ten-xơ biến dạng được tính theo chuyển vị qua (I.7)
Nếu viết dưới dạng ma trận và có kể đến biến dạng ban đầu thì (I.10) có dạng:
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
22
0
ε C . σ ε
(I.11)
trong đó:
T
x y z xy yz zx
ε ε ,ε ,ε , γ ,γ ,γ - là véc tơ biến dạng
T
x y z xy yz zx
σ σ ,σ ,σ ,τ ,τ ,τ - là véc tơ ứng suất
T
0 0x 0y 0z 0xy 0yz 0zx
ε ε ,ε ,ε ,γ , γ ,γ - là véc tơ biến dạng ban đầu
( Chữ T – ký hiệu chuyển vị ma trận)
[C] – ma trận các hệ số đàn hồi ,
1 ν ν 0 0 0
ν 1 ν 0 0 0
ν ν 1 0 0 0
1
C
0 0 0 2(1 ν) 0 0
E
0 0 0 0 2(1 ν) 0
0 0 0 0 0 2(1
ν)
(I.12)
với E – mô đun đàn hồi Young , G – mô đun trượt ,
ν
- hệ số Poát-xông của vật liệu.
Trường hợp biến dạng ban đầu do nhiệt độ thì
T
0
0
ε αT 1 , 1 , 1, 0, 0, 0
, trong đó
α
- hệ số dãn nở vì nhiệt, T
0
– độ biến thiên của nhiệt độ.
Biểu diễn ứng suất qua các thành phần biến dạng ta sẽ có :
0
σ D ε ε
hay là :
0
1
1
1
E αT
σ D ε
0
1 2ν
0
0
với ma trận hệ số D là :
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
23
1 ν ν ν 0 0 0
ν 1 ν ν 0 0 0
ν ν 1 ν 0 0 0
1 2ν
E
0 0 0 0 0
D
2
(1 ν).(1 2ν)
1 2ν
0 0 0 0 0
2
1 2
ν
0 0 0 0 0
2
(I.13)
II.1.6.2 Bài toán 2 chiều :
Bài toán ứng suất phẳng : ví dụ như xét các bài toán về tấm, vỏ với tải trọng
nằm trong mặt phẳng giữa tấm, phân bố đều theo bề dầy của tấm khi đó chọn trục z vuông
góc với mặt phẳng tấm, sẽ dẫn đến thể giả thiết rằng :
z xz yz
σ τ τ 0
ứng suất không đổi theo chiều dầy của tấm.
với giả thiết này các biểu thức của định luật Hooke có dạng :
0
ε C σ ε
với :
x x 0x
0
y y 0 0y
xy xy 0xy
ε σ ε 1 1 ν 0
1
ε ε ; σ σ ; ε ε αT 1 ; C ν 1 0
E
γ τ γ 0 0 0 2(1 ν
Hay biểu diễn ngược lại:
0
0
1
EαT
σ D ε ε D ε 1
1 ν
0
với
2
1
ν 0
E
D
ν 1 0
1 ν
1
ν
0 0
2
biến dạng theo phương z vẫn tồn tại và
0
z x y
ν
ε σ σ αT
E
Bài toán biến dạng phẳng : Khi xét vật thể hình lăng trụ dài có mặt cắt ngang
không đổi theo chiều dài ( theo chiều trục 0z) , chịu tải trọng đều vuông góc
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN
.
Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014
24
với 0z , khi đó ta có : w = 0 ;
z
w
ε 0
z
; các đại lượng ứng suất và biến
dạng chỉ phụ thuộc vào các biến x và y.
0
ε C . σ ε
0x
0
0 0y
0xy
ε 1 1 ν ν 0
1 ν
ε ε 1 ν αT 1 ; C ν 1 ν 0
E
γ 0 0 0 2
Hay biểu diễn ngược lại:
0
0
1
EαT
σ D ε ε D ε 1
1 2ν
0
với
1 ν ν 0
E
D ν 1 ν 0
(1 ν).(1 2ν)
1 2
ν
0 0
2
ứng suất theo phương z vẫn tồn tại và
0
z x y xz yz
σ ν σ σ EαT ; τ τ 0
II.1.6.3 Bài toán 1 chiều :
0
x x
1
ε σ αT
E
hoặc
0
x x
σ Eε EεT
( => D = E – mô đun đàn hồi)
II.1.7 Đặt bài toán đàn hồi : Thiết lập bài toán đàn hồi bao gồm việc thiết lập các phương
trình và các điều kiện biên, chúng phải lập thành một hệ kín để có thể giải ra được các ẩn
cần tìm đó là các giá trị của các thành phần ten – xơ biến dạng, ứng suất , véc tơ chuyển vị.
Các phương trình gồm có :
Phương trình cân bằng
Hệ thức Cô-si ( liên hệ chuyển vị và biến dạng)
Phương trình trạng thái ( liên hệ ứng suất và biến dạng : định luật Hooke)
và các điều kiện biên động học hoặc tĩnh học.
Người ta đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán đàn hồi.
