TÍNH ổn ĐỊNH của hệ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG học NGẪU NHIÊN TRÊN THANG THỜI GIAN TT

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ ANH TUẤN

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ĐỘNG HỌC NGẪU NHIÊN TRÊN THANG THỜI GIAN

Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
Mã số: 62.46.01.06

DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2017


Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
- Đại học Quốc gia Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. NGUYỄN HỮU DƯ
Phản biện 1:........................
Phản biện 2:........................
Phản biện 3:........................

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm
luận án tiến sĩ họp tại :
vào hồi

giờ

ngày

tháng

năm 20 ...

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội


Tóm tắt
Lý thuyết giải tích trên thang thời gian được đưa ra lần đầu tiên năm 1988 bởi
S. Hilger (xem [29]) nhằm thống nhất các kết quả cho giải tích đối với thời gian liên
tục cũng như thời gian rời rạc, đồng thời xây dựng mô hình toán học cho các hệ thống
tiến triển không đều theo thời gian, phản ánh đúng các mô hình thực tế. Từ khi ra
đời, lý thuyết này đã nhận được sự chú ý của nhiều nhóm nghiên cứu và đã có hàng
ngàn công trình nghiên cứu liên quan đến giải tích trên thang thời gian. Một trong
những bài toán quan trọng của giải tích trên thang thời gian là nghiên cứu tính chất
định tính và định lượng của phương trình động lực như là các bài toán về tồn tại duy
nhất nghiệm, các phương pháp giải số nghiệm và các bài toán ổn định...
Tuy nhiên, cho đến nay, các kết quả nghiên cứu về giải tích trên thang thời gian
tập trung chủ yếu ở giải tích tất định, tức là các phương trình động lực không có sự
tham gia của các yếu tố ngẫu nhiên. Vì thế các kết quả này chỉ mô tả được các mô
hình phát triển trong các điều kiện môi trường không bị nhiễu nhiễu. Hiển nhiên, các
mô hình như thế là không thực tế và ta phải tính đến các yếu tố ngẫu nhiên tác động
vào môi trường. Do đó, việc chuyển các kết quả về giải tích của các mô hình tất định
trên thang thời gian sang mô hình ngẫu nhiên trên thang thời gian là một nhu cầu
cấp thiết.
Theo chúng tôi được biết, gần như chưa có kết quả nào đáng kể về nghiên cứu
giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian, đặc biệt các kết quả liên quan đến lý thuyết

ổn định của các phương trình động lực và phương trình động lực có trễ. Các kết quả
ban đầu về thang thời gian và giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian được đề cập
trong [15, 16, 46, 47, 49, 68, ...].
Với các lý do nên trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là “Tính ổn
định của hệ phương trình động học ngẫu nhiên trên thang thời gian”.
Trong luận án chúng tôi sẽ đề cập đến những vấn đề sau:
• Nghiên cứu tính tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình động lực có trễ trên
thang thời gian theo đạo hàm ∇: đưa ra khái niệm phương trình ∇-động lực ngẫu
nhiên có trễ, nghiệm của phương trình, phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn
tại và duy nhất nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ trên thang
thời gian. Chúng tôi cũng đưa ra những ước lượng moment của ước lượng nghiệm
của phương trình động lực ngẫu nhiên và phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ
1


trên thang thời gian.
• Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên và
phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian bằng phương pháp
hàm Lyapunov.
Nếu như giải tích ngẫu nhiên với thời gian liên tục là chủ đề khó vì đòi hỏi nhiều
kiến thức cơ sở liên quan đến lý thuyết quá trình Markov, lý thuyết martingle thì
nghiên cứu hệ động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian khó hơn nhiều vì cấu trúc của
môt thang thời gian rất đa dạng. Điều này khiến cho các tính toán khá phức tạp và
chúng cần một số cải tiến. Bên cạnh đó, một số ước lượng của tính toán ngẫu nhiên
cho thời gian liên tục không tự động đúng trên thang thời gian tùy ý đòi hỏi phải có
các kỹ thuật phù hợp để có thể nhận được kết quả tương tự.

2

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Ở phần đầu của chương này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản về lý thuyết
thang thời gian. Định nghĩa ∇−đạo hàm và ∇−tích phân của một hàm xác định trên
thang thời gian. Những kết quả cho ∆-đạo hàm và ∆-tích phân sẽ không được giới
thiệu trong luận án này, nhưng ta có thể tìm thấy trong nhiều cuốn sách, ví dụ như
[6, ...].
Ở phần cuối của chương này, chúng tôi giới thiệu lý thuyết về giải tích ngẫu
nhiên trên thang thời gian, các khái niệm này dựa trên các khái niệm cơ bản về giải
tích ngẫu nhiên thông thường mà ta đã biết. Cụ thể chúng tôi giới thiệu về các khái
niệm của quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian: quá trình khả đoán, martingale,
semimartingale, thời điểm dừng, khai triển Doob-Meyer; ∇−tích phân ngẫu nhiên trên
thang thời gian; công thức Itô và ứng dụng của công thức Itô để phát biểu bài toán
martingale; đặc biệt là đưa ra công thức của hàm Lyapunov:
LV (t, x) = V ∇t (t, x) + AV (t, x)
d

=V

∇t

(t, x) +
i=1

1
+
2

i,j

∂V (t, x)
(1 − 1I (t))fi (t) + V (t, x + f (t)ν(t)) − V (t, x) Φ(t)
∂xi

∂ 2 V (t, x)
gi (t)gj (t)Ktc −
∂xi xj

d

i=1

∂V (t, x)
gi (t)
∂xi

uΥ(t, du)
R

(V t, x + f (t)ν(t) + g(t)u − V (t, x + f (t)ν(t)))Υ(t, du), ,

+
R


0
với f = (f1 , f2 , · · · , fd ); g = (g1 , g2 , · · · , gd ) và Φ(t) =
 1

ν(t)

nếu t trù mật trái
nếu t rời rạc trái.

Các kiến thức này được dùng để làm cơ sở cho các chương sau.

3

(1.1)


Chương 2

∇-Phương trình động lực ngẫu nhiên
Gần đây, một công thức để thống nhất các phương trình chuyển động trong các
trường hợp liên tục và rời rạc trên thang thời gian đã nhận được nhiều sự quan tâm.
Đó chính là phương trình động lực trên thang thời gian. Đối với trường hợp tất định,
trong [12], tác giả sử dụng hàm Lyapunov ở dạng bậc hai để nghiên cứu sự ổn định
của phương trình động lực tuyến tính; J. Hoffacker và C.C Tisdell kiểm tra tính ổn
định và tính không ổn định của điểm cân bằng của phương trình động lực phi tuyến
tính [30].
Trong khi sự ổn định của các phương trình tất định trên thang thời gian đã được
nghiên cứu từ lâu, thì theo chúng tôi biết, không có nhiều các bài giảng cho trường hợp
ngẫu nhiên và cũng chưa có công trình nào giải quyết về vấn đề ổn định của phương
trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian.
Mục đích của chương này là chúng tôi dùng hàm Lyapunov để xét sự tồn tại
nghiệm; tính hữu hạn của ước lượng moment của ước lượng nghiệm và chúng tôi cũng
dùng hàm Lyapunonv để xét điều kiện cần và đủ cho tính p-ổn định mũ của phương
trình ∇-động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian T


d∇ X(t) = f (t, X(t ))d∇ t + g(t, X(t ))d∇ M (t)
−
−
X(a) = xa ∈ Rd , t ∈ Ta ,

(2.1)

với M ∈ M2 và xa là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong Rd , Fa − phù hợp, và
E xa

2

< ∞. Trong đó f : Ta × Rd → Rd và g : Ta × Rd → Rd là hai hàm Borel. Và
t

M

t

Kτ ∇τ,

=

(2.2)

a

trong đó Kt là quá trình bị chặn Ft − phù hợp, tức là tồn tại hằng số N sao cho
P{ sup |Kt |

a t T

4

N } = 1.

(2.3)


Sau đó, chúng tôi xét sự ổn định ngẫu nhiên và ổn định mũ hầu chắc chắn của ∇phương trình động lực ngẫu nhiên (2.1). Công việc này có thể được xem như là một
sự thống nhất và khái quát hoá các công việc liên quan đến phương trình sai phân và
phương trình vi phân.

2.1

Sự tồn tại nghiệm và tính hữu hạn của moment của phương trình
động lực ngẫu nhiên

2.1.1.

Nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên

Định nghĩa 2.1.1 ([16]). Một quá trình ngẫu nhiên {X(t)}t∈[a,T ] nhận giá trị trong
Rd − được gọi là một nghiệm của phương trình (2.1) nếu
(i) {X(t)} là quá trình Ft − phù hợp;
(ii) f (·, X(·− )) ∈ L1 ((a, T ]; Rd ) và g(·, X(·− )) ∈ L2 ((a, T ]; M );
(ii) Phương trình
t

X(t) = xa +

t

g(τ, X(τ− ))∇Mτ , ∀ t ∈ [a, T ],

f (τ, X(τ− ))∇τ +
a

(2.4)

a

được thỏa mãn với xác suất 1.
Phương trình (2.1) được gọi là có duy nhất nghiệm trên [a, T ] nếu X(t) và X(t)
là hai quá trình thỏa mãn (2.4) thì
P {X(t) = X(t) ∀ t ∈ [a, T ]} = 1.
Ta có

t
a g(τ, X(τ− ))∇Mτ

là Ft −martingale nên nó có bản sao cadlag . Vì vậy, nếu

X(t) thỏa mãn (2.4) thì X(t) là cadlag. Hơn nữa, nếu Mt là rd− liên tục, thì X(t)
cũng là rd− liên tục.
2.1.2.

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Định lý 2.1.2 ([16]). Giả sử tồn tại hai hằng số dương K và G sao cho

(i) (Điều kiện Lipschitz) với mọi x, y ∈ Rd và t ∈ [a, T ]
f (t, x) − f (t, y)

2

∨ g(t, x) − g(t, y)

2

K x − y 2;

(2.5)

(ii) (Điều kiện tăng tuyến tính) với mọi (t, x) ∈ [a, T ] × Rd
f (t, x)

2

∨ g(t, x)
5

2

G(1 + x 2 ).

(2.6)


Khi đó, phương trình (2.1)có nghiệm duy nhất X(t) và nghiệm này là semimartingale
bình phương khả tích.

2.2

Tính Markov của nghiệm
Giả sử martingale Mt là một quá trình Markov, nhận giá trị trong R, với hàm

xác suất chuyển P (s, x, t, A). Với tất cả các giả thiết trong mục 2.1 được giữ nguyên.
Bổ đề 2.2.1 ([16]). Giả sử Mt là một quá trình Ft −Markov, V (x, ω) là một hàm vô
hướng đối với x, bị chặn, đo được, độc lập có điều kiện với Fs khi Ms đã biết. Với ζ là
một biến ngẫu nhiên Fs -đo được. Khi đó
E(V (ζ, ω)|Fs ) = V (ζ),

(2.7)

trong đó V (x) = E(V (x, ω)|Ms ).
Định lý 2.2.2 ([16]). Giả sử X(t) = X(t, a, xa ) là nghiệm của phương trình động lực
ngẫu nhiên (2.1) với điều kiện ban đầu X(a) = xa . Khi đó, (X(t), Mt ) là một quá trình
Ft −Markov.

2.3

Điều kiện Lipschitz địa phương về sự tồn tại và duy nhất nghiệm
của phương trình động lực ngẫu nhiên

Định lý 2.3.1 ([17]). Giả sử rằng với bất kỳ k > 0 và T > a, có một hằng số LT,k > 0
sao cho
f (t, x) − f (t, y)

2

∨ g(t, x) − g(t, y)

với ∀ x, y ∈ Rd thỏa mãn x ∨ y

2

LT,k x − y 2 ,

(2.8)

k và t ∈ [a, T ]. Hơn nữa, nếu tồn tại hằng số

dương c = c(T ); b = b(T ) và một hàm không âm V ∈ C 1,2 ([a, T ] × Rd ; R+ ) thỏa mãn
V ∇t (t, x) + AV (t, x)
và lim

cV (t− , x) + b, ∀ (t, x) ∈ [a, T ] × Rd ,

(2.9)

inf V (t, x) = ∞. Khi đó, phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất Xa,xa (t)

x →∞ t∈[a,T ]

xác định trên Ta .
Đặc biệt, nếu tồn tại một hằng số dương c1 = c1 (T ) sao cho
c1 x

p

E Xa,xa (t)

p

thì

V (t, x),

(t, x) ∈ [a, T ] × Rd ,

1
b
(V (a, xa ) + )ec (t, a),
c1
c
6

t ∈ [a, T ].

(2.10)


Hệ quả 2.3.2. Giả sử rằng các điều kiện (2.2); (2.3) và (2.8) xảy ra và điều kiện tăng
tuyến tính
2

f (t, x)

2

∨ g(t, x)

G(1 + x 2 ) ∀ (t, x) ∈ [a, T ] × Rd ,
R |u|Υ(t, du)

được thỏa mãn. Hơn nữa, ta giả sử rằng

(2.11)

m1 h.c.c., với m1 là hằng số.

Thì, phương trình (2.1) có duy nhất nghiệm Xa,xa (t) xác định trên Ta và thỏa mãn
E Xa,xa (t)

2

(1 + xa 2 )ec (t, a),

trong đó c là hằng số.

2.4

Tính hữu hạn của moment

Định lý 2.4.1. Giả sử rằng điều kiện tăng tuyến tính (2.11) và các điều kiện (2.2),
(2.3) được thỏa mãn. Hơn nữa, có hai hằng số m1 , mp sao cho
|u|Υ(t, du)

|u|p Υ(t, du)

m1 ,

R

mp , ∀ t ∈ [a, T ]

(2.12)

R

h.c.c.. Khi đó, nghiệm Xa,xa (t) của phương trình (2.1) xuất phát từ xa thỏa mãn ước
lượng
E Xa,xa (t)

p

( xa

p

+ 1)eH (t, a),

a

t

T

(2.13)

với H là hằng số.

2.5

p - ổn định mũ của phương trình động lực ngẫu nhiên
Xuyên suốt chương này chúng tôi giả sử phương trình (2.1) có một nghiệm duy

nhất xác định trên Ta . Cho quá trình Kt bị chặn trên Ta , tức là, có hằng số N thỏa
a; xs ∈ Rd , nghiệm

mãn (2.3) không phụ thuộc vào T > a. Giả sử với bất kỳ s

Xs,xs (t) của phương trình (2.1) với điều kiện ban đầu Xs,xs , (s) = xs xác định trên Ts
là tồn tại duy nhất. Hơn nữa,
f (t, 0) ≡ 0; g(t, 0) ≡ 0.

(2.14)

Khi đó phương trình (2.1) có nghiệm ban đầu Xs,0 (t) ≡ 0.
Định nghĩa 2.5.1. Nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) được gọi là p-ổn định mũ
nếu có một hằng số dương α sao cho với mọi s > a, ∃ Γ = Γ(s) > 1, thì đẳng thức
E Xs,xs (t)

p

Γ xs p e

đúng với mọi xs ∈ Rd .
7

α (t, s)

trên t

s,

(2.15)


Nếu có thể lựa chọn Γ không phụ thuộc vào s, thì nghiệm ban đầu của phương
trình (2.1) gọi là p-ổn định mũ đều.
2.5.1.

Điều kiện đủ

Định lý 2.5.2. Giả sử tồn tại một hàm V (t, x) ∈ C 1,2 (Ta × Rd ; R+ ), và các hằng số
dương α1 , α2 , α3 sao cho
α1 x

p

V (t, x)

α2 x p ,

(2.16)

và
V ∇t (t, x) + AV (t, x)

∀ (t, x) ∈ Ta × Rd ,

−α3 V (t− , x),

(2.17)

trong đó toán tử vi phân A được định nghĩa bởi (1.1). Khi đó, nghiệm ban đầu x ≡ 0
của phương trình (2.1) p-ổn định mũ đều.
2.5.2.

Điều kiện cần

Bây giờ chúng tôi xét bài toán ngược bằng cách chỉ ra rằng nếu nghiệm ban đầu
của phương trình (2.1) là p-ổn định mũ đều thì tồn tại 1 hàm Lyapunov thỏa mãn
(2.17).
Đầu tiên, chúng tôi nghiên cứu tính khả vi của các nghiệm ứng với các điều kiện
ban đầu và tính liên tục của các hệ số.
Bổ đề 2.5.3 (Bất đẳng thức Burkholder trên thang thời gian). Nếu {Mt }t∈Ta là Ft martingale với E|Mt |p < ∞ ∀ p

2 và Ma = 0 khi đó tồn tại hằng số dương Bp sao

cho
E sup |Ms |p

Bp E M

a s t

p
2

t

|∇∗ Ms |p ,

+E
a s t

trong đó ∇∗ Ms = Ms − Ms− .
Định lý 2.5.4. Cho p

2, M ∈ M2 sao cho các điều kiện (2.2), (2.3) và (2.12) được

thỏa mãn và cho g ∈ L2 ((a, T ]; M ) với
t

E|g(τ )|p ∇τ < ∞ ∀ t ∈ Ta .
a

Thì,
t

E sup
a t T

trong đó Cp = Bp {(T − a)

p
2 −1

T

p

g(τ )∇Mτ

E|g(τ )|p ∇τ,

Cp
a

a
p
2

N + mp }.
8


Bổ đề 2.5.5 ([17]). Lấy T, s ∈ Ta ; T > s và p

2 cố định. Giả sử rằng điều kiện

(2.12) được thỏa mãn và quá trình ζ(t) là nghiệm của phương trình ngẫu nhiên
t

t

χ(τ )ζ(τ− )∇Mτ , t ∈ [s, T ].

ψ(τ )ζ(τ− )∇τ +

ζ(t) = ϕ(t) +

(2.18)

s

s

Giả sử thêm rằng các hàm ϕ(t), ψ(t) và χ(t) là Ft -phù hợp và tồn tại hằng số K > 0
sao cho với xác suất 1, ψ(t)
E sup

K và χ(t)

ζ(t)

p

3p−1 E sup

s t T

K. Thì,
ϕ(t) p eH1 (T, s),

(2.19)

s t T

với H1 = 3p−1 K p ((T − s)p−1 + Cp ).
Bổ đề 2.5.6. Giả sử các hệ số của phương trình (2.1) liên tục theo s, x và chúng có
các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai liên bị chặn và điều kiện (2.12) đúng với p
Khi đó, nghiệm Xs,x (t), s

t

4.

T, với điều kiện ban đầu Xs,x (s) = x của phương

trình (2.1) là khả vi hai lần đối với biến x. Hơn nữa, các đạo hàm riêng
∂
(Xs,x (t)),
∂xi

∂2
(Xs,x (t))
∂xi ∂xj

liên tục bình phương trung bình theo x.
Bổ đề 2.5.7. Cho p

4 và 2

β

p. Khi đó, ánh xạ F (φ) : φ → E|φ|β từ Lp (Ω, F, P)

tới R khả vi hai lần với mọi φ0 = 0 và
F (φ0 )(φ) = βE[|φ0 |β−1 φ];

F (φ0 )(φ, ψ) = β(β − 1)E[|φ0 |β−2 φψ].

Bổ đề 2.5.8. Cho các hệ số của phương trình (2.1) liên tục theo t, x và thỏa mãn điều
kiện (2.14). Giả sử các điều kiện của bổ đề 2.5.6 được thỏa mãn và 2

β

p. Khi

đó, cho t > a cố định, hàm u(s, x) = E Xs,x (t) β ; a < s < t khả vi liên tục hai lần
theo x ngoại trừ tại x = 0.
Định lý 2.5.9. Giả sử M có gia số độc lập và các điều kiện của bổ đề 2.5.6 đúng và
2

β

p. Giả sử hơn nữa rằng AV (t, x) là ld-liên tục theo (t, x) với mọi hàm V ∈

C 1,2 (Ta × Rd ; R). (2.1) bắt đầu ở x tại thời điểm s. Khi đó, hàm u(s, x) = E Xs,x (t) β ,
a < s < t là ∇-khả vi theo s, khả vi liên tục hai lần theo x và thỏa mãn phương trình
u∇s (s, x) + Au(s, x) = 0.

(2.20)

Định lý 2.5.10. Giả sử các điều kiện của định lý 2.5.9 được thỏa mãn. Giả sử hơn
nữa rằng, với T > 0 cố định, tồn tại một hàm γT : T → T với γ(T, s)

s + T, ∀ s ∈ T

sao cho γ(T, s) và ∇-đạo hàm γ ∇s (T, s) bị chặn. Nếu nghiệm ban đầu của phương trình
(2.1) là β- ổn định mũ đều, thì tồn tại một hàm V (s, x) ∈ C 1,2 (Ta × Rd ; R+ ) thỏa mãn
các đẳng thức (2.16), (2.17).
9


Ví dụ 2.5.11. Xét phương trình động lực ngẫu nhiên tuyến tính

d∇ X(t) = aX(t )d∇ t + bX(t )d∇ M (t) ∀ t ∈ T
−
−
s
X(s) = x,

(2.21)

trong đó a, b là hai hằng số, a là regressive và M là martingale bình phương khả tích
có gia số độc lập. Tính toán ta có
t
2
EXs,x
(t)

2

2
q(τ )EXs,x
(τ− )∇τ,

=x +

(2.22)

s

trong đó
q(t) = 2a + b2 Ktc + a2 ν(t)
uΥ(t, du) + b2

+ 2b(1 + aν(t))
R

u2 Υ(t, du) − 2b
R

uΥ(t, du)
R

= 2a + b2 Ktc + a2 ν(t)
uΥ(t, du) + b2

+ 2b
R

Từ

R uΥ(t, du)

u2 Υ(t, du) + aν(s)
R

= E[Mt − Mρ(t) |Fρ(t) ] = 0 và ν(t)

uΥ(t, du).
R

R uΥ(t, du)

q(t) = 2a + b2 Ktc + a2 ν(t) + b2

= 0,

u2 Υ(t, du).

(2.23)

R

Chúng tôi định nghĩa hàm q(t) = lim q(s). Ta thấy rằng q là rd-liên tục và q(t) =
ρ(s)↓t
2
q(σ(t)) nếu t là rời rạc phải. Từ {t : µ(t) > 0} đếm được và mes{t : EXs,x
(t− ) =
2
EXs,x
(t)} = 0,
t
2

q(τ )EXs,x
(τ− )∇τ =
s

2
q(τ )EXs,x
(τ− ) dτ +
(s,t]

2
q(τ )EXs,x
(τ− )ν(τ )
s<τ t

2
q(τ )EXs,x
(τ ) dτ +

=
[s,t)

2
q(σ(τ ))EXs,x
(τ )µ(τ )
s τ
t
2
q(τ )EXs,x
(τ )∆τ,

=
s

2
EXs,x
(t) = x2 eq (t, s),

t

s.

(2.24)

hơn nữa, ta biết rằng
t

0 < eq (t, s) = exp

ln(1 + q(τ )h)
∆τ
h
µ(τ )

lim
s h

.

Khi đó, điều kiện (2.15) suy ra

t

ln(1 + q(τ )h)
∆τ
h
µ(τ )

ln Γ − θ(t − s),

lim
s h

10

∀ t > s.


Chọn T > 0 sao cho ln Γ −
t

θT
2

< 0 ta có

ln(1 + q(τ )h)
∆τ
h
µ(τ )

−

lim
s h

θ(t − s)
,
2

∀ t > s + T.

Vì vậy, từ tính ổn định mũ cấp hai của (2.21) suy ra
sup

1
t−s

t

ln(1 + q(τ )h)
∆τ : t > s + T
h
µ(τ )

lim
s h

< 0.

(2.25)

Ngược lại, giả sử rằng (2.25) đúng. Bởi các giả sử này, có các số α > 0, K ∗ > 0 sao cho
K ∗ e−α (t, s). Từ (2.24) ta nhìn thấy rằng nghiệm ban đầu của phương

0 < eq (t, s)

trình là ổn định mũ cấp hai. Để minh họa cho định lý 2.5.10 về hàm Lyapunov ta đặt
∞
2

eq (τ− , s)∇τ = x2 Q(s).

V (s, x) = x

s

Tính toán ta có
Q∇s (s) = −1 − q(s)Q(s).
Hiển nhiên,
V ∇s (s, x) + AV (s, x) = Q∇s (s)x2 + q(s)Q(s)x2
= (−q(s)Q(s) − 1)x2 + q(s)Q(s)x2 = −x2 . (2.26)
2
Dùng (2.22) và thực tế là lim EXs,x
(t) = 0 chúng ta có thể chỉ ra rằng V (s, x)
t→∞

với α1 = (sup |q(t)|)−1 . Hơn nữa, eq (t, s)

K ∗ e−α (t, s). Vì vậy, V (s, x)

t

α1 x 2

K∗ 2
α x .

Từ

(2.26) và các bất đẳng thức trên ta có
V ∇s (s, x) + AV (s, x)

−

α
V (s− , x).
K∗

Vì vậy, các điều kiện của định lý 2.5.2 được thỏa mãn. Ta có được điều cần chứng
minh.

2.6

Ổn định ngẫu nhiên của phương trình động lực ngẫu nhiên

2.6.1.

Định nghĩa

Kí hiệu K là họ tất cả các hàm liên tục không giảm ϕ : R+ → R+ sao cho ϕ(0) = 0

và ϕ(r) > 0 nếu r > 0. Cho h > 0, đặt Sh = {x ∈ Rd : x < h} và C 1,2 (Ta × Sh ; R+ )
là họ tất cả các hàm không âm V (t, x) từ Ta × Sh vào R+ sao cho nó khả vi liên tục
một lần theo t và hai lần theo x. Các định nghĩa của ổn định ngẫu nhiên; ổn định tiệm
cân ngẫu nhiên; ổn định tiệm cận ngẫu nhiên lớn cho nghiệm ban đầu của phương
trình (2.1) đã được đề cập đến trong [52]. Tương ứng như sau,
11


Định nghĩa 2.6.1.
(i) Ổn định ngẫu nhiên: với mọi cặp ε ∈ (0, 1) và r > 0, tồn tại δ = δ(ε, r, a) > 0 sao
cho
1 − ε với bất kỳ xa ∈ Rd thỏa mãn xa < δ.

P {sup Xa,xa (t) < r}
t∈Ta

(ii) Ổn định tiệm cận ngẫu nhiên: nếu nó là ổn định ngẫu nhiên và, với mọi ε ∈ (0, 1),
tồn tại δ0 = δ0 (ε, a) > 0 sao cho
P { lim Xa,xa (t) = 0}
t→∞

1 − ε với bất kỳ xa < δ0 .

(iii) Ổn định tiệm cận ngẫu nhiên lớn: nếu nó là ổn định ngẫu nhiên và, hơn thế nữa,
với mọi xa ∈ Rd
P { lim Xa,xa (t) = 0} = 1.
t→∞

2.6.2.

Điều kiện đủ

Định lý 2.6.2. Nếu tồn tại một hàm V (t, x) ∈ C 1,2 (Ta ×Sh ; R+ ), thỏa mãn V (t, 0) ≡ 0
và, có một hàm ϕ ∈ K, sao cho
V (t, x)

ϕ( x ) với mọi (t, x) ∈ Ta × Sh ,

và
LV (t, x)

0 với mọi (t, x) ∈ Ta × Sh ,

thì nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) là ổn định ngẫu nhiên.
Định lý 2.6.3. Nếu tồn tại một hàm V (t, x) ∈ C 1,2 (Ta × Sh ; R+ ) và có các hàm
ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ∈ K, sao cho
ϕ1 ( x )

V (t, x)

ϕ2 ( x ) với mọi (t, x) ∈ Ta × Sh ,

và
LV (t, x)

−ϕ3 ( x ) với mọi (t, x) ∈ Ta × Sh ,

thì nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) là ổn định tiệm cận ngẫu nhiên.
Định lý 2.6.4. Nếu tồn tại một hàm V (t, x) ∈ C 1,2 (Ta × Rd ; R+ ) với V (t, 0) ≡ 0 và
lim inf V (t, x) = ∞.

x →∞ t a

12


Hơn nữa, với h > 0 bất kỳ thì
ϕ2 ( x ) với mọi (t, x) ∈ Ta × Sh ,

ϕ1 ( x )

V (t, x)

LV (t, x)

−ϕ3 ( x ) với mọi (t, x) ∈ Ta × Sh ,

(2.27)

trong đó ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ∈ K. Khi đó nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) là ổn định
tiệm cận ngẫu nhiên lớn.
Bây giờ chúng tôi xét một trường hợp đặc biệt. Cho P là một ma trận xác định
dương và V (t, x) = x P x, trong đó x là véc tơ chuyển vị của véc tơ x. Ta có
LV (t, x) = x P f (t, x)+f (t, x) P x+f (t, x) P f (t, x)ν(t)+g(t, x) P g(t, x)Kt . (2.28)
Vì vậy, nếu ta có thể tìm được một ma trận xác định dương P sao cho LV xác định
bởi (2.28) và thỏa mãn (2.27) thì nghiệm của phương trình (2.1) là ổn định tiệm cận
ngẫu nhiên lớn.
Ví dụ 2.6.5. Cho T là một thang thời gian xác định bởi
∞

T=

k
k=1

1
1
+ b ,k
+b +b ,
3
3

trong đó b là một số thực dương. Ta có

0 if t ∈
ν(t) =
 1 if t ∈
3

∞
1
k=1 k( 3
∞
1
k=1 {k( 3

+ b), k( 31 + b) + b

(2.29)

+ b)}.

Xét phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian T

d∇ X(t) = AX(t )d∇ t + BX(t )d∇ W (t), t ∈ T
−
−
X(0) = x0 ∈ Rd ,

(2.30)

trong đó W (t) là chuyển động Brownian trên thang thời gian được định nghĩa trong
[26] và A, B là các ma trận cấp d × d. Trong trường hợp này Kt = 1. Giả sử P là một
ma trận xác định dương và V (t, x) = x P x. Bởi (2.28), ta có
LV (t, x) = x

P A + A P + A P Aν(t) + B P BKt x.

(2.31)

Hiển nhiên, nếu hoành phổ của ma trận P A + A P + 31 A P A + B P B bị chặn bởi
hằng số âm −c, thì ta có LV (t, x)

−c x 2 . Do đó, theo định lý 2.6.4, nghiệm ban

đầu của phương trình (2.30) ổn định tiệm cận ngẫu nhiên lớn.

13

2.7

Ổn định hầu chắc chắn của phương trình động lực ngẫu nhiên
Trong chương này, giả sử các điều kiện của hệ số cho sự tồn tại và duy nhất

nghiệm và điều kiện về nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) được thỏa mãn đầy
đủ.
2.7.1.

Định nghĩa

Định nghĩa 2.7.1. Nghiệm ban đầu X(t) ≡ 0 của phương trình (2.1) được gọi là ổn
định mũ hầu chắc chắn nếu
lim sup
t→∞

ln X(t; a, xa )
< 0 h.c.c.
t

(2.32)

được thỏa mãn với bất kỳ xa ∈ Rd .
2.7.2.

Điều kiện đủ

Định lý 2.7.2. Cho α1 , c1 , p là các số dương. α là một số dương thỏa mãn

α

1+αν(t)

α1

và cho ηt là một hàm ld-liên tục không âm xác định trên Ta sao cho
∞

eα (t− , a)ηt ∇t < ∞ h.c.c..
a

Giả sử tồn tại một hàm xác định dương V ∈ C 1,2 (Ta × Rd ; R+ ) sao cho
c1 x
và với mọi t

p

(2.33)

−α1 V (t− , x) + ηt

(2.34)

a,
LV (t, x)

∀ x ∈ Rd , t

V (t, x) ∀(t, x) ∈ Ta × Rd ,

h.c.c.,

a. Khi đó, nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) là ổn định mũ hầu

chắc chắn.
Bây giờ, ta xét một trường hợp đặc biệt là hàm V (t, x) = x 2 . Bởi (2.28), ta có
LV (t, x) = 2x f (t, x) + g(t, x) 2 Kt + f (t, x) 2 ν(t).

(2.35)

Chúng ta có thể áp đặt các điều kiện của các hàm f và g sao cho có một số dương α
với α ∈ R và một hàm ld-liên tục không âm η sao cho
2x f (t, x) + f (t, x) 2 ν(t) + g(t, x) 2 Kt

14

−α x

2

+ ηt .


Ví dụ 2.7.3. Cho T là một thang thời gian và 0

a ∈ T. Đặt 1e = (1, 1, ..., 1) . Xét

phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian T

d∇ X(t) = AX(t ) + e−t sin( X(t ) )1 d∇ t + BX(t ))d∇ W (t), t ∈ T
−

−
e
−
a
X(0) = x0 ∈ Rd ,

(2.36)

trong đó A và B là các ma trận cấp d × d và W (t) là chuyển động Brownian một
chiều trên thang thời gian được định nghĩa trong [26]. Cho V (t, x) = x 2 . Bởi (2.35)
ta có
LV (t, x)
= 2x Ax + 2e−t sin( x )x 1e + Ax + e−t sin( x )1e 2 ν(t) + x B Bx
√
2x Ax + 2e−t x d + 2( Ax 2 + e−2t d)ν(t) + x B Bx
√
x 2A + 2A Aν ∗ + B B x + 2( d x + dν ∗ )e−t ,
trong đó ν ∗ = supt∈Ta ν(t). Giả sử hoành phổ của ma trận 2A + 2A Aν ∗ + B B bị
chặn bởi hằng số âm −β. Khi đó, ta có
LV (t, x)

−

β
x
2

2

√

β
+ 2( d x + dν ∗ )e−t −
x
2

với mọi t ∈ Ta . Với α =

1
2

2

−

β
x
2

2

+ 2d ν ∗ +

1
β

e−t

min{1, β} ta thấy rằng tất cả các giả sử của định lý 3.3.2

được thỏa mãn đầy đủ. Vì vậy, nghiệm ban đầu của phương trình (3.18) là ổn định

mũ hầu chắc chắn.

15


Chương 3

Phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ
Thực tế hiện nay, có rất ít công trình nghiên cứu về phương trình động lực có trễ
trên thang thời gian. Lý do chính là phép trừ trên thang thời gian không được bảo
toàn, vì vậy rất khó khăn trong việc đưa ra khái niêm "hàm trễ trên thang thời gian".
Trong [46, 47, 49, ...], các tác giả đã xem xét các tính chất định tính của nghiệm của
phương trình động lực tất định có trễ trên thang thời gian, nhưng các giả thiết áp đặt
cho các thang thời gian quá ngặt.
Mục đích của chương này là xem xét sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cũng
như tính p-ổn định mũ cho ∇ -phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ bằng phương
pháp trực tiếp Lyapunov (phương pháp hàm Lyapunov). Sau đó, chúng tôi sử dụng
hàm Lyapunov để đưa ra điều kiện đủ cho p-ổn định mũ của phương trình động lực
ngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian. Vì quy tắc đổi biến trong tích phân không thể
áp dụng được trong tính toán trên thang thời gian nên các phương pháp đã biết được
dùng để xét tính ổn định của phương trình sai phân/vi phân có trễ không còn đúng
trên thang thời gian. Vì vậy, chúng ta không thể đồng nhất đơn giản để trình bày các
kết quả đã biết và để có được chúng, chúng ta phải cải tiến kỹ thuật.

∇-Phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ

3.1
3.1.1.

∇-Phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ

Cho T là một thang thời gian. Ta nói rằng rd-ánh xạ r(·) : k T → T là một hàm
trễ nếu r(t)

t− với mọi t ∈ T và τ∗ = sup{t − r(t) : t ∈ T} < ∞. Với bất kỳ s ∈ T,

ta có bs := min{r(t) : t

s} > −∞. Kí hiệu Γs = {r(t) : t

là họ tất cả các hàm liên tục đi từ Γs vào Rd với chuẩn ϕ

s} ∩ [bs , s] và C(Γs ; Rd )
s

= sups∈Γs ϕ(s) . Cố

định t0 ∈ T và giả sử (Ω, F, {Ft }t∈Tt0 , P) là một không gian xác suất với lọc {Ft }t∈Tt0
16


thỏa mãn các điều kiện thông thường (tức là, {Ft }t∈Tt0 tăng và liên tục phải với Ft0
chứa tất cả các tập có xác suất bằng 0). Kí hiệu M2 là tập tất cả các martingale bình
phương khả tích xác định trên (Ω, F, {Ft }t∈Tt0 , P) và Mr2 không gian con của không
gian M2 bao gồm tất cả các martingale với đặc trưng liên tục. Xuyên suốt luận văn
này, Chúng ta đặt M = {Mt }t
M

t

t0

∈ M2 với đặc trưng M

t

(xem [15]). Giả sử rằng

là tuyệt đối liên tục ứng với độ đo Lebesgue µ∇ , tức là, tồn tại quá trình đo được

lũy tiến Ft -phù hợp Kt sao cho
t

M

Kτ ∇τ.

=

t

(3.1)

t0

Hơn nữa, với T ∈ Tt0 , có hằng số N (có thể phụ thuộc vào T ) sao cho
P{ sup |Kt |

N } = 1.

(3.2)

t0 t T
d
loc
d
Kí hiệu Lloc
1 (Tt0 ; R ) (tương ứng, L2 (Tt0 ; R , M )) là tập tất cả các hàm nhận giá
T
t0

trị trong Rd , Ft -phù hợp sao cho

f (t)∇t < ∞, (tương ứng, E

T
t0

h2 (t)∇ M

t

< ∞)

d
∀ T ∈ Tt0 . với bất kì Lloc
2 (Tt0 ; R , M ) ta định nghĩa được tích phân ngẫu nhiên
t

f (s)∇Ms

t0

(xem chi tiết trong [15]).
Ta xét ∇-phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian

d∇ X(t) = f (t, X(t ), X(r(t)))d∇ t + g(t, X(t ), X(r(t)))d∇ M
−
−
t
X(s) = ξ(s) ∀ s ∈ Γt , t ∈ Tt ,
0

(3.3)

0

trong đó f : T × Rd × Rd → Rd ; g : T × Rd × Rd → Rd là hai hàm Borel và biến ngẫu
nhiên Ft0 -phù hợp ξ = {ξ(s) : s ∈ Γt0 } thuộc C(Γt0 ; Rd ), với E ξ

2
t0

< +∞. Ta kí

hiệu Ts chính là tập Γs ∪ Ts với bất kỳ s ∈ T.
3.1.2.

Nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ

Định nghĩa 3.1.1. Quá trình ngẫu nhiên (X(t))t∈Tt , nhận giá trị trong Rd , được gọi

0

là nghiệm của phương trình (3.3) nếu
(i) {X(t)} là Ft -phù hợp;
d
(ii) f (·, X(·− ), X(r(·))) ∈ Lloc
1 (Tt0 ; R );
d
(iii) g(·, X(·− ), X(r(·))) ∈ Lloc
2 (Tt0 ; R , M );

17


(iv) X(t) = ξ(t) ∀ t ∈ Γt0 và với bất kỳ t ∈ Tt0 phương trình
t

f (s, X(s− ), X(r(s)))∇s

X(t) = ξ(t0 ) +
t0

t

g(s, X(s− ), X(r(s)))∇Ms , ∀ t ∈ Tt0 . (3.4)

+
t0

được thỏa mãn với xác suất 1

Phương trình (3.3) có nghiệm duy nhất nếu X(t) và X(t) sao cho X(t) = X(t)
với t ∈ Γt0 là hai quá trình thỏa mãn (3.4) thì
P {X(t) = X(t) ∀ t ∈ Tt0 } = 1.
Ta thấy rằng

t
t0

g(s, X(s− ), X(r(s)))∇Ms là Ft -martingale vì vậy nó có bản sao

cadlag. Hơn nữa, nếu X(t) thỏa mãn (3.4) thì X(t) là cadlag. Trong trường hợp riêng,
nếu Mt là rd-liên tục, thì X(t) cũng là rd-liên tục.
Bây giờ ta đưa ra điều kiện đảm bảo cho sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của
phương trình (3.3). Đầu tiên, Ta đi xét trường hợp các hệ số của phương trình thỏa
mãn điều kiện Lipschitz và điều kiện tăng tuyến tính.
3.1.3.

Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm

Định lý 3.1.2. Giả sử T ∈ Tt0 , tồn tại hai hằng số dương κ = κ(T ) and κ = κ(T )
sao cho
(i) (điều kiện Lipschitz) với mọi xi , yi ∈ Rd , i = 1, 2, và t ∈ [t0 , T ]
f (t, x1 , y1 ) − f (t, x2 , y2 )

2

∨ g(t, x1 , y1 ) − g(t, x2 , y2 )

2

κ( x2 − x1

2

+ y2 − y1 2 ). (3.5)

(ii) (điều kiện tăng tuyến tính) với mọi (t, x, y) ∈ [t0 , T ] × Rd × Rd
f (t, x, y)

2

∨ g(t, x, y)

2

κ(1 + x

2

+ y 2 ).

(3.6)

Khi đó, tồn tại duy nhất nghiệm X(t) của phương trình (3.3) và nghiệm này là semimartingale bình phương khả tích.
3.1.4.

Tốc độ hội tụ

Định lý 3.1.3. Giả sử định lý 3.1.2 được thỏa mãn. Cho X(t) là nghiệm duy nhất của
phương trình (3.3) và Xn (t) là dãy xấp xỉ Picard được định nghĩa bởi:

18


Xn (t) = ξ(t) ∀ t ∈ Γt0 ;
và
t

f s, Xn−1 (s− ), Xn−1 (r(s)) ∇s

Xn (t) = ξ(t0 ) +
t0

t

g s, Xn−1 (s− ), Xn−1 (r(s)) ∇Ms , t

+

t0 (3.7)

t0

với n = 1, 2, . . . .. Khi đó,
E

sup

Xn (t) − X(t)

n

2

2Ce2P (T, t0 )P hn (T, t0 ),

t0 t T

1, ở đó C = 2κ (T − t0 )2 + 4N (T − t0 ) (1 + 2E ξ

với mọi n

2
t0 ); P

(3.8)
= 4κ(T − t0 +

4N ).
3.1.5.

Điều kiện Lipschitz địa phương cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương
trình động lực ngẫu nhiên có trễ

a. Hàm Lyapunov
Cho C 1,2 ([a, b] × Rd ; R) là tập tất cả các hàm V (t, x) xác định trên [a, b] × Rd , khả vi
liên tục một lần theo t và hai lần theo x. Với V ∈ C 1,2 (Tt0 × Rd ; R), định nghĩa
LV (t, x, y) = V ∇t (t, x)
d

+

i=1

1
+
2

∂V (t, x)
(1 − 1I (t))fi (t, x, y) + V (t, x + f (t, x, y)ν(t)) − V (t, x) Φ(t)
∂xi

i,j

∂ 2 V (t, x)
gi (t, x, y)gj (t, x, y)Ktc −
∂xi xj

d

i=1

∂V (t, x)
gi (t, x, y)
∂xi

uΥ(t, du)
R

(V t, x + f (t, x, y)ν(t) + g(t, x, y)u − V (t, x + f (t, x, y)ν(t)))Υ(t, du), (3.9)

+

R

trong đó V ∇t là ∇-đạo hàm riêng theo t của V (t, x) và

0
if t left-dense
Φ(t) =
 1 if t left-scattered.
ν(t)
Xét

t

Ht = V (t, X(t)) − V (t0 , X(t0 )) −

LV (s, X(s− ), X(r(s)))∇s.

(3.10)

t0

Dùng công thức Itô ([16, Định lý 1, trang 322]) ta có (Ht , Ft )t∈Tt0 là một martingale
địa phương khả tích.

19


b. Điều kiện Lipschitz địa phương
Định lý 3.1.4. Giả sử với bất kỳ k > 0 và T ∈ Tt0 tồn tại một hằng số LT,k > 0 sao
cho

f (t, x1 , y1 ) − f (t, x2 , y2 )

2

∨ g(t, x1 , y1 ) − g(t, x2 , y2 )

2

LT,k ( x2 − x1
∀ xi , yi ∈ Rd , i = 1, 2, với xi ∨ yi

2

+ y2 − y1 2 ), (3.11)

k và t ∈ Tt0 . Giả sử hơn nữa, có hai hằng số

dương λ1 , λ2 và một hàm V ∈ C 1,2 ([bt0 , T ] × Rd ; R+ ) thỏa mãn
LV (t, x, y)
và lim

λ1 V (t− , x) + λ2 V (r(t), y),

(3.12)

inf V (t, x) = ∞. Khi đó, phương trình (3.3) có nghiệm duy nhất X(t) xác

x →∞ t∈[t0 ,T ]

định trên Tt0 .

p-ổn định mũ của phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ

3.2
3.2.1.

Định nghĩa

Giả sử với bất kỳ s > t0 và ξ ∈ C(Γs ; Rd ), tồn tại duy nhất một nghiệm
X(t, s, ξ), t ∈ Ts của phương trình (3.3) thỏa mãn X(t, s, ξ) = ξ(t) với t ∈ Γs . Hơn
nữa,
f (t, 0, 0) ≡ 0; g(t, 0, 0) ≡ 0, ∀ t ∈ Tt0 .

(3.13)

Từ điều kiện (3.13), phương trình (3.3) có một nghiệm ban đầu X(t, s, 0) ≡ 0.
Định nghĩa 3.2.1. Nghiệm ban đầu X(t, s, 0) ≡ 0 của phương trình (3.3) được nói là
p-ổn định mũ nếu có một hằng số dương α sao cho với s > t0 , tồn tại βs > 0 thì đẳng
thức
E X(t, s, ξ)

p

βs e

α (t, s)

on t

s,

(3.14)

được thỏa mãn với bất kỳ ξ ∈ C(Γs ; Rd ).
Nếu có thể lựa chọn βs độc lập với s, nghiệm ban đầu của phương trình (3.3)
được nói là p-ổn định mũ đều. Khi p = 2, nó được nói là ổn định mũ bình phương
trung bình.

20


3.2.2.

Điều kiện đủ cho p-ổn định mũ

Định lý 3.2.2. Cho α1 , α2 , p, c1 , c2 là các hằng số dương với α1 > α2 . Giả sử rằng tồn
tại một hàm xác định dương V ∈ C 1,2 (T × Rd ; R+ ) sao cho
c1 x

p

V (t, x)

c2 x

p

∀(t, x) ∈ T × Rd ,

(3.15)

và với mọi (t, x, y) ∈ Tt0 × Rd × Rd
LV (t, x, y)

−

α1
α2 e α1 (t− , r(t))
V (t− , x) +
V (r(t), y).
1 + α1 ν(t)
1 + α2 ν(t)

(3.16)

Thì, phương trình (3.3) p-ổn định mũ đều.
3.2.3.

Ví dụ

Bây giờ chúng ta xét một trường hợp đặc biệt. Cho P là một ma trận xác định
dương và V (t, x) = x P x, ở đó x véc tơ chuyển vị của véc tơ x. Bởi (3.9) và tính
toán ta có
LV (t, x, y) = x P f (t, x, y) + f (t, x, y) P x + f (t, x, y) P f (t, x, y)ν(t)
+ g(t, x, y) P g(t, x, y)Kt . (3.17)
Ví dụ 3.2.3. Cho T là một thang thời gian chứa 0 và r(t) là hàm trễ. Xét phương
trình động lực ngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian T

d∇ X(t) = AX(t )d∇ t + BX(r(t))d∇ W (t)
−

X(s) = ξ(s) ∀ s ∈ Γ0 , t ∈ T0 ,

(3.18)

trong đó A và B là các ma trận cấp d × d và W (t) là chuyển động Brownian một
chiều xác định trong [26]. Ta có từ [27, Định lý 2.1, trang 1678] thì Kt = 1. Xét
V (t, x) = x 2 , bởi (3.17) ta có
LV (t, x, y) = x (A + A + A Aν(t))x + y B BKt y.

(3.19)

Giả sử rằng hoành phổ của ma trận A + A + A Aν(t) bị chặn đều bởi hằng số âm
−α1 . Từ phương trình (3.19) ta có
LV (t, x, y)

−α1 x

2

+ B

2

y 2.

Dễ thấy rằng
e−α1 (t−s)

e

α1 (t, s)

21

∀ t ∈ Ts ,

(3.20)


(xem chi tiết trong [47]). Giả sử tồn tại một hằng số dương α2 sao cho α2 < α1 và
B 2 eτ∗ α1

α2
1+ν ∗ α2 .

Với các giả sử này và (3.20) ta có

LV (t, x, y)

−

α1
x
1 + α1 ν(t)

2

+

α2 e α1 (t− , r(t))

y 2.
1 + α2 ν(t)

Vì vậy, các giả sử của định lý 3.3.2 được thỏa mãn với p = 2, tức là nghiệm ban đầu
của phương trình (3.18) là ổn định mũ bình phương trung bình.
Ví dụ 3.2.4. Cho T là một thang thời gian xác định bởi
∞

T = P 1 ,1 =
4

k=1

5k 5k + 4
,
.
4
4

Giả sử r(t) là hàm trễ thỏa mãn τ∗ = supt∈T (t − r(t)) = 14 . Xét phương trình động lực
ngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian T

d∇ X(t) = AX(t ) + 1 X(r(t)) d∇ t + BX(t )d∇ W (t), t
−
−
2
X(s) = ξ(s) ∀ s ∈ Γt ,

t0

(3.21)

0

ở đó W (t) là chuyển động Brownian như trong Ví dụ 3.2.3 và A, B các ma trận cấp
3 × 3 xác định bởi




2
5
11
− 53 23
0
−
9
18



 18




 2




2
1
4
− 2
A=
;
B
=
.
−2
−
−
 3
 9
3
9
18 








2
5
7
1
25

0 −3 −3
18 − 18
36
Với hàm Lyapunov V (t, x) = x 2 , bởi (3.17) ta có
LV (t, x, y) = x

2A + A Aν(t) + B BKt x + x (I + A ν(t))y +

1
y y.
4

Trong trường hợp này Kt = 1. Vì vậy,




H := 2A + A Aν∗ + B BKt = 



Hơn nữa, I + Aν∗ =
LV (t, x, y)

5
6

17
36

− 73
36
17
36

− 91
36

19
72

− 53
72

19
72






.
− 53
72 


379
− 144

và hoành phổ của ma trận H là η(H) = − 27
16 . Vì vậy,

x Hx + I + A ν∗
−

27
x
16

2

y +
+

1
y
4

5
x
6

2

y +
22

1
y

4

2

−

143
x
144

2

+

1
y 2 . (3.22)
2


Đặt α1 :=

143
144 ,

α2 :=

4
5

thì α1 , α2 thỏa mãn 21 eα1 τ∗ <

α2
1+ν∗ α2 .

Từ những ước lượng này

và từ (3.22), ta có
α2
e−α1 τ∗ y 2
1 + ν∗ α 2
α1
α2 e α1 (t− , r(t))
−
x 2+
y 2.
1 + α1 ν(t)
1 + α2 ν(t)

LV (t, x, y)

−α1 x

2

+

Theo định lý 3.3.2 nghiệm ban đầu của phương trình (3.21) là ổn định mũ bình phương
trung bình.

3.3

Ổn định mũ hầu chắc chắn của phương trình động lực có trễ

Định nghĩa 3.3.1. Nghiệm ban đầu X(t) ≡ 0 của phương trình (3.3) được nói là ổn
định mũ hầu chắc chắn nếu với bất kỳ s ∈ Tt0 thì đẳng thức
lim sup
t→∞

log X(t, s, ξ)
< 0 h.c.c.
t

(3.23)

đúng với bất kỳ ξ ∈ C(Γs ; Rd ).
Định lý 3.3.2. Cho α1 , α2 , p, c1 là các số dương với α1 > α2 . Giả sử α là một số
dương thỏa mãn

α
1+αν(t)

< α1 và cho η là một hàm ld-liên tục không âm xác định trên

Tt0 sao cho

∞

eα (τ− , t0 )ηt ∇t < ∞ h.c.c..
t0

Giả sử rằng tồn tại một hàm xác định dương V ∈ C 1,2 (Tt0 × Rd ; R+ ) thỏa mãn
c1 x
và với mọi t

p

V (t, x) ∀(t, x) ∈ Tt0 × Rd ,

(3.24)

t0 , x ∈ Rd
V ∇t (t, x) + AV (t, x, y)

−α1 V (t− , x) + ηt

h.c.c..

Thì, nghiệm ban đầu của phương trình (3.3) là ổn định mũ hầu chắc chắn.

23

(3.25)