Đề cương bài giảng dao động kỹ thuật

Sample
Tr-ờng đại học s- phạm kỹ thuật h-ng yên
Bộ môn kỹ thuật cơ sở

BàI GIảNG

Dao động kỹ thuật

Batch PDF Merger
h-ng yên 2015


Sample
Tr-ờng đại học s- phạm kỹ thuật h-ng yên
Bộ môn kỹ thuật cơ sở

BàI GIảNG

Dao động kỹ thuật
( LU HNH NI B)

Batch PDF Merger
h-ng yên 2015


Bộ môn Kỹ thuật Cơ sở - ĐHSPKT HY

LỜI NÓI ĐẦU
Hầu hết các loại cơ cấu máy đều có các vấn đề về dao động do sự mất cân
bằng trong các động cơ. Sự mất cân bằng này có thể là do lỗi thiết kế hoặc do chế
tạo kém. Sự mất cân bằng trong các động cơ … có thể tạo ra sóng nền đủ mạnh để

gây khó chịu cho một phần cuộc sống. Bánh xe của một số đầu máy có thể nâng lên
cả centimet so với mặt đường khi chuyển động với tốc độ cao do sự mất cân bằng.
Trong các turbine, các dao động có thể gây ra hư hại đáng kể đến kết cấu. Các kỹ sư
vẫn không thể ngăn chặn hỏng hóc do dao động của bánh đĩa và cánh quạt của
turbine gây ra. Tất nhiên, các kết cấu được thiết kế để đỡ các máy li tâm nặng, như
mô tơ và turbine, hoặc các máy tịnh tiến, như các động cơ chạy bằng hơi nước hoặc
gas và các loại bơm, cũng chịu tác động của dao động. Trong tất cả các tình huống
kể trên, các bộ phận của kết cấu hoặc máy chịu tác động của dao động có thể hỏng
do vật liệu bị mỏi dưới tác động mang tính tuần hoàn của ứng suất cảm ứng. Hơn thế
nữa, dao động còn làm hao mòn nhanh các bộ phận của máy như ổ trục và bánh răng
và sinh ra tiếng ồn. Trong máy móc, dao động khiến cho các chỗ nối như đinh ốc
trở nên lỏng. Trong các quá trình cắt kim loại, dao động có thể gây rung, dẫn đến
mặt cắt bị lỗi. Khi nào tần số dao động riêng của máy móc hay kết cấu đúng bằng
tần số của lực cưỡng bức sẽ xuất hiện hiện tượng cộng hưởng, dẫn đến sai lệch rất
lớn và hư hại. Dao động của máy móc truyền qua người sẽ gây ra sự khó chịu và làm
mất hiệu quả làm việc. Do đó một trong những mục tiêu quan trọng của việc nghiên
cứu dao động là giảm thiểu dao động thông qua thiết kế các bộ giảm dao động và giá
đỡ thích hợp. Về vấn đề này, các kỹ sư cơ khí cố gắng thiết kế động cơ hoặc máy
móc sao cho giảm thiểu được sự mất cân bằng. Trong nhiều trường hợp dao động có
thể trở thành một công cụ có ích trong nhiều ứng dụng công nghiệp và công trình.
Thí dụ, dao động được sử dụng trong các băng chuyền, máy sàng, máy lọc, máy nén,
máy giặt, bàn chải điện, máy khoan răng, đồng hồ, và các thiết bị massage điện. Dao
động còn được sử dụng trong đóng cọc, trong thí nghiệm dao động cho vật liệu,
trong các quá trình hoàn thiện bề mặt vật liệu, trong các mạch điện để lọc các tần số
nhiễu. Người ta khám phá ra rằng dao động còn giúp nâng cao hiệu quả của các quá
trình gia công, đúc, rèn, và hàn. Bởi vậy môn dao động kỹ thuật cần thiết được dạy
trong các ngành Cơ khí và Cơ khí động lực.

Các tác giả
1

Bộ môn Kỹ thuật Cơ sở - ĐHSPKT HY

CHƯƠNG 1
1.1. MỘT VÀI KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA

1.1.1. Các quá trình thay đổi khác nhau của các đại lượng vô hướng được chia thành
hai dạng: Các quá trình dao động và các quá trình không dao động.
Quá trình dao động được đặc trưng bằng sự tăng hay giảm một cách luân phiên của
các đại lượng biến đổi. Nó được mô tả bằng các phương trình toán học.
Dao động trong đó các phương trình vi phân mô tả chuyển động của nó là tuyến tính,
gọi là dao động tuyến tính. Ngược lại, gọi là dao động không tuyến tính (phi tuyến).
1.1.2. Chuyển động dao động được đặc biệt quan tâm là những dao động có chu kỳ
Hàm f(t) mô tả quá trình dao động có chu kỳ, nếu như tồn tại giá trị T > 0, thoả mãn
điều kiện sau:

f (t )  f (t  T)  f (t  2T)  . . .  f (t  nT)

(1)

Trong đó: t là thời gian; T gọi là chu kỳ; n là số nguyên dương.
Một dạng đặc biệt của dao động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng trong thực tế là dao
động điều hoà. Về mặt động học dao động điều hoà được miêu tả bởi hệ thức:

q  A sin(kt  )

(2)

Ở đây: q là toạ độ của điểm dao động tính từ vị trí trung bình của nó (chọn làm gốc

toạ độ); A là toạ độ của q ứng với độ lệch lớn nhất của điểm về một phía và được gọi là
biên độ dao động; (kt+) là Argument của sin gọi là pha dao động;  là pha ban đầu; k là
tần số vòng (riêng) của dao động. Tần số riêng k liên quan với chu kỳ T bởi hệ thức:
2
k(t  T)    kt    2 , từ đó: k 
(rad / s)
(3)
T
Số lần dao động trong một đơn vị thời gian được tính theo công thức:
1
k
f 
(4)
T 2
f được gọi là tần số; đơn vị thường dùng là Hecz (Hz).
1.2. ĐỘNG NĂNG CỦA CƠ HỆ

Xét hệ N chất điểm có n bậc tự do. Gọi toạ độ suy rộng xác định vị trí của hệ: q1, q2
..., qn (qi, i = 1, n ).
Với hệ chịu liên kết dừng, vị trí của một điểm Mk bất kỳ được biểu diễn:

rk  rk (q1 , q 2 , ..., q n )

2


Bộ môn Kỹ thuật Cơ sở - ĐHSPKT HY

Từ đó:

d rk n  rk

q i
dt i 1 qi

vk 

(5)

Động năng của hệ xác định bằng biểu thức: T 

1 n
m k v 2k

2 k 1

Thay (5) vào biểu thức trên với chú ý: v 2k  v k . v k
Ta có:

T

1 n
 A ijq i q j
2 i , j1

(6)

Ở đây: Aij = Aji là các hệ số chỉ phụ thuộc vào các tọa độ suy rộng. Khai triển chúng
theo chuỗi lũy thừa tại lân cận vị trí cân bằng (q i  0; i  1, n) và chỉ giữ lại số hạng đầu, ta
nhận được biểu thức động năng của hệ đã tuyến tính hoá:

T

1 n  
 a ijq i q j
2 i , j1

(7)

Trong đó: a ij  a ji  (A ij ) 0 gọi là các hệ số quán tính (thực tế là khối lượng hoặc
mômen quán tính).
Nếu hệ có một bậc tự do (n = 1), ta có: T 

1 2
aq , trong đó a = A0
2

(8)

Nếu hệ có hai bậc tự do (n = 2), ta được:

T



1
a 11q 12  2a 12q 1q 2  a 22q 22
2



(9)

Ở đây: a11  (A11 ) 0 ; a12  (A12 ) 0 ; a 22  (A 22 ) 0 . Các hệ số của dạng toàn phương (7)
thoả mãn điều kiện Xin-vec-trơ (xác định dương), nghĩa là:

a 11 a 12 ... a 1n
a 11 a 12
a 11  0;
 0; ...; a 21 a 22 ... a 2 n  0
a 21 a 22
a n1 a n 2 ... a nn
1.3. THẾ NĂNG CỦA CƠ HỆ

Với liên kết dừng, thế năng của hệ cũng là hàm của các toạ độ suy rộng:

  (q1 , q 2 , ..., q n )
Trong hệ bảo toàn, tại vị trí cân bằng (q i  0; i  1, n) , thế năng của hệ có giá trị cực
trị nên:
3


Bộ môn Kỹ thuật Cơ sở - ĐHSPKT HY

 

 q i




 0 Với i = 1, n
 q i 0

(10)

Theo định lý Lagrăng-Điriclê thì: Tại vị trí cân bằng ổn định của hệ bảo toàn, thế
năng của hệ cực tiểu. Khai triển  theo chuỗi luỹ thừa tại lân cận vị trí cân bằng ổn định
(q i  0; i  1, n) , ta có:
n 
 
1 n
 q i   cijq i q j  . . .
  () 0   
2 i, j1
i1  q i  0

(11)

Nếu chọn vị trí cân bằng ổn định của hệ làm gốc tính  thì () 0  0 và do (10) nên số
hạng thứ hai trong (11) bằng không. Mặt khác với hệ tuyến tính sẽ không chứa trong khai
triển của thế năng các thành phần bậc cao hơn hai đối với toạ độ suy rộng. Do đó thế năng
 của hệ khi tuyến tính hoá là dạng toàn phương sau:



1 n
 cij q i q j
2 i, j1

(12)

  2 
 gọi là các hệ số cứng.
Ở đây: c ij  c ji  
 q q 
 i j 0
Nếu hệ có một bậc tự do (n = 1), ta có:

1
  cq 2 , c  (0)
2

(13)

Nếu hệ có hai bậc tự do (n = 2), ta được:



1
(c11q12  2c12 q 1 q 2  c 22 q 22 )
2

(14)

  2 
  2 
  2 







; c12  
Trong đó: c11  
2 
 ; c 22   q 2 

q

q

q
 1 2 0
 1 0
 2 0
Tương tự như mục 1.2, các hệ số cij của dạng toàn phương (12) thoả mãn điều kiện
xác định dương.

1.4. HÀM HAO TÁN

Giả sử hệ chịu tác dụng lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc: R k   k . v k
Trong đó:  k  0 là hệ số cản (nhớt); v k là vận tốc của chất điểm thứ k thuộc hệ.
Gọi toạ độ suy rộng của của hệ: q i (i  1, n ) . Các lực suy rộng tương ứng với lực cản
bằng:
n

Q i   R k
k 1

4

n
 rk
r
   k v k k
q i
q i
k 1


Bộ môn Kỹ thuật Cơ sở - ĐHSPKT HY



Khi sử dụng đồng nhất thức Lagrăng:

 rk  rr

, ta có:
q i
q i



r
v2 
  n
   k k 
Q i    k rk k 

q i q i  k 1
2 
k 1
n





Hay: Q i  


q i

(15)

v 2k
(16)
2
k 1
 được biểu diễn ở (16) gọi là hàm hao tán. Ta có thể viết  giống như động năng T
1 n
trong tọa độ suy rộng:    Bijq i q j
(17)
2 i , j1
n

Ở đây ta đặt:     k

Trong đó: Bij  B ji là các hàm chỉ của toạ độ suy rộng: q i (i  1, n ) . Khai triển chúng

theo chuỗi luỹ thừa tại lân cận vị trí cân bằng q i  0; (i  1, n) và chỉ giữ lại số hạng đầu, ta
nhận được biểu thức của hàm hao tán đã tuyến tính hoá:
1 n
   b ijq i q j
2 i , j1

(18)

Ở đây: b ij  b ji  (Bij ) 0 là các hệ số cản suy rộng.

1
Khi hệ có một bậc tự do (n = 1):   bq 2 ; b  B0  0
2
1
Khi hệ có hai bậc tự do (n = 2):   (b1q 12  2b12q 1q 2  b 22q 22 )
2

(19)
(20)

Trong đó: b11  (B11 ) 0 ; b12  (B12 ) 0 ; b 22  (B22 ) 0 .
Các hệ số b ij của dạng toàn phương (18) cũng thoả mãn tiêu chuẩn xác định dương.
1.5. PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG

1.5.1. Thiết lập phương trình vi phân chuyển động theo phương trình Lagrăng II
Cơ sở lý thuyết của nhiều công trình nghiên cứu dao động các hệ Hôlônôm nhiều bậc
tự do là việc áp dụng phương trình Lagrăng loại II.
Phương pháp thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ dao động bằng cách
sử dụng phương trình Lagrăng loại II gọi là phương pháp cơ bản.
Đối với hệ Hôlônôm, có n bậc tự do, xác định bởi các toạ độ suy rộng độc lập:

q1 , q 2 , ...q n (q i , i  1, n ) , phương trình Lagrăng loại II có dạng:
d  T  T


 Qi ; i  1, n
dt  q i  q i

(21)
5


Bộ môn Kỹ thuật Cơ sở - ĐHSPKT HY

1.5.1a. Nếu các lực tác dụng lên hệ chỉ là lực có thế
Ta có:

Qi  Qi   


; i  1, n
q i

Phương trình (21) trở thành:

d  T  T


 

; i  1, n

dt  q i  q i
q i

(21a)

Đưa vào hàm Lagrăng: L  T   , ta được:
d  L  L


 0; i  1, n
dt  q i  q i

(21b)

1.5.1b. Nếu các lực tác dụng lên hệ bao gồm cả lực có thế và lực cản nhớt
Ta có:





Qi  Qi  Qi  

 

; i  1, n
q i q i

Phương trình (21) trở thành:
d  T  T

 

 


; i  1, n
dt  q i  q i
q i q i

(22)

Khi chú ý đến hàm Lagrăng L:
d  L  L 



 0; i  1, n
dt  q i  q i q i

(22a)

1.5.1c. Nếu lực tác dụng lên hệ ngoài các lực có thế, và lực cản nhớt còn có các ngoại
lực khác (lực kích động) phụ thuộc vào thời gian t
Lực suy rộng của nó ký hiệu Q iP , ta có:




Q i  Q i  Q i  Q i ; i  1, n
P

Và phương trình (21) viết ở dạng:

d  T  T
 

 


 Q iP ; i  1, n
dt  q i  q i
q i q i

(23)

Thí dụ 1:
Con lắc kép gồm hai thanh đồng chất: AB = BC = 2L, trọng lượng P1 = P2 = P nối với
nhau bởi bản lề B. Con lắc thực hiện dao động nhỏ trong mặt phẳng thẳng đứng xung quanh vị
trí cân bằng Ox, ngoài ra AB quay xung quanh trục A, BC quay xung quanh bản lề B (hình 1).
Bài giải:
Giả thiết các thanh rắn tuyệt đối, hệ có hai bậc tự do. Ta chọn 1, 2 là các góc lệch của
thanh với phương thẳng đứng Ox làm tọa độ suy rộng. Tại vị trí cân bằng thì 1 = 2 = 0.
Phương trình Lagrăng II viết cho hệ khảo sát là:
6


Bộ môn Kỹ thuật Cơ sở - ĐHSPKT HY

d  T  T


 Q i ; i  1, 2
dt   i  i



Chọn hệ trục tọa độ xOy như hình vẽ. Động năng
của hệ là:



y

(a) O

P1



1
1
1
T  TAB  TBC  J Oz  12  m BC x 2D  y 2D  J Dz  22
2
2
2
Ta có: J Oz 



1P

P
1 P
(2L) 2 , m BC  , J Dz 
(2L) 2
3g
g
12 g



2PL2  2  2
41   2  3 1 2 cos(1   2 )
3g

D
P2

C

x

x D  L(2 cos 1  cos  2 )

y D  L(2 sin 1  sin  2 )
Ta có: T 

B

Hình 1



Xét dao động nhỏ: cos( 1   2 )  1, ta nhận được:

T

2PL2  2  2
(41   2  3 1 2 )
3g

(b)

Thế năng của hệ bằng công trọng lượng các thanh khi hệ chuyển dịch từ vị trí khảo
sát (1; 2) tới vị trí cân bằng thẳng đứng (1 = 0 ; 2 = 0), ta có:

  PL(1  cos 1 )  PL2(1  cos 1 )  (1  cos  2 )
  PL(4  3 cos 1  cos  2 )

Rút gọn:

12
 22
Với 1 ,  2 nhỏ: cos 1  1  ; cos  2  1 
2
2
Ta có:



PL

(312   22 )
2

(c)

Thay (b) và (c) vào (a), ta nhận được phương trình vi phân dao động nhỏ của hệ:

31  

16L  2L 
2L
4L 
1 
 2 ;  2   1 
2
3g
g
g
3g

1.5.2. Thiết lập phương trình vi phân chuyển động theo phương pháp Đalămbe
Theo nguyên lý Đalămbe: Ở mỗi thời điểm các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ và
các phản lực liên kết cân bằng với các lực quán tính. Từ đó:
7


Bộ môn Kỹ thuật Cơ sở - ĐHSPKT HY

 Fa  N  Fqt  0
 k  k  k

 k
k
k

 m O  Fka    m O N k   m O  Fkqt   0
 k
  k


k

 

(24)

Trong đó: Fkqt  mk Wk
1.5.3. Áp dụng phương pháp lực để thiết lập phương trình vi phân dao động nhỏ
(trường hợp riêng của phương pháp Đalămbe)
Giả sử cho một dầm đàn hồi có gắn một số hữu hạn khối lượng tập trung
m1 , m 2 , ..., m n . Để lập phương trình vi phân dao động (uốn) của dầm, thuận lợi hơn cả là
dùng phương pháp lực. Khi này cần sử dụng khái niệm dịch chuyển đơn vị.
Các dịch chuyển theo hướng i do lực đơn vị tác dụng theo hướng k gây ra gọi là dịch
chuyển đơn vị, ký hiệu ik. Các dịch chuyển đơn vị ik còn gọi là các hệ số ảnh hưởng (hình 2).
Pk = 1
m1

m2 m3

mn

i
k

ik
Hình 2
Đối với các hệ đàn hồi, theo hướng k hệ chịu tác dụng của lực Pk thì dịch chuyển do
nó gây ra theo hướng i sẽ tỷ lệ với lực, nghĩa là:
yi = Pkik.
Do đó, dưới tác dụng đồng thời của các lực P1, P2, ..., Pn dịch chuyển toàn phần xác
định theo công thức:
n

y i   Pk  ik

(25)

k 1

Công thức (25) là cơ sở để thiết lập phương trình vi phân dao động của hệ theo
phương pháp lực.
Theo kết quả trong giáo trình Sức bền vật liệu, ta có các công thức xác định hệ số ảnh
hưởng ik sau đây:
1.5.3a. Xác định ik khi uốn của thanh
Dùng công thức MO:

8


Bộ môn Kỹ thuật Cơ sở - ĐHSPKT HY

L

ik   
0

M i . M k dx
EJ

(26)

Trong đó: EJ là độ cứng của thanh khi uốn; M i ( x ) và M k ( x ) là các mômen uốn do
lực đơn vị Pi  1 và Pk  1 gây ra (hình 3).

Pi = 1

Pk = 1

M i =(x)

M k =(x)

x

x

Hình 3

1.5.3b. Sử dụng phép nhân biểu đồ Vêrêsaghin
*

 Mk
 ik   i
EJ

(27)
*

Ở đây:  i là diện tích biểu đồ; M i , M k là tung độ của biểu đồ; M k tương ứng hoành
độ trọng tâm của  i . Khi sử dụng công thức (27) cần chú ý chia chiều dài thanh sao cho
trong mỗi đoạn của M k là đường thẳng. Theo định lý Macxoen ta luôn có:  ik   ki
Thí dụ 2. Xác định các hệ số ảnh hưởng trong trường hợp dầm chịu các tải trọng tập
trung như hình vẽ (hình 4).

m

m
L/6

L/3

P1 = 1

m
L/3

5L
36

L/6

L/6
Hình 4

M1
5L/6
Hình 5a

Bài giải:

9


Bộ môn Kỹ thuật Cơ sở - ĐHSPKT HY

Để xác định các dịch chuyển đơn vị (hệ số ảnh hưởng) ik (i, k = 1, 2, 3) ta xây dựng
các biểu đồ Mômen uốn M1, M 2 , M 3 tương ứng với các lực đơn vị P1  1, P2  1, P3  1 và
biểu diễn như trên hình vẽ (hình 5a, b, c).

P2 = 1
L
4

L/2

P3 = 1

M2

5L
36

M3

L/2

5L/6

Hình 5b

L/6

Hình 5c

Theo công thức nhân biểu đồ Vêrêsaghin, ta có:

11   33 

1  1 L 5
5  1 5 5
5 
 . . L. L    . L. L. L 

EJ  2 6 36 54   2 6 36 54 

1 5
5 1
5  1 5
5
1
25L3


. L. L L  L  
 L L L 
 75k
EJ 54 36  12
12  EJ 54
36
2
3888EJ

L3
Ở đây ta đặt: k 
9.1296EJ
22 

1 1 L L L 1 L L L
L3
L3
L3
.
.
.

.
.
.

2.



243.
 243k
EJ  2 2 4 6 2 2 4 6 
96EJ 48EJ
9.1296EJ

Thực hiện tính toán một cách tương tự, ta nhận được:

13   31  51

10

L3
L3
 51k; 12   21   32   23  117
 117k
9.1296EJ
9.1296EJ


Bộ môn Kỹ thuật Cơ sở - ĐHSPKT HY

1.6. XÁC ĐỊNH ĐỘ CỨNG CỦA HỆ DAO ĐỘNG

Các tính chất đàn hồi của hệ dao động trong mỗi trường hợp cụ
thể được đặc trưng bằng hệ số cứng C.
1.6.1. Thanh đàn hồi
1.6.1.1. Thanh đàn hồi không trọng lượng, chịu kéo nén (hình 6)

L

PL
EF
Ở đây: E là môđun đàn hồi; F là diện tích tiết diện ngang.
L 

Ta có:

EF
.L  C.L
L
EF
Vậy, ta có:
(28)
C
L
1.6.1.2. Thanh đàn hồi không trọng lượng chịu xoắn (hình 7)
P

Từ đó:

Thanh đàn hồi không trọng lượng chịu xoắn nên:  

L

P
Hình 6

MxL
GJ p

Trong đó: G là môđun trượt; JP là mômen quán tính độc cực của mặt cắt ngang.
Suy ra:

Mx 

Vậy, nhận được:

GJ p
L

  C.

C

GJ p

(29)

L

Mx

L
P

L

f

Hình 7
1.6.1.3. Thanh đàn hồi không trọng lượng chịu uốn

Hình 8

Khi này: Hệ số cứng C còn phụ thuộc vào điều kiện biên. Ta xét thanh chịu uốn bị ngàm ở
một đầu (hình 8). Độ võng f là:
11


Bộ môn Kỹ thuật Cơ sở - ĐHSPKT HY

3EJ
1 PL3
, suy ra: P  3 f  Cf
f
3 EJ
L
C

Ở đây: EJ là độ cứng chống uốn. Vậy độ cứng C là:

3EJ
L3

(30)

1.6.2. Hệ các lò xo
1.6.2.1. Đối với hệ lò xo mắc song song (hình 9)
Từ biểu thức tính lực đàn hồi, ta có:

Fdh  C1x  C2 x  Cx
Vậy, ta được: C = C1 + C2. Nếu hệ có n lò xo
mắc song song, tương tự nhận được:
C1

n

C   Ci

C

C2

(31)

i 1

1.6.2.2. Đối với hệ lò xo mắc nối tiếp (hình 10)
Biểu thức tính lực đàn hồi:

Fdh  C1 x 1  C 2 x 2

Hình 9

Ở hệ thay thế tương đương hệ số cứng C, lò
x  x1  x 2 ; Fdh  Cx
xo dãn một đoạn:
Ta có: x 

C1

F1 F2 Fdh
1
1
1


 

C1 C 2
C
C C1 C 2

Nếu hệ có n lò xo mắc nối tiếp, thì hệ số cứng
C của lò xo thay thế xác định bởi hệ thức:
n
1
1

C i 1 C i

C

C2

(32)

Hình 10
Nói chung độ cứng C được tính toán theo lý
thuyết với các giả thiết nhất định và có thể tra cứu trong các sổ tay kỹ thuật.

Ta thống kê một số công thức ở một số dạng cơ bản thường dùng trong tính toán
(bảng 1).
Bảng 1. Công thức xác định các hệ số cứng tương đương
Sơ đồ

Stt

Hệ số C

Gd 4
Với G: môđun trượt của
8iD
vật liệu; d: đường kính dây lò xo;
i, D: số vòng và đường kính lò xo.
C

1

2
12

C1
C1

C2

C2

C = C1+ C2

Bộ môn Kỹ thuật Cơ sở - ĐHSPKT HY

C

C1
C2

3
Stt

Sơ đồ

4

EJ

C1 C 2
C1  C 2

Hệ số C
C3

L

5

6

7

a

a

b

a

b

8

9

L

12EJ (a  b) 3
C 3 2
a b (3a  4b)

C

3EJ (a  b) 3
a 3b3

C

b

C
b

L

3EJ (a  b)
a 2b2

C

b

EJ
L3

3EJ
( b  L) b 2

12EJ
(4b  3L)b 2

24EJ
L3
(EJ là độ cứng khi uốn của một
trong hai lò xo phẳng)
C

10
L

11

N

C

L

C
12

N
L

α 3 EJshαL
αLch αL  shαL
N

EJ

α 2 EJsh(αL)
LαLch αL  shαL 


N
EJ

13