DeDA thi thu THPTQG dot 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THCS VÀ THPT M.V. LÔMÔNÔXỐP

ĐỀ THI THỬ ĐỢT II - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút.

2x −1
.
x +1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : x + 3 y + 2 =

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y =

Câu 2 (0,5 điểm). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i )( z − i ) + 2 z =
2i . Tính môđun của số phức w =
Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình:
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân
=
I

z − 2z +1
.
z2

log 32 x − 3log 3 x=
+ 3 2 log 3 x − 3

1

∫ (2e

x2

+ e x ) xdx .

0

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng: ( P) : 2 x + 2 y − z + 1 =
0 và hai điểm

A(1; −2;0), B(2;0;1) .
a) Tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
b) Tìm điểm M trên đường thẳng AB sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng 2.
Câu 6 (1,0 điểm).
0.
a) Giải phương trình: cos 2 x − sin 2 x − 4 cos x + 3 =
b) Trong giải cờ Vua của quận có 8 người tham gia trong đó có 2 học sinh trung học phổ thông là An và Hà.
Các kỳ thủ được chia thành hai bảng A và B mỗi bảng có 4 người. Giả sử việc chia bảng được thực hiện
bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để cả hai bạn An và Hà chung một bảng đấu.
Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có AD = 2 AB . Biết SA vuông góc với
đáy, SC = 2a 5 và góc giữa SC với (ABCD) bằng 600. Tính thể tích của hình chóp S . ABCD và khoảng cách giữa
hai đường thẳng AM và SD trong đó M là trung điểm của cạnh BC.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn có phương
25 . Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I (0; 4) . Tìm tọa của đỉnh B biết A(−1;5).
trình ( x + 1) 2 + y 2 =
Câu 9 (1,0 điểm). Giải phương trình: −2 x3 + 10 x 2 − 17=
x + 8 2 x 2 3 5 x − x3 trên tập số thực.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương x, y, z thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S=

x2 y y 2 z z 2 x
4 xyz
+ 3 + 3 + 2
3
z
x
y
xy + yz 2 + zx 2

----------------------HẾT---------------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……………….……………………; Số báo danh:…………….


Câu
1
(2,0 điểm)

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐỢT 2 – KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Đáp án
a) (1,0 điểm)
2x −1
y=
x +1
• Tập xác định: D = ( −∞; −1) ∪ ( −1; +∞ )
•

Điểm

Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên:
=
y'

3

( x + 1)

2

> 0, ∀x ∈ D
0,25

- Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) , ( −1; +∞ ) ;
- Hàm số không có cực trị;
- Giới hạn: lim y= 2; lim y= 2 ⇒ TCN: y = 2
x →+∞

x →−∞

lim y = −∞; lim y = +∞ ⇒ TCĐ: x = −1

x →−1+

x →−1−

0,25

- Bảng biến thiên:

−∞

x
y’

+

+∞

-1
||
+∞

+
2

y
−∞

2

0,25
•

Đồ thị:
8

6

4

y=2
I

15

10

2

O

5

5

10

15

2

4

6

x=-1

0,25

b) (1,0 điểm)
2x −1
3
y=
⇒ y' =
2
x +1
( x + 1)
Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M ( x0 ; y0 ) , x0 ≠ -1. Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến

1
2
− x − ⇒ hệ số góc ktt = 3
là y '( x0 ) . Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y =
3
3

0,25


⇒

3

( x0 + 1)

2

 x =0
3⇔  0
=
 x0 = −2

0,25

0 ⇒ y0 =
−1 , pttt: y = 3x – 1
+ TH1: x0 =
+ TH2: x0 =−2 ⇒ y0 =5 , pttt: y = 3x + 11
Vậy lập được hai phương trình tiếp tuyến là y = 3x – 1 và y = 3x + 11.
2
3i − 1
1 + i )( z − i ) + 2 z = 2i ⇔ ( 3 + i ) z = 3i − 1 ⇔ z =
⇔z= i
(
(0,5 điểm)
3+i

0,25
0,25

0,25

z − 2z +1
=−1 + 3i ⇒ w = 10
z2
Đặt t = log 3 x (x > 0), phương trình trở thành:

w=

3
(0,5 điểm)

0,25

3

2t − 3 ≥ 0

t≥

t − 3t + 3 = 2t − 3 ⇔  2
2
2 ⇔ 
t − 3t + 3= ( 2t − 3)
t 2 − 3t + 2 =
0
3

t ≥ 2

⇔
⇔t=
2 . Suy ra log 3 x = 2 ⇔ x = 9
t =1


 t = 2

2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 9.
4
(1,0 điểm)

1

1

0,25

0,25

1

I = ∫ (2e x + e x ) xdx = ∫ 2e x xdx + ∫ e x xdx
2

2

0

0

1

0

1

Đặt I1 = ∫ 2e x xdx, I 2 = ∫ e x xdx
2

I1=

1

2
x
x
∫ e d ( x )= e = e − 1

x
∫ 2e xdx=
2

2

0

1

I2 =

2

1

x

x

0

1

0

0

∫ e xdx = ∫ xd ( e ) =
0

0,25

0

0

1

1

0,25

xe x − ∫ e x dx = xe x − e x = 1
1

0

1

1

0

0

0

Vậy I = I1 + I 2 = e
5
(1,0 điểm)

0,25
0,25

a) (0,5 điểm)
 x= 1+ t


AB =(1; 2;1) ⇒ pt ( AB ) :  y =−2 + 2t

 z =t

Gọi { I }= AB ∩ ( P ) ⇒ I (1 + t ; −2 + 2t ; t )
I ∈ ( P ) ⇒ 2 (1 + t ) + 2 ( −2 + 2t ) − t + 1 = 0 ⇔ t =

0,25

1
6 8 1
⇒ I  ;− ; 
5
5 5 5

0,25

b) (0,5 điểm)
5t '− 1
M ∈ ( P ) ⇒ M (1 + t '; −2 + 2t '; t ') ⇒ d ( M , ( P ) ) =
3

0,25


d ( M , ( P ) ) = 2 ⇔ 5t '− 1 = 6 ⇔ t’ = –1 hoặc t’ = 7/5

6
(1,0 điểm)

 12 4 7 
Vậy tìm được hai điểm M 1 ( 0; −4; −1) , M 2  ; ; 
 5 5 5
a. (0,5 điểm)

0,25

cos 2 x − sin 2 x − 4 cos x + 3 =
0

⇔ 2 cos 2 x − 1 − (1 − cos 2 x ) − 4 cos x + 3 =0
 cos x = 1

⇔ 3cos x − 4 cos x + 1 = 0 ⇔
cos x = 1
3

2

0,25

▪ cos x =1 ⇔ x =k 2π ( k ∈  )

1
3
b. (0,5 điểm)

1
3

± arccos + k 2π ( k ∈  )
▪ cos x = ⇔ x =

0,25

4
Không gian mẫu: Ω= C8=
70

Gọi A là biến cố “Cả 2 bạn An và Hà chung một bảng đấu”.
▪ Xếp hai bạn An và Hà vào 2 bảng A hoặc B có 2 cách;
▪ Xếp hai trong 6 bạn còn lại vào bảng có An và Hà có C62 ( 4 bạn còn lại vào bảng thứ
hai có 1 cách)
2
⇒ Ω A= 2.C=
30
6

Xác suất cần tìm:=
PA
7
(1,0 điểm)

ΩA 3
=
7
Ω

0,5

S
H

I
I

A

B

A

D

M

C

N

B

D

M

C

N

 = 600
Ta có góc giữa SC và mp(ABCD) là góc SCA
=
SA SC
=
.sin 600 a =
15 ; AC SC
=
.cos 600 a 5

Đặt AB = x, ta có: AC 2 = AB 2 + AD 2 ⇒ x = a ⇒ AB = a, AD = 2a
=
S ABCD AB
=
. AD 2a

0,25

2

1
2a 3 15
(đvtt)
=
AS .S ABCD
3
3
Trong (ABCD), kẻ DN // AM (N ∈ BC)

Vậy
=
V S . ABCD

⇒ d ( AM , SD=
) d ( AM , ( SDN =
) ) d ( A, ( SDN ) )

0,25

Kẻ AI ⊥ DN , AH ⊥ SI ⇒ d ( A, ( SDN ) ) =
AH

0,25

Ta có : =
AI MD
= a 2
1
1
1
17
a 510
=
+ 2 =
⇒ AH =
2
2
2
30a
17
AH
AI
SA

Vậy d ( AM , SD ) =

a 510
17

0,25

Câu 8
(1,0 điểm)

A
(C)

I

C

B

A'

Gọi A’ là giao điểm thứ hai của AI với đường tròn (C)
CM: A’I = A’B
= 
 = 1 BAC
+
Ta có: 
A ' BI = 
A ' BC + CBI
A ' AC + CBI
ABC
2

 + IAB
 = 1 BAC

+
A ' IB = IBA
ABC
2
⇒
A ' BI = 
A ' IB ⇒ A ' I = A ' B

(

(

)

)

0,25

Đường thẳng AI đi qua A(-1;5), I (0;4) có phương trình: x + y – 4 = 0
A ' =AI ∩ ( C ) ⇒ tọa độ A’ là nghiệm của hệ:
0
 x + y − 4 =
 A ' ( −1;5 ) ≡ A
.
⇒

2
2
25  A ' ( 4;0 )
( x + 1) + y =

Vậy A’(4;0)
0,25

Gọi B(x; y), do B ∈ ( C ) ⇒ ( x + 1) + y 2 =
25
2

Mà A’B = A’I ⇒

( x − 4)

2

+ y2 =

(1)

42 + 42 ⇔ ( x − 4 ) + y 2 = 32 (2)
2

4
4 34
Giải hệ (1), (2) x = ⇒ y =
±
5
5

9
(1,0 điểm)

0,25

 4 4 34 
 4 4 34 
Vậy có 2 điểm B1  ;
 , B2  ; −

5 
5 5 
5
NX: x = 0 không là nghiệm của phương trình.

0,25

Xét x ≠ 0, chia 2 vế của phương trình cho x3, ta được: −2 +

Đặt t =

10 17 8
5
− 2 +=
2 3 2 −1
3
x x
x
x

1
(t ≠ 0), phương trình trở thành: 8t 3 − 17t 2 + 10t −=

2 2 3 5t 2 − 1
x

⇔ ( 2t − 1) + 2 ( 2t − 1)= 5t 2 − 1 + 2 3 5t 2 − 1 (*)
2

0,25

Xét hàm số f ( u=
) u 3 + 2u
0,25


f '(u=
) 3u 2 + 2 > 0, ∀u ∈  ⇒ f (u) đồng biến trên  .
(*) ⇔ f ( 2t − 1=
) f

(

3

)

5t 2 − 1 ⇔ 2t −=
1

3

5t 2 − 1

 t = 0(loai)
⇔ ( 2t − 1) = 5t − 1 ⇔ 8t − 17t + 6t = 0 ⇔  17 ± 97
t =

16
3

t
=

2

3

2

17 − 97
17 + 97
17 + 97
17 − 97
=
=
⇒x
;t
=
⇒x
16
12
16

12

17 − 97
17 + 97
.
; x=
12
12
x
z
y
2
2
2
x y y z z x
4 xyz
4
y
= z 2+ x 2+
+
S= 3 + 3 + 3 + 2
2
2
2
y z x
z
x
y
xy + yz + zx
z  x  y

+ +
     
z
x y
x
z
   y  

Vậy phương trình có hai nghiệm x =
Câu 10
(1,0 điểm)

0,25

0,25

y
z
x
1 . Khi đó:
Đặt a =, b =, c =⇒ a, b, c > 0; abc =
z
x
y

a b c
4
+ 2+ 2+
2
b c a a+b+c

 a 1  b 1  c 1 2 2 2
Ta có:  2 +  +  2 +  +  2 +  ≥ + +
b a c b a c b c a
a b
c 1 1 1 ab + bc + ca
⇔ 2+ 2+ 2≥ + + =
= ab + bc + ca
b c
a
a b c
abc
S=

0,25

Mặt khác: ( ab + bc + ca ) ≥ 3 ( ab.bc + bc.ca + ca.ab )= 3abc ( a + b + c )= 3 ( a + b + c ) .
2

Suy ra S ≥ ab + bc + ca +

12

( ab + bc + ca )

2

Đặt t = ab + bc + ca ⇒ t ≥ 3 3 ( abc ) = 3 ⇒ S ≥ t +
2

Xét hàm số f ( t ) = t +

12
t2

12
trên [3; +∞ )
t2

24 t 3 − 24
f '(t )= 1 − 3 =
> 0, ∀t ∈ [3; +∞ ) ⇒ f ( t ) đồng biến trên [3; +∞ )
t
t3
13
⇒ S ≥ f ( t ) ≥ f ( 3) =
3
Dấu đẳng thức xảy ra x= y= z= 1

Vậy MinS =

0,25

13
⇔ x = y = z =1
3

0,25

0,25