Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh phú thọ năm học 2016 2017(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
Môn: TOÁN

PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi có 03 trang)

Thí sinh làm bài (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) ra tờ giấy thi.
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm)
5  3x

Câu 1.

6  x2  x

5
5
C. x  3
 x  2.
x  2. D. 3  x  .
3
3
x x  4 x  4 x  45
x 2
( x  0; x  25 ).
Q


x  2 x  15
x 3
Q.
7
B. .
C. 2.
D. 3.
3
p ẳ
Oxy
ườ
ẳ (d): y   2m  3 x  4m  3
h
O ế ườ
ẳ (d
rị
h.
B. 13.
C. 15.
D. 5.
p ẳ
Oxy
A  2;3 ; B  4; 4  ; C  5; 1

A. 3  x  2 .
Câu 2.
rị
2
A. .

3
Câu 3. rê
ả
ừ
A. 2 3.
Câu 4. rê
ABC .
A. 30,5.
Câu 5. rê

B.

B. 28,5.
p ẳ

Oxy

C. 42.
ườ

ẳ

D. 38.
2
1
2
 d1  : x  y  ;
3
2
3

1
1
m
ườ
ẳ
x  ;  d3  :  2m  3 x  3my  0 .
3
2
1
2
1
3
.
.
A.
B. .
C. .
D.
2
2
2
3
y  2  m  2  x  5m  16
Câu 6. Cho Parabol (P): y  x 2 v ườ
ẳ (d
p ươ
r
rị
m (d ô ắ (P)

2
p
v
p
r tung.
16
16
A. m  .
B. 3  m  .
5
5
16
16
C. m  4
D. m  .
m .
5
5
2
x  9 y 2  4 x  7  2 y  3x  7  sao cho y0
Câu 7.
p ươ
r
 x0 ; y0 
x0  y0 .
rị
5
3
.
.

A. 4 .
B.
C.
D. 5 .
2
2
x1 ; x2
Câu 8.
m
p ươ
r
x2  (m  4) x  m  3  0

 d2  : y 

v ô
A. m  8
C. m  8 .

v ô

m2 .

26 .
B. m  2 .
D. m  8

m  2 .

Trang 1/3

Câu 9.

BC+DC.
DBC  DAB
A. 17 (cm) .
B. 19 (cm).
Câu 10. Cho tam giác ABC v ô
A
A.

AB  2,5 cm; AD  3,5 cm; BD  5 cm và

ABCD (AB//CD

1
AB



1
AC



3
AD

.

B.

1
AB



1
AC



C. 20 (cm).
D. 22 (cm).
ườ p
AD,  D  BC  ẳ
2

AD

.

C.

1
AB



1
AC



1
AD

ABC có BAC  300

Câu 11.

 D  AC; E  AB 

S; S '

D.

1
AB



ườ

ABC, ADE .

ư

.

1
AC



2
AD

.

BD, CE
S'
S

.

3
1
1
3
B. .
C. .
D.
.
.
2
4
4
2

Câu 12. Cho tam giác ABC v ô
A. K AH  BC , HD  AB, HE  AC
 H  BC, D  AB, E  AC  ẳ
A. AD. AB  AE. AC.
B. BD.BA  CE.CA.
C. AD.DB  AE.EC  AH .
D. BD.BA  AH .
Câu 13. Cho t
ABC có ABC  ACB ,
ườ
AH r
ế AM
 M , H  BC  . ẳ
cot C - cot B
cot B - cot C
.
A. tan HAM 
B. tan HAM 
.
2
2
tan C - tan B
cos C - cos B
C. tan HAM 
D. tan HAM 
.
.
2
2
Câu 14.

ườ
rò
O ườ
AB =2R . G M, N
ư
r
OA, OB. Qua M
CD, qua N
dây cung EF sao cho CD//EF (C, F cùng
ử ườ
rò ườ
AB) và CMO  300
CDEF theo R.
2
2
2
R 15
R 13
R 15
3R 2 15
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
8
4

4
8
Câu 15.
ườ
rò
O ườ
AB=2R.
M
tia AB, qua
M
ếp
ế MC v
ườ
rò (O) ( C
ếp
CH v ô
v AB  H  AB 
ế MA  a; MC  3a (a  0).
CH theo a.
12a
9a
8a
14a
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
5
5
5
5
Câu 16.
ả
vị r A
ờ
(
ườ
ẳ
ả
AH  3 (km)
ườ
ả
ừ vị r A r v vị r B trê ờ
(HB = 24
(km)),
v v
3 (km/h)
vị r M rê ờ (M
Hv B
ừM
e ờ
ế Bv v
p
v
.
ế

ờ
ừ A v ế B ế 3 ờ 20 p
ả
MB ?
A.

2

2

A
3km

H

M

B
HB=24km

A. 12 (km).

B. 16 (km).

C. 18 (km) .

D. 20 (km).
Trang 2/3

B. PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm)
ươ

ab  bc  ca  1

a, b, c

r

a b bc c a


0.
1  c2 1  a 2 1  b2
ế a.b  3 thì

r

b)

p ươ

(b3  b) x  b2 y  b4  1  0 (a,b

sau: (a3  a) x  a 2 y  a 4  1  0;

r
ô

ê

Câu 2 (3,5 điểm)
a) Giả p ươ
b)

ả

2 x  3  x  1  1.

r

p ươ

Câu 3 (4,0 điểm).

3
2
2
2

 x  x y  3x  5 xy  y  4 x  y
.

3
x

y

1


x

1.



r
ườ

rò (O; R) v

ị

A

ườ
rò (O; R) và ( A; R) ; H
tròn ( A; R)
ườ
ẳ
H và vuông góc v
HI  AB ( I  AB), HK  AC ( K  AC ) .
r

IK

ô v ô

rị

Câu 4 (1,5 điểm).

ươ

v
ườ
AIK khi H

rê (O; R)
rê
AH ắ
ẳ

MN
(O; R)

ị

a  b  c  1.

a, b, c

M, N là các giao
ườ
B, C K

và AB. AC  2R 2 .
rị

P  2(a2b  b2c  c2a)  (a 2  b2  c2 )  4abc.

HẾ
Họ và tên thí sinh: ................................................................... SBD: ..................
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Trang 3/3


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC

I.
p

-

Hư

Một số chú ý khi chấm bài
ư
ự v
ờ
ê
r
ờ ả

e

ươ
-

v

v

ẫ

05 trang

ả ơ ư

K
ế

p

ả
ế 0 25

v

p

p
ô

rò

II.
Đáp án – thang điểm
1. Phần trắc nghiệm khách quan
Câu 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
Đáp
A,
án
D C B B A D A B A B A
A C A D
C
đúng
Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
2. Phần tự luận
Nội dung

Điểm

Câu 1. (3,0 điểm)
ươ

ab  bc  ca  1

a, b, c

r

a b bc c a


0
1  c2 1  a 2 1  b2

1,5

Ta có 1  a 2  ab  bc  ca  a 2  (a  b)(a  c).
ươ
ự
2
1  b  ab  bc  ca  b 2  (b  a)(b  c);

0,25
0,25

1  c  ab  bc  ca  c  (c  a)(c  b).
a b
a b
1
1




Suy ra
.
2
1 c
(c  a)(c  b) c  b c  a
bc
bc
1
1



;
2
1 a
(a  b)(a  c) a  c a  b
ca
ca
1
1



.
2
1 b
(b  a)(b  c) b  a b  c
a b bc c a
1

1
1
1
1
1
V








 0.
2
2
2
1 c 1 a 1 b
cb ca ac ab ba bc
r
ế a.b  3
p ươ
r : (a3  a) x  a 2 y  a 4  1  0 (1);
2

2

(b3  b) x  b2 y  b4  1  0 (2) (a,b
ả ử (1 v (2

ê

ô

ê

( x0 ; y0 ) , ta có

(a3  a) x0  a 2 y0  a 4  1  0 (3) ; (b3  b) x0  b2 y0  b4  1  0 (4)

0,25

0,25

0,5

1,5

0,25
Trang 4/3


Vì a, b  0 ta có
(3)  a 4  x0 a 3  y0 a 2  x0 a  1  0

Nội dung

Điểm

2

1  
1
1
1



  a 2  2    a   x0  y0  0   a    x0  a    y0  2  0;
a  
a
a
a



4
3
2
(4)  b  x0b  y0b  x0b  1  0

0,25

2

1 
1
1
1




  b 2  2    b   x0  y0  0   b    x0  b    y0  2  0.
b  
b
b
b



1
1
Suy ra t1  a  ; t2  b 
p ươ
r
(ẩ t)
a
b
t 2  x0t  y0  2  0 .
e ị
Ve:
1
1

ab

a



b

  x0
ab
  x0


a
b

ab


1
1



 a   b    y0  2
 a  b  ab  1  y  2.
0
 b a
a 
b
ab

Vì a.b  3 nên
9 2
3
 2


2
9 2
 2
a

b

2
ab

x0
a

b


x
2
0




a  b  x0  6
16
4
16




a
b
16
16
  y 
a 2  b 2  ab( y  ) a 2  b 2  3 y  16.
0
0
0



b
a
3
3


9 2
Suy ra
vô v V (4
x0  6  3 y0  16  9 x02  48 y0  160 (4)
16
3 ư V (4
ô
ế
3
V
ế a.b  3

p ươ
r
(1 (2
ô
ê

0,25

0,25

ế
0,5

Câu 2 (3,5 điểm)
ả p ươ
r
: x  1.

2 x  3  x  1  1 (1)

2,0
0,5

Ta có:

(1)  2 x  3  x  1  1
 2x  3  x  2  2 x  1

0,5

 2 x 1  x 1
 x  1

2
4( x  1)  x  2 x  1
 x  1
 2
x  2x  3  0

0,5

Trang 5/3


Nội dung

V

x  3
.

 x  1
p ươ
r

ả

b)

p ươ

Điểm
0,5

: x  1; x  3 .
3
2
2
2

 x  x y  3x  5 xy  y  4 x  y (1)
.

3
x

y

1

x

1
(2)



r

1,5

x  0; y  1. Ta có:
(1)  y  ( x 2  5 x  1) y  ( x3  3x 2  4 x)  0
2

 ( y  x  1)( y  x 2  4 x)  0

0,25

 y  x  4x

 y  x 1  0
ừ (2)  3 x  y  1  x  1  1  x  0  y  x  1  0 y  x  1  0 .
V
(1)  y  x 2  4 x .
2

Thay y  x 2  4 x vào (1) ta có 3 x  x 2  4 x  1  x  1 (3) .
Vì x  0 ô
(3 ê
1
1
(3)  x 
 x 4 3
x
x
1
1
r
rê r

t x
(t  2)  x   t 2  2 P ươ
x
x
t  3
5
t  t2  6  3  t2  6  3  t   2
t 
2
2
t  6  (3  t )

0,25

0,25

:
0,25

x  4
1 25
17
2
Suy ra x  
.
 2  x  x 1  0  
x  1
x 4
4
4



ừ
Câu 3.

r

p ươ
ườ

r

rò (O; R) v

A

ị

rò (O; R) và ( A; R) ; H
ườ
rò ( A; R) ườ
ẳ
Hv v ô
HI  AB ( I  AB), HK  AC ( K  AC ) .

0,25

1 15
: (4;0);( ;
).

4 16
rê (O; R)
M, N là các giao

ườ

v

rê
AH ắ (O; R)

MN
B, C K

0,25

4,0

Trang 6/3


Nội dung

Điểm

N

A
K
J

t

O

I

C

M
H

B

A'

r

IK

ô

v ô

v

ườ

ẳ

ị

v

AB. AC  2 R .
2

Ta có AIH  900 ; AKH  900 . Vì AIH  AKH  1800 ê
K ếp
ế At
ườ
rò (O; R)
A.
0

 ACB  HAC  90

Ta có: 


 AHK  HAC  90

: AHK  AIK (

0

AIHK

AO và IK; A’



ếp (2
0,5

x

v
v



ườ
ẳ
A qua O.

ị

Ta có: ACH  AA ' B AHC  ABA '  900 ; ACH  AA ' B .


AC AH

 AB. AC  AH . AA '  2 R. AH  2 R 2 .
AA ' AB
rị
AIK khi H

Ta có AKH  AHC 

S, S '
Ta có AIK

ư
ACB 

0,5
0,5

 ACB  AHK (1)

1
AB ) (3).
BAt  ACB ( ù
2
ừ (1 (2 (3
r : BAt  AIK  At IK .
OA  At  IK  OA . V IK ô v ô

J

ếp

AIHK

2,5

AK AH

 AK . AC  AH 2 .

AH AC

OA.

0,5
0,25
0,25
1,5
0,25

ABC và AIK.
AI AK IK
AJ
, suy ra:



AC AB BC AH

1
2
2
AJ .IK
S' 2
AJ IK  AK   AK . AC 
AH 4
AH 2 1


.





 .
 

S 1 AH .BC AH BC  AB   AB. AC   AH .2 R 2 4 R 2 4
2
1
1
R
R
R2
Suy ra S '  .S  AH .BC  .BC  .2R 
.
4
8
8
8
4
R2
H  O.
V
rị
AIK
4

0,25

0,5

0,25
0,25
Trang 7/3


Câu 4.

ươ

a, b, c

Nội dung
a  b  c  1.

Điểm
rị
1,5

P  2(a 2b  b2c  c2a)  (a 2  b2  c2 )  4abc .

Ta có:
ab  bc  ca  (a  b  c)(ab  bc  ca)  (a 2b  b 2c  c 2a)  (ab 2  bc 2  ca 2 )  3abc
Suy ra
a 2  b 2  c 2  (a  b  c)2  2(ab  bc  ca)  1  2(ab  bc  ca)

0,25

 1  2 (a 2b  b 2c  c 2 a)  (ab 2  bc 2  ca 2 )  3abc 

D
:
P  2(a 2b  b 2c  c 2 a)  1  2 (a 2b  b 2c  c 2a)  (ab 2  bc 2  ca 2 )  3abc   4abc

0,25

 1  2(ab 2  bc 2  ca 2  abc)
K ô
ả ử abc.
Suy ra
a(a  b)(b  c)  0  (a 2  ab)(b  c)  0

0,25

 a 2b  a 2c  ab2  abc  0  ab2  ca 2  a 2b  abc
D
ab2  bc2  ca 2  abc  (ab2  ca 2 )  bc 2  abc  (a 2b  abc)  bc 2  abc  b(a  c )2
V
ươ x, y, z ta luôn có:
2
2
2
1
x  y  x  3 3 xyz  3 x  3 y  3 z  3 x  3 y  3 y  3 z  3 z  3 x   0


2





 

 

 x yz
Suy ra x  y  z  3 xyz  xyz  
 (*)
3


D
xả r
v
x yz.
Áp
ẳ
(*

0,25



3

3

0,25

ac ac 

3
b



4
 a  c  a  c 
 abc
2
2
2
b(a  c)  4b 
  4

  4
 
3
3
 2  2 

 27




4 19
Suy ra P  1  2(ab2  bc 2  ca 2  abc)  1  2b(a  c)2  1  2. 
27 27

19
1
V MinP 
.P
rị
abc .
27
3
3

0,25

……… Hế ………

Trang 8/3