Đề cương bài giảng kỹ thuật điều khiển tự động

KT điều khiển tự động

Mục lục
Chương 1. Xây dựng, phân tích đối tượng trong miền phức ........................ 3
1.1 Công cụ toán học ....................................................................................... 3
1.1.1. Phép biến đổi Laplace thuận............................................................ 11
1.1.2 Phép biến đổi Laplace ngược .......................................................... 16
1.2. Xây dựng mô hình đối tượng.................................................................. 23
1.2.1. Mô hình đối tượng trên miền phức .................................................. 23
1.2.2 Hàm truyền đạt, hàm trọng lượng và hàm quá độ ............................ 26
1.2.3. Phép biến đổi sơ đồ khối ................................................................. 33
1.2.4 Xây dựng mô hình đối tượng trên cơ sở hàm quá độ. ...................... 43
1.3. Phân tích hệ thống .................................................................................. 58
1.3.1 Các đường đặc tính tần. ................................................................... 61
1.3.2. Tính ổn định của hệ thống ............................................................... 69
1.3.3. Đánh giá chất lượng hệ thống.......................................................... 83
Chương 2. Thiết kế bộ điều khiển trong miền phức .................................... 94
2.1. Mô hình hệ thống điều khiển .................................................................. 94
2.2. Phương pháp tối ưu độ lớn ................................................................... 103
2.3. Phương pháp tối ưu đối xứng ............................................................... 109
2.4. Phương pháp cân bằng mô hình ........................................................... 117
2.5. Phương pháp điều khiển dự báo Smith ................................................ 121
Chương 3. Xây dựng, phân tích đối tượng trên không gian trạng thái ... 122
3.1. Xây dựng mô hình đối tượng................................................................ 122
3.1.1 Mô hình đối tượng trên không gian trạng thái ............................... 122
3.1.2. Chuyển đổi mô hình đối tượng dạng SS và TF ............................. 126
3.1.3. Quỹ đạo trạng thái ......................................................................... 132
3.2 Phân tích hệ thống ................................................................................. 132
3.2.1. Tính ổn định của hệ thống ............................................................. 133
Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

1


KT điều khiển tự động

3.2.2. Tính điều khiển được ..................................................................... 141
3.2.3. Tính quan sát được ........................................................................ 144
Chương 4. Thiết kế bộ điều khiển trên không gian trạng thái.................. 146
4.1 Mô hình hệ thống điều khiển ................................................................. 146
4.2. Phương pháp gán điểm cực Ackermann............................................... 150
4.3. Phương pháp Roppenecker ................................................................... 156
4.4. Điều khiển phản hồi trạng thái dùng bộ quan sát trạng thái ................. 161
4.5. Điều khiển tách kênh ............................................................................ 162
4.6. Điều khiển bám ..................................................................................... 167

Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

2


KT điều khiển tự động

Chương 1. Xây dựng, phân tích đối tượng trong miền
phức
1.1 Công cụ toán học
Lý thuyết hàm biến phức
Định nghĩa, khái niệm hàm liên tục, hàm giải tích
Hàm số f (s) biến đổi một số phức s    j là hai biến số thực , j   1 thành
một số phức khác :
f (s)  u( , )  jw( , ), trong đó các kí hiệu u( ,  ) chỉ phần thực và

w( ,  ) chỉ phần ảo của nó , được gội là hàm biến phức hay gọn hơn là hàm phức .

Với các kí hiểu tên thì rõ rõ ràng một hàm biến phức f (s) đựoc biểu diễn thành hai
hàm thực hai biến u( ,  ) và w( ,  ) .
Hình 1.1 minh hoạ hàm phức f (s) như một ánh xạ từ mặt phẳng phức s ào mặt
phẳng phức z  f (s) .
j

s =  + j

j

z = f(s)= u + j 


S

Z
u

Hinh1.1: Hàm biến phức là ánh xạ từ mặt phẳng vào mặt phẳng phức
Một hàm phức f (s) được gội là biến liên tục tại s0 có z 0  f (s0 ) nếu với mọi lân
cận Z đủ nhỏ cho trước của z 0 , chẳng hạn như một mặt tròn có bán kính đử nhỏ à tâ
là z 0 luôn tồn tại một lân cận S tương ứng với s 0 , sao cho miền ảnh của nó là f (s)
nằm chọn trong  , tức là (hình 1.1):
f (S )  

(1.2)

Khi đó người ta cũng viết:

lim f ( s)  f (s0 )  z 0

s  s0

Hàm phức f (s) liên tục tại mọi điểm s0 thuộc miền  .
Xét một hàm f (s) liên tục trên  nếu tồn tại s   tồn tại giới hạn :

Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

3


KT điều khiển tự động

lim

s 0

f ( s  s)  f ( s)

s

(1.3) và giới hạn này không phụ thuộc

vào kiểu của s  0 , thì hàm f (s) được gọi là khả vi tại s . Khi đó giá trị hạn (1.3)
được gọi là đạo hàm của f (s) tại s vàkí hiệu bằng

df ( s )
.

ds

Chú ý rằng ở đây phải có điều kiện là giới hạn (1.3) không được phụ thuộc hình thức
tiến về 0 của s .
Ví dụ 1.1: Hàm biến phức không khả i
Xét hàm phức :
f (s)  Re( s) hàm lấy phần thực của biến phức s .

Hàm này là không khả I , nếu cho s  0 dọc theo trục thực  thì giới hạn (4.23) sẽ
có giá trị bằng 1, nhưng nếu cho s  0 dọc theo trục ảo j thì nó lại có giá trị bằng
0 .
Nếu hàm f (s) khả vi tại mọi điểm s thuộc miền  thì nó còn được gọi là giải tích
trên  . Theo Cauchy và Riemann thì cần và đủ để f (s) giải tích trên  là ở đó phải
có :
u ( ,  )  ( ,  )
u ( ,  )
 ( ,  )
và







(1.4)

tức là phần thực u( ,  ) và phần ảo  ( ,  ) của hàm f (s) phải thoả mãn phương
trình vi phân Laplace:
 2u  2u


 0 và
 2  2

 2  2

0
 2  2

Phép tính lấy đạo hàm của các hàm phức cơ bản cũng được thực hiện giống ở hàm
thực . Ví dụ:
f ( s)  s n 

df ( s)
 ns n1
ds

f ( s)  sin( s) 

df ( s)
 cos(s)
ds

Tích phân phức là nguyên lý cực đại modulus
Xrts một hàm phức z  f (s) liên tục tại mọi điểm s thuộc một miền S trong mặt
phẳng phức s    j hình (1.2) gọi AB là một đường cong nào đó trong S. Ta chia
đường AB thành n đoạn bằng các điểm phức s1  A, s2 ,..., sn1  B tuỳ ý và gọi
: sk  sk  sk 1 .

Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

4


KT điều khiển tự động

nếu như tồn tại giá trị giới hạn :

n

lim  f ( s k )s k và giá trị giới hạn này không phụ
n 

k 1

thuộc ào cách chon các điểm sk trên đoạn AB , thì nó sẽ được gọi là giá trị tích phân
của hà số z  f (s) tính dọc theo đoạn AB và kí hiệu bởi :
B


A

n

f ( s)ds  lim  f ( s k )s k
n 

(1.5)

j

s =  + j

k 1

C

sn
sn+ = B
1

s1=A

S

Hình 1.2 : Giải thích khái niệm tích phân thức
Theo công thức định nghĩa (1.5) về tích phân như trên ta thấy giá trị tích phân còn
phụ thuộc vào dạng của đường cong AB trong miền S.
Về phép tích phân phức ta có những kết luận cơ bản của Cauchy:
1) (Định lý tích phân của Cauchy) nếu hàm z  f (s) hông những liên tục mà còn giải
thích trong S thì với ký hiệu C chỉ đường biên củ0a S , ta luôn có:
1.6)
Nói cách khác ,giá trị tích phân của hàm z  f (s) tính dọc theo đoạn đường cong
khép kín C là biên của S mà f (s) giải thích trong đó , sẽ có giá trị bằng 0.
B

2) Định lý tích phân của Cauchy chỉ ra rằng giá trị tích phân :

 f (s)ds

của hàm

A

z  f (s) tính dọc theo đoạn AB sẽ không phụ thuộc vào dạng đường cong AB nếu

như đoạn AB này nằm trong miền S mà f (s) giải thích trong đó .
3) (Công thức tính tích phân Cauchy ) Gọi S là miền z  f (s) giải thích trong nó và C
là biên của miền S có chiều ngược kim đồng hồ (miền S luôn nằm phía bên trái nếu
đi dọc trên C theo chiều này ). Khi đó tại một điểm s bất kỳ thuọcc S luôn có :
1 f ( )
f (s) 
d
(1.7)
2j C   s
d k f ( s)
1
f ( )

d
k

2j C (  s) n1
ds

(1.8)

Ngoài ra , phép tính lấy tích phân của các hàm phức cơ bản cũng được thực hiện
như ở hàm thực . Ví dụ :
f (s)  sin( s)   f (s)  cos (s)  k (k là hằng số )

f (s)  e x   f (s)ds  e k  k

Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

(k là hằng số )

5


KT điều khiển tự động

Từ công thức tính tích phân(1.7) và (1.8) của Cauchy ta cũng dễ dàng tính được
nghuyên lý cực đại modulus, phát biểu như sau :
Định lý 1.1 (nguyên lý cực đại modulú): Nếu một hàm biến phức z  f (s) xách định
à liên tục trong một miền kín S, giải tích bên trong miền đó thì nó có thể có giá trị cực
đại trên biên của S.
Hàm bảo giác (conform)
nếu gọi l s1 và l s2 là hai đường cong tạo ới nhau ột góc  trong hai mặt phẳng phức
s, cũng như l 1z và l z2 là hai đường ảnh của nó trong mặt phẳng phức z  f (s) , tức là :
l 1z  f ( l s1 ),

l z2  f (l s2 ) thì khi đó hai đường ảnh l s1 , l s2 này cũng sẽ tạo với nhau một

góc đúng bằng  trong mặt phẳng phức z  f (s) - hình(1.3)

s =  + j
j

z = f(s)= u + j 



l1 z

l1 z

l2z

l2z



u

Hình 1.3: Giải thích khái niệm hàm bảo giác
 d 
Xét một điểm s cụ thể và vector ds    là tiếp tuyến tại đó với một đường cong ls
 d 

nào đó . Khi đó, trong mặt phẳng phức z  f (s) của hàm bảo giác f (s) , vector ds sẽ
 du 

u

u

u 

  d   Z  cos
 sin 
w  d 



 

 sin   d 


cos   d 

(1.9)

w

w

dược biến đổi thành dz    với : du 
d 
d và dw 
d 
d và




 dw 
kết hợp thê công thức (1.4) của Cauchy và Riemann thì :
 u

ds   
 


 

Trong đó

df ( s)
df(s)
df ( s)
 Ze j hay Z 
và   arc
ds
ds
ds
 du 

 dw 

Công thức (1.9) cho thấy hàm bảo giác z  f (s) đã tạo ra dz  

từ

df(s)
 du 
và kéo dài độ lớn thêm
ds  
 bằng cách xoay vector ds đi một góc   arc
ds
 d 

Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

6


KT điều khiển tự động

ra một hệ số nhân Z 

df ( s)
. Đặc biệt , nếu gọi lz là ảnh của ls trong mặt phẳng phức
ds

z  f (s) tức là lz=f(ls) thì dz là véc tơ tiếp tuyến của lz giống như ds là vector tiép

tuyến ls .
Í dụ 1.2: Một hàm bảo giác đơn giản
1) hàm tuyến tính z  f (s)  as  b , với a,b là hai hằng số phức . đây là lọt ánh xạ
tuyến tính , biến đổi ột vector s bất kỳ sang mặt phẳng z bằng cách xoay nó đi một
góc   arc(a) , kéo dài nó ra bằng một hệ số a và dịch chuyển song song một
khoảng cách bằng b.
Như ậy , hàm này sẽ bảo toàn dạng một đường cong bất kỳcủa mặt phẳng chưa s
sang
mặt
phảng
chưa
z
(hình
1.4a)
2) Hàm nghịch đảo z 

1
. Hàm này biến đổi một vector s thành vector z bằng cách
s

lấy đối sứng qua dường tròn đơn vị và sau đó lại lấy dối xứng tiếp qua trục thực (hình
1.4b). Như vậy , hàm này sẽ biến đổi toàn bộ phần bên trong đường tròn đơn vị của
mặt phẳng s thành phần phía ngoài đường tròn đơn vị của mặt phẳng z .
3) Hàm bình phương z=s2 , tức là nếu

s    j

thì cũng sẽ có

: z  f (s)  u  jw   2   2  2 j nó biến đổi ột đường hyperbol uông góc với nhau
trong mặt phẳng s    j là  2   2  hằng số k1 là 2  hàm hằng số k2 thành
những đường thẳng song song ới hai trục tọa độ trong mặt phẳng z  f (s)  u  jw và
u=k1 và w = k2 tức là chúng cùng vuông góc với nhau.
a)

b)


Hình 1.4: minh hàm họa ví dụ 1.2
4) Hàm lấy căn bậc hai z  s
5) Hàm phân thức z 

as  b
với a,b,c,d là những hằng số phức thỏa mãn ab  bc  0 .
cs  d

Hàm này được tạo thành từ ba hàm bảo giác con là : z1  cs  d , z 2 
z

1
z1

và

a bc  ad

z 2 nên nó cũng là hàm bảo giác .
c
c

Phép biến đổi Fourier
Ảnh Fourier của tín hiệu tuần hoàn

Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

7


KT điều khiển tự động

Xét tín hiệu: x(t )  A cos(0 t   ) ới tần số giao động  0 . Áp dụng công thức Cauchy
e ja  cos a  j. sin a tín hiệu x(t ) sẽ biểu diễn bởi
c

x(t )  ce j0t  ce  j0t ,

trong đó

A  j
và c là kí hiệu chỉ số phức liên hàm hợp của c .
e
2

Mở rộng cách biểu diễn trên cho một tín hiệu tuần hoàn x(t ) bất ỳ ta được: nếu tín
hiệu x(t ) thỏa mãn :
a) x(t )  x(t  T ) với mọi t, (tuần hoàn với chu kỳ T)
b) x(t ) liên tục từng khúc trong khoảng 0  t  T ,
c) tại điểm không liên tục t 0  0, T  thỏa mãn x(t 0 ) 

1
x(t 0  0)  x(t 0  0) ,
2

d) x(t ) trong khoảng 0, T  chỉ có hữu hạn các điểm cực trị , thì tín hiệu x(t ) biểu
diễn được dưới dạng chuỗi Fourier như sau:


x(t )   Ak cos(k0 t   k ) 
k 0



c e

n  

jn0t

(1.10)

n

với

T

1
cn   x(t )e  jn0t dt , n=…,-1,0,1,
T 0

(1.11) trong đó cn  cn nếu x(t ) là tín

hiệu c n là giá trị phức liên hợp của c n
Phép biến đổi x(t )  cn  theo (1.11) là một dơn ánh ( tuyến tính và nội xạ)
Ảnh Fourier của tín hiệu không tuần hoàn
Nếu một tín hiệu x(t ) không tuần hoàn và thoả mãn :


a)





x(t ) dt   , tức là tích phân



 x(t ) dt

hội tụ.



b) x(t ) trong khoảng hữu hạn bất kỳ liên tục từng khúc ,
c) tại điểm không liên tục t 0 thỏa mãn .x(t 0 ) 

1
x(t 0  0)  x(t 0  0) ,
2

d) x(t ) trong khoảng hữu hạn bất kỳ chỉ có hữu hạn các điểm cực trị , thì

x(t ) biểu diễn được dưới dạng tích phân Fourier như sau:
X ( j )  F x(t ) 



 x(t )e

 jt

dt (1.12)



Và x(t )  F

1

1
x(t ) 
2



 X ( j )e

jt

d (1.13)



Hàm phức X ( j ) được gọi là ảnh Fourier (hay phổ) của x(t ) . Khi x(t ) là tín
hiệu thực ( có miền giá trị thuộc R ) hoặc phức nhưng x(t )  x(t ) thì X ( j ) sẽ còn
thỏa mãn: X ( j )  X ( j ). toán tử Fourier F : x(t )  X ( j) có những tính chất sau
Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

8


KT điều khiển tự động

1) Toán tử Fourier là một nội xạ (injective), tức là nếu x(t )  y(t ) thì
X ( j)  Y ( j) , trong đó X ( j ) là ảnh Fourier của x(t ) và Y ( j ) là ảnh Fourier của

y (t ) .
2) Toán tử Fourier là tuyến tính . Nếu x(t ) có ảnh Fourier X ( j ) và y (t ) có ảnh
Y ( j ) thì tổng tuyến tính z(t )  ã (t )  by(t ) của chúng sẽ có ảnh Z ( j ) là

Z ( j)  F ax(t )  by(t )  aX ( j)  bY ( j) .

3) Nếu x(t ) là hà chẵn ,tức là x(t )  x(t ) thì ảnh Fourier X ( j ) là hàm thực (phần
ảo của nó bằng 0).
4) Nếu X ( j ) là hàm lẽ tức là x(t )   x(t ) thì ảnh Fourier X ( j ) của nó là hàm
thuần ảo (phần thực của nó bằng 0).
5) Nếu

X ( j )

là ảnh Fourier của

thì ảnh

x(t )

y(t )  x(t  T ) sẽ là

Y ( j)  F x(t  T )  X ( j)e  jT

6) Nêu

X ( j )

,

Y ( j )

là ảnh Fourier của

x(t ) , y (t )

và tích chập



x(t ) * y (t )   x( ) y (t   )d .

Có

ảnh

Fourier

thì

anhr

đó

sẽ

là



F x(t ) * y(t )  X ( j)Y ( j) .

7) tích z(t )  x(t ) y(t ) của x(t ) có ảnh Fourier X ( j ) với y (t ) có ảnh Y ( j ) sẽ có
ảnh Z ( j ) là: Z ( j )  X ( j ) * Y ( j ) 

1
2



 X ( j )Y  j(   )d



8) Công thức parseval gọi X ( j ) là ảnh Fourier của x(t ) . Vậy thì:


 xt 



2



2

1
dt 

X  j  d
2 

(1.14)

Ví dụ 1.3: ảnh Fourier của tín hiệu hông tuần hoàn
Xét tín hiệu

1 khi t  T
x(t )  
0 khi t   T , T 
T

Tín hiệu này có ảnh Fourier là X ( j )   e  jT dt 
T

đó thỏa mãn :

lim X ( )  lim

 

x x

2 sin T



0

1
2 sin T
và ảnh
(e jT  e  jT ) 
j


x ( j )

(1.15)


 g
Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

g

9


KT điều khiển tự động

Hình 1.5: Minh họa ví dụ 1.3
Tính chất (1.15) chỉ rằng những thành phần dao đọng với tần số cao trong x(t ) là
rất nhỏ và có thể bỏ qua khi    g trong đó  g là tần số giới hàmạn đủ lớn
(hình1.5). bởi vậy nếu như trong x(t ) có lẫn nhiẽu n(t ) tần số cao
ta có thể lọc x(t ) ra khỏi

~
x (t )

~
x (t )  x(t )  n(t )

~

bằng cách tính ảnh Fourier X ( j ) của

~
x (t )

thì

, bỏ đi tất

~

cả những thành phần có tần số cao hơn  g trong X ( j ) theo công thức :
1 khi    g
rồi chuyển ngược lại miền thời
W ( )  
0 khi    g

~
X ( j )  X ( j ) W ( ) với

gian với phép biến đổi ngược (1.13) để có x(t )
Hàm mở rộng dixac,hàm trích mẫu và ảnh Fourier của nó
Khái niệm "hàm mở rộng" của  (t ) xuất phát từ bản chất "không hàm số" của nó,
chẳng hàmạn nó không đúng như định nghĩa toán hàmọc kinh điển là ánh xạ từ R vào

R . Thực chất nó là ột phiếm hàm (functional) chuyển đổi hàm liên tục x(t ) thành số








x(kTa )    (t  kTa ) x(t )dt    (t ) x(t  kTa )dt (1.16)

thực :

và với định nghĩa mở

rộng (1.16) của hàm dirac thì :












  (t   ) x(t )dt    (t ) x(t   )dt

1)
2)

d (t )
dx(t )
dx(0)
  dt x(t )dt   (t ) dt dt   dt


1
3)   (at ) x(t )dt 
a


4)  (t ) 

1
2



t

  (t ) x( a )dt

(đạo hàm của hàm dirac)
1
a

hay  (at )   (t )





 cos(t )d



sin(at )
a 
t

5)  (t )  lim

Công thức định nghĩa (1.16) của hàm mở rộng dirac chính là công thức trích mẫu
tín hiệu x(t ) tại thời điểm t  kTa . Nhằm thống nhất ý nghĩa về kí hiệu trích mẫu tín
hiệu

x(kTa ) cho cả hai cách viết với hàm dirac  (t ) với hàm Kronecker k(t):

1 khi t  0
k (t )  
0 khi t  0

sau

công

tức là : xk  x(kTa )  k (t  kTa ) x(t )  k (t  kTa ) x(kTa ) . Từ nay về

thức

định

nghĩa

trên

được

viết

thành

:

xk  x(kTa )   (t  kTa ) x(t )   (t  kTa ) x(kTa ) (1.17) trong đó phép "nhân" giữa hàm

Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

10


KT điều khiển tự động

dirac  (t ) ới một hàm thông thường x(t ) phải biểu diễn là phép tích phân :


x(t  kTa ) (t )  x(t ) (t  kTa ) 

 x(t ) (t  kT )dt
a

(1.18)



Với cách biểu diễn này của hà ở rộng dirac thì hiển nhiên dãy vô hạn xk  gồm các
giá trị tín hiệu của x(t ) tại những thời điểm …,-Ta, 0, Ta,…, sẽ trở thành




k 

k 

xk :  x(t ) (t  kTa )  x(t )   (t  kTa )  x(t )s(t ) (1.19)

 

s (t )

Hàm s(t ) định nghĩa theo (1.19) có tên gọi là hàm trích mẫu (sample function)và
với nó ta đã biểu diễn dãy ô hạn xk 

thành hàm "mở rộng" liên tục xa (t ) :

xk : xa (t )  x(t )s(t ) (1.20)

Về hàm trích mẫu s(t ) ta có định lý sau :
Định lý 2.2: (Papoulis) Ảnh Fourier S ( j )   a



  (  n

n  

a

) với  a 

2
Ta

S ( j )

a

t



Ta

Hình 1.6: Ảnh Fourier của hàm trích mẫu cũng là một hàm trích mẫu.
1.1.1. Phép biến đổi Laplace thuận
Toán tử Fourier là một công cụ hữu hiệu giúp cho việc khảo sát đặc tính
tần số của một tín hiệu x(t) . nhưng nó cũng có một nhược điểm là bị giới hạn trong

một lớp các tin hiệu khá nhỏ do chúng phải thoả mãn các điều kiện để có thể tồn tại
ảnh Fourier X(j  )1(t) ngay cả những tín hiệu phổ thông thường gặp trong điều khiển
như tín hiệu bậc thang 1(t), tín hiệu tăng đều x(t) = t1(t) ,… cũng không có ảnh


Fourier . lý do chính là điều kiện bắt buộc phải có :

 x(t )dt < 



của tín hiệu x(t).
để có thể mở rộng lớp các tín hiệu có ảnh trong miền tần số giống như ảnh
Fourier ,người ta đã xây dựng toán tử Laplace cho việc phân tích tín hiệu causal, tức
là tín hiệu x(t) thoả mãn x(t) = 0 khi t <0 bằng cách tìm một hằng số dương  đủ lớn
sao cho .

Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

11


KT điều khiển tự động


x(t )  e t x(t ) thoả mãn điều kiện khăt khe (2.21) . điều này có thể vì bao giờ ta cũng

tìm được  dương đủ lớn để hàm e t tiến về 0 nhanh hơn x(t) một cách tuỳ ý . do


đó sẽ làm cho lim x(t )

về không với vận tốc mà tamong muốn và dẫn dến

t 







x(t ) dt  

0

Nếu tín hiệu x(t) thoả mãn :
a) x(t )  0 với t  0 , (causal)


b)

 x(t ) e

 .t

dt   với một hằng số  dương đủ lớn.

0

c) x(t ) trong khoảng hữu hạn bất kỳ liên tục từng khúc .
d) tại điểm không liên tục t0 thoả mãn x(t0 ) 

1
 x(t0  0)  x(t0  0)
2

e) x(t ) trong khoảng hữu hạn bất kỳ chỉ có hữu hạn các điểm cực trị.
Thì sẽ tồn tại:


X ( s)  L{x(t )}   x(t )e  st dt
0

Và x(t )  L1{ X (s)} 

1

  j

2 j  

X ( s)e st ds

 j

Trong đó s    j . Giá trị  được gọi là bán kính hội tụ của tích phân. Hàm phức
X(s) tính theo công thức trên được gọi là ảnh Laplace của tín hiệu causal x(t).
giống như toán tử Fourier, phép biến dổi Laplace L : x(t)  X(s) cũng có các tính
chất quan trọng thường được sử dụng như sau ;

1) Tính đơn ánh : phép biến đổi Laplace vừa có tính nội xạ (injective) , tức là
nếu có x(t )  y(t ) thì X (s)  Y (s) , trong đó X(s) là ảnh Laplace của x(t) và Y(s) là
ảnh của y(t) , vừa có tính chất tuyến tính, tức là nếu có z(t )  a.x(t )  b. y(t ) thì sẽ có
ảnh Z(s) là Z (s)  aX (s)  bY (s)
2)

Phép dịch trục : nếu X(s) là ảnh Laplace của x(t) thì ảnh của y(t )  x(t  T ) là

Y (s)  X (s)e sT

3)

Phép nén : nếu X(s) là ảnh Laplace của x(t) thì ảnh của y(t )  x(t )e at là

Y ( s )  X ( s  a)

4)

Ảnh của tích chập : nếu X(s), Y(s) là ảnh của x(t) , y(t) thì tích chập


z (t )  x(t )* y(t ) 

 x( ) y(t   )d



có ảnh
Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

12


KT điều khiển tự động

Z (s)  X (s).Y (s) .
t

5)

Ảnh của tích phân : nếu X(s) là ảnh của x(t) thì y (t )   x( )d có ảnh là :
0

Y ( s) 

6)

X ( s)
s

Ảnh của đạo hàm nếu X(s) là ảnh của x(t) và y(t) là đạo hàm y (t ) 

dx(t )
thì
dt

y(t) có ảnh
Y (s)  sX (s)  x(0)

7)

Đạo hàm của ảnh : nếu X(s) là ảnh của tín hiệu causal x(t) và Y(s) là ảnh

cũng của tín hiệu causal y(t )  t n x(t ) thì :
Y ( s)  (1) n

8)

d n X (s)
ds n

Định lý về giớ hạn thứ nhất : nếu tồn tại giới hạn lim x(t ) thì:
t 

lim x(t )  lim sX ( s)
t 

s 0

với X(s) là ảnh Laplace của x(t)
9)

Định lý về giới hạn thứ hai : nếu tồn tại giới hạn lim x(t ) thì
t 0

x(+0) = lim x(t )  lim sX (s) với X(s) là ảnh Laplace của x(t)
t 0

s 

Bảng tổng hợp ảnh Laplace của một số tín hiệu cơ bản:
TT

x(t )

X ( s)

1.

 (t )

1

2.

1(t )

1
s

3.

t

1
s2

4.

t2

2
s3

5.

tn

6.

e at

1
sa

7.

teat

1

8.

t n eat

Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

(1)n

d n  1  n!

 
ds n  s  s n1

s  a

2

n!

s  a

n 1

13


KT điều khiển tự động

9.

a bt

1
s  b ln a

10.

ta bt

1

11.

 s  b ln a 

t 2 abt

12.

2

 s  b ln a 

t n abt

3

n!

 s  b ln a 

cos(  t )

13.

2

n 1

s

s 2
2

sin(  t )

14.


s 2
2

Ví dụ 2.4 xác định ảnh Laplace của một số tín hiệu đặc biệt:


1)

tín hiệu hằng x(t) = k với t ≥ 0 có ảnh Laplace là X(s) = k  e  st dt 
0

2)

áp dụng công thức (2.26) và kết quả vừa có cho tín hiệu x(t)= keat 1(t ) ta có ảnh

của nó:X(s)=

k
sa


3)

k
s

Tín hiệu tăng đều x(t)=t1(t) có ảnh Laplace là: X(s)=  te  st dt 
0

te  st
s


0

-



e  st
1
0 s dt  s 2

4)

Theo tính chất tuyến tính và kết quả trên ta có ảnh laplace X(s) của tín hiệu
t

t

k
s

causal x(t) =k(1-e T )l(t) =kl(t) -ke T l(t) là : X(s) = 

k
s

1
t



k
với công thức
s(1  Ts)

X(s) vừa có ta sẽ kiểm tra lại các định lý về giới hạn như sau :
lim sX ( s)  lim
s 

k
0
1  Ts

tứ là x(+0) = lim sX ( s)  0
s 

s 
t

= lim k (1  e T )  k và lim sX ( s)  lim

t 

s 

x(+0) =0 và

tương tự ta có : lim x(t)
t 

k
 k hay lim( t) = lim sX ( s) =k
1  Ts
s 0
t 

s 

Ví dụ 2.5 : cách xác định ảnh laplace
Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

14


KT điều khiển tự động

t

Từ kết quả của ví dụ 2.4,phần 4,thì tín hiệu x(t)= k (1  e T )1t có ảnh :
X(s) =

k
s(1  Ts)

Với ví dụ này ta sẽ minh họa ý nghĩa sử dụng của công thức (2.29) về ảnh của đạo
hàm bằng cách xác định hệ số góc  của đường tiếp tuyến với x(t) tại điểm 0
t

Trực tiếp từ x(t) có :
nghĩa

(2.18)

về

t

t

dx(t ) k T
 e 1(t )  k (1  e T ) (t ) do đó , theo công thức định
dt
t

phép

nhân

t

với

hàm

dirac

 (t )

được

t

dx(t ) k T
k
 e 1(t )  k (1  e T ) t 0  e T 1(t )
dt
t
T

suy ra tan  

dx(0) k
ngược lại nếu đi

dt
T

từ ảnh Y(s) của y(t) =

dx(t )
dt

cũng có

tan   y(0)  lim sY (s)  lim ssX (s)  x(0) =
x 

x 

lim s sX ( s)  lim sX ( s)
x  
s 

k
=


lim
s
sX
(
s
)

 s 
T

Hình 2.7 : minh họa cho ví dụ 2.5
Ví dụ 2.6 : xác định anh laplace
Từ kết quả của ví dụ 2.4 và công thức (2.28) về ảnh của một tích phân ta dễ dàng
kiểm chứng được tính đúng đắn của công thức (2.30) về đạo hàm của một ảnh

thong qua ảnh laplace X(s) cho tín hiệu x(t) =t k 1(t ) như sau :
Khi k=1 : X(s) =  t1(t ) 



t

1
, vì t1(t) =  1( )d
s2
0



t

2
Khi k=2 X(s) =  t 1(t )  3 , vì t 2 (t) = 2 1( )d
s
0
2

Khi k=n: X(s) =  t n 1(t ) 

n!
s n1

t

, vì t n 1(t) = n  t n 11( )d

0

Ví dụ 2.7 : xác định ảnh laplace

Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

15


KT điều khiển tự động

Từ kết quả của ví dụ 2.5 và công thức (2.26) về ảnh của một tín hiệu nén ta cũng
có được ảnh laplace X(s) cho tín hiệu x(t) = t k e  at 1(t ) như sau :
X(s) =  t k e at 1(t ) 

k!
( s  a) k 1

Ví dụ 2.8 : Xác định ảnh laplace
Xét hai tín hiệu causal :
X(t) = e  jat  cos(at )  j sin(at ) và y(t)= x (t) =e jat  cos(at )  j sin(at )
Theo kết quả của ví dụ 2.7 cho k = 0 thì ảnh x(s) , y(s) của chúng sẽ là :
X(s)=

1
1
và Y(s) =
suy ra
s  ja
s  ja





1 1
1 
1
s
= 2

 cos(at )   x(t )  x(t ) = 

2  s  ja s  ja 
2
s  a2

Và  sin(at ) 





1  1
1 
1
=

 x(t )  x(t ) = 
2 j  s  ja s  ja 

2j

s
s  a2
2

Ví dụ 2.9 : xác định ảnh laplace cảu hàm mở rộng direct
Từ công thức định nghĩ (216)có ảnh laplace của x(t) =k  (t ) như sau ;


 k (t )  k   (t )e  st dt  ke st

t 0

k

0

1.1.2 Phép biến đổi Laplace ngược
Việc biến đổi Laplace ngược được hiểu là xác định tín hiệu x(t) ngược từ ảnh
Laplace X(s) của nó . tất nhiên công việc này có thể được thực hiện trực tiếp với công
thức điịnh nghĩa (2.23) . song đẻ tiệ lợi hơn sử dụng , sau đây ta sẽ làm quen với hai
phương pháp đơn giản thường được dùng chp lớp tín hiệu x(t) có dạng ảnh Laplace
đặc biệt . đó là ;
- phương pháp biến dổi ngược X(s) có dạng hàm hữu tỉ và
- phương pháp residuence cho X(s) khả vi ngoài hữu hạn các điểm
cực
biến dổi ngược hàm hữu tỷ
giả sử tín hiệu x(t) có ảnh Laplace X(s) dạng:
X(s) =

B( s) b0  b1 s    bm s m

A( s) a0  a1 s    a n s m

với m ≤ n

(2.33)

Để tìm x(t) ta dựa vào tính đơn ánh , tính tuyến tính cũng như kết quả của các ví dụ
cho trong mục trước và đi đén các bướ thực hiện như sau :
1) phân tích X(s) thành tổng các hàm phân thức tối giản :
l

X(s) =


k 1

q
Aki
Bk s   k   C k  k



i
s   k 2  k 2
i 1 ( s  a k )
k 1
rk

Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

16


KT điều khiển tự động

Trong đó A ,Aki , Bk ,Ck là các hằng số , ak là điểm cực thực bội rk và ? là điểm cực
phức của X(s) nói cách khác chúng là điểm mà tại đó có X(s) = ± 
2) xác định hàm gốc cho từng phần tử cho tổng trên theo :
a)  1 A  A t  (xem kết quả của ví dụ 2.9)


Aki 
t i 1e ak t

A
1(t ) (xem kết quả của ví dụ 2.7)
ki
i 


i

1
!
(
s


a
)
k



b)  1 


 Bk s   k  

 Bk e k t cos k t 1t  (xem kết quả của ví dụ 2.8)
2 
2

 (s  ak )  k 


 1 

c)



Ck k


 t
  C k e k sin  k t 1t  (xem kết quả của ví dụ 2.8)
2

2

 (s  ak )  k 


d)  1 

Ví dụ 2.10 : biến đổi ngược hàm hữu tỷ
1
. phân tích X(s) thành tổng các phân thức tối giản được :
s (1  s )

1) Cho X(s) =
X(s) =

2

1
1 1
  2
1 s s s

Từ đó suy ra :

X(t) = e t  1  t 1(t ).

2) cho ảnh laplace X(s) =
X(s) =

A


s

B
s

k 1  T1 s 
phân tích X(s) thành những phân thức tối giản
s1  T2 s 

với

1
T2

A=k

và

B=

k (T1  T2 )
T2

Ta có
1
t


k T2  T1  T2

T2 

e )1(t )
x(t) = A  Be 1(t )  k (1 


T
2



Giả sử x(t) có ảnh laplace là X(s) =

3)

X(s) =

A
1
s
T1



B
1
s
T2

trong đó

k
, T ≠ T . vậy thì với:
1  T1 s 1  T2 s  1 2

A=

k
k
và B =
T1  T2
T2  T12

Ta được :
1
 Tt

k
T2 
1

x(t) = Ae  Be 1(t ) 


T1  T2



4)

cho ảnh laplace X(s) =

1
 Tt

T2 
1

( e  e 1(t )





k

s 1  Ts 
2

n

của tín hiệu x(t). phân tích X(s) thành tổng

các phân thức tói giản ta được :
Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

17


KT điều khiển tự động



n
Ai
 nT 1
X(s) = k  
 2 
i
s
s
i 1 
1

s




T






 với




Ai =

n  1  i 
T i 2

Suy ra (hình 2.8):
n

Ai t i 1 
UT

1(t )
x(t) = k   nT  t  e 


i

1
!
i 1



5) một tín hiệu x(t) có ảnh laplace X(s) =

k
. Phân tích X(s) thành tổng các
s(1  Ts) n

phân thức tối giản ta được:


Ai
 k n
X(s) =    
i
s i 1 
1

s  

T



Do









với

đó

k
T i 1

(hình



t

x(t) =  k  e T


6)

Ai =

2.8)

:

Ai t i 1 
1(t )


i 1 i  1! 
n

xét hàm hữu tỉ phức :
X(s)=

k
, 0  D 1
s  2qDs  q 2
2

Vì có điều kiện 0s1,2 = - Dq ± jq 1  D 2
gọi a = - Dq va b = q 1  D 2
7)

giả sử một tín hiệu causal x(t) có ảnh laplace :
X(s)=

k
, 0  D 1
s(1  2 DTs  T 2 s 2 )

1 D2
D
, b
Tương tự như ở phần 6 , ta gọi a =
khi đó hàm X(s) sẽ phân tích
T
T

dược thành :
Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

18

KT điều khiển tự động

X(s) =

A
Bs

,
s s  a 2  b 2

trong dó A=-B =k

Suy ra (hình 2.9)



x(t) =  A  e at (b cos(bt ) 

Ba

sin(bt ))1  t
b


Hình 2.9 :minh họa cho ví dụ 2.10 phần 7

Xét riêng trường hợp , khi mà ảnh laplace X(s) của tín hiệu x(t) có dạng thực hữu tỷ
như công thức (2.33) mô tả . giả rằng đa thức mẫu số A(s) và đa thức tử số B(s) là
nguyên tố cùng nhau (chúng không có chung nghiệm ). Khi đó điểm cực của X(s)

sẽ chính là nghiệm của A(s) = 0 . ký hiệu các điểm cực đó bằng s1 , s2 ,... sn và giả
thiết rằng chúng là những nghiệm đon của A(s) = 0 do X(s) phân tích được thành
tổng các phân thức tói giản
X(s) =

An
A1
A2


s  s1 s  s 2
s  sn

Nên sau khi nhân cả hai vế với (s – sk) và cho s tiến tới sk ta sẽ có công thức xác
định nhanh những hệ số A1 , A2 ,… An như sau (công thức heaviside)
Ak = lim ( s  s k ) X ( s )
s  sk

Phương pháp residuence
Trong phần biến đổi ngược X(s) có dạng hàm hữu tỷ (2.330) vừa trình bầy ta nhận
thấy ngoài một số hữu hạn các điểm cực là nghiệm của A(s) = 0 còn lại ở những
điểm khác X(s) đều xác định và có đạo hàm vô hạn làn . nói cách khác X(s) là một
hàm giải tích ngoài hwux hạn các điểm cực đố .dạng tín hiệu x(t) nhận được lại
hoàn toàn được quyết định bởi vị trí của các điểm cực này trong mặt phẳng phức.
hình 2.10 biểu diễn minh họa trực quan cho dạng tín hiệu x(t) có ảnh laplace:
X(s0 =

1
s  sk

ứng với những vị trí khác nhau của điêm cực sk =  k  j k
Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

19


KT điều khiển tự động

Mở rộng điều nhận xét trên ta có phương pháp resduence để xác định ngược
tín hiệu x(t) từ ảnh laplace X(s) của nó , nếu như X(s) là hàm giải tích trừ một vài
các điểm cực rời nhau và hữu hạn , đồng thời lim x(s)   . những hàm có tính chất
x 

như vậy được gọi là hàm phân hình
(meromorph)
Hình 2.10 dạng tín hiệu phụ thuộc
vào vị trí điểm cực của ảnh laplace
của nó trong mặt phẳng phức.
Bản chất của phương pháp
residuence được lấy từ công thức
tích phân cauchy (2.7).
Trước tiên ta đi từ công thức biến
đổi laplace ngược (2.23):

  j

1
1
x(t) =
X ( s)e st ds 

X ( s)e st ds


2j   j
2j c

(2.35)

Trong đó c là một đường cong khép kín chứa đường thẳng   j


với  chạy từ

đến 

Và  Là bán kính hội tụ của tích phân (hình
2.11) .chiều của c là chiều được chọn để phù hợp
với chiều của  từ -  đến 
Hình 2.11Mô tả phương pháp residuence
Ký hiệu miền được bao bởi C theo chiều dương
la D , tức là miền sẽ luôn nằm phía trái khi ta đi
dọc theo C và gọi s1 , s2 , … , sm là các điểm cực
của X(s) . do  là bán kính hội tụ nên tất cả m
điểm cực này phải nằm trong D .mặt khác vì tích
phân theo đường cong khép kín của một hàm có
tính giải tích trong miền được bao bởi dường
cong lấy tích phân đó ,luôn có giá trị bằng 0 .nên theo tính chất (2.6) về tích phân
phức của cauchy .công thức (2.35) sẽ được thay bằng .
x(t) =

1 m
x( s)e st ds


2j k 1

Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

20


KT điều khiển tự động

Trong đó Ck , k =1 ,2 , …,m là những đường cong khép kín bao quanh riêng một
mình điểm cực sk theo chiều dương (sk luôn nằm nằm bên trái khi ta đi dọc theo Ck
theo chiều đó ) . như vậy ,đường ong C trong (2.35) nay đã được thay bởi họ các
đường cong Ck với k = 1. 2 , … , m trong (2.36) .
Ký hiệu tiếp
1
x( s)e st ds

2j ck

ResX(s)e st 

Là giá trị residuence của X ( s)e st tại sk , k = 1,2 , … m thì (2.36) trở thành :
m

x(t) =  Re sX ( s)e st

(2.27)

k 1

Và đó chính là công thức thực hiện biến đổi ngược X(s) theo phương pháp
residuence.
Ví dụ 2.11 : phương pháp residuence
Cho x(s) =

Ak
s  sk

. hàm phân hình (meromorph) này có một điểmcực là sk

nên :
Re s
k

Ak
Ak
1

ds

s  s k 2j c s  s k

Trong đó C là đường tròn bán kính p >o bao quanh sk theo chiều dương (hình 2.12)
.
như vậy dọc theo C biến s sẽ có phương trình :
s  s k  pe j với 0    2

t

thay
Re s

phương

trình

của

biến

2
Ak
Ak
1
1

d ( pe j ) 
j

s  s k 2j 0 pe
2

s

vào

công

thức

trên

ta

được

2

 A d  A
k

k

0

sk

chú ý : một trong những dặc điểm của hàm phân hình (meromorph) là nó phân
tích được thành chuỗi vô hạn (chuỗi taylor,chuỗi lorenz,…).gọi ai là các hệ số khi
phân tích hàm X(s)est thành chuỗi lorenz trong lân cận điểm sk . tức là:
X(s)e st 

n

 a (s  s

i  

Thì

i

k

)i

Re sX ( s)e st  a  1
sk

Theo công thức này , một hàm X(s)e st .nếu có điểm cực sk bội lk thì gí trị residuence
của nó tại điểm cực đó sẽ là :
Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

21


KT điều khiển tự động

Re sX ( s)e st 
sk



d lk 1 X ( s)e st ( s  s k ) lk
1
lim
l k  1! x

ds lk 1



Và do đó việc tìm ngược tín hiệu gốc x(t) từ ảnh laplace X(s) của nó theo phương
pháp residuence sẽ gồm hai bước :
- xác định tất cả các điểm cực sk của X(s)est cũng như bậc lk của chúng .
-

tìm các giá trị residuence của hàm X(s)est tại những điểm cực đod theo (2.38)

-

tính x(t) theo (2.37) từ các giá trị residuence tìm được .

ví dụ 2.12 : phương pháp residuence
hàm phân hình X(s) =

1

s  a 

n

có điểm cực s = - a bội n nên hàm gốc x(t) của

nó là
X(t) = Re s x( s)e st 
a

1
d n 1e st
1
lim

t n1e at vói t  0
n 1
(n  1)!
(n  1)!
ds
s  a

việc áp dụng phương pháp residuence để tìm gốc x(t) của X(s) chỉ là một ứng
dụng nhỏ của nó . phương pháp này ngoài ra còn có ý nghĩa sử dụng lớn trong các bài
toán xác định giá trị tích phân thường gặp của các công việc tổng hợp bộ điều khiển
như tìm tham số tói ưu của bộ điều khiển. ta se xét một ví dụ minh hoạ sau đây .
ví dụ 2.13 : tìm giá trị tích phân phức bằng phương pháp residuence :
để tính tích phân
j

Q=



 j

5s 2  6 s  8
ds
( s 2  2s  2)( s  1)
G( s )

Ta thấy hàm phân hình (meromorph)
?G(s) =

5 2  6s  8
1
1
3



2
( s  2s  2)(s  1) s  (1  j ) s  (1  j ) s  1

Có 3 điểm cực là s1 = -1 + j ,s2 = -1 – j và s3 = 1,trong đó chỉ có hai điểm cực nằm
bên trái đường lấy tích phân là trục ảo .bởi vậy nếu thay đường lấy tích phân đó bằng
một cong C khép kín chứa trục ảo thì cũng chỉ có s1 , s2 thuộc miền ? được bao bởi C
theo chiều dưong (hình 2.13) :suy ra :




Q = 2 j Re sG( s) Re sG Re sG( s) 


s1

= 2 j (1  1)  4j

s2



(theo kết quả ví dụ 2.11)

Hình 2.13 : minh họa cho ví dụ 2.13

Mối quan hệ giữa ảnh Fourier và ảnh Laplace
Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

22


KT điều khiển tự động

Nếu X(s) là hàm bền, tức là có tất cả các điểm cực nằm bên trái trục ảo, khi đó ta có
mối quan hệ giữa ảnh Fourier và ảnh Laplace như sau:

X ( )  X ( s)

s  j

Trường hợp X(s) không phải là hàm bền, khi đó khi thay s  j sẽ cho ta hàm đặc
tính tần biên-pha của hệ thống.

1.2. Xây dựng mô hình đối tượng
1.2.1. Mô hình đối tượng trên miền phức
Thể loại mô hình này rất thích hợp với hệ thống siso . ánh xạ t mô tả hệ thống
là phương trình vi phân biểu diễn mói quan hệ giữa tín hiệu vào u(t) và tín hiệu ra y(t)
. mô hình này được xây dựng theo phương pháp lý thuyết , tức là mô hình sẽ được

thiết lập dựa trên các định luật có sẵn về quan hệ vật lý bên trong và quan hệ giao tiếp
với môi trường bên ngoài của hệ thống . cac quan hệ này được mô tả theo quy luật lý
– hoá , quy luật cân bằng , … dưới dạng những phương trình toán học . kết quả của
công việc mô hình hoá để có mô hình t dạng phương trình vi phân mô tả quan hệ vào
– ra là :
n
d mu
a0y + a1 dy  … + an d ny  b0 u  b1 du  …  bm m ,

dt

dt

dt

dt

(2.45)

trong đó các hệ số ai cũng như bi được xác định bằng các phần tử (linh kiện , thiết bị)
cấu thành trong hệ thống. chúng có thể là hằng số , song cũng có thể llà những tham
số phụ thuôch thời gian t hoặc những đối số khác .ví dụ như điện trở một đường dây
dẫn điện sẽ là tham số phụ thuộc vào độ dài đoan dây hoặc nhiệt độ của vật được
nung sẽ là tham số phân bố không đều từ bên ngoài vào tâm của vật …
Nếu các hệ số ai cũng như bi phụ thộuc t thì người ta nói mô hình (2.45) là
tuyến tính không dừng . ngươc lại nếu chúng phụ thuộc những đối số khác thì mô
hình (2.45) là tuyến tính với tham số rải .
Mô hình (2.45) có tê là phương trình vi phân , vì khi biết trước kích thích u(t)
ta luôn tìm được nghiệm y(t) là đáp ứng của hệ thống . sau đây ta sẽ xét một số ví dụ
minh hoạ cho việc xây dựng mô hình hệ thống có dạng phương tình vi phân giữa tín

hiệu vào u(t) và tín hiệu ra y(t) .
Ví dụ: 2.17: Mô hình toán học là phương trình vi phân
Cho một mạch điện trên hình 2.17 . biết trước giá trị C của tụ điện L của cuộn
dây R1, R2 của điện trở là những phần tử trong mạch điện . hãy xác định mô hình
mạch điện dưới dạng phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa tín hiệu vào là điện áp
u(t) và tín hiệu ra y(t) là điện áp trên R2
.
Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

23


KT điều khiển tự động

Hình 1.1 : Minh hoạ cho ví dụ 2.17
Các định luật Kirchoff sẽ được sử dụnh phục vụ mô hình mô tả T dưới dạng
phương trình vi phân . ta định nghĩa trên các biến:
- Điện áp uC trên tụ điện C .
-

Điện áp uR trên cuộn dây L .
Điện áp uR trên điện trở R1 .

-

Dòng iC đi qua tụ điện C.
Dòng iL đi qua cuộn dây L .
Dòng iR đi qua điện trở R1

Như vậy thì :

1) Theo các định luật của Kirchoff có :
a) uC(t) + uR(t) = u(t)
b) uL(t) + y(t) = uR(t)
c) iL(t) + iR(t) = iC(t)
2) Theo các định luật vè các linh kiện có :

(2.46)
(2.47)
(2.48)

a) iC(t) = C

du c (t )
dt

(2.49)

b) uL(t) = L

di L (t )
dt

(2.50)

c) R1iR(t) = uR(t)
(2.51)
d) R2iL(t) = y(t)
(2.52)
Từ những công hức trên , bước tiếp theo ta sẽ tìm các loại các biến đã được
định nghĩa thêm để cuối cùng , phải đến được phương trình chỉ còn chứa hai biến lầ

u(t) và y(t) . đạo hàm hai vế của (2.46) rồi cùng với các quan hệ khác được :
iC (t ) du R (t ) du (t )
i (t )  i R (t ) du R (t ) du (t )


 L


C
dt
dt
C
dt
dt
1  y (t ) u R (t )  du R (t ) du (t )





C  R2
R1 
dt
dt

(2.53
Thay tiếp (2.47), (2.50) và (2.52) vào (2.53) có :
y (t ) u L (t )  y(t ) d
du (t )


 u L (t )  y(t )  
CR2
CR1
dt
dt

Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

24


KT điều khiển tự động

 1
d 2 i L (t ) du (t 0
1 
L di L (t ) dy (t )
 y (t ) 
 

.

L

CR1 dt
dt
dt
dt 2
 CR1 CR2 
 1

 L
 dy (t ) L d 2 y (t ) du (t )
1 
 y (t )  
 

 1


R2 dt 2
dt
 CR1 CR2 
 CR1 R2
 dt

Suy ra
2
CLR1 d y2(t )  CR1 R2  L  dy(t )  ( R1 R2 ) y(t )  CR1 R2 du (t )

dt

dt

d (t )

và ta có được môhình mach điên dưới dạng phương trình vi phân :
2
a0y(t) + a1 dy(t )  a 2 d y2(t )  b1 du (t )

dt

dt

d (t )

với a0 = R1 + R2 , a1 = CR1R2 + L , a2 = CLR1 và b1 = CR1R2
Ví dụ 1.2 : xây dựng mô hình toán học là phương trình vi phân
Để nghiên cứu các bộ giảm chấn ở ô to , thiết bị máy móc , người ta cần phải
mô hình hoá chúng . sơ đồ nguyên lý bọ giảm chấn được cho trong hình 1.2 , trong đó
c là hằng số lực cảu lò xo, d là hằng số đặc trưng phần giảm tốc và m là khối lượng
tĩnh của thiết bị đè lên bộ giảm chấn . hãy xây dựng phương trinh vi phân mô tả quan
hệ giữa tín hiệu đầu vào là lực u(t) ép lên bộ giảm chán và tín hiệu ra y(t) là độ lún
của nó

Fm = m

d2y
dt 2

Fc = cy(t)
Fd = d

dy
dt

Hình 1.2 : M ô hình hoá bộ giảm chấn , ví dụ 1.2

Hinh 1.2 : mô hình hoá bộ giảm chấn, ví dụ 1.2
Trên cơ sở sơ đồ nguyên lý ta có các lực cản trở dộ lún y(t) của bộ giảm chấn :
d2y

a) Fm = m 2
dt

(tiền đề về lực của Newton)

b) Fc = cy(t)

(lực cản của lò xo)

c) Fd  d

dy
dt

(lực cản của bộ giảm tốc)

Fm +Fc+Fd =u(t)
(tiên đề cân bằng tĩnh học của newton)
Suy ra phương trình vi phân mô tả bộ giảm chấn là:
m

d2y
dy
d
 cy (t )  u (t )
2
dt
dt

Bộ môn Công nghệ Cơ điện lạnh & ĐHKK

25