Bài giảng môn toán cao cấp 3

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT HƯNG YÊN
BỘ MÔN TOÁN- KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BÀI GIẢNG
MÔN: TOÁN CAO CẤP 3

Mùa Thu, 08-2014


Mục lục
1 Hàm số nhiều biến số
1.1

1.2

1.3

1

Khái niệm về hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Định nghĩa hàm hai biến (ba biến) . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Giới hạn của hàm nhiều biến

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3

Tính liên tục của hàm nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . .

5

Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Đạo hàm riêng và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Vi phân của hàm hai biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.3

Đạo hàm của hàm số hợp và hàm số ẩn . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.4

Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.5

Đạo hàm theo hướng. Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Cực thị hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1

Cực trị không có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2

Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.3

Cực trị của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.4

Cực trị không có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.5

Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Tích phân bội
2.1

25

Tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1

Bài toán dẫn đến tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.2

Định nghĩa tích phân bội 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.3

Các tính chất của tích phân bội 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.4

Cách tính tích phân kép trong hệ trục toạ độ Đề các . . . . . 30

2.1.5

Đổi biến trong tích phân bội hai trong hệ tọa độ cực . . . . . 34
i

2.2

2.3

Ứng dụng của tích phân bội hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1

Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.2

Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.3

Ứng dụng cơ học của tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . 38

Tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1

Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân bội ba . . . . . . . . . 43

2.3.2

Định nghĩa tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.3

Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ đề các . . . . . . 45

2.3.4

Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ . . . . . . . . 50

2.3.5

Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu . . . . . . . . 53

2.3.6

Một vài ứng dụng của tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . 55

3 Tích phân đường và mặt
3.1

3.2

62

Tích phân đường loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1.2

Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.1.3

Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.1.4

Nhắc lại kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Tích phân đường loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.2.2

Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2.3

Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2.4

Điều kiện để tích phân đường loại hai không phụ thuộc vào
đường cong lấy tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.3

3.4

Tích phân mặt loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.3.2

Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.3.3

Ứng dụng của tích phân mặt loại một . . . . . . . . . . . . . . 83

Tích phân mặt loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.4.2

Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.4.3

Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.4.4

Công thức Ostrograsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

ii

3.4.5

Trường thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4 Phương trình vi phân
4.1

85

Đại cương về phương trình vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.1.1

Dạng tổng quát, khái niệm về nghiệm tổng quát và nghiệm
riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.1.2
4.2

4.3

Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm. Bài toán Cauchy . 87

Một số phương trình vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.1

Phương trình dạng khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2.2

Phương trình với biến số phân ly . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2.3

Phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.4

Phương trình tuyến tính cấp 1

4.2.5

Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.2.6

Phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.2.7

Phương trình Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2.8

Phương trình Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

. . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Phương trình vi phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.3.1

Các khái niệm về phương trình vi phân cấp 2 . . . . . . . . . 100

4.3.2

Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.3.3

Phương trình dạng khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.3.4

Phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . 104

4.3.5

Phương trình tuyến tính không thuần nhất. Phương pháp biến
thiên hằng số Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.3.6

Phương trình tuyến tính cấp hệ số không đổi . . . . . . . . . . 108

iii


Chương 1
Hàm số nhiều biến số

1.1

Khái niệm về hàm nhiều biến

1.1.1

Định nghĩa hàm hai biến (ba biến)

Định nghĩa 1.1. Xét trong không gian R2 , D là một tập hợp trong R2 . Khi đó, ánh
xạ
f : D −→ R
u = (x, y) −→ v = f (x, y)
được gọi là một hàm số hai biến số xác định trên D. D được gọi là miền xác định
của hàm f ; x, y được gọi là các biến số độc lập.
Ví dụ 1.
f : D −→ R
u = (x, y) −→ v = f (x, y) = x2 + xy − y 3 − x + 5.
Để cho đơn giản, ta thường nói cho hàm hai biến f (x, y) = x2 + xy − y 3 − x + 5.
xy
Ví dụ 2. f (x, y) = 2
.
x + y2
Từ đó ta có thể định nghĩa hàm nhiều biến như sau:
Xét trong không gian Euclid n chiều Rn . Một phần tử là một bộ n số thực, D là
một tập hợp trong Rn . Khi đó ánh xạ
f : D −→ R
u = (x1 , x2 , . . . , xn ) −→ v = f (x1 , x2 , . . . , xn )
1

Chương 1. Hàm số nhiều biến số
được gọi là một hàm số có n biến số xác định trên D; D được gọi là miền xác định
của hàm f ; x1 , x2 , . . . , xn được gọi là các biến số độc lập.
Ví dụ 3.
f : V −→ R
u = (x, y, z) −→ v = f (x, y, z) = x3 + x2 yz − 3y 2 + 5y + 2x2 − 3
là 1 hàm ba biến số.
b) Tập hợp trong Rn .
Giả sử M (x1 , x2 , . . . , xn ) và N (y1 , y2 , . . . , yn ) là hai điểm của Rn . Người ta định
nghĩa khoảng cách giữa hai điểm M và N ; kí hiệu là d(M, N ), và được cho bởi công
thức sau đây:
d(M, N ) =

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + . . . + (xn − yn )2

(1.1)

Đặc biệt: Với n = 2, M (x1 , x2 ) và N (y1 , y2 )
d(M, N ) =

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2

(1.2)

Với n = 3, M (x1 , x2 , x3 ) và N (y1 , y2 , y3 )
d(M, N ) =

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2

(1.3)

Ta thấy rằng Rn là một không gian véc tơ trên trường số thực với tích vô hướng
đã định nghĩa trong chương không gian véc tơ nên ta có các tính chất sau:
a) d(M, N ) ≥ 0 với mọi M, N.
b) d(M, N ) = 0 ⇔ M ≡ N
c) d(M, N ) ≤ d(M, Q) + d(Q, N ) với M, N, Q là ba điểm bất kì nằm trong không
gian.
+ M0 là một điểm thuộc Rn . Ta gọi ( > 0)- lân cận của điểm M0 là tập hợp
tất cả những điểm M của Rn sao cho d(M, N ) ≤
M0 là một tập hợp nào đó chứa

. Người ta gọi lân cận của điểm

- lân cận của điểm M0 .

Ví dụ 4. D0 = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 < 1} - là một lân cận của điểm O(0, 0), với
= 1.
+Tập E là một tập hợp trong Rn . Điểm M ∈ E được gọi là điểm trong của tập
E nếu tồn tại một - lân cận nào đó của điểm M nằm hoàn toàn trong E. Tập E
được gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.

2


Chương 1. Hàm số nhiều biến số
1 1
Ví dụ 5. M0 ( , ) là điểm trong của tập D0 , D0 là tập mở.
2 3
+Điểm N ∈ Rn được gọi là điểm biên của tập E nếu mọi - lân cận của N vừa
chứa điểm thuộc E vừa chứa điểm không thuộc E. Tập hợp tất cả những điểm biên

của tập E được gọi là biên của tập E.
Ví dụ 6. L0 = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 1} -là biên của tập D0 .
+ Tập E được gọi là tập đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó.
Ví dụ 7. D1 = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 ≤ 1} -là tập đóng.
+ Tập hợp D được gọi là bị chặn nếu tồn tại một quả cầu nào đó chứa nó.
+ Tập D được gọi là liên thông nếu có thể nối hai điểm bất kì trong D bởi một
đường liên tục nằm hoàn toàn trong D.
+ Tập hợp liên thông được gọi là đơn liên nếu nó được giới hạn bởi một mặt kín,
là đa liên nếu bị giới hạn bởi nhiều mặt kín rời nhau từng đôi một.
+ Trong không gian R2 ( trong mặt phẳng Oxy) tập liên thông được gọi là đơn liên
nếu nó được giới hạn bởi một đường cong kín, là đa liên nếu nó được giới hạn bởi
nhiều đường cong kín rời nhau từng đôi một.
(phần này vẽ được hình minh họa thì tốt hơn).
Trong khuôn khổ của của cuốn bài giảng này chúng ta chỉ xét các hàm hai biến
hoặc ba biến. Trường hợp số biến lớn hơn ba được xem xét tương tự.

1.1.2

Giới hạn của hàm nhiều biến

+ Dãy điểm Mn (xn , yn ) dần tới điểm M0 (x0 , y0 ) trong R2 và viết Mn → M0 khi
n → ∞ nếu
lim d(M, M0 ) = 0

n→∞

hay nếu
lim xn = x0 , lim yn = y0

n→∞

n→∞

Định nghĩa 1.2. Giả sử hàm số z = f (M ) = f (x, y) xác định trong một lân cận
D của điểm M0 , có thể trừ tại M0 . Ta nói rằng hàm số f (M ) có giới hạn A (hữu
hạn) khi điểm M dần tới điểm M0 nếu ∀ > 0 bé tuỳ ý cho trước, ∃δ > 0 sao cho
d(M0 , M ) < δ thì |f (x, y) − A| <
lim f (x, y) = A hay

M →M0

và kí hiệu là

lim

f (x, y) = A hay

(x,y)→(x0 ,y0 )

3

lim f (x, y) = A.

x→x0
y→y0

(1.4)


Chương 1. Hàm số nhiều biến số

+ Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm
số một biến số. Chẳng hạn
1
→ +∞ khi (x, y) → (x0 , y0 )
x2 + y 2
+ Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương, nguyên lý kẹp giữa của giới hạn
hàm số một biến số cũng đúng cho hàm nhiều biến số.
xy
Ví dụ 8. Tìm lim
.
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
Thật vậy, ta thấy rằng hàm số f (x, y) xác định trên R2 \ {(0, 0)} ,
hơn nữa
|x|
x2 + y 2

≤ 1, ∀(x, y) = (0, 0);

nên
|f (x, y)| =

=

x2 + y 2

|x|
x2 + y 2

|y| ≤ |y| .

|y| = 0.

lim

Mặt khác,

xy

(x,y)→(0,0)

Do đó, theo nguyên lý kẹp giữa ta có:
lim
(x,y)→(0,0)

xy
x2 + y 2

= 0.

Chú ý. Trong giới hạn của hàm số có một biến số thì khi x → x0 thì x có thể dần
từ hai phía, còn trong giới hạn của hàm hai biến thì khi điểm M (x, y) → M0 (x0 , y0 )
có thể dần về theo mọi hướng trong R2 . Và cũng tương tự như hàm một biến, để
giới hạn hàm nhiều biến tồn tại thì khi điểm M → M0 theo mọi hướng hàm số đều
phải nhận được cùng một kết quả. Đây cũng là tính duy nhất của giới hạn hàm
nhiều biến.
xy
.
+ y2
Thật vậy, ta thấy rằng hàm số f (x, y) xác định trên R2 \ {(0, 0)} , nếu cho

Ví dụ 9. Tìm

lim

(x,y)→(0,0) x2

(x, y) → (0, 0) theo phương của đường thẳng y = kx, ta có
f (x, kx) =

k
.
1 + k2

Do đó
lim

(x,y)→(0,0) x2

xy
k
=
.
2
+y
1 + k2

Vậy khi (x, y) → (0, 0) thì giới hạn trên dần về các giá trị khác nhau tùy theo
giá trị của k, mà giới hạn có tính duy nhất nên không tồn tại giới hạn trên khi
(x, y) → (0, 0) .

4


Chương 1. Hàm số nhiều biến số

1.1.3

Tính liên tục của hàm nhiều biến số

Định nghĩa 1.3. Hàm số z = f (M ) = f (x, y) xác định trong miền D, M0 (x0 , y0 ) ∈
D. Ta nói rằng hàm số f (M ) liên tục tại M0 nếu tồn tại giới hạn:
lim f (M ) = f (M0 ) hay

lim

M →M0

(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) = f (x0 , y0 )

(1.5)

Nếu miền D đóng, M0 là một điểm biên của D thì lim f (M ) được hiểu là giới
M →M0

hạn của f (M ) khi M dần đến M0 ở bên trong của D.
+ Hàm số z = f (x, y) liên tục tại mọi điểm trong D thì được gọi là hàm liên tục
trên D.

+ Hàm số f (M ) được gọi là liên tục đều trên miền D nếu ∀ > 0 cho trước, ∃δ > 0
sao cho với mọi cặp điểm M , M thuộc D mà d(M , M ) < δ thì |f (M )−f (M )| <
.
+ Hàm số nhiều biến số liên tục cũng có những tính chất như hàm số một biến số
liên tục. Chẳng hạn, nếu hàm số nhiều biến số liên tục trong một miền đóng, bị
chặn thì nó bị chặn trong miền ấy, nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất trong
miền ấy, nó liên tục đều trong miền ấy.
Ví dụ 10. Xét tính liên tục của hàm sau tại điểm (0, 0):

xy



(x, y) = (0, 0)
2 + y2
x
f (x) =



0
(x, y) = (0, 0)
Thật vậy, theo ví dụ (8) ta có
lim
(x,y)→(0,0)

xy
x2 + y 2

= 0 = f (0, 0).

Vậy, hàm số f (x, y) liên tục tại điểm (0, 0).

1.2
1.2.1

Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến số
Đạo hàm riêng và cách tính

Cho hàm số z = f (x, y). Nếu cho biến số y một giá trị không đổi y = y0 thì khi đó
hàm f (x, y0 ) trở thành hàm số của một biến số độc lập x. Giả sử hàm một biến này

5


Chương 1. Hàm số nhiều biến số
có đạo hàm tại x0 , tức là tồn tại
f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 )
∆x

lim

∆x→0

gọi là đạo hàm riêng cấp một của hàm hai biến z = f (x, y) đối với biến x tại điểm
M0 (x0 , y0 ) và ký hiệu là

∂f (x,y)
;
∂x

z x hay f x (x, y).

Hiệu ∆x z = f (x0 + δx, y0 ) − f (x0 , y0 ) được gọi là số gia riêng của hàm số f (x, y)
theo biến x tại điểm M0 (x0 , y0 )
∆x z
∆x→0 ∆x

f x (x0 , y0 ) = lim

tương tự, ta có đạo hàm riêng theo biến y tại M0 (x0 , y0 ) và ký hiệu là
f y (x0 , y0 ) = lim

∆y→0

∆y z
∆y

ở đây ∆y z = f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) được gọi là số gia riêng của hàm số f (x, y)
theo biến y tại điểm M0 (x0 , y0 ). Vì (x0 , y0 ) là một điểm tùy ý nên z x (x, y), x y (x, y)
là một hàm số.
Nhận xét 1. Khi tính đạo hàm riêng của hàm số z theo biến x ta coi hàm z = f (x, y)
như là một hàm số chỉ phụ thuộc vào đối số x và tiến hành đạo hàm như đối với
hàm số một biến số.
Ví dụ 1. Tính đạo hàm riêng của hàm hai biến số:
1) z = sin(x2 + y 2 )
x x = 2xcos(x2 + y 2 )
z y = 2ycos(x2 + y 2 )
|
2) z = x2 siny

z x = 2xsiny
z y = x2 cosy
Nhận xét 2. tương tự ta cũng có đạo hàm riêng cho hàm số có n (n > 3) biến số.

6


Chương 1. Hàm số nhiều biến số

1.2.2

Vi phân của hàm hai biến số

Ta xét ví dụ sau đây:
Cho hình chữ nhật có chiều dài các cạnh là x, y khi đó diện tích của hình chữ nhật
là S = x.y. Bây giờ nếu cho x và y các số gia ∆x, ∆y thì diện tích được tăng thêm là

∆S = (x + ∆).(y + ∆y) − x.y
= xy + x∆y + y∆x + ∆x.∆y − xy
= x∆y + y∆x + ∆x.∆y
từ đẳng thức trên ta thấy rằng số gia ∆S của diện tích ( tức là số gia của hàm số
S = a.y) có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số hạng, một số hạng là x∆y +y∆x
tỷ lệ với ∆x, ∆y vì ∆x, ∆y là những số đã biết (bậc nhất đối với với ∆x, ∆y) và
một số hạng ∆x, ∆y là một vô cùng bé bậc cao hơn ∆x, ∆y khi ∆x, ∆y tiến đến
không. Vì vậy với ∆x, ∆y bé thì ta có thể xem: ∆S = x∆y = y∆x, khi đó ta có
công thức khá chính xác để tính gần đúng ∆S.
Định nghĩa 1.4. hàm z = f (x, y) được gọi là khả vi tại điểm M0 (x0 , y0 ) nếu số gia
toàn phần. Bây giờ ta tìm vi phân toàn phần của hàm số: z = x
Ta có f

x

= 1, f

y

= 0 vậy ta có dz = 1.∆x + 0.∆y = ∆x

Tương tự vi phân toàn phần của hàm số z = y là:
dz = dy = 0.∆x + 1.∆y = ∆y Vây đối với cá biến độc lập thì số gia và vi phân
toàn phần trùng nhau, vì vậy vi phân toàn phần của hàm số z = f (x, y) có thể viết
dz = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy.
Một hàm số z = f (x, y) có vi phân tại một điểm (x, y) thì nó khả vi tại điểm đó.
Chú ý: Qua phần ví dụ mở đầu, ta thấy rằng một hàm số hai biến số chỉ só đạo
hàm riêng tại một điểm thì chưa chắc đã khả vi tại điểm ấy mà chỉ khi các đạo hảm
riêng đó liên tục, hàm số mới khả vi. Ngược lại, nếu hàm số hai biến số khả vi tại
một điểm thì có các đạo hàm riêng tại diểm đó vì vậy đối với các hàm số hai biến
số khái niệm hàm số khả vi và hàm số có đạo hàm riêng là không tương đương.
Đó cũng là điểm khác nhau căn bản của hai hàm hai biến và hàm một biến.
Ví dụ 2. cho z = x.y. Tính ∆z, dz tại điểm (2, 3) biết ∆x = 0, 1; ∆y = 0, 2.

7


Chương 1. Hàm số nhiều biến số
Ta có:
∆z = (2 + 0, 1)(3 + 0.3) − 2.3 = 0, 72
dz = 3.0, 1 + 2.0, 2 = 0, 7
vậy ta thấy sai khác của ∆z và dz là 0,02
* Ứng dụng của vi phân toàn phần vào tính gần đúng.

Viết lại công thức
∆z = f x (x, y).∆x + f x (x, y).∆y + γ1 ∆x + γ2 ∆y = dz + γ1 ∆x + γ2 ∆y

(1.6)

khi ∆x và ∆y khá bé, thì số hạng γ1 ∆x + γ2 ∆y không đáng kể so với

f x (x, y).∆x + f y (x, y).∆y = dz
nên có thể bỏ qua, khi đó ta có:
∆z = f x (x, y).∆x + f x (x, y).∆y ≈ dz

(1.7)

Công thức (1.3) cho thấy rằng khi ∆x và ∆y khá bé thì số gia toàn phần có thể
xem xấp xỉ bằng vi phân toàn phần của hàm số. Đó là công thức tính gần đúng số
gia của hàm số bằng vi phân.
Người ta cũng dùng vi phân toàn phần để tính gần đúng giá trị hàm số tại một
điểm. Bài toán đặt ra là: Biết giá trị của hàm số z = f (x, y) tại ddiemr x0 , y0 và các
giá trị đạo hàm riêng tại điểm ấy, cần tìm giá trị của hàm số tại lân cận của điểm
(x0 + ∆x, y0 + ∆y), (∆x, ∆y có thể âm hoặc dương). Vì thông thường tính chính
xác giá trị hàm số tại các điểm (x0 + ∆x, y0 + ∆y) khá phức tạp hoặc có thể không
thực hiện đúng hẳn được, do đó người ta phải tính gần đúng bằng công thức (1.3)
như sau:
∆z ≈ f x (x0 , y0 ).∆x + f y (x0 , y0 ).∆y
⇔ f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) = f x (x0 , y0 )∆x + f y (x0 , y0 )∆y
⇒ f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f (x0 , y0 ) + f x (x0 , y0 ).∆x + f y (x0 , y0 ).∆y
Ví dụ 3. Tính gần đúng (1, 04)2 , 02 Xét hàm số z = xy khi đó ta có : z x =
yxy−1 ; z y = xy lnx
Bây giờ ta xét (x0 + ∆x)y0 +∆y = (1, 04)2 , 02 = (1 + 0, 04)( 20 , 02)

8


Chương 1. Hàm số nhiều biến số
x0 = 0; y0 = 2; ∆x = 0, 04; ∆y = 0, 02
khi đó ta có:

(x0 + ∆x)y0 +∆y = (1, 04)2,02 = (1 + 0, 04)( 2 + 0, 02) ≈
≈ 12 + 2.0, 04 + 12 .0, 02.ln1 = 1, 08

1.2.3

Đạo hàm của hàm số hợp và hàm số ẩn

1.2.3.1

Đạo hàm của hàm số hợp.

Định nghĩa 1.5. Cho hàm số z = f (u, v) mà u, v là các hàm số của hàm hai biến
độc lập x, y : u = u(x, y); v = v(x, y) thì ta nói rằng z là hàm số hợp (kép) của hai
biếm số x, y qua hai biến số trung gian u và v. Kí hiệu là:
z = f [u(x, y), v(x, y)]
Định nghĩa 1.6. Cho D là một tập hợp trong R2 xét ánh xạ ϕ : D → R2 , f : ϕ(D) →
f

R. Ánh xạ tích f ◦ ϕ : D → R xác định bởi f ◦ ϕ : D →

ϕ(D)

ϕ

→

R

(x,y) → (u(x,y),v(x,y)) → f (u(x,y),v(x,y))

Ví dụ 4. z = eu sinv mà u = x + y; v = xy thì ta có z = ex+y sin(xy)
Vấn đề đặt ra ở đây là ta cần tính đạo hàm riêng của hàm số z theo hai biến độc
lập x và y tức là cần tính z x và z y của hàm số z = f [u(x, y), v(x, y)].
Giả sử các hàm số z, u, v đều có các đạo hàm riêng liên tục đối với các biến của
chúng tức là tồn tại các đạo hàm riêng z u , z v , u x , u y .
Bây giờ giữ y không đổi và cho x một số gia là ∆x thì u có số gia tương ứng là ∆x u,
v có số gia tương ứng là ∆x v, khi đó hàm số z = f [u(x, y), v(x, y)] là một hàm của
ột biến x nên z có số gia ∆x z và ∆y z được xác định như sau, từ công thức
∆x z = z u ∆x u + z v ∆x v + γ1 ∆x u + γ2 ∆x v, với γ1 ,γ2 là các vô cùng bế khi ∆x → 0
Lập tỷ số

∆x z
∆x

xu
xv
xu
xv
= ∆u ∆∆x
+ z v ∆∆x
+ γ1 ∆∆x
+ γ2 ∆∆x

Khi ∆x → 0 và các hàm số u, v có đạo hàm nên

∆x u
∆x

xv
xu
→ u x ; ∆∆x
→ v x ;γ1 ∆∆x
→

xv
γ1 u x → 0; γ2 ∆∆x
→ γ2 v x → 0

∆x z
∆x u
∆x v
∆x u
∆x v
= z u Lim
+ z v Lim
+ Lim γ1
+ Lim γ2
∆x→0 ∆x
∆x→0 ∆x
∆x→0 ∆x
∆x→0
∆x→0
∆x

∆x

⇒ Lim

9


Chương 1. Hàm số nhiều biến số
⇒ z x = z u .ux + z v .v x .
Hoàn toàn tương tự cũng có

z y = z u .uy + z v .v y
Vậy ta có công thức

 z = z .u + z .v
v x
u x
x
 z = z .u + z .v
y

u

y

v

hay

y




∂z
∂x

=

∂z ∂u
.
∂u ∂x

+

∂z ∂v
.
∂v ∂x



∂z
∂y

=

∂z ∂u
.
∂u ∂y

+

∂z ∂v
.
∂v ∂y

Công
thức

 (1.2.1) cóthể được
 viết dưới dạng

∂u
∂u
∂z


∂x
∂z ∂z  ∂x ∂y 
trong đó ma trận 
= ∂u
∂v
∂v ∂v
 ∂z 
∂y

∂x ∂y

∂u ∂u
∂x ∂y

∂v ∂v
∂x ∂y

(1.8)


 được gọi là ma trận

Jacobi của ánh xạ ϕ hay ma trận Jacobi của u, v đối với x, y còn định thức của ma
D(u,v)
trận ấy được gọi là đinh thức Jacobi và được kí hiệu là: Dc9x.y
.

Ví dụ 5. Tính đạo hàm hàm số hợp :
z = eu sinv mà u = x + y, v = x.y thì ta có s = e( x + y)sinxy.
Áp dụng công thức (1.2.1) ta có:


 z = eu sin v × 1 + eu cos v × y
 z = z .u + z .v
x
v x
u x
x
⇔
 z = eu sin v × 1 + eu cos v × x
 z = z .u + z .v
y
v y
u y

y
 z = ex+y sin x.y + y.e(x+y) cos x.y
x
⇔
 z = ex+y sin x.y + xex+y cos x.y
y

1.2.3.2

Đạo hàm hàm sô ẩn

a) Hàm ẩn một biến số: Xét phương trình
F (x, y) = 0

(1.9)

Nếu ta cho x một giá trị xác đinh x0 , từ phương trình F (xo , y) = 0 có thể tìm được
một hay nhiều giá trị y0 sao cho F (x0 , y0 ) = 0 thì khi đó ta nói rằng biểu thức chứa
một hay nhiều hàm số ẩn y theo biên x. Chẳng hạn từ phương trình
√
được y = ± ab a2 − x2

x2
a2

2

+ yb2 = 1 ta

Phương trình ấy xác định hai hàm số ẩn trong đoạn [−a, a]. Trong trường hợp này

ta tìm được biểu thức tường minh, trường hợp này không phải lúc nào cũng thực

10


Chương 1. Hàm số nhiều biến số
hiện được, chẳng hạn từ hệ thức xy = y x (x > 0.y > 0) không thể tính được tường
minh y theo x.
Vấn đề dặt ra ở đây hãy tính đạo hàm của hàm số ẩn y theo biến x, tức là tính yx .
Vì y là một hàm của biến x nên ta có thể viết

F (x, y) = F (x, y(x)) = 0
đạo hàm hai vế theo x ta được

F +F .y = 0
x

F

⇒ y = − Fx
x

y

x

(Với giả thiết rằng F = 0)
y

y

vậy ta có công thức để tính đạo hàm của hàm số ẩn là:

yx = −

Fx
Fy

Ví dụ 6. tính đạo hàm của hàm ẩn xác định từ phương trình :
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
Đặt F (x, y) =

x2
y2

+

y2
b2

−1=0

khi đó ta có:

F =
x

vậy ta có y

1.2.3.3

x

= − 2x
:
a2

2y
b2

b2

2x
2y
;
F
=
a2 y
b2
2

= − 2x
. = − ab 2xy
a2 2y

Hàm ẩn của hàm hai biến số

Nếu ứng với mỗi cặp (x, y) mà ta luôn tìm được một hay nhiều giá trị z sao cho
x, y, z thoả mãn phương trình F (x, y, z) = 0 thì ta nói rằng phương trình (1.2.4)
xác định một hay nhiều hàm số ẩn của hai biến số x, y.
Ví dụ 7. Phương trình x2 +y 2 +z 2 = R2 xác định hai hàm số ẩn z theo hai biến x, y là

z = ± R 2 − x2 − y 2

11


Chương 1. Hàm số nhiều biến số
Bây giờ ta đi xét cách tính đạo hàm riêng z x , z y của z theo hai biến x, y
Ta thấy rằng z là hàm số của hai biến số x, y nên ta có viết lại phương trình:
F (x, y, z) = 0 ⇔ F (x, y, z(x, y)) = 0 khi đó để tính z

x

thì ta xem y không đổi khi

đó ta trở lại đậo hàm của hàm số ẩn một biến số x và hàm phải tìm là z khi đó ta
có
zx = −

Fx
Fz

zy = −

Fy
Fz

tương tự ta cũng có:

Ví dụ 8. cho hàm số ẩn hai biến số xác định bởi phương trình:
ez + x2 y + z + 5 = 0
ta có : F (x, y, z) = ez + x2 y + z + 5 = 0
⇒ F x = 2xy
F y = x2
F z = ez + 1
vậy: z x = − FF x = − e2xy
z +1
z

zy =−

Fy
x2
=− z
Fz
e +1

1.2.4

Đạo hàm và vi phân cấp cao

1.2.4.1

Đạo hàm cấp cao

∂z ∂z

Cho hàm số z = f (x, y). Từ giờ trở đi ta gọi các đạo hàm ∂x
, ∂y là các đậo hàm riêng

cấp một của z, nói chung các đạo hàm riêng ây cũng lại là một hàm của hai biến số
x, y nếu các hàm số đó có đạo hàm riêng thì người ta gọi các đạo hàm riêng đó là
đậo hàm riêng cấp 2 của z.
Như vậy, từ các đo hàm riêng cấp 1 ta có các đạo hàm riêng cấp 2 sau:

•

∂
∂x

∂z
∂x

kí hiệu là

∂2z
,z
∂x2 xx

lần thứ nhất lấy đạo hàm riêng theo x sau đó lại lấy

đạo hàm riêng theo x một lần nữa.
•

∂
∂y

∂z
∂x

kí hiệu là

∂2z
,z
∂x∂x x

y lần thứ nhất lấy đạo hàm riêng theo x sau đó lại

lấy đạo hàm riêng theo y một lần nữa.

12


Chương 1. Hàm số nhiều biến số
•

∂
∂y

∂z
∂y

kí hiệu là

∂2z
,z
∂x2 y

y lần thứ nhất lấy đạo hàm riêng theo y sau đó lại

lấy đạo hàm riêng theo y một lần nữa.
•

∂
∂x

∂z
∂x

kí hiệu là

∂2z
,z
∂y∂x y

x lần thứ nhất lấy đạo hàm riêng theo y sau đó lại

lấy đạo hàm riêng theo x một lần nữa.
Ví dụ 9. Tính đạo hàm riêng cấp hai của hàm số:
z = x2 y + y 2
Ta có các đạo hàm riêng cấp một:
z x = 2xy; z y = x2 + 2y
Các đạo hàm riêng cấp hai
z xx = 2y

z xy = 2x

z yy = 2

z yx = 2x

Tương tự như trên đạo hàm riêng của các đậo hàm riêng cấp hai gọi là các đạo hàm
riêng cấp ba, đạo hàm riêng của các đậo hàm riêng cấp ba gọi là các đạo hàm riêng
cáp bốn. . .
Trường hợp hàm nhiều hơn hai biến trở lenn ccũng được định nghĩa tương tự như
trên.
Định lí Schwart ( Sơ - vác -sơ). Nếu trong một lân cạn nào đó của điểm M (x0 , y0 )
hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng f
tục tại điểm M (x0 , y0 ) thì f

xy

=f

xy , f yx

và các đạo hàm riêng đó liên

yx

Ví dụ 10. cho hàm số z = x2 y + y 2 . Ta đã tính ở trên thì ta có z xy = 2x; z yx = 2x
vậy z xy = z yx .
Xột hàm số z = f (x, y). Vi phân toàn phần của nó là nếu tồn tại cũng là một hàm
số của hai biến số x và y, vi phân toàn phần của dz nếu tồn tại thỡ được gọi là vi
phân toàn phần cấp 2 và được ký hiệu là d2 z . Vậy

d2 z = d(dz) = d(fx dx + fy dx)

13


Chương 1. Hàm số nhiều biến số
Cứ tiếp tụ như vậy ta có các vi phân toàn phân cấp ba, cấp bốn ,. . . .
d3 z = d(d2 z)
···
dn z = d(dn−1 z)
Bây giờ, từ biểu thức
d2 z = d(dz) = d(fx dx + fy dx) = (fx dx + fy dx)x dx + (fx dx + fy dx)y dy
= fx2 dx2 + (fxy + fyx )dxdy + fy2 dy 2
Giả sử rằng hàm f (x, y) là liên tục khi đó ta có d2 z = fx2 dx2 + 2fxy dxdy + fy2 dy 2 .

1.2.5

Đạo hàm theo hướng. Gradient

1. Cho hàm u(x, y, z) là một hàm số xác định trong miền D ∈ R3 . Qua điểm
→

M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ D ta vẽ một đường thẳng định hướng mà véc tơ đơn vị là l ; M là
→

→

một điểm trên đường thẳng ấy, ta có M0 M = ρ l trong đó ρ là độ dài của véc tơ
→

→

M0 M . Nếu khi ρ → 0 ( tức là M dần tới M0 theo hướng l ), tỷ số

∆u
ρ

=

u(M )−u(M0 )
ρ

dần tới một giới hạn hữu hạn thì giới hạn ấy được gọi là đạo hàm của hàm số u
→

theo hướng véc tơ l tại điểmM0 và được ký hiệu là
→

∂u

→

(M0 ).

∂ l
→

Trong trường hợp nếu véc tơ l trùng với véc tơ đơn vị i của trục Ox thì
Lim u(x0 +ρ,y0 ,z0ρ)−u(x0 ,y0 ,z0 ) =
ρ→0

∂u

→

∂ l

(M0 ) =

∂u(x0 )
.
∂x

Như vậy ta thấy rằng đạo hàm riêng

∂u
∂x

u theo hướng của trục Ox, Cũng vậy

của hàm u theo biến x là đạo hàm của hàm

∂u ∂u
;
∂y ∂z

là các đạo hàm của u theo hường của

các trục Oy, Oz.
→

Đạo hàm của hàm số u = u(x, y, z) theo hướng l biểu thị tốc độ biến thiên của
→

hàm u theo hướng l .

Định lý 1.1. Nếu hàm số u = u(x, y, z) khả vi tại điểm M0 (x0 , y0 , z0 ) thì tại điểm
→

ấy nó có đạo hàm theo hướng l và ta có:
∂u(M0 )
→

∂ l

=

∂u(M0 )
∂u(M0 )
∂u(M0 )
cos α +
cos β +
cos γ
∂x
∂y
∂z
→

Trong đó cos α, cos β, cos γ là ba thành phần của l .

14

Chương 1. Hàm số nhiều biến số
Chú ý 1. Hàm số u(x, y, z) là hàm số có các đạo hàm riêng tại M0 (x0 , y0 , z0 ), người
ta gọi Gradient của u tạiM0 (x0 , y0 , z0 ) là véc tơ có các thành phần :
∂u(M0 ) ∂u(M0 ) ∂u(M0 )
;
;
∂x
∂y
∂z
→

→ → →

và kí hiệu nó là: grad u(M0 ) . Nếu i , j , k là các véc tơ đơn vị của các trục
→

Ox, Oy, Oz, thì ta có grad u(M0 ) =

→
∂u(M0 ) →
∂u(M )
∂u(M ) →
i + ∂y 0 j + ∂z 0 k .
∂x

Định lý 1.2. Nếu hàm số u(x, y, z) khả vi tại mọi điểm M0 (x0 , y0 , z0 ) thì tại đó ta
có:
∂u

→

→

= ch→ grad u
l

∂ l

→

Ví dụ 11. Cho hàm u = x3 +y 3 +z 3 +3xyz. Tính grad u và

∂u

→

∂ l

tại điểm M0 (1, 2−1)

→

→

biết l là véc tơ đơn vị của M0 M1 với M1 (2, 01).
Giải: ta có ux = 3x2 + 3yz; uy = 3y 2 + 3xz; uz = 3z 2 + 3xy
Vậy ta có:
→

grad u =

∂u
∂x

→

→

→

→

→

→

j + ∂u
= (3x2 + 3yz) i + (3y 2 + 3xz) j + (3z 2 + 3xy) k
i + ∂u
∂y
∂z k

→

→

→

→

grad u(M0 ) = 3(− i +3 j +3 k )
(2 − 1)2 + (0 − 2)2 + (1 + 1)2 =

Ta có ρ =

∆x = 1 = ρ cos α;

∂u
(M0 )
∂l

=

∂u(M0 )
∂x

cos α +

9 = 3 hơn nữa ta có

∆y = −2 = ρ cos β;

Suy ra cos α = 13 ; cos β = − 23 ; cos γ =
Vậy

√

∂u(M0 )
∂y

∆z = 2 = ρ cos γ

2
3

cos β +

∂u(M0 )
∂z

cos γ = (−3) 13 + 9 − 23 + 9

2
3

=

−1.

1.3

Cực thị hàm nhiều biến

1.3.1

Cực trị không có điều kiện

1.3.1.1

Các định nghĩa

Định nghĩa 1.7. Hàm số z = f (x, y) gọi là đạt cực đại tại điểm M (x0 , y0 ) nếu tại

15


Chương 1. Hàm số nhiều biến số
mọi điểm M (x, y) nằm trong lân cận của điểm M0 (x0 , y0 ) thì ta luôn có f (x0 , y0 ) <
f (x, y).
Định nghĩa 1.8. Hàm số z = f (x, y) gọi là đạt cực tiểu tại điểm M (x0 , y0 ) nếu tại mọi
điểm M (x, y) nằm trong lân cận của điểm M (x0 , y0 ) thì ta luôn có f (x0 , y0 ) > f (x, y)
Giá trị cực đại, cực tiểu gọi chung là cực trị của hàm số. Điểm M mà tại đó hàm
số đạt cực trị gọi là điểm cực tri của hàm số.
Ví dụ 12. Hàm số z =
có f (0, 0) =

1
2

1
2

− sin(x2 + y 2 ) đạt cực đại tại điểm O(0, 0). Thật vậy ta

− sin(0 + 0) = 12 . Với mọi điểm M (x, y) nằm trong lân cậ của điểm

O(0, 0) ta đều có sin(x2 + y 2 ) > 0 do đó f (x, y) =

1

2

− sin(x2 + y 2 ) >

1
2

tức là gián

đoạn tại O(0, 0) lớn hơn mọi giá trị của hàm số trong lân cận của điểm O(0, 0).
1.3.1.2

Điều kiện ắt có để hàm số có cực trị.

Định lý 1.3. Nếu hàm số z = f (x, y) khả vi và đạt cực trị tại điểm M (x0 , y0 ) thì tại
đó cácđạo hàm riêng

∂f ∂f
;
∂x ∂y

đều triệt tiêu.

Chú ý 2. : định lí trên chỉ là điều kiện ắt có nhưng chưa phải là điều kiện đủ, nghĩa
là chỉ nói tại các điểm cực trị thì các đạo hàm riêng cấp một triệt tiêu, ngược lại tại
những điểm mà tại đó các đạo hàm riêng cấp một triệt tiêu thì chưa chắc đã có cực
trị. ( Điều này sẽ được nhắc trong các ví dụ ) Do đó khi tìm cực trị của một hàm
số thì ta đi tìm những điểm mà tại đó hàm số có các đạo hàm riêng cấp một triệt
tiêu. Những điểm mà tại đó hàm số có các đạo hàm riêng cấp một triệt tiêu được
gọi là các điểm dừng.

1.3.1.3

Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị

Để tiện trong việc khai triển định lí ta đặt

f x (M ) = p; f y (M ) = q; fx x(M ) = A; fx y(M ) = B; fy y(M ) = C
Định lý 1.4. Cho hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục
trong một lân cận nào đó của điểm M (x0 , y0 ). Giả sử rằng tại M (x0 , y0 ) ta có
f x (x0 , y0 ) = p = f y (x0 , y0 ) = q = 0. Khi đó tại M (x0 , y0 ) ta có:
1. Nếu B 2 − AC < 0thì hàm số z = f (x, y) đạt cực trị, đó là điểm cực đại nếu
A < 0 và là điểm cực tiểu nếu A > 0. 2. Nếu B 2 − AC > 0 thì hám số z = f (x, y)

16


Chương 1. Hàm số nhiều biến số
không đạt cực trị tại M0 (x0 , y0 ). 3. Nếu B 2 − AC = 0 thì hàm số z = f (x, y) có thể
đạt cực trị cũng có thể không đạt cực trị (trường hợp nghi ngờ).
Ví dụ 13. Tìm cực trị của hàm hai biến:
z = x3 + y 3 − 9xy
Giải. Ta có:


 3x2 − 9y = 0
 p = z = 3x2 − 9y = 0
x
⇔
 3y 2 − 9x = 0
 q = z = 3y 2 − 9x = 0

y



 3x2 − 9y = 0
 3x2 − 9y = 0
 y4 − 9y = 0
3
⇔
⇔
⇔
 3y 2 = 9x
 x = y2
 3y 2 − 9x = 0
3

 



 
 y(y 3 − 33 ) = 0


⇒
 
 3y 2 − 9x = 0




x=3
y=3
x=0
y=0

ta lại có A = zxx = 6x; B = zxy = −9; C = zyy = 6y
Vậy ta có hai ddiemr dừng đó là M1 (0, 0) và M2 (3, 3)
Tại M1 (0, 0) ta có B 2 − AC = (−9)2 − 0 = 81 > 0, vậy hàm số không có cực trị.
Tại M2 (3, 3) ta có B 2 − AC = (−9)2 − 18.18 = −243 < 0, vậy hàm số đạt cực trị và
đó là điểm cực tiểu vì A = 6.3 = 18, ta có zmin = 33 + 33 − 9.3.3 = −27.

1.3.2

Cực trị có điều kiện

1. Định nghĩa. Người ta gọi cực trị của hàm số z = f (x, y) trong đó x và y là các
biến bị rang buộc bởi hệ thức g(x, y) = 0 là cực trị có điều kiện.
2. Định lí (Điều kiện ắt có của cực trị có điều kiện)
Giả sử điểm M0 (x0 , y0 ) là điểm cực trị có điều kiện của hàm số f (x, y) với điều kiện
g(x, y) = 0. và giả sử:

• Ở lân cận của điểm M0 (x0 , y0 ) các hàm số f (x, y) và g(x, y) có các đọa hàm
riêng cấp một liên tục.
• Các đạo hàm riêng gx , gy không đồng thời bằng không tại điểm M0 (x0 , y0 ).
Khi đó tại M0 ta có:

17

Chương 1. Hàm số nhiều biến số

fx fy

=0

gx gy
Ví dụ 14. Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y 2 với điều kiện ax + by + c = 0
Giải:
Ta có

fx fy
gx gy

=0⇔

2x 2y
a

=0⇔

b

x
a

=

y
b

Hơn nữa ta lại có ax + by + c = 0 nên giải hệ phương trình


 x=y
 x = − ac
a
b
a2 +b2
⇒
 ax + by + c = 0
 y = − bc
a2 +b2

1.3.3

Cực trị của hàm nhiều biến

1.3.4

Cực trị không có điều kiện

Định nghĩa 1.9. Cho hàm số z = f (x, y) xác định trong miền D, là một điểm trong
của D. Ta nói rằng f (x, y) đạt cực trị tại M0 nếu với mọi điểm M (x, y) nằm trong
lân cận của điểm M0 nhưng khác M0 , hiệu số f (M ) − f (M0 ) có dấu không đổi. Nếu
f (M ) − f (M0 ) > 0, M0 là cực tiểu. Nếu f (M ) − f (M0 ) < 0, M0 là cực đại.
Giá trị cực đại, cực tiểu gọi chung là cực trị của hàm số. Điểm M0 mà tại đó hàm
số đạt cực trị gọi là điểm cực trị của hàm số.
1
Ví dụ 11. Hàm số z = f (x, y) = − sin(x2 + y 2 ) đạt cực đại tại điểm O(0, 0).

2
1
1
Thật vậy, ta có f (0, 0) = − sin(0 + 0) = .
2
2
Với mọi điểm M (x, y) nằm trong lân cận của điểm O(0, 0) ta đều có sin(x2 +y 2 ) > 0.
1
1
Do đó f (x, y) = − sin(x2 + y 2 ) < , tức là giá trị của hàm số tại điểm O(0, 0) lớn
2
2
hơn mọi giá trị của hàm số trong lân cận của điểm O(0, 0).
Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Định lý 1.5. Nếu hàm số z = f (x, y) khả vi và đạt cực trị tại điểm M0 (x0 , y0 ) thì
∂f ∂f
tại đó các đạo hàm riêng
,
bằng không.
∂x ∂y
Chứng minh: Vì f đạt cực trị tại M0 nên nếu giữ y = y0 thì hàm số một biến số
x −→ f (x, y0 ) đạt cực trị tại x = x0 , vì đạo hàm riêng fx (x0 , y0 ) tồn tại, nó phải
bằng không theo định lý Fermat. Tương tự vậy fy (x0 , y0 ) = 0.

18


Chương 1. Hàm số nhiều biến số
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần nhưng chưa phải điều kiện đủ, nghĩa là
chỉ nói tại các điểm cực trị thì các đạo hàm riêng cấp một bằng không, ngược lại

những điểm mà tại đó các đạo hàm riêng cấp một bằng không thì chưa chắc đã có
cực trị (điều này sẽ được nhắc trong phần ví dụ). Do đó khi đi tìm cực trị của một
hàm số thì ta đi tìm những điểm mà tại đó hàm số có các đạo hàm riêng cấp một
triệt tiêu. Những điểm đó được gọi là các điểm dừng .
Điều kiện cần và đủ dể hàm số đạt cực trị:
Để cho tiện trong việc phát biểu định lý ta đặt:
fx (M ) = p; fy (M ) = q; fx2 (M ) = A; fxy (M ) = B; fy2 (M ) = C
Định lý 1.6. Cho hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục
trong một lân cận nào đó của điểm M0 (x0 , y0 ). Giả sử rằng tại M0 ta có p = q = 0.
Khi đó tại M0 :
1) Nếu B 2 − AC < 0 thì hàm số z = f(x, y) đạt cực trị tại M0 . Đó là điểm cực đại
nếu A < 0 và là điểm cực tiểu nếu A > 0.
2) Nếu B 2 − AC > 0 thì hàm số z = f(x, y) không đạt cực trị tại M0 .
3) Nếu B 2 − AC = 0 thì hàm số z = f(x, y) có thể đạt cực trị cũng có thể không đạt
cực trị (trường hợp nghi ngờ).
Chứng minh:
Giả sử điểm M (x0 + h, y0 + k) ở lân cận điểm M0 . Đặt ∆ = f (M ) − f (M0 ).
Khai triển công thức taylor đến số hạng cấp hai ta có:
∆ = df (x0 , y0 ) +

1 2
d f (x0 , y0 ) + R(h, k)
2!

Vì tại M0 : p = fx (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) = 0, nên df (x0 , y0 ) = 0, và
d2 f (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )d2 x+fy (x0 , y0 )d2 y+fx2 (x0 , y0 )dx2 +2fxy (x0 , y0 )dxdy+fy2 (x0 , y0 )dy 2 =
fx2 dx2 + 2fxy dxdy + fy2 dy 2 = Ah2 + 2Bhk + Ck 2
Suy ra,
1
∆ = (Ah2 + 2Bhk + Ck 2 ) + R(h, k)

2
trong đó, R(h, k) là một VCB bậc ba đối với ρ =

(h2 + k 2 ).

Do đó, khi h, k khá nhỏ thì ∆ cùng dấu với g(h, k) = Ah2 + 2Bhk + Ck 2 .
h
h
Nếu k = 0, g(h, k) = k 2 [A( )2 + 2B + C].
k
k
h
2
2
Đặt t = , ta được g(h, k) = k [At + 2Bt + C] = k 2 [R(t)]
k

19


Chương 1. Hàm số nhiều biến số
* Nếu B 2 − AC < 0, thì R(t) luôn cùng dấu với A, do đó, ∆ cùng dấu với A:
+ Nếu A < 0 thì ∆ < 0, M0 là cực đại.
+ Nếu A > 0 thì ∆ > 0, M0 là cực tiểu.
* Nếu B 2 − AC > 0, thì R(t) đổi dấu khi A biến thiên, do đó, ∆ đổi dấu. Vậy f
không đạt cực trị tại M0 .
* Nếu B 2 − AC = 0, thì tam thức R(t) có một nghiệm kép t0 , dấu của ∆ là dấu của
VCB bậc ba R(h, k). Điều này ta không làm ở đây.
Ví dụ 12. Tìm cực trị của hàm hai biến:
z = x3 + y 3 − 9xy

Giải: Ta có:


p = zx = 3x2 − 9y = 0

q

⇔



x = 0

y = 0

= zy = 3y 2 − 9x = 0

hoặc



x = 3

⇔



3x2 − 9y

=0


3y 2

= 9x

⇔



3x2 − 9y

x

=0
y2
=
3

.


y = 3

Vậy ta có 2 điểm dừng là M1 (0, 0), M2 (3, 3).
Mặt khác, ta lại có A = zx2 = 6x, B = zxy = −9, C = zy2 = 6y.
Tại M1 (0, 0): B 2 − AC = (−9)2 − 0 = 81 > 0, vậy M1 không là cực trị của hàm số.
Tại M1 (3, 3): B 2 −AC = (−9)2 −18×18 = −243 < 0, vậy M1 là cực trị của hàm số và
đó là điểm cực tiểu vì A = 63 = 18 > 0. Khi đó ta có zmin = 33 +33 −9×3×3 = −27.

1.3.5

Cực trị có điều kiện

Định nghĩa 1.10. Người ta gọi cực trị của hàm số
z = f (x, y)

(1.10)

trong đó x và y là các biến bị ràng buộc bởi hệ thức
g(x, y) = 0
là cực trị có điều kiện.

20

(1.11)


Chương 1. Hàm số nhiều biến số
Định lý 1.7. (Điều kiện cần của cực trị có điều kiện).
Giả sử điểm M0 (x0 , y0 ) là điểm cực trị có điều kiện của hàm số f (x, y) với điều kiện
g(x, y) = 0, và :
1) Ở lân cận của điểm M0 (x0 , y0 ) các hàm số f (x, y), g(x, y) có các đạo hàm riêng
cấp một liên tục.
2) Các đạo hàm riêng gx , gy không đồng thời bằng không tại điểm M0 (x0 , y0 ). Khi
đó, tại M0 ta có:
fx fy

= 0.

(1.12)

gx gy
Chứng minh:
Hiển nhiên ta có g(x0 , y0 ) = 0.
Từ giả thiết 2) có thể xem gy (x0 , y0 ) = 0. Theo định lý về hàm ẩn, từ hệ thức (1.11)
xác định một hàm ẩn y = y(x) khả vi ở lân cận x0 .
Thế y = y(x) vào (1.10) ta được hàm một biến:
x → f (x, y(x))
đạt cực trị tại x = x0 .
Do đó, fx (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) = 0
Hay
fx (x0 , y0 )dx + fy (x0 , y0 )dy = 0

(1.13)

Mặt khác, lấy vi phân hai vế của (1.11) ta được:
gx (x0 , y0 )dx + gy (x0 , y0 )dy = 0

(1.14)

Xem hệ (1.13), (1.14) là hệ hai phương trình tuyến tính thuần nhất đối với dx, dy,
hệ ấy có nghiệm không tầm thường. Vậy định thức của nó bằng không:
fx fy

=0

gx gy
Đây là hệ thức (1.12)cần chứng minh.
Hệ thức (1.12) cùng với điều kiện (1.11) cho phép ta xác định M0 (x0 , y0 ).

Ví dụ 13. Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y 2 với điều kiện x + 2y + 3 = 0.
Giải: Ta có
fx fy
gx gy

=0⇔

2x 2y
1

21

2

= 0 ⇔ y = 2x