www.toancapba.net chuyen de tich phan

LUYEN THI ẹAẽI HOẽC CHAT LệễẽNG CAO

SẹT: 0978421673-01234332133. TP HUE

WWW.TOANCAPBA.NET
CHUYấN LUYN THI
TCH PHN
Dựng cho hc sinh lp 12-ễn thi i hc v Cao ng

Don't try to fix the students, fix ourselves first. The good teacher makes the poor
student good and the good student superior. When our students fail, we, as teachers,
too, have failed.

HUE, 01/2014


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

MỤC LỤC
Trang
A. NGUYÊN HÀM..................................................................................................................... 3
B. TÍCH PHÂN .......................................................................................................................... 4
C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: ................................................... 6
VẤN ĐỀ 1: PHÉP THAY BIẾN t 

n

f ( x ) ........................................................................... 6

VẤN ĐÊ 2: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ....................... 11
DẠNG 1: a 2  x 2 ............................................................................................................. 11
DẠNG 2: x 2  a 2 ............................................................................................................. 14
DẠNG 3: x 2  a2 ............................................................................................................. 14
DẠNG 4:

a x
hoaëc
ax

ax
......................................................................................... 18
a x

VẤN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN LƯỢNG GI ÁC........................................................................... 19
Dạng 1: Biến đổi lượng giác về tích phân cơ bản ............................................................ 19

dx

Dạng 2: Tích phân dạng

 a sin x  b cos x  c .................................................................. 23

Dạng 3: Tích phân dạng

 a sin

2

dx

............................................... 24
x  b sin x cos x  c cos2 x

Dạng 4: Tích phân dạng I1   f (sin x )cos xdx; I 2   f (cos x )sin xdx ............................ 25
1.Tích phân có dạng  sin m x.cosn xdx .......................................................................... 26
2.Tích phân dạng I1  
Dạng 5: Tích phân chứa

sin m x
dx;
cosn x

I1  

cosm x
dx;
sin n x

m, n    .................................. 27

  tan x;cos x dx;   cot x;sin x dx ............................................ 28

Dạng 6: Đổi biến bất kì ..................................................................................................... 29
VẤN ĐỀ 4: TÍCH PHÂN CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .......................................... 39
VẤN ĐỀ 5: TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ ............................................................................ 42
VẤN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT ....................................................... 50
VẤN ĐỀ 7: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ............................................................................. 58
VẤN ĐỀ 8: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ..................... 69
VẤN ĐỀ 9: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY .................................................. 77
MỘT SỐ BÀI TẬP CẦN LÀM TRƯỚC KHI THI ................................................................ 83

D. PHỤ LỤC............................................................................................................................. 95
1
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG LÀM THAY ĐỔI CẬN TÍCH PHÂN .................. 95
SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG TÍNH TÍCH PHÂN ..................................................... 100
ĐỀ THI ĐẠI HỌ C TỪ 2009-2012 ..................................................................................... 107
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................. 109

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

2


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

A. NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm nguyên hàm
 Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:

F '( x )  f ( x ) , x  K
 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:

 f ( x )dx  F( x )  C , C  R.
 Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất


 f '( x )dx  f ( x )  C



  f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx

  kf ( x )dx  k  f ( x )dx

(k  0)

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
  0dx  C
  dx  x  C

x  1
 C , (  1)
  x dx 
 1
1
  dx  ln x  C
x
  e x dx  e x  C




ax
 C (0  a  1)
ln a
  cos xdx  sin x  C
  a x dx 

1

  sin xdx   cos x  C

1



 cos



 sin



2

1
2

x
x

dx  tan x  C

dx   cot x  C

1 ax  b
e
 C , (a  0)
a

1
1
dx  ln ax  b  C
 
1
ax  b
a
 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C (a  0)

 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C (a  0)

e

ax  b

dx 

4. Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

3


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

Nếu

 f (u)du  F (u)  C

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

và u  u( x ) có đạo hàm liên tục thì:

 f u( x ).u '( x )dx  F u( x )  C
b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

 udv  uv   vdu

B. TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
 Cho hàm số f liên tục trên K và a, b  K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là

b

 f ( x )dx .
a

b

 f ( x )dx  F(b)  F(a)
a

 Đối với biến số lấy tích ph ân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b

b

b

a

a

a

 f ( x )dx   f (t)dt   f (u)du  ...  F(b)  F(a)
 Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của
hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đườn g thẳng x = a, x = b là:
b

S   f ( x )dx
a

2. Tính chất của tích phân
0



 f ( x )dx  0



0
b

b

a

a

b

a

a

b

 f ( x )dx   f ( x )dx

  kf ( x )dx  k  f ( x )dx (k: const)


b

b

b

a

a

a

  f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx



b

c

b

a

a

c

 f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

4


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

 Nếu f(x)  0 trên [a; b] thì

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

b

 f ( x )dx  0
a

 Nếu f(x)  g(x) trên [a; b] thì

b

b

a

a

 f ( x )dx   g( x )dx

3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
b

u( b )

a

u( a )

 f u( x ).u '( x )dx  

f (u)du

trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên
K, a, b  K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b  K thì:
b

 udv  uv
a

b
a

b

  vdu
a

Chú ý:
 Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
 Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho

b

 vdu dễ tính hơn
a

b

 udv .
a

Trong phần sau sẽ trình bày kỉ thuật lựa chọn u và dv .

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

5


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂ N:
VẤN ĐỀ 1: PHÉP THAY BIẾN t 

n

f (x)

Phương pháp: Khi hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức có dạng

n

f ( x ) . Lúc đó trong

nhiều trường hợp ( chứ không phải mọi trường hợp), ta có thể đổi biến bằng cách
-

Bước 1: Đặt t 

-

Bước 2: Ghi nhớ “Đổi biến thì phải đổi cân”

n

f ( x )  t n  f ( x )  nt n1dt  f '( x )dx

BÀI TẬP MẪU: Tính các tích phân sau
1

Bài 1: Tính I   x 3 1  x 2 dx
0

Giải:

1  x 2  t2 = 1 – x2  xdx = -tdt

Đặt t =
Đổi cận:

x

0

1

t

1

0

1

Khi đó: I   x

1  x dx =

3

2

1

0

0

1

 1  t  .t.tdt =   t
2

0

2

 t3 t5  1 2
.
 t 4 dt =    =
 3 5  0 15



1

Bài 2: Tính I   x 3 3 1  x 4 dx
0

Giải:

3
Đặt t = 3 1  x 4  t 3  1  x 4  x 3dx   t 2 dt
4
Đổi cận:
x

0

1

t

1

0

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

6


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

1

Khi đó: I   x

33

0

e

Bài 3: Tính I  
1

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

1

3
3 1 3
1  x dx   t 3dt  t 4  .
40
16 0 16
4

1  ln x
dx
x

Giải:
Đặt t  1  ln x  t 2  1  ln x  2tdt 

dx
x

Đổi cận:
x

1

t

1

e

2

e

1  ln x
dx 
x

Khi đó: I  
1

2

Bài 4: Tính I  
1

2

2

2
 t.2tdt 2  t dt 2
1

1





t3 2 2 2 2  1

.
31
3

dx
x 1  x3

Giải:
2

Ta có:

x
1

dx
1  x3

2


1

x 2 dx
x3 1  x3

Đặt t  1  x 3  t 2  1  x 3  2tdt  3 x 2 dx  x 2 dx 

2tdt
3

Đổi cận:
x
t

1

2

2

3

Khi đó:

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

7


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

2

2

dx

I 

x 1  x3

1

3

3
dt
1  1
1 
 t 2  1  3   t  1  t  1  dt 
2
2

2

1  x3 3

x 2 dx



x3

1

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

3
 1 t 1  3
1
1 1
2 1
ln t  1  ln t  1
  ln
  ln  ln


3
2  3 t  1  2 3  2
2  1 







1
2 1
1
 ln
 ln
3 2 2 1 3





4



2 1

2

dx

x

Bài 5: Tính I 



1

x2  9

7

Giải:
 Đặt t  x 2  9  t 2  x 2  9  t  0   tdt  xdx;

dx tdt
tdt
 2  2
x

x
t 9

Đổi cận:
x

7

t

4

Khi đó:

5

t
4

2

4
5

dt
1 t 3 5 1 7
 ln
 ln
9 6 t3 4 6 4

BÀI TẬP ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau
7

1) 
0

x3
3

1  x2

ln 3

2) 
0

3)

ln 5



ln 2

ex

e

x

ÑS :

dx



1

3

10  e 
x

ÑS :  1  2

dx

ex
ex  1

141
20

dx

ÑS :

20
3

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

8


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

4

7

4) 
0

x3

8

5) 

3

1
x 1 x

2

1 x 1

1

1
1
ÑS : ln  ln
2
3

dx

x

6) 

3 3 3
ÑS :  ln
8 4 2

dx

1 4 1 x4

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

dx ( A  2004)

ÑS :

11
 4 ln 2
3

e

ln x. 3 2  ln 2 x
dx (Khoái B  2004).
x
1

7)

ÑS :



3 3
3 3  23 2
8



HD : Ñaët t  3 2  ln 2 x
3

8)  e

x 2 1

.

0

9)

2 3



5

1

x 1
2

dx
x x 4
2

e3

10) 

x

dx.

.

ln 2 x
x ln x  1

ÑS : e2  e
1 5
ÑS : ln
4 3

(Khoái A-2003). Ñaët t  x 2  4

dx.(Döï bò khoái D-2005)

Ñaët t  ln x  1.

e


ln x
11)  
 ln 2 x  dx. HD : I  I1  I 2

1  x 1  ln x
2

12)
1

1

x x 1
dx.
x  10

t  x  1.

DS :

ÑS : e 

ÑS :

76
15

2 2 2

3
3

62
 30 ln 2 .
3

1

x
dx
1 x
0

13) x sin x dx  
2

3

0

1

1

x
dx
1 x
0

Hướng dẫn : I   x 2 sin x 3dx  
0

1

Ta tính I1 =

x

2

sin x 3dx đặt t = x3 ta tính được I 1 = -1/3(cos1 - sin1)

0

1

x
Ta tính I2 = 
dx đặt t =
1 x
0

1

x ta tính được I 2 = 2  (1 
0



1
)dt  2(1  )  2 
2
4
2
1 t

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

9


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

ĐS :-1/3(cos1 - 1)+ 2 
5

14)
2

ln( x  1  1)
x 1 x 1

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN


2

dx

Hướng dẫn :Đặt t  x  1  1 . Đáp số: ln 2 3  ln 2 2
6

15) 
2

dx
2x  1  4x  1

Hướng dẫn :Đặt t  4 x  1  t 2  4 x  1  2tdt  4dx .
6

5

5

5

5

3 1
1
tdt
tdt
dt
dt
 ln 
I 
  2



2
2
t  1 3  t  1
2 12
4 x  1 2 3 t  1  1  t 3  t  1
2 2x  1 
3
2
dx

BÀI TẬP BỔ SUNG

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

10


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

VẤN ĐÊ 2: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
CÁCH ĐẶT

DẤU HIỆU

2

a x

 x  a sin t vôùi   / 2  t   / 2

 x  a cos t vôùi 0  t  

2


a
  
vôùi t    ;  \ {0}
x 
sin t

 2 2


 x  a vôùi t   0;   \   

 2

cos t
 

x 2  a2

2

x a

 x  a tan t vôùi   / 2  t   / 2

 x  a cos t vôùi 0< t  

2

a x
hoaëc
ax

ax
a x

 x  a  b  x 
DẠNG 1:

Ñaët x  a cos2t
 
x  a   b  a  sin 2 t, t   0; 
 2

a2  x 2

BÀI TẬP MẪU: Tính các tích phân sau
a

Bài 1: Tính I   x 2 a 2  x 2 dx
0

Giải:

  
Đặt x = asint, t    ;  .  dx = acostdt
 2 2
Đổi cận:
x

0

a

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

11

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

t



0

a

2


Khi đó: I   x

2



2

2

0





4 2

4 2



a
a
= a  sin tcos tdt =
sin 2 2tdt =

4 0
8
0
4

2

2

Bài 2: Tính I 



a  x dx =  a 2 sin 2 t a 2 1  sin 2 t .acostdt

2

0

2

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

1




a4  1
 a4
0 1  cos4t dt = 8  t  4 sin 4t  2 = 16
0

1  x2
dx
x2



2
2

Giải:

  
Đặt x = cost, t    ;  .  dx = - sint dt
 2 2
Đổi cận:

t

Khi đó:

I



2
2

x

4

1
1

0
0



1 x
1  cos t .sint
dx =  
dt =
2
x
cos2t


2



2
2

2

4


0

sin t .sin t
cos2t



sin 2 t
dt =
dt = 
2
0 cos t
4

4





 
 1


0  cos2t  1dt =  tan t  t  4 = 1  4 . (vì t   0; 4  nên sint  0  sin t  sin t )
0
4

1

Bài 3: Tính I   x 2 1  x 2 dx
0

Giải:

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

12


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

  
Đặt x = sint, t    ;  .  dx = costdt
 2 2
Đổi cận:

x

0

t

0

1


2




1

2

Khi đó: I   x 2 1  x 2 dx =  sin 2 t 1  sin 2 t .costdt =
0

0





1

12 2
2
2
=
sin
tcos
tdt
sin 2tdt =
4 0
4 0
2





1 1
12
=  1  cos4t dt =  t  sin 4t  2 =
8 4
80
 0 16
Tính các tích phân sau:
3

1)  4  x 2 dx ;



HD : Ñaët x  2sin t

ÑS :

HD : Ñaët x  3cos t

ÑS :

dx ;

HD : Ñaët x  sin t

ÑS :

4)  16  x 2 dx;

HD : Ñaët x  4sin t

1

3
2



2)


3 2
2

2
2

3) 
0

1

9  x 
2

x2
1  x2

3

dx ;

8

3
3 3
27


8



1

4

0

1
2

5)  1  x 2 dx

HD : Ñaët x  sin t

0

5
2

6)
1

1
9   x  1

2

dx ;

HD : Ñaët x  1  3sin t

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

13


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

1

7) x  x 2 dx.

ÑS :

1
2

1

HD : 
1
2


16

1

2
1
x  x dx   1   2 x  1 dx.
21
2

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

Ñaët : 2 x  1  sin t

2

DẠNG 2:

x 2  a2

Tính các tích phân sau:
6

1

1) 
3

dx ;

HD : Ñaët x 

3
sin t

ÑS :

dx ;

HD : Ñaët x 

1
sin t

ÑS :

dx ;

HD : Ñaët x 

1
cos t

dx ;

HD : Ñaët x 

1
cos t

x x2  9

2


36

2
3

2) 
2

1
x x 1
2

2
2

x2

3) 

x2  1

0

5
2

4)
1

1
x x 1
2

DẠNG 3:


6

x 2  a2

BÀI TẬP MẪU:
Bài 1: Tính I 

0

x

1

2

1
dx
 2x  4

Giải:
0

0

1
1
Ta có:  2
dx  

2
1 x  2 x  4
1 x  1
 

 3

2

dx

  
Đặt x  1  3 tan t với t    ;  .  dx  3 1  tan 2 t dt
 2 2





Đổi cận:
x

-1

0

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

14

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

t

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN



0

6


0



 3
1
36
3
Khi đó: I   2
dx 
dt 
t 6
.

3 0
3

18
1 x  2 x  4
0
1

x3
dx
8
0 1 x

Bài 2: Tính I  
Giải:
1

1

x3
x3
Ta có: 
dx

0
8
0 1 x
1 x4

 

2

dx

  
1
Đặt x 4  tan t với t    ;  .  x 3dx  1  tan 2 t dt
4
 2 2





Đổi cận:
x

0

t

0

1

0


4
3

1


3

x
x
Khi đó: I  
dx  
8
4
0 1 x
0 1 x

 






1 1  tan t
14
1


dx
dt
dt  t 4  .



2
2
4 0 1  tan t
40
4
16
0
2

4



cosx
dx
2
0 1  sin x

2

Bài 3: Tính I  
Giải:

  
Đặt sin x  tan t với t    ;   cosxdx  1  tan 2 t dt
 2 2





Đổi cận:

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

15


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

x

0

t

0

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN


2


4







4
cosx
1  tan t

Khi đó: I  
dx  
dt   dt 
2
2
4
0 1  sin x
0 1  tan t
0
2

4

2

BÀI TẬP ÁP DỤNG:
4

1
dx ;
2
0 4 x

1)

3

2)
0

HD : Ñaët x  2 tan t

1
dx ;
x 9

ÑS :


8

HD : Ñaët x  3tan t

2

1

3) x 1  x 2 dx ;

HD : Ñaët x  tan t

0

3

1



4)

1  x 
2

3
3



3

dx ;

HD : Ñaët x  tan t

ÑS :

3 1
2

3
2

9  2x2

dx ;
x2

5) 

3
2
1



6)

0

x3

x

2

3

x

7)

1

0

3

9)
1

x

dx ;

1
x2  3

2

1

8)



1

3

1
2



1

2

dx

1  x2
dx.
x2

dx ;

HD : Ñaët 2 x  3tan t

HD : Ñaët x  tan t

ÑS :

3 1
2

hoaëc u  x 2  1

HD : Ñaët x  3 tan t
ÑS :

 2
8

Ñaët x  tan t.



ÑS : ln 2  3





2 1 

3 2 2 3
3

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

16


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

1

10)
0

x
dx.
x  x2  1
4

ĐS :

CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN

 3
8
1

1
du
HD :Biến đổi tích phân đã cho về dạng:  2
2 0 u  u 1

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

17


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

DẠNG 4:

a x
hoaëc
ax

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

ax

a x

Tính tích phân sau:
0

1) 

1

1 x
1 x

DẠNG 5:

HD : x  cos2t

5
2

2)
0

5 x
5 x

HD : x  5cos2t

 x  a  b  x 

Tính tích phân sau:

3
2

  x  1 2  x  .
5
4

Ñaët x  1  sin 2 t.

1 
3
ÑS :  

8  12 8 

BÀI TẬP BỔ SUNG

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

18


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

VẤN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Biến đổi lượng giác về tích phân cơ bản


1
dx
4
0 cos x
4

Ví dụ 1: Tính I  
Giải:

Đặt t = tanx ;  dt 

1
dx
cos2 x

Đổi cận:
x

0

t

0


4
1





1
4
 t3  1 4
1
1
2
2
dx   1  tan x
dx   1  t dt   t    .
Khi đó: I  
4
30 3
cos2 x
0 cos x
0
0

4











Ví dụ 2: Tính I 

12

 tan 4 xdx
0

Giải:
Ta có:





12

12

0

0

sin 4 x

 tan 4 xdx   cos4 x dx

Đặt t = cos4x ;  dt  4s in 4 xdx  sin 4 xdx  

dt
4

Đổi cận:

x

0

t

1


12
1
2

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

19


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO





12

12

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

1
2

1
1
sin 4 x
1 dt 1 dt 1
1
Khi đó: I   tan 4 xdx  
dx       ln t 1  ln 2.
cos4 x
41 t 41 t 4
4
0
0
2
2

2

Ví dụ 3: Tính I   cos5 xdx
0

Giải:




2

2


2





2

Ta có:  cos xdx   cos xcoxdx   1  sin 2 x coxdx
5

0

4

0

0

Đặt t = sinx ;  dt  cosxdx
Đổi cận:

x

0

t

0


2
1

Khi đó:




2

2

0

0





2



2





I   cos5 xdx   1  sin 2 x coxdx   1  t 2
0

2

 dt   1  2t
2

0

2

 2t 3 t 5  1 8
 t 4 dt   t 
   .
3
5  0 15





4

Ví dụ 4: Tính I   tan3 xdx
0

Giải:









Đặt t = tanx ;  dt  1  tan 2 x dx  1  t 2 dt  dx 

dt
t 1
2

Đổi cận:
x

0

t

0


4
1

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

20


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

Khi đó:






2
1
1
1
1

1 2t
t3
t 

t2 1 1 d t  1
I   tan xdx   2
dt    t  2
dt 


 dt   tdt   2
2 0 t 1
2 0 2 0 t 2  1
t  1
0
0 t 1
0
0
4



1

3

1 1 1
1 1
1
 ln t 2  1   ln 2  1  ln 2  .
2 2
2
0 2 2






2

Ví dụ 5: Tính I   cos3 xdx


6

Giải:






2

2

2







2





I   cos xdx   cos x.cosxdx   1  sin x cosxdx   1  sin 2 x d  sin x 
3

2







6

6

6

2



6




sin x  2
1 1 1
5
  sin x 

  1  
3 
3 2 24 24

6
3



sin 4 x
dx
4
0 sin x  cos x
4

Ví dụ 7: Tính I  

4

Giải:








4
4
4
sin 4 x
2sin 2 xcos2 x
2sin 2 xcos2 x
2sin 2 xcos2 x



I 4
dx
dx
dx
dx 



4
4
4
2
2
1




sin
x
cos
x
sin
x
cos
x
1
2sin
xcos
x
2
0
0
0
0 1
sin 2 x
2
4



1



 1

1
1

d  1  sin 2 2 x    ln 1  sin 2 2 x 4   ln  ln 2
1 2
2
2
2

0 1
sin 2 x 
0
2
4



cos3 x
dx
 1  sin x
2

Ví dụ 8: Tính I  
4

Giải:

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

21


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO




3


2



1  sin 2 x

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN





2
cos x
cos x
dx  
cosxdx  
cosxdx   1  sin x cosxdx 

 1  sin x
 1  sin x
 1  sin x

2

I

2

4

2

4

4





2

2





4

4

4





   cosx  cosx sin x dx   cosxdx 



1
1
32 2
s in2 xdx   sin x  sin 2 x  2 

2
4
4


4
4
2


2

Ví dụ 9: Tính I   sin3 xdx
0

Giải:




2

2






cos3 x 
1 2
I   sin xdx   sin x sin xdx    1  cos x d  cosx     cosx 
 2  1 
3 
3 3
0
0
0

0
3

2

2



2





dx
1  cosx
0

2

Ví dụ 10: Tính I  

x
d

2
2
2
2
dx
dx

x


Giải: I  


 tan 2  1
1  cosx 0
2
2 x
2 x
0
0
2cos
cos
0
2
2








dx
 1  sin 2 x
2

Ví dụ 11: Tính I  
4

Giải:








12
dx
dx
dx
dx


 
I
2
2
2


 1  sin 2 x
  sin x  cosx 
 


 
cos2  x  
4
4
4  2cos  x 
4

4

4  


2

2

2





1
1
 tan  x   2 
2
4 2

4
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

22


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN


2

Ví dụ 12: Tính I  


dx
sin x

3

Giải:


Ta có:





dx
sin xdx 2 sin xdx




2
2
 sin x
 sin x
 1  co s x
2

2

3

3

3

 Đặt t  cosx  dt   sin xdx
Đổi cận:
x

t





3

2

1
2

0

Khi đó:
1
2

0

1
2

dt
1  1
1 
 dt

 

dt
2
2
2 0 1 t 1 t 
1 1 t
0 1 t

I 
2

1
2

1
2

1
1 dt 1 dt
1
1 1
3
 
 
  ln t  1  ln t  1 2    ln  ln 
2 0 t 1 2 0 t 1
2
2 2
2
0





1 1 1
  ln  ln 3
2 3 2

Dạng 2: Tích phân dạng

dx

 a sin x  b cos x  c

x
Cách giải: Đặt t  tan , đưa về tích phân hữu tỉ
2


Ví dụ 1: Tính tích phân

2

dx

 2 cos x  sin x  2
0

ĐS: ln

3
2

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

23

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN



Ví dụ 2: Tính tích phân

dx

2

 3cos x  2sin x  2

ĐS:

1 5
ln
3 2

ĐS:

1 4
ln
2 3

ĐS:

3
18

0



Ví dụ 3: Tính tích phân

4

 2 cos
0

2

dx
x  3sin 2 x  2



Ví dụ 4: Tính tích phân

dx

4

 sin 2 x  2
0



Ví dụ 5: Tính tích phân

4

1  2sin x

 2  cos x dx

ĐS:

0

Dạng 3 : Tích phân dạng

 a sin

2

2 3
 2 ln 2
9

dx
x  b sin x cos x  c cos2 x

Cách giải:
Cách 1: Đặt cos2 x ở mẫu làm thừa số chung sau đó đ ặt t  tan x
Cách 2: hạ bậc đưa về dạng 2

3

dx



sin
x
sin
x


6
6 


Ví dụ 1:Tính I  

Giải:






3
dx
dx
2dx




I
2

 3
  3 sin x  sin xcosx
 
1

sin x sin  x   6  sin x  
sin x  cosx  6
6
6
 2

2



3

3





3





6

 co s x  
2

2dx
3 tan 2 x  tan x

3






6

2d  tan x 

 tan x  


3



3 tan x  1

 2 3


6



d  tan x 
3 tan x





3 tan x  1




3


1
1
 2 3

d  tan x  
3 tan x  1 
  3 tan x
6

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ WWW.ToanCapBa.Net

24