Toán 4 giải các bài toán điển hình bằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

PHềNG GIO DC V O TO QUN THANH XUN - H NI

TRNG TIU HC NHN CHNH

***************

Hớng dẫn học sinh lớp 4 giải các bài toán điển hình
bằng phơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng

Năm học 2012 - 2013


Mục lục
Trang
Mở đầu
Nội dung
1. Cơ sở khoa học.
2. Cỏc dng toỏn in hỡnh trong chng trỡnh toỏn lp 4
3. Hớng dần học sinh lớp 4 giải các dạng toán điển hình
bằng phơng pháp sử dụng sơ đồ đoạn thẳng.
4. Kt qu t c

1
4
4
7
7
18

BI HC KINH NGHIM V IU KIN THC HIN

19

Kết luận và khuyến nghị
1. Kết luận.
2. Khuyến nghị.

20
20
21

Tài liệu tham khảo

22


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Cơ sở lí luận
Chơng trình toán của Tiểu học có vị trí và tầm quan
trọng rất lớn, nó góp phần quan trọng trong việc đặt nền
móng cho việc hình thành và phát triển nhân cách học sinh.
Môn Toán ở Tiểu học bớc đầu hình thành và phát triển năng lực
trừu tợng hóa, khái quát hóa, kích thích trí tởng tợng, phát triển
hợp lí khả năng suy luận và biết diễn đạt đúng bằng lời, góp
phần rèn luyện phơng pháp học tập và làm việc khoa học, linh
hoạt, sáng tạo.
Trong dạy - học toán ở Tiểu học, việc giải toán có lời văn
chiếm một vị trí quan trọng. Trong giải toán, học sinh phải t
duy một cách tích cực và linh hoạt, huy động tích cực các kiến
thức và khả năng đã có vào tình huống khác nhau, trong nhiều

trờng hợp phải biết phát hiện những dữ kiện hay điều kiện
cha đợc nêu ra một cách tờng minh và trong chừng mực nào
đó, phải biết suy nghĩ năng động, sáng tạo. Vì vậy có thể coi
giải toán có lời văn là một trong những biểu hiện năng động
nhất của hoạt động trí tuệ của học sinh.
Dạy học giải toán có lời văn ở bậc Tiểu học nhằm mục
đích chủ yếu sau:
- Giúp học sinh luyện tập củng cố, vận dụng các kiến thức
đã học vào thực hành, rèn luyện kĩ năng tính toán, vận dụng
kiến thức và rèn luyện kĩ năng thực hành vào thực tiễn.
- Giúp học sinh từng bớc phát triển năng lực t duy, rèn luyện
phơng pháp và kĩ năng suy luận, khêu gợi và tập dợt khả năng
quan sát, phỏng đoán, tìm tòi.
1


- Rèn luyện cho học sinh những đặc tính và phong cách
làm việc của ngời lao động nh: cẩn thận, chu đáo,...
ở học sinh lớp 4, giải các dạng toán điển hình đối với các
em là mới lạ, song khả năng nhận thức của các em đã đợc hình
thành và phát triển ở các lớp trớc, t duy đã bắt đầu có chiều hớng bền vững và đang ở giai đoạn phát triển. Vốn sống, vốn
hiểu biết thực tế đã bớc đầu có những hiểu biết nhất định.
Tuy nhiên trình độ nhận thức của học sinh không đồng
đều, yêu cầu đặt ra khi giải các bài toán có lời văn cao hơn
những lớp trớc. Các em phải đọc nhiều, viết nhiều, bài làm phải
trả lời chính xác với phép tính, với các yêu cầu của bài toán đã
ra nên thờng vớng mắc về vấn đề trình bày bài giải: sai sót
do không viết đúng chính tả hoặc viết thiếu, viết thừa từ.
Một sai sót đáng kể khác là học sinh thờng không chú ý phân
tích theo các điều kiện của bài toán nên đã lựa chọn sai phép

tính.
Học sinh tiểu học nói chung và học sinh lớp 4 nói riêng,
việc học toán và giải toán điển hình là rất quan trọng và cần
thiết. Để thực hiện tốt mục tiêu đó, giáo viên cần phải nghiên
cứu, tìm biện pháp giảng dạy thích hợp, giúp các em giải bài
toán một cách vững vàng, hiểu sâu đợc bản chất của vấn đề
cần tìm, mặt khác giúp các em có phơng pháp suy luận toán
lôgíc thông qua cách trình bày, lời giải đúng, ngắn gọn, sáng
tạo trong cách thực hiện. Từ đó giúp các em hứng thú say mê
học Toán.
1.2. Cơ sở thực tiễn.
Việc giải toán điển hình bằng phơng pháp dùng cơ sở
đoạn thẳng là rất quan trọng vì Sơ đồ đoạn thẳng là
2


một phơng tiện trực quan đợc sử dụng trong việc dạy, giải toán
ngay từ lớp 1 bởi nó đáp ứng đợc nhu cầu tăng dần mức độ trừu
tợng trong việc cung cấp các kiến thức toán học cho học sinh.
Phơng tiện trực quan thì có nhiều nhng qua thực tế giảng
dạy tôi nhận thấy sơ đồ đoạn thẳng là phơng tiện cần thiết,
quan trọng và hết sức hữu hiệu trong việc dạy giải toán (Một kỹ
năng cần thiết nhất) ở bậc tiểu học nói chung và ở các lớp cuối
cấp nói riêng. Từ những lý do đó tôi đã chọn đề tài: Hớng dẫn
học sinh lớp 4 giải bài toán điển hình bằng phơng pháp
dùng sơ đồ đoạn thẳng.
2. Đối tợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
2.1. Đối tợng nghiên cứu :
- Bin phỏp hớng dẫn học sinh giải các dạng toán điển hình
bằng phơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng.

- Chơng trình và sách giáo khoa toán 4.
2.2. Phạm vi nghiên cứu:
- Học sinh lớp 4A1 - 4 A4 năm học : 2012- 2013.
3. Nhim v nghiờn cu:
- Tìm hiểu nội dung chơng trình và phơng pháp dùng
để giảng dạy toán điển hình lớp 4.
- Tìm hiểu những kĩ năng cơ bản cần trang bị để phục
vụ việc giải toán điển hình cho học sinh lớp 4.
- Khảo sát và hớng dẫn giải cụ thể một số bài toán, một số
dạng toán điển hình ở lớp 4, từ đó đúc rút kinh nghiệm, đề
xuất một số ý kiến góp phần nâng cao chất lợng dạy học giải
toán điển hình.
4. Phơng pháp nghiên cứu:
3


Trong quá trình nghiên cứu tôi đã dùng một số phơng pháp
sau:
- Phơng pháp nghiên cứu tài liệu: Thờng xuyên đọc
tham khảo sách giáo khoa, sách giáo viên, tài liệu bồi dng học
sinh Tiểu học để xác định rõ mục tiêu của phân môn nói
chung và yêu cầu bài học nói riêng.
- Phơng pháp quan sát : Dự giờ theo dõi các tiết dạy của
đồng nghiệp để đúc rút kinh nghiệm cho bản thân.
- Phơng pháp đàm thoi: Trao đổi với đồng nghiệp để
tìm hiểu xem bạn mình có những khó khăn gì khi giảng dạy
rồi so sánh với bản thân tìm ra phơng pháp giảng dạy tối u
nhất cho mình.
- Phơng pháp trắc nghiệm: Thực hiện giảng dạy cùng
bài trắc nghiệm và so sánh kết quả.

- Phơng pháp thống kê: Thống kê kết quả giảng dạy toán
điiển hình lớp 4.

Nội dung
1. Cơ sở khoa học:
1.1. Cơ sở lí luận:
Giải toán có lời văn là một thành phần quan trọng trong chơng trình giảng dạy môn toán ở bậc tiểu học. Nội dung của
việc giải toán gắn chặt một cách hữu cơ với nội dung của số
4


học và số tự nhiên, phân số, các đại lợng cơ bản và các yếu tố
đại số, hình học có trong chơng trình.
Vì vậy, việc giải toán có lời văn có một vị trí quan trọng
thể hiện ở các điểm sau:
a. Các khái niệm và các qui tắc về toán trong sách giáo
khoa nói chung đều đợc giảng dạy thông qua việc giải toán.
Việc giải toán giúp học sinh củng cố, vận dụng các kiến thức,
rèn luyện kĩ năng tính toán. Đồng thời qua việc giải toán của
học sinh mà giáo viên có thể dễ dàng phát hiện những u điểm
hoặc thiếu sót của các em về kiến thức, kĩ năng và t duy để
giúp các em phát huy họăc khắc phục.
b. Việc kết hợp học và hành, kết hợp giảng dạy với đời sống
đợc thực hiện thông qua việc cho học sinh giải toán, các bài
toán liên hệ với cuộc sống một cách thích hợp giúp học sinh
hình thành và rèn luyện những kĩ năng thực hành cần thiết
trong đời sống hàng ngày, giúp các em biết vận dụng những
kĩ năng đó trong cuộc sống.
c. Việc giải toán có thể giúp các em thấy đợc nhiều khái
niệm toán học, ví dụ: các số, các phép tính, các đại lợng... đều

có nguồn gốc trong cuộc sống hiện thực, trong thực tiễn hoạt
động của con ngời, thấy đợc các mối quan hệ biện chứng giữa
các dữ kiện, giữa cái đã cho và cái phải tìm...
d. Việc giải toán góp phần quan trọng vào việc rèn luyện
cho học sinh năng lực t duy và những đức tính tốt của con ngời lao động mới. Khi giải một bài toán, t duy của học sinh phải
hoạt động một cách tích cực vì các em cần phân biệt cái gì
đã cho, cái gì phải tìm, thiết lập các mối quan hệ giữa các dữ
kiện, giữa cái đã cho và cái phải tìm, suy luận, nêu lên những
phán đoán, rút ra những kết luận, thực hiện những phép tính
cần thiết để giải quyết vấn đề đặt ra...
5


Hoạt động trí tuệ có trong việc giải toán góp phần giáo dục
cho các em ý trí vợt khó khăn, đức tính cẩn thận, chu đáo làm
việc có kế hoạch, thói quen xem xét có căn cứ, thói quen tự
kiểm tra kết quả công việc mình làm, óc độc lập suy nghĩ,
óc sáng tạo...
1.2. Cơ sở thực tiễn:
Toán điển hình thực chất là những bài toán thực tế. Nội
dung bài toán đợc thông qua những câu văn nói về những
quan hệ tơng quan và phụ thuộc, có liên quan đến cuộc sống
thờng xảy ra hàng ngày. Cái khó của bài toán điển hình là
phải lợc bỏ những yếu tố về lời văn đã che đậy bản chất toán
học của bài toán, hay nói cách khác là chỉ ra các mối quan hệ
giữa các yếu tố toán học chứa đựng trong bài toán và nêu ra
phép tính thích hợp để từ đó tìm đợc đáp số bài toán.
a. Đề bài của bài toán điển hình bao giờ cũng có hai
phần:
- Phần đã cho hay còn gọi là giả thiết của bài toán.

- Phần phải tìm hay còn gọi là kết luận của bài toán.
Ngoài ra, trong đề toán có nêu mối quan hệ giữa phần đã
cho và phần phải tìm hay thực chất là mối quan hệ tơng quan
phụ thuộc vào giả thiết và kết luận của bài toán.
b. Để giúp học sinh có kỹ năng giải toán nói chung và kỹ
năng giải toán điển hình bằng phơng pháp dùng sơ đồ đoạn
thẳng nói riêng. Tôi đã giúp cho học sinh nắm một số bớc cơ
bản sau đây:
Bớc 1: Tìm hiểu đề bài
Sau khi phân tích đề toán, suy nghĩ về ý nghĩa bài
toán, nội dung bài toán đặc biệt chú ý đến câu hỏi của bài
toán.
6


Bớc 2: Lập luận để vẽ sơ đồ
Sau khi phân tích đề, thiết lập đợc mối quan hệ và phụ
thuộc giữa các đại lợng cho trong bài toán đó. Muốn làm việc
này ta thờng dùng sơ đồ đoạn thẳng thay cho các số (số đã
cho, số phải tìm trong bài toán) để minh hoạ các quan hệ đó.
Khi vẽ sơ đồ phải chọn độ dài các đoạn thẳng và sắp
xếp các đoạn thẳng đó một cách thích hợp để có thể dễ
dàng thấy đợc mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại lợng, tạo ra
một hình ảnh cụ thể giúp ta suy nghĩ tìm tòi cách giải một
bài toán.
Có thể nói đây là một bớc quan trọng vì đề toán đợc
làm sáng tỏ: mối quan hệ giữa các đại lợng trong bài toán đợc
nêu bật các yếu tố không cần thiết đợc lợc bỏ.
Để có thể thực hiện những bài toán bằng sơ đồ đoạn
thẳng thì nắm đợc cách biểu thị các phép tính (cộng, trừ,

nhân, chia) các mối quan hệ (quan hệ về hiệu, quan hệ về tỷ
số) là hết sức quan trọng. Vì nó làm một công cụ biểu đạt mối
quan hệ và phụ thuộc giữa các đại lợng. Công cụ này học sinh
đã đợc trang bị từ những lớp đầu cấp nhng cần đợc tiếp tục
củng cố, mài giũa ở các lớp cuối cấp.
Bớc 3: Lập kế hoạch giải toán
Dựa vào sơ đồ suy nghĩ xem từ các số đã cho và điều
kiện của bài toán có thể biết gì? có thể làm gì? phép tính
đó có thể giúp ta trả lời câu hỏi của bài toán không? trên có sở
đó, suy nghĩ để thiết lập trình tự giải bài toán.
Bớc 4: Giải và kiểm tra các bớc giải
+ Thực hiện các phép tính theo trình tự đã thiết lập để
tìm ra đáp số
7


+ Mỗi khi thực hiện phép tính cần kiểm tra xem đã đúng
cha? Giải xong bài toán phải thử xem đáp số đã tìm đợc có trả
lời đúng câu hỏi của bài toán có phù hợp với các điều kiện của
bải toán không.
Tóm lại, để học sinh có thể sử dụng thành thạo phơng
pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng trong việc giải toán thì việc
giúp cho các em hiểu rõ ý nghĩa của từng dạng toán sau đó có
thể mô hình hoá nội dung từng dạng bằng sơ đồ đoạn thẳng
từ đó tìm ra cách giải bài toán là một việc làm hết sức quan
trọng. Làm đợc việc này giáo viên đã đạt đợc mục tiêu lớn nhất
trong giảng dạy đó là việc không chỉ dừng lại ở việc dạy toán
mà còn hớng dẫn học sinh học toán sao cho đạt hiệu quả cao
nhất.
2. Các dạng toán điển hình trong chơng trình toán lớp 4.

- Tìm số trung bình cộng.
- Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó.
- Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó.
- Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó.
3. Hớng dẫn học sinh giải một số dạng toán điển hình cơ
bản bằng phơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng.
Để khẳng định cụ thể hơn lợi ích của việc sử dụng sơ
đồ đoạn thẳng để dạy giải toán ở tiểu học tôi xin trình bày
một số dạng toán cơ bản mà khi giải có thể sử dụng sơ đồ
đoạn thẳng.
3.1. Dạng 1: Dạng toán có liên quan đến số trung bình
cộng
Đối với dạng toán này, học sinh nắm đợc khái niệm số trung
bình cộng. Biết cách tìm số trung bình cộng của nhiều số.
8


Khi giải các bài toán dạng này, thông thờng các em thờng sử
dụng công thức.
Số trung bình = Tổng : số các số hạng
1. Tổng = số trung bình cộng x số các số hạng
2. Số các số hạng = tổng : số trung bình cộng
áp dụng kiến thức cơ bản đó học sinh đợc làm quen với
rất nhiều dạng toán về trung bình cộng mà có những bài toán
nếu không tóm tắt bằng sơ đồ, học sinh sẽ rất khó khăn trong
việc suy luận tìm ra cách giải.
Ví dụ 1:
An có 20 nhãn vở, Bình có số nhãn vở bằng An. Chi có số
nhẵn vở ít hơn trung bình cộng số nhãn vở của 3 bạn là 6 nhãn
vở. Hỏi chi có bao nhiêu nhãn vở?

Sau khi đọc kỹ đề toán, phân tích mối quan hệ giữa các
đại lợng trong bài, học sinh tóm tắt bài toán bằng sơ đồ:
+ Trớc hết vẽ đoạn thẳng:
Biểu thị tổng số nhẵn vở Tổng số nhãn vở
của 3 bạn

Bình + An

+ Dựa vào đó học sinh Chi
nêu cách vẽ đoạn thẳng Trung bình cộng
thể hiện mức trung bình
cộng số nhãn vở của 3 bạn Nhãn vở của Chi
(1/3 tổng trên)
+ Từ đó vẽ đoạn thẳng Nhãn vở của An
biểu thị số nhẵn vở của và Bình

Bình + An

Chi (ít hơn mức trung
bình cộng là 6 chiếc).
Sau khi hớng dẫn tìm hiểu đề và tóm tắt bằng sơ đồ,
nhiều học sinh đã biết từng bớc tìm cách giải. Những em cha
làm đợc bài, sau khi nghe bạn trình bày cách suy luận của sơ
9


đồ các em đều nắm đợc và biết tự giải quyết các bài toán
dạng tơng tự.
Số nhãn vở của An và Bình là:
20 + 20 = 40 (nhãn vở)

Nhìn vào sơ đồ ta thấy, trung bình cộng số nhãn vở của
3 bạn là
(40 6) : 2 = 17 (nhãn vở)
Bạn Chi có số nhãn vở là:
17 6 = 11 (nhãn vở)
Đáp số: 11 nhãn vở
Ví dụ 2:
Dùng sơ có thể giúp học sinh hiểu hoặc các em có thể giải
thích cách làm dạng toán tìm 2 số khi biết hiệu và trung bình
cộng của 2 số đó một cách ngắn gọn.
Ta thấy:

Hiệu

Số lớn:
Số bé:
TBC:
Qua sơ đồ ta có thể tìm ra:
Số lớn = trung bình cộng +
(hiệu : 2)
Ví dụ một bài toán cụ thể dạng này:
Trung bình cộng của 2 số tròn chục liên tiếp là 2005. Tìm
hai số đó.
Vì hai số tròn chục liên tiếp kém nhau 10 đơn vị nên ta
có sơ đồ:
10


10
Số lớn:

Số bé:
TBC:
Bài giải:
Số lớn là:
2005 + (10 : 2) = 2010
Số bé là:
2005 (10 : 2) = 2000
Hoặc 2010 10 = 2000
Đáp số:

Số lớn: 2010
Số bé :2000

Ví dụ 3:
Một tổ công nhân đờng sắt sửa đờng, ngày thứ nhất
sửa đợc 15m đờng, ngày thứ 2 sửa đợc nhiều hơn ngày thứ
nhất 1m, ngày thứ 3 sửa đợc nhiều hơn ngày thứ nhất 2m. Hỏi
trung bình mỗi ngày sửa đợc bao nhiêu mét đờng?
Ta có sơ đồ:
15 m
Ngày thứ nhất:
1m
Ngày thứ hai:
2m
Ngày thứ ba:
Thông thờng ta giải bài toán nh sau:
Ngày thứ hai sửa đợc là:
15 + 1 = 16 (m)
11

Ngày thứ 3 sửa đợc
15 + 2 = 17 (m)
Trung bình mỗi ngày sửa đợc
(15 + 16 + 17) : 3 = 16 (m)
Đáp số: 16 (m)
Nhận xét: Quan sát kỹ sơ đồ ta thấy nếu chuyển một mét từ
ngày thứ 3 sang ngày thứ nhất thì số m đờng sửa đợc trong
các ngày đều bằng 16m.
Ngày thứ nhất:
1m
Ngày thứ hai:
1m

1m

Ngày thứ ba:
Ta thấy ngay trung bình mỗi ngày tổ đó sửa đợc 16m đờng.
Nh vậy, sơ đồ giúp ta hình dung rõ khái niệm, đôi khi sơ
đồ còn giúp ta tính nhẩm nhanh kết quả.
3.2. Dạng 2: Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu
của chúng.
Bài toán: Tổng hai số là 48, hiệu hai số là 12. Tìm hai số
đó?
Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ, căn cứ sơ đồ hớng dẫn học
sinh tìm ra phơng pháp giải.
Sử dụng sơ đồ biểu thị mối quan hệ về hiệu, các em sẽ
tóm tắt bài toán bằng sơ đồ dới đây.
Số lớn:
12

12

48


Số bé:
Nhìn vào sơ đồ, yêu cầu học sinh nhận xét:
+ Nếu lấy tổng trừ đi hiệu, kết quả đó có quan hệ nh
thế nào với số bé? (Giáo viên thao tác che phần hiệu là 12 trên
sơ đồ)... từ đó học sinh sẽ dễ dàng nhận thấy phần còn lại là 2
lần số bé.
Dựa vào suy luận trên, yêu cầu học sinh nêu cách tìm số
bé.
Hơn 80% số em nêu đợc tìm số bé là:
(42 12) : 2 = 18
Tìm đợc số bé suy ra số lớn là:
18 + 12 = 30
Hay: 48 18 = 30
Từ bài toán ta xây dựng đợc công thức tính:
Số bé = (Tổng
Hiệu) : 2
Số lớn = Số bé + Hiệu
Cách giải vừa nêu trên là dễ nhất với học sinh. Tuy nhiên cũng có
thể giới thiệu thêm phơng pháp sau đây:
Cũng biểu thị mối quan hệ hiệu nhng sử dụng sơ đồ:
Số lớn:
12

48

Số bé:
Suy luận: nếu thêm một đoạn thẳng hiệu (12) vào số bé ta đợc hai đoạn thẳng bằng nhau tức là hai lần số lớn.
Từ đó suy ra:
Số lớn là:
(48 + 12) : 2 = 30
13


Vậy số bé là: 30 12 = 18
Hoặc: 48 30 = 18
Sau khi học sinh đã nắm đợc cách giải ta xây dựng công thức
tổng quát:
Số lớn = (tổng +
hiệu) :2
Số bé = số lớn hiệu
Nh vậy qua sơ đồ đoạn thẳng học sinh nắm đợc phơng pháp
giải dạng toán
này và có thể áp dụng để giải các bài tập về tìm hai số khi
biết tổng và hiệu ở nhiều dạng khác nhau.
Ví dụ 1:
Ba lớp A, B, C mua tất cả 120 quyển vở. Tính số vở của
mỗi lớp biết rằng nếu lớp 4A chuyển cho lớp 4B 10 quyển và cho
lớp 4C 5 quyển thì số vở của 3 lớp sẽ bằng nhau:
Phân tích nội dung bài toán sẽ vẽ đợc sơ đồ
5
Lớp 4A:
10
Lớp 4B:
Lớp 4C:
Dựa vào sơ đồ ta có:

Sau khi lớp 4A chuyển cho hai lớp thì mỗi lớp có số vở là:
120:3 = 40 (quyển)
Lúc đầu lớp 4C có là:
40-5 = 35 (quyển)
14


Lúc đầu lớp 4B có là:
40-10 = 30 (quyển)
Lúc đầu lớp 4A có là:
40 + 10 + 5 = 55 (quyển)
Đáp số : 4A: 55 quyển; 4B: 30 quyển; 4C:
35 quyển.
3.3. Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tỉ của chúng
Bài toán: Một đội tuyển học sinh giỏi toán có 12 bạn,
trong đó số bạn gái bằng 1/3 số bạn trai. Hỏi có mấy bạn gái,
mấy bạn trai trong đội tuyển đó?
Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ, cắn cứ vào sơ đồ hớng dẫn
học sinh tìm ra
phơng pháp giải:
Sử dụng sơ đồ biểu thị mối quan hệ về tỷ số và các em
sẽ tóm tắt bài toán bằng sơ đồ dới đây:
Số bạn trai:
12 bạn
Số bạn gái:
Vẽ sơ đồ đoạn thẳng thế này học sinh dễ dàng thấy đợc
hai điều kiện của bài toán: cả trai và gái có 12 bạn (biểu thị
mối quan hệ về tổng) và có số bạn trai gấp 3 lần số bạn gái
(biểu thị mối quan hệ về tỷ).
Sơ đồ trên gợi cho ta cách tìm số bạn gái bằng cách:

lấy 12 chia cho 3 + 1 = 4 (vì số bạn gái ứng với 1/4 tổng số
bạn).
Cũng dựa vào sơ đồ ta dễ dàng tìm đợc số bạn trai
Bài giải:
Tổng số phần bằng nhau là
1 + 3 = 4 (phần)
15


Số bạn gái trong đội tuyển là
12 : 4 = 3 (bạn)
Số bạn trai trong đội tuyển là
3 x 3 = 9 (bạn)
Hoặc 12 3 = 9 (bạn)
Đáp số:

Trai: 9 bạn
Gái: 3 bạn

Từ bài toán cơ bản trên ta xây dụng quy tắc giải bài toán
tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của 2 số đó.
Bớc 1: Vẽ sơ đồ
Bớc 2: Tìm tổng số phần bằng nhau
Bớc 3: Tìm giá trị một phần
Giá trị một phần = Tổng : Tổng số phần
bằng nhau
Bớc 4: Tìm số bé
Số bé = giá trị 1 phần x số phần của số
bé
Bớc 5: Tìm số lớn

Nắm đợc quy tắc giải học sinh sẽ biết áp dụng để giải
nhiều bài toán cùng dạng, học sinh giỏi sẽ biết áp dụng quy tắc
để giải các bài toán khó dạng này (đó là các bài toán cùng dạng
nh tổng, tỷ đợc thể hiện dới dạng ẩn).
Ví dụ 1:
16


Hai đội xanh và đỏ có tất cả 45 quả bóng. Tính xem mỗi
đội có bao nhiêu quả bóng. Biết 3 lần số bóng đội xanh bằng 2
lần số bóng đội đỏ.
Bớc 1: Ta vẽ sơ đồ biểu thị 3 lần số bóng đội xanh = 2 lần
số bóng đội đỏ.
2 lần đội đỏ:
3 lần đội xanh:
Nhìn vào sơ đồ ta thấy nếu chia số bóng của đội xanh thành
2 phần và chia số bóng của đội đỏ thành 3 phần thì các phần
sẽ bằng nhau. Với tỷ số bóng 2 đội là 2/3. Ta có sơ đồ biểu thị
số bóng của 2 đội.
Đội xanh:
45 quả
Đội đỏ:
Bài giải
Tổng số phần bằng nhau là
2 + 3 = 5 (phần)
Số bóng ứng với một phần là
45 : 5 = 9 (quả)
Số bóng đội xanh là
9 x 2 = 18 (quả)

Số bóng đội đỏ là
9 x 3 = 27 (quả)
Đáp số:

Đội xanh: 18 quả
Đội đỏ: 27 quả

Ví dụ 2: Tổng số tuổi của 2 anh em hiện nay là 25 tuổi.
Trớc đây khi anh bằng tuổi em hiện nay thì tuổi anh gấp hai
lần tuổi em. Tính tuổi của mỗi ngời hiện nay?
17


Đây thực sự là bài toán về tìm 2 số khi biêt tổng và tỷ số
nhng không ở dạng cơ bản mà đã đợc nâng cao lên bằng cách
diễn đạt tỷ số dới dạng ẩn. Vì vậy khi nhận đợc đề bài này học
sinh rất lúng túng khi xác định đợc cách giải đúng. Sau khi gợi
ý, phân tích và hớng dẫn từng bớc sơ đồ hoá nội dung bài toán
các em nhận ra ngay dạng toán quen thuộc tìm hai số khi biết
tổng v tỷ số.
+ Trớc hết yêu cầu học sinh vẽ sơ đồ biểu thị số tuổi của 2
anh em trớc đây
Tuổi em trớc đây:
Tuổi anh trớc đây:
Nhận xét: Hiệu số tuổi của hai anh em là 1 phần. Hiệu
số phần bằng nhau giữa tuổi anh và tuổi em không thay đổi
theo thời gian (vì sau cùng một số năm thì 2 anh em cùng tăng
một số tuổi nh nhau). Nh vậy tuổi anh hiện nay bằng 3 lần
tuổi em trớc đây.
Ta có sơ đồ:

Tuổi em hiện nay:

25
tuổi

Tuổi anh hiện nay:

Dùng phơng pháp giải bài toán tìm hai số khi biết tổng và
tỷ số của 2 số đó học sinh đễ dàng tìm ra đáp số bài toán.
TK: Qua các ví dụ trên ta có thể thấy sơ đồ đoạn thẳng
không chỉ đơn thuần dùng để tóm tắt bài toán mà còn là một
công cụ giúp cho việc suy luận tìm ra cách giải toán. Sử dụng
sơ đồ ta có thể làm cho các bài toán khó, phức tạp trở thành
các bài toán đơn giản theo dạng cơ bản nên có thể dễ dàng
giải đợc.
3.4. Dạng 4: Tìm hai số khi biết hiệu và tỷ của chúng
Bài toán:
18


Tim hai số tự nhiên biết hiệu của chúng là 27 và số này bằng
2/5 số kia.
Học sinh phân tích để vẽ sơ đồ vừa biểu thị mối quan
hệ về hiệu, vừa biểu thị mối quan hệ về tỷ số:
Số lớn:
Số bé:

27

Dựa vào sơ đồ tiến hành tơng tự nh khi dạy dạng toán

Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó. Học sinh
tìm ra cách giải bài toán.
Tổng kết thành quy tắc giải dạng toán tìm hai số khi
biết hiệu và tỷ số của hai số đó.
Bớc 1: Vẽ sơ đồ
Bớc 2: Tìm hiệu số phần bằng nhau
Bớc 3: Tìm giá trị một phần
Giá trị một phần = Hiệu : Hiệu số phần
bằng nhau
Bớc 4: Tìm số bé
Số bé = giá trị 1 phần x số phần của số
bé
Bớc 5: Tìm số lớn
Nắm vững quy tắc giải học sinh cũng sẽ biết áp dụng để
giải các bài toán nâng cao.
Việc dùng sơ đồ đoạn thẳng một lần nữa lại thể hiện vai
trò vô cùng quan trọng vì sơ đồ chính là chỗ dựa giúp học sinh
dễ dàng trong việc suy luận tìm ra cách giải. Ta có thể lấy một
số bài toán sau đây làm ví dụ.
Ví dụ 1:

19


Hiệu hai số là 7, nếu gấp số thứ nhất lên 5 lần và giữ
nguyên số thứ 2 thì hiệu mới là 29. Tìm hai số đó?
Hớng dẫn học sinh sơ đồ hoá nội dung bài toán nh sau:
Trớc hết vẽ hai đoạn thẳng biểu thị hai số mà hiệu của
chúng là 7
Tiếp theo kéo dài đoạn thẳng biểu thị số thứ nhất để

hiển thị số đó đợc gấp lên 5 lần.
Yêu cầu học sinh xác định trên sơ đồ đoạn thẳng chỉ
hiệu mới
Sơ đồ bài toán
Số thứ nhất:
7
5 lần số thứ nhất:
39
Số thứ hai:
Với sơ đồ trên học sinh có thể thấy ngay
Bốn lần số thứ nhất là:
39 7 = 32
Số thứ nhất là:
32 : 4 = 8
Số thứ hai là:
87=1
Vậy hai số đó là 8 và 1
Ví dụ 2:
Hiện nay cha gấp 4 lần tuổi con. Trớc đây 6 năm tuổi
cha gấp 13 lần tuổi con. Tính tuổi cha và tuổi con hiện nay?
Đây là một bài toán khó, học sinh sẽ lúng túng vì cả hiệu
và tỷ số đều dới dạng ẩn. Nhng sử dụng sơ đồ đoạn thẳng các

20


em sẽ có số dựa vào suy luận và đa ra bài toán về dạng điển
hình.
Sơ đồ bài toán:
Trớc đây 6 năm:

Tuổi con:
Tuổi cha:
Hiện nay:

12 lần tuổi con trớc đây 6 năm

Tuổi con:
Tuổi cha:
12 lần tuổi con trớc đây 6 năm
Theo sơ đồ, hiệu số tuổi của cha và con bằng 12 lần
tuổi con lúc đó.
Còn hiệu số tuổi của cha và con hiện nay bằng 3 lần tuổi
con hiện nay.
Vì hiện nay không thay đổi nên 3 lần tuổi con hiện nay
bằng 12 lần tuổi con trớc đây.
Ta vẽ sơ đồ biểu thị tuổi con trớc đây và tuổi con hiện
nay:
Tuổi con trớc đây:
6 năm
Tuổi hiện nay:
Giải
Từ sơ đồ suy ra tuổi con trớc đây là:
6 : (4 1) = 2(tuổi)
Tuổi con hiện nay là:
2 + 6 = 8 (tuổi)
Tuổi cha hiện nay là:
4 x8 = 32 (tuổi).
Đáp số: Cha: 32 tuổi
Con: 8 tuổi.
21

Trờn õy l mt s bi toỏn in hỡnh gii bng phng phỏp s on thng.
S dng phng phỏp ny cỏc em s d dng tỡm ra ỏp s ca bi toỏn.
4. Kt qu t c
Thực tế giảng dạy ở trờng tiểu học tôi nhận thấy việc sử
dụng sơ đồ đoạn thẳng trong dạy toán điển hình hết sức
cần thiết và có hiệu quả cao. Sau quá trình thực hiện đề tài
về giải toán về điển hình, tôi cho hc sinh 2 lớp (4A1: thực
nghiệm, lớp 4A2: đối chứng) cựng lm mt bi kim tra v kết quả
đạt nh sau:
Năm học
2012-

S

Điểm

Lớp

ĩ

4A

số
4

4
4A

3
5

1
4A

1
4

4
4A

3
5

1

1

giỏi
SL
%
34,
15
9
45,
23
1
46,
20

5
66,
34
7

2013
Trớc thực
nghiệm
Sau
thực
nghiệm

Điểm khá Điểm TB Điểm yếu
SL
15
19
13
12

%
34,
9
37,
3
30,
2
23,
5

SL

10
8
9
5

%
23,
3
15,
7
21,
0
9,8

SL

%

3

6,9

1

1,9

1

2,3

0

0

Nhìn vào bảng thống kê kết quả kim tra của 2 lớp 4A1 và
4A4 tôi thấy kết quả của lớp 4A1 rất khả quan theo hớng đi lên
không còn em nào bị điểm yếu và điểm giỏi tăng cao. Tôi
thầm nghĩ để đạt đợc kết quả nh vậy là do các em học sinh
đã tiếp thu bài rất tốt nhờ sự hớng dẫn của giáo viên. Từ bảng
thống kê trên, giúp ta khẳng định một lần nữa là : Biện pháp
hớng dẫn học sinh giải các bài toán điển hình bằng phơng
pháp dựng sơ đồ đoạn thẳng là biện pháp kịp thời, kết quả
đạt đợc rất khả quan, có hiệu quả cao, góp phần nõng cao cht
lng mụn Toỏn. Tôi hy vọng trong những năm tiếp theo, củng cố
22


và phát huy những biện pháp này thỡ cht lng mụn Toỏn ca khi 4
núi riờng v ca trng Tiu hc Nhõn Chớnh núi chung s t c cao hn
na.
Bài học kinh nghiệm V điều kiện thực hiện
1. Bi hc kinh nghim
Từ những kinh nghiệm trình bày ở trên, tôi nghĩ để
giúp học sinh giải toán điển hình tốt hơn thì giáo viên cần :
- Hiểu rõ đặc điểm học sinh lớp mình.
- Đầu t nghiên cứu tài liệu để chuẩn bị bài dạy.
- Hớng dẫn học sinh giải theo các bớc:
+ Tìm hiểu đề bài
+ Lập luận để vẽ sơ đồ
+ Lập kế hoạch giải toán

+ Giải và kiểm tra các bớc giải.
- Biết cách lựa chọn phối hợp, phối hợp các phơng pháp và
hình thức tổ chức dạy học phù hợp với nội dung bài học và đối tợng học sinh.
- Phải biết khơi dậy những vốn hiểu biết sẵn có của học
sinh.
- Nắm bắt đợc những sai sót của học sinh và tìm ra
nguyên nhân, biện pháp khắc phục.
- Phải tâm huyết với nghề, tích cực học hỏi, bồi dỡng
chuyên môn nghiệp vụ.
2. iu kin thc hin.
Để thực hiện công việc trên đợc tốt, đạt đợc kết quả cao,
tôi nghĩ cần có điều kiện sau :
* Giáo viên :
- Có lòng yêu nghề mến trẻ.
- Nắm đợc kĩ năng cần rèn luyện cho học sinh.
23