Một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6

MỤC LỤC

Tên đề mục

Trang

MỤC LỤC

1

PHỤ LỤC: CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI

2

PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ

4

PHẦN THỨ HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

4

1. Những nội dung lí luận liên quan

4

2. Thực trạng vấn đề

4

3. Các biện pháp tiến hành

5

3.1. Nghiên cứu, phân loại các dạng bài tập sao cho phù hợp với từng
đối tượng học sinh và từng phần kiến thức cụ thể.

5

3.1a. Quy tắc nhân, quy tắc cộng, chỉnh hợp lặp

5

3.1b. Chỉnh hợp

6

3.1c. Hoán vị

7

3.1d. Tổ hợp

9

3.1e. Một số dạng bài tập

10

3.2.Thực hiện giảng dạy theo phương pháp mới là hướng người học
làm trung tâm.

32

3.3. Thường xuyên động viên, khuyến khích học sinh trong quá trình
giảng dạy trên lớp để các em thêm tự tin, hứng thú học tập.

32

4. Kết quả thực hiện

33

Phần thứ ba: Kết luận, kiến nghị
Tài liệu tham khảo

34
35
1


PHỤ LỤC: CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI

1) THCS: trung học cơ sở
2) THPT: trung học phổ thông
3) SKKN: sáng kiến kinh nghiệm

2


PHẦN THỨ NHẤT

ĐẶT VẤN ĐỀ
Căn cứ vào thực tế dạy và học hệ thống bài tập về đại số tổ hợp (chỉnh hợp,
hoán vị, tổ hợp,... tôi thấy hệ thống bài tập SGK, SBT do Bộ giáo dục – Đào tạo ấn
hành còn đơn điệu, chưa sâu, chưa đáp ứng đủ yêu cầu của dạng toán này. Bởi trên
thực tế bài tập về đại số tổ hợp rất đa dạng, phong phú (chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp)
và là một loại toán khó của Đại số THCS. Khi dạy phần này, nhất là đối với học
sinh khá, giỏi đòi hỏi giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn các dạng bài
tập, các ví dụ ...Vì thế mà nội dung giảng dạy chưa có hệ thống, chưa chuyên sâu.
Là giáo viên chúng ta luôn mong muốn cung cấp cho học sinh “chiếc chìa khóa” để
giải từng dạng bài tập.
Chính vì nhìn thấy tầm quan trọng của việc khải thác có hệ thống các đơn vị
kiến thức theo dạng bài tập cơ bản liên quan và được sự hướng dẫn, giúp đỡ tận
tình của tập thể giáo viên dạy bộ môn Toán trong nhà trường, tôi mạnh dạn đi sâu
suy nghĩ khai thác và đúc kết thành sáng kiến kinh nghiệm “Một số dạng bài tập
áp dụng đại số tổ hợp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6” trong dạy
học.

PHẦN THỨ HAI
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Những nội dung lý luận liên quan
1.1.Cơ sở lý luận:
Muốn đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với mục tiêu của chương trình
cải cách và nội dung SGK mới thì giáo viên trước hết phải dạy cho học sinh những
tri thức, phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách đọc tài liệu, biết cách suy
luận, biết cách tìm lại những cái đã quên và phát hiện kiến thức mới. Bên cạnh đó
đòi hỏi học sinh phải cố gắng, có trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nghiên cứu
kiến thức mới. Muốn dạy cho học sinh nắm được những tri thức về phương pháp
học tập thì người giáo viên phải thường xuyên suy nghĩ dạy một vấn đề, một đơn vị

3

kiến thức đặt ra trước mắt theo cách nào, theo hướng nào, để học sinh hiểu và vận
dụng hiệu quả cao hơn.
1.2. Cơ sở thực tiễn:
Trong chương trình toán THCS và THPT thì đại số tổ hợp vẫn luôn là một đề
tài hay và khó đối với học sinh . Các bài toán về đại số tổ hợp thường xuyên có mặt
tại các kì thi. Đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi các khối lớp ở THCS. Đây là
một dạng bài tập tương đối khó và chỉ áp dụng vào đối tượng học sinh khá, giỏi. Vì
vậy, qua quá trình bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi tôi đã tích luỹ được một số
kinh nghiệm với mong muốn giúp các em học sinh khá, giỏi, đặc biệt là học sinh
lớp 6 làm quen với dạng toán này, bước đầu hình thành cho mình một số vấn đề cơ
bản và một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp.
2. Thực trạng vấn đề
Trong chương trình bộ môn toán cấp THCS nhiều bài tập, đặc biệt là các bài
thi đối với học sinh giỏi có liên quan rất nhiều đến đại số tổ hợp, nhưng thời lượng
chương trình dành cho học sinh vận dụng không nhiều. Các dạng toán áp dụng đại
số tổ hợp tương đối trừu tượng, khó nên học sinh ngại học, ngại nghiên cứu các
dạng toán này. Ngoài ra tài liệu chuyên sâu về việc áp dụng đại số tổ hợp trong giải
toán chưa nhiều, còn rất thiếu và chưa có hệ thống. Vì vậy muốn học sinh đọc hiểu
và có khả năng vận dụng kiến thức vào giải các bài tập liên quan nên tôi đã mạnh
dạn thực hiện sưu tầm, lựa chọn một số dạng bài tập áp dụng về đại số tổ hợp và
tiến hành nghiên cứu trong đề tài: “Một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp
trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6” giúp cho việc dạy và học, bồi
dưỡng học sinh khá, giỏi đạt kết quả cao.
3. Các biện pháp tiến hành
3.1. Nghiên cứu, phân loại các dạng bài tập sao cho phù hợp với từng đối
tượng học sinh và từng phần kiến thức cụ thể.
3.1.a. Quy tắc nhân, quy tắc cộng, chỉnh hợp lặp:
3.1.a1. Quy tắc nhân:

Giả sử một hành động H được tiến hành gồm k giai đoạn liên tiếp. Ở giai
đoạn 1 có m1 cách chọn, ở giai đoạn 2 có m 2 cách chọn,..., ở giai đoạn k có m k cách
4


*
chọn (với m1 ; m2 ;...; mk ∈ N ) . Khi đó có tất cả: m1m2...mk cách chọn để thực hiện
hành động H.

Ví dụ: Khi đi từ A đến B phải qua C, biết rằng từ A đến C có 3 đường đi và từ C đến
B có 2 đường đi. Như vậy có 3.2 = 6 đường đi từ A đến B

3.1.a2. Quy tắc cộng:
Một hành động H được tiến hành gồm k hành động H 1, H2, ...,Hk độc lập
nhau và mỗi hành động Hi có mi cách chọn. Khi đó hành động H sẽ có m1 + m2 +
m3 + ....+mk cách chọn.
Ví dụ: Khi đi từ A đến B phải qua C và D. Biết rằng từ A đến C có 3 đường đi, từ C
đến B có 2 đường đi, từ A đến D có hai đường đi và từ D đến B có 4 đường đi. Hỏi
có bao nhiêu đường đi từ A đến B, biết rằng giữa C và D không có đường đi.
Bài giải:
Từ A đến B qua C có: 3.2 = 6 đường đi
Từ A đến B qua D có : 2.4 = 8 đường đi
Vậy từ A đến B có tất cả: 6 + 8 = 14
đường đi

3.1.a3. Chỉnh hợp lặp:
a) Định nghĩa: cho tập hợp X gồm n phần từ. Một dãy có độ dài m các phần
tử của X, trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần, sắp xếp theo một thứ tự
nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập m của n phần tử.
Kí hiệu chỉnh hợp lặp chập m của n phần tử là Fnm

5


Ví dụ: các dãy: (a, a, d); (b, d, d); (d, a, b);....; là các chỉnh hợp lặp chập 3 của 4
phần tử của tập hợp {a, b, c, d}
m
m
b) Định lí: Fn = n

3.1.b. Chỉnh hợp:
3.1.b1. Định nghĩa: Cho tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1) lấy ra k phần tử
(1 ≤ k ≤ n) và sắp xếp k phần tử này theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp
chập k của n phần tử.
3.1.b2. Công thức: Tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
Ta có n cách chọn phần tử đứng đầu, có n – 1 cách chọn phần tử thứ hai, có
n – 2 cách chọn phần tử thứ ba,..., có n – (k – 1) cách chọn phần tử đúng thứ k. Do
đó chỉnh hợp chập k của n phần tử là:
Ank =

n!
= n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1)
(n − k )!

3.1.b3. Tính chất:
n!

1
Nếu k = 1 thì An = (n − 1)! = n
n!

n
Nếu k = n thì An = (n − n)! = n!

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số, các chữ khác nhau, lập bởi ba chữ
số trong năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5?
Bài giải:
Các số phải đếm có dạng: abc
Có 5 cách chọn chữ số a (là 1, 2, 3, 4, 5)
Với mỗi cách chọn a, có 4 cách chọn b (là 1, 2, 3, 4, 5 nhưng khác a)
Với mỗi cách chọn ab , có 3 cách chọn c (là 1, 2, 3, 4, 5 nhưng khác a và b)
Vậy có tất cả: 5.4.3 = 60 (số phải đếm)
Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách xếp thứ tự nhất, nhì, ba trong sáu đội bóng thi đấu?
Bài giải:
Có 6 cách xếp đội đứng thứ nhất
Với mỗi cách trên, có 5 cách xếp đội đứng thứ nhì
6


Với mỗi cách xếp nhất, nhì, có 4 cách xếp đội đứng thứ ba
Vậy số cách xếp phải tìm là: 6.5.4 = 120 cách xếp.
3.1.c. Hoán vị:
3.1.c1. Định nghĩa: Mỗi cách sắp đặt các phần tử của tập hợp A gồm n phần
tử
(n ≥ 1) theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của n phần tử.
Kí hiệu: số hoán vị của n phần tử là: Pn
3.1.c2. Công thức: Tính số hoán vị của n phần tử:
Số hoán vị của n phần tử cũng là số chỉnh hợp chập n của n phần tử. Do đó
số hoán vị của n phần tử bằng tích của n thừa số.
Pn = n! = 1.2.3.....(n – 2).(n – 1) .n
Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách gọi tên tam giác có ba đỉnh là A, B, C?

Bài giải:
Có 3 cách chọn đỉnh đầu tiên (là A, B, C)
Với mỗi cách chọn trên, có 2 cách chọn đỉnh thứ hai.
Với mỗi cách chọn 2 đỉnh trên, có 1 cách chọn đỉnh thứ ba
Vậy có tất cả: 3.2.1 = 6 cách gọi tên
Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách giao hoán các thừa số của tích abcd?
Bài giải:
Có 4 cách chọn số đứng đầu (a)
Với mỗi cách chọn a, có 3 cách chọn thừa số thứ hai b
Với mỗi cách chọn 2 số trên, có 2 cách chọn thừa số thứ ba c
Với mỗi cách chọn 3 thừa số trên, có 1 cách chọn thừa số thứ tư d
Vậy có tất cả: 4.3.2.1 = 24 (cách giao hoán)
Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách xếp 5 người ngồi:
a) Trên một ghế dài

b) Chung quanh một bàn tròn
7


Bài giải:
a) 5 người ngồi trên một ghế dài chính là hoán vị của 5
Nên có tất cả: 5! = 5.4.3.2.1 = 120 cách xếp
b) Khác với ngồi trên một ghế dài, người đầu tiên ngồi quanh bàn tròn có thể
ngồi ở vị trí nào cũng được. Còn lại 4 người , có 4! = 4.3.2.1 = 24 cách xếp chỗ.
Vậy tất cả có 24 cách xếp chỗ.
3.1.d. Tổ hợp:
3.1.d1. Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập hợp con của A
gồm k phần tử (0 ≤ k ≤ n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
k
Kí hiệu: tổ hợp chập k của n phần tử là: C n

3.1.d2. Công thức: Tính số tổ hợp chập k của n phần tử
Trước hết ta đếm số các nhóm có k phần tử trong n phần tử đã cho, nếu các
phần tử được xếp theo thứ tự, đó chính là chỉnh hợp chập k của n phần tử
n(n – 1)(n – 2)...(n – k + 1)
Do yêu cầu k phần tử được xếp theo thứ tự nên mỗi nhóm đã được tính k! lần
Vậy số tỏ hợp chập k của n phần tử là:
C nk =

n!
n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1)
=
k!(n − k )!
k!

Đặc biệt, số tổ hợp chập 2 của n phần tử là: n(n – 1) : 2
Số tổ hợp chập 3 của n phần tử là: n(n – 1)(n – 2) : 6
3.1.d3. Tính chất:
a )C n0 = C nn = 1

b)C kn = C nn −k

c)C nk = C nk−1 + C nk−−11

d)C kn =

n − k + 1 k −1
.C n (1 ≤ k ≤ n)
k

Ví dụ 1: Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu là hai điểm trong năm điểm đã cho?
Bài giải:
Qua một điểm ta nối được 4 đoạn thẳng với 4 đoạn thẳng còn lại. Có tất cả 5
điểm nên kẻ được: 4.5 = 20 (đoạn thẳng)
8


Do mỗi đoạn thẳng đã được tính hai lần nên số đoạn thẳng là 20 : 2 = 10
Ví dụ 2: Cho 9 điểm trên mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng.
Có bao nhiêu tam giác mà đỉnh là ba trong chín điểm ấy?
Bài giải:
Có 9 cách chọn đỉnh thứ nhất
Với mỗi đỉnh trên, có 8 cách chọn đỉnh thứ hai
Với mỗi cách chọn hai đỉnh trên, có 7 cách chọn đỉnh thứ ba
Do mỗi tam giác đã được tính 3! lần nên số tam giác có được là:
9.8.7
= 84
3!

Ví dụ 3: Có m đường thẳng đứng và n đường thẳng nằm ngang đôi một cắt nhau.
Chúng tạo thành bao nhiêu hình chữ nhật? (Hình vuông cũng là một hình chữ nhật)
Bài giải:
Số cặp đường thẳng đứng là số tổ hợp chập 2 của m phần tử và bằng:
m(m − 1)
2

Số cặp đường thẳng nằm ngang là số tổ hợp chập 2 của n phần tử và bằng:
n(n − 1)
2

Mỗi cặp đường thẳng đứng và một cặp đường thẳng nằm ngang cắt nhau tạo
thành một hình chữ nhật
Vậy có tất cả:

mn(m − 1)(n − 1)
hình chữ nhật
4

Ví dụ 4: Trong số 4 học sinh giỏi Văn và 9 học sinh giỏi Toán, lập ra một nhóm
gồm 7 học sinh, trong đó có ít nhất 2 học sinh giỏi Văn. Hỏi có bao nhiêu cách lập
nhóm?
Bài giải:
Số cách chọn 2 trong 4 học sinh giỏi Văn là số tổ hợp chập 2 của 4 phần tử
và bằng:
4.3 : 2 = 6
Chọn xong 2 học sinh trên, còn 2 học sinh giỏi Văn và 9 học sinh giỏi Toán,
cần chọn 5 người trong số 11 học sinh, đó là số tổ hợp chập 5 của 11 phần tử và
11 .10.9.8.7
= 462
bằng:
5!
9


Vậy có tất cả: 6. 462 = 2772 (cách lập nhóm)
3.1.e. Một số dạng bài tập
3.1.e1. Áp dụng đại số tổ hợp trong số học:

Dạng 1: Các bài toán liên quan đến phép đếm, tính số phần tử của tập hợp.
Phương pháp giải: Xác định đúng dạng bài tập nói về chỉnh hợp, hoán vị hay

tổ hợp để áp dụng công thức và tính toán phù hợp.
Bài toán 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10
Bài giải:
Gọi số cần tìm là: abcde (Trong đó a, b, c, d, e là các số tự nhiên)
Vì số đó chia hết cho 10 nên có 1 cách chọn e là e = 0
Vì a là chữ số hàng chục nghìn nên a có 9 cách chọn (a có thể từ 1 đến 9)
Với mỗi cách chọn a, e ta có 8 cách chọn b (b có thể từ 0 đến 9 nhưng phải
khác a, e)
Với mỗi cách chọn các số trên, có 7 cách chọn c (c có thể từ 0 đến 9 nhưng
phải khác a,b,e)
Với mỗi cách chọn các số trên, có 6 cách chọn d (d có thể từ 0 đến 9 nhưng
phải khác a, b, c, e)
Vậy tất cả có: 9.8.7.6.1 = 3024 số cần tìm (theo quy tắc nhân)
Bài toán 2: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau
Bài giải:
Gọi số cần tìm là: x = abcd (Với a, b, c, d là các số tự nhiên)
Vì x là số lẻ nên d có 5 cách chọn ( d ∈ {1,3,5,7,9} )
Do a là chữ số hàng nghìn nên a có 8 cách chọn (a có thể từ 1 đến 9 nhưng
phải khác d)
Với mỗi cách chọn 2 số trên, có 8 cách chọn b (b có thể từ 0 đến 9 nhưng
phải khác a,d)

10


Với mỗi cách chọn 3 số trên, có 7 cách chọn c (c có thể từ 0 đến 9 nhưng
phải khác a,b,d)
Vậy có tất cả: 5.8.8.7 = 2240 số cần tìm (theo quy tắc nhân)
Bài toán 3: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 6 chữ số và chia hết cho 9?
Bài giải:

Gọi số cần tìm là x = abc deg (với a, b, c, d, e, g là các số tự nhiên)
Vì x là số lẻ nên có 5 cách chọn g ( g ∈ {1,3,5,7,9} )
Các số b, c, d, e mỗi chữ số đều có 10 cách chọn (từ 0 đến 9)
Lấy tổng các chữ số T = b + c + d + e + g chia cho 9. Nếu T chia cho 9 được
dư là 0, 1, 2, ...,8 thì a chọn tương ứng là 9, 8, 7, ..., 1, ta sẽ có x chia hết cho 9
Vậy có tất cả: 5.104 = 50000 số lẻ gồm 6 chữ số và chia hết cho 9
Bài toán 5: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của
mỗi số là một số lẻ?
Bài giải:
Xét một số tự nhiên gồm 4 chữ số: abcd (Với a, b, c, d là các Số tự nhiên)
Nếu a + b + c + d là một số chẵn thì lấy một số e ∈ {1,3,5,7,9} để được tổng a + b + c
+ d + e là số lẻ. Khi đó có 5 cách chọn e
Nếu a + b + c + d là số lẻ thì lấy e ∈ { 0,2,4,6,8} để được tổng a + b + c + d + e là số
lẻ. Khi đó e cũng có 5 cách chọn
Do đó số abcd có 9.10.10.10 = 9. 103 cách chọn
Vậy có tất cả: 5.9.103 = 45000 số thỏa mãn đề bài
Bài toán 6: Có bao nhiêu số có 6 chữ số mà:
a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau?
b) Chữ số đầu và chữ số cuối khác nhau?
c) Số có hai chữ số đầu và số có hai chữ số cuối giống nhau?
Bài giải:
a) Số cách chọn 4 chữ số ở giữa là chỉnh hợp lặp chập 4 của 10 phần tử
11


Nên ta có F104 = 104 cách chọn
Vậy có 9.104 = 90000 số có 6 chữ số mà chữ số đầu và cuối giống nhau.
6
5
5

b) Tương tự có F10 − F10 = 9.10 số có 6 chữ số.

Vậy có 9.105 – 9.104 = 810.000 số có 6 chữ số mà chữ số đầu và chữ số cuối khác
nhau.
2
1
c) Tương tự có: F10 − F10 = 90 số có hai chữ số. Do đó có 90 cách chọn hai
chữ số đầu và cuối giống nhau

Vậy có F210 = 100 cách chọn hai chữ số ở giữa.
Vậy có tất cả: 90.100 = 9000 số thỏa mãn
n−2m

*Tổng quát: Với n > 2m > 2 (với n, m là số tự nhiên) thì có: ( F10 − F10 ) F10
chữ số mà số có m chữ số đầu và số có m chữ số cuối giống nhau.
m

1

số có n

Bài toán 7: Có bao nhiêu số chẵn lớn hơn 5000 gồm 4 chữ số khác nhau?
Bài giải:
Giả sử x = a1a 2 a3 a 4 là số cần tìm
Nếu a1 là số lẻ thì a1 có 3 cách chọn ( a1 có thể là 5,7,9), a4 có 5 cách chọn (a4 có
thể là 0, 2, 4, 6, 8), a2 có 8 cách chọn và a3 có 7 cách chọn.
Vậy có tất cả: 3.5.8.7 = 840 số chẵn có 4 chữ số bắt đầu bằng chữ số lẻ
Nếu a1 là số chẵn thì a1 có hai cách chọn (a1 có thể là 6,8), a4 có 4 cách chọn, a2
có 8 cách chọn và a3 có 7 cách chọn.
Vậy có: 2.4.8.7 = 448 số chẵn có 4 chữ số bắt đầu bằng chữ số chẵn

Vậy tổng cộng có: 840 + 448 = 1288 số thoả mãn đề bài
Bài toán 8: Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau được lập từ các số: 0, 1, 2, 3, 4,
5. Trong các số đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?
Bài giải:
Có P6 = 6! số có 6 chữ số lấy từ các chữ số đã cho kể cả các số có chữ số 0
đứng đầu. Với chữ số 0 đứng đầu ta có: P5 = 5! số.
Vậy có tất cả: 6! – 5! = 600 số có 6 chữ số khác nhau lấy từ các chữ số 0, 1,
2, 3, 4, 5.
12


Số chia hết cho 5 là số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Với số tận cùng là 0 ta
có 5! số. Với số có tận cùng là 5 ta có: 5! – 4! số.
Vậy tất cả có: 5! + (5! – 4!) = 216 số thỏa mãn đề bài.
Bài toán 9:
a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và
đôi một khác nhau?
b) Hãy tính tổng tất cả các số tự nhiên nói trên?
Bài giải:
a) Số có 5 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số 5, 6, 7, 8, 9 là một hoán
vị của 5 phần tử. Vậy có tất cả: P5 = 5! = 120 số.
b) Ta thấy: 5 + 9 = 6 + 8 = 7 + 7 = 14, nên ứng với mỗi số n của hoán vị trên
ta có thể ghép một và chỉ một số n’ sao cho:
n + n’ = 14(1 + 10 + 102 + 103 + 104) = 155554
(Chẳng hạn: 65897 + 89657 = 155554)
Vậy tổng cần tìm là: S = (120 : 2).155554 = 9333240
Bài toán 10: Xét những số gồm 9 chữ số trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số
còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu:
a) Năm chữ số 1 được xếp kề nhau
b) Các chữ số được xếp tùy ý.

Bài giải:
a) Năm chữ số 1 được xếp kề nhau ta xem như một phần tử. Mỗi số có 9 chữ
số như thế là một hoán vị của 5 phần tử.
Vậy có P5 = 5! = 120 số thỏa mãn đề bài
b) Xem năm số 1 là khác nhau thì ta có 9! Số, nhưng có 5! Số trùng nhau (là
hoán vị của 5 chữ số 1)
Vậy có tất cả: 9! : 5! = 3024 số thỏa mãn đề bài.
Bài toán 11: Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4
chữ số khác nhau và không chia hết cho 5?
13


Bài giải:
Số có 4 chữ số khác nhau có dạng: a1a 2 a3 a 4
Có 3 cách chọn a4 ( a4 có thể là 1, 3, 7)
3
Có A4 cách chọn a1a 2 a3 kể cả a1 = 0
2
Với a1 = 0, có A3 cách chọn a 2 a3
2
3
Vậy tất cả có: 3.( A4 - A3 ) = 54 số thỏa mãn đề bài

Bài toán 12: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số
gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5?
Bài giải:
5

Số có 5 chữ số khác nhau lập được từ các số đã cho là A7 số, kể cả chữ số 0
4

5
4
nằm ở vị trí đầu tiên. Với chữ số 0 nằm ở vị trí đầu tiên có A6 số. Vậy có: A7 - A6
số có 5 chữ số khác nhau lập từ các số đã cho.
Tương tự, số có 5 chữ số khác nhau lấy từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (trừ số
A65 - A54
5 ra) là:
5
4
5
4
Vậy tất cả có: A7 - A6 -( A6 - A5 ) = 1560

Bài toán 13: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho, hỏi:
a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một?
b) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 5?
c) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 9?
Bài giải:
a) Số cần tìm có dạng: a1a 2 a3 a 4 (với a 4 ∈ { 0,2,4} )
3
Với a4 = 0 có A5 cách chọn a1a 2 a3
3
2
Với a4 = 2 (hoặc a4 = 4) có A5 - A4 cách chọn a1a 2 a3
3
3
2
Vậy có: A5 + 2( A5 - A4 ) = 156 số thỏa mãn

b) Số cần tìm có dạng: a1a 2 a3 (với a3 ∈ { 0,5} )

2
Với a3 = 0 có A5 cách chọn a1 a 2
2
1
Với a3 = 5 có A5 - A4 cách chọn a1 a 2

14


2
2
1
Vậy có: A5 + ( A5 - A4 ) = 36 số thỏa mãn đề bài

c) abc 9 ⇔ a + b + c 9; { a, b, c} có thể là {0, 4, 5}; {1; 3; 5} hoặc {2, 3, 4}
Khi {a, b, c} là {0, 4, 5} thì các số cần tìm là: 405; 504; 450; 540 (có 4 số)
Khi {a, b, c} là {1; 3; 5} hoặc {2; 3; 4} thì có 3! = 6 số
Vậy tổng cộng có 4 + 6 + 6 = 16 số thỏa mãn đề bài
Bài toán 14: Cho 8 chữ số: 0, 1, 2, ..., 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6
chữ số khác nhau từ các số trên, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
Bài giải:
Số có 6 chữ số lấy từ 8 chữ số đã cho là chỉnh hợp chập 8 của 6 phần tử (kể
6
cả các số có chữ số 0 đứng ở vị trí đầu tiên): A8
5
Với chữ số 0 đứng đầu ta có: A7 số
6
5
Vậy có: A8 - A7 số có 6 chữ số khác nhau lấy từ 8 chữ số đã cho
6

5
Tương tự, có A7 − A6 số có 6 chữ số khác nhau lấy từ 8 chữ số đã cho và
không có chữ số 4

Vậy tổng cộng có:
A86 − A75 − A76 + A65 =

8! 7! 7! 6!
− − + = 13320 số.
2! 2! 1! 1!

Bài toán 15: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 10n mà tổng các chữ số bằng 3?
Bài giải:
Các số tự nhiên này có nhiều nhất là n chữ số
1
Có C n số tự nhiên chỉ chứa một chữ số 3
2
Có An số tự nhiên chỉ chứa chữ số 1 và 2
3
Có C n số tự nhiên chỉ chứa 3 chữ số 1

Vậy số các số tự nhiên cần tìm là:
C n1 + An2 + C n3 =

n(n + 1)(n + 2)
6

Bài toán 16: Có bao nhiêu số có n chữ số, trong đó các chữ số chỉ là 1, 2, 3 sao cho
mỗi chữ số có mặt ít nhất một lần trong mỗi số đó.
Bài giải:

15


Ta dùng phương pháp gián tiếp: Xác định xem có bao nhiêu số có n chữ số,
trong đó các chữ số chỉ là 1, 2, 3 sao cho các chữ số chỉ là 1 hoặc 2 trong ba chữ số
đã cho.
Số các số có n chữ số, trong đó có mặt một trong ba chữ số 1, 2, 3 là 3 (đó là
11 ....1; 22....2; 33....3
các số:  n  n   n )
2

Trong ba số 1, 2, 3 có C3 tập hợp gồm 2 chữ số. Với hai số 1, 2 chẳng hạn,
có 2n – 2 số có n chữ số trong đó các chữ số chỉ là 1, 2 và mỗi chữ số có mặt
2
n
11 ....1; 22....2
ít nhất 1 lần bằng số chỉnh hợp lặp Fn = 2 trừ 2 số  n  n 
Vậy số các số gồm n chữ số chỉ có mặt hai trong ba chữ số 1, 2, 3 là C3 (2 − 2) .
n
2
n
n
n
n
n
Do đó có: 3 − C3 (2 − 2) − 3 = 3 − 3(2 − 2) − 3 = 3 − 3.2 + 3 số thỏa mãn đề bài
2

n

Bài toán 17:
a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên
phải khác 0) trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1?
b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng
hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt đúng một lần?
Bài giải:
a) Đưa chữ số 0 vào vị trí cuối có 5 cách chọn.
5
Đưa 5 chữ số trong 8 chữ số (trừ chữ số 0 và 1) có: A8 cách
5
Vậy tổng cộng có: 5. A8 = 33600 cách
2
b) Đưa hai chữ số 2 vào bảy vị trí có: C 7 cách
3
Đưa ba chữ số 3 vào năm vị trí còn lại có: C5 cách

Đưa hai chữ số trong 8 chữ số (trừ chữ số 2 và 3) vào hai vị trí còn lại:
2
2
3
2
có A8 cách. Theo quy tắc nhân ta được: C 7 . C5 . A8 số.

Ta còn phải loại trừ những số có chữ số 0 đứng đầu, trường hợp này có:
C 62 . C 43 .7 số
2
3
2
2
3

Vậy số các số thỏa mãn đề bài là: C 7 . C5 . A8 - C 6 . C 4 .7 = 11340 số.

16


Bài toán 18: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Có thể lập được bao nhiêu số gồm
10 chữ số được lấy từ 8 chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, các chữ
số khác có mặt đúng một lần.
Bài giải:
Cách 1: (dùng hoán vị lặp)
8!

Số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu là: 3!
7!
Với chữ số 0 đứng đầu ta được: 3! số
8!

7!

Vậy tổng cộng có: 3! - 3! = 544320 số thỏa mãn đề bài
Cách 2: (dùng tổ hợp)
Số tự nhiên gồm 10 chữ số có dạng: a1a 2 ....a10
3
Số cách chọn 3 vị trí trong 10 vị trí là: C10

Đặt số 6 vào 3 vị trí vừa chọn, sau đó đặt các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7 vào 7
3
vị trí còn lại ta có: C10 .7! số, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu. Với chữ số 0 đứng
3
đầu, ta có C10 .6! số.

3
3
Vậy tổng cộng có: C10 .7! - C10 .6! = 544320 số.

Bài toán 19: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5?
Bài giải:
Ta xét ba trường hợp:
a) Số phải đếm có dạng: 5ab
Chữ số a có 9 cách chọn (từ số 0 đến số 9 nhưng khác 5), chữ số b cũng có 9
cách chọn (từ số 0 đến 9 nhưng khác 5). Vậy tất cả có: 9.9 = 81 số.
b) Số phải đếm có dạng: a5b
Chữ số a có 8 cách chọn (từ 1 đến 9 nhưng khác 5), chữ số b có 9 cách chọn
(từ 0 đến 9 nhưng khác 5). Vậy tất cả có: 8.9 = 72 số.
c) Số phải đếm có dạng: ab5 . Tương tự trường hợp b,
trường hợp này có: 72 số.
Vậy tổng cộng có: 81 + 72 + 72 = 225 số thỏa mãn đề bài.
17


Bài toán 20: Có bao nhiêu số chứa ít nhất một chữ số 1 trong các số tự nhiên:
a) Có ba chữ số

b) Từ 1 đến 999

Bài giải:
a) Ta đếm các số tự nhiên có ba chữ số rồi bớt đi các số có ba chữ số không
chứa chữ số 1.
Số có ba chữ số là: 100, 101, ..., 999, có 900 số. Trong các số trên, số không
chứa chữ số 1 có dạng: abc trong đó a có 8 cách chọn (từ 2 đến 9), b có 9 cách
chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác 1), c có 9 cách chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác 1). Vậy

có: 8.9.9 = 648 số.
Do đó tất cả có: 900 – 648 = 252 số thỏa mãn đề bài.
b) Ta thêm chữ số 0 vào dãy 1, 2, ..., 999 thành dãy mới: 000, 001, ..., 999 để
đếm được dễ dàng.
Trước hết ta đếm các số không chứa chữ số 1 của dãy này: đó là các số có
dạng abc .
Trong đó mỗi chữ số a, b, c đều có 9 cách chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác 1),
tất cả có: 9.9.9 = 729 số. Vậy số lượng các số từ 1 đến 999 không chứa chữ số 1 có:
729 – 1 = 728 số.
Vậy số lượng các số từ 1 đến 999 có chứa chữ số 1 là: 999 – 728 = 271 số.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5, có bốn chữ số, có đúng một chữ số
5?
(Đáp Số: 873 số).
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số trong đó có ít nhất hai chữ số giống
nhau?
(Đáp số: 252 số).
Bài 3: Cho năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Dùng các chữ số trên:
a) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số, trong đó các chữ số khác
nhau? Tính tổng các chữ số được lập.
b) lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?

18


c) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số, trong đó hai chữ số kề
nhau phải khác nhau.
d) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số, các chữ số khác nhau,
trong đó có hai chữ số lẻ, hai chữ số chẵn?
(Đáp số: a) 399960

b) 48

c) 1280

d) 72)

Bài 4: Cho năm chữ số: 0, 1, 2, 3, 4. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu
số tự nhiên:
a) Có năm chữ số, gồm cả 5 chữ số ấy
b) Có bốn chữ số, các chữ số khác nhau?
c) Có ba chữ số, các chữ số khác nhau?
d) Có ba chữ số, các chữ số có thể giống nhau?
(Đáp số: a)96 số

b)96 số

c)48 số

d)100 số)

Bài 5: Cho 5 chữ số 0,1, 3, 5, 6. Từ các chữ số trên, lập được bao nhiêu số tự nhiên
gồm năm chữ số khác nhau thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) Không chia hết cho 2
b) Chia hết cho 2
c) Chia hết cho 5
(Đáp số: a) 54 số

b) 42 số ).

Bài 6: a) Dùng các chữ số 1, 2, 7, viết được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số
sao cho các chữ số 2 và 7 có mặt một lần, còn chữ số 1 có mặt ba lần?
b) Cũng hỏi như câu a nếu thêm điều kiện các số phải đếm lớn hơn 20000?
(Đáp số: a. 20

b. 8 số).

Bài 7: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số lập bởi các chữ số 1, 2, 3 biết rằng
số đó chia hết cho 9?
(Đáp số: 16 số).
Bài 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có 11 chữ số, gồm năm chữ số 1 và sáu chữ số 2
sao cho đọc xuôi và đọc ngược đều giống nhau? (Đáp số: 10 số cần tìm).
Bài 9: Cho 8 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao
nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10
19


(Đáp số: 1260 số).
Bài 10: Có 5 miếng bìa, trên mỗi miếng bìa ghi một trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy
3 miếng trong 5 miếng bìa này đặt lần lượt cách nhau từ trái sang phải để được các
số gồm 3 chữ số. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có nghĩa gồm ba chữ số và trong
đó có bao nhiêu số chẵn.
(Đáp số: 48 số và 30 số chẵn).
Bài 11: Có bao nhiêu số có 5 chữ số:
a) Bắt đầu bằng số 3?
b) Không bắt đầu bằng số 5?
c) Bắt đầu bằng số 54?
(Đáp số: a) 104

b) 105 – 2.104

c) 103).

Bài 12:Với 5 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong
đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có
mặt đúng 1 lần? (Đáp số: 3360 số).
Bài 13: Từ các chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số,
trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần ?
(Đáp số: 7.7.6.5.4 = 5880).
Bài 14: Từ ba chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số,
trong đó có mặt đủ ba chữ số trên?
(Đáp số: 150 số).
Bài 15: Dùng các chữ số 0, 1, 2, ..., 9 để viết các số tự nhiên x gồm 5 chữ số khác
nhau đôi một, chữ số đầu tiên khác 0.
a) Có bao nhiêu số x?

b) Có bao nhiêu số x là số lẻ?

5
4
(Đáp số: a) A10 − A994

b)5(A 94 − A83 ) )

Bài 16: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi
một khác nhau, trong đó:
a)

Phải có mặt chữ số 2?

5
(Đáp số: a) A6 − 5!

b) Phải có mặt hai chữ số 1 và 6?
b)A 56 − 2.2! ).

20


Bài 17: Tìm các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số
khác nhau? (Đáp số: 3000 số).
Bài 18: Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng có 3
chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn?
(Đáp số: 64800 số).
Bài 19: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng
sau lớn hơn chữ số đứng liền trước. (Đáp số: C59 ).
Bài 20: Cho 4 chữ số a, b, c và số 0 (a, b, c khác nhau và khác 0). Với cùng cả 4
chữ số này, có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số. (Đáp số: 18 số).
Dạng 2: Một số bài toán suy luận logic:
Các bài toán suy luận thường không đòi hỏi nhiều về kĩ năng tính toán, để
giải chúng không cần trang bị nhiều kiến thức toán học. Điều cần thiết là phải có
phương pháp suy luận đúng đắn, chặt chẽ, hợp lí, đôi khi cần cả sự thông minh
sáng tạo.
Ngoài các bài toán sử dụng các phương pháp tính ngược từ cuối, bằng sơ đồ
ven (Nâng cao và phát triển toán 6), phương pháp phản chứng và nguyên lí
Dirichlet. Người ta còn dùng nhiều phương pháp khác để giải các bài toán suy luận.
Dưới đây tôi chỉ đề cập đến một số dạng bài tập có nội dung thực tế để sử
dụng cho đội tuyển học sinh giỏi Toán 6
Bài toán 1: Trong một bảng đấu loại bóng đá, có bốn đội thi đấu vòng tròn một
lượt: đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm, đội thua được 0 điểm. Tổng số

điểm của bốn đội khi kết thúc vòng đấu bảng là 16 điểm. Tính số trận hòa.
Bài giải:
Số trận đấu trong vòng đấu bảng là: 4.3:2 = 6 trận
Tổng số điểm của hai đội trong trận hòa là: 1 + 1 = 2 điểm
Tổng số điểm của hai đội trong trận có thắng – thua là 3 + 0 = 3 điểm
Giả sử không có trận hòa thì tổng số điểm của các đội là: 3.6 = 18 điểm
Dôi ra: 18 – 16 = 12 điểm
Tổng số điểm trong một trận hòa ít hơn tổng số điểm trong trận có thắng –
thua là:
3 – 2 = 1 điểm
21


Số trận hòa là: 2 : 1 = 2 trận
Lưu ý: bài toán thuộc loại giả thiết tạm.
Bài toán 2: Một số học sinh dự thi học sinh giỏi toán
Nếu xếp 25 học sinh một phòng thi thì thừa 5 học sinh chưa có chỗ. Nếu xếp 28
học sinh một phòng thì thừa 1 phòng. Tính số học sinh dự thi?
Bài giải:
Nếu xếp 28 học sinh một phòng thì thừa 1 phòng, tức là thiếu 28 học sinh
Số học sinh chênh lệch trong hai trường hợp xếp phòng là:
5 + 28 = 33 học sinh
Số học sinh chênh lệch ở mỗi phòng trong hai trường hợp là:
28 – 25 = 3 học sinh
Số phòng thi là: 33 : 3 = 11 phòng
Số học sinh là: 25.11 + 5 = 280 học sinh
Lưu ý: bài toán trên thuộc loại tìm số khi biết hai hiệu số
Bài toán 3: Một câu lạc bộ lúc đầu có một thành viên, sau một tháng thì thành viên
đó phải tìm thêm 2 thành viên mới . Cứ như vậy mỗi thành viên (cả cũ lẫn mới) sau
một tháng phải tìm được thêm hai thành viên mới. Nếu kế hoạch phát triển hội viên

như trên được thực hiện thì số thành viên của câu lạc bộ đó là bao nhiêu?
a) Sau 6 tháng

b) Sau 12 tháng
Bài giải:

a) Cứ sau một tháng thì số thành viên lại tắng gấp 3 lần. Sau 6 tháng thì số
thành viên của câu lạc bộ là: 36 = 729 người.
b) Sau 12 tháng, số thành viên của câu lạc bộ là:
312 = 36.36 = 729.729 = 531441 (người).
Bài toán 4: Trong một cuộc thi có 20 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng được 10 điểm ,
còn sai thì bị trừ 15 điểm. Một học sinh được tất cả 50 điểm. Hỏi bạn đó đã trả lời
đúng mấy câu?
22


Bài giải:
Giả sử bạn học sinh đó trả lời đúng cả 20 câu. Như vậy, tổng số điểm bạn ấy
đạt được là 10.20 = 200 điểm
Nhưng trên thực tế chỉ được 50 điểm nghĩa là còn thiếu:
200 – 50 = 150 điểm
Sở dĩ hụt đi 150 điểm vì trong số 20 câu có một số câu bạn ấy trả lời sai.
Giữa một câu trả lời đúng và một câu trả lời sai chênh lệch là:
10 + 15 = 25 điểm
Do đó, số câu trả lời sai là: 150 : 25 = 6 câu
Số câu trả lời đúng là: 20 – 6 = 14 câu
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Một cửa hàng có sáu hòm hàng có khối lượng 316kg, 327 kg, 336kg, 338kg,
349kg, 351 kg. Trong một ngày, cửa hàng đã bán năm hòm, trong đó khối lượng
hàng bán buổi sáng gấp đúng bốn lần khối lượng hàng bán buổi chiều. Hỏi hòm

còn lại là hòm nào?
Bài 2: Trong một cuộc hội thảo, mỗi người tham dự đều biết ít nhất một trong ba
ngoại ngữ Anh, Pháp, Nga. Có 21 người biết tiếng Anh, 19 người biết tiếng Pháp,
17 người biết tiếng Nga, 13 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp, 12 người biết cả
tiếng Anh và tiếng nga, 11 người biết cả tiếng Nga và tiếng Pháp, 10 người biết cả
ba thứ tiếng. Tính số người tham dự hội thảo.
Bài 3: Một lớp học có 90% thích bóng đá, 60% thích bóng chuyền. Hỏi có ít nhất
bao nhiêu phần trăm học sinh của lớp thích cả hai môn?
Bài 4: Có 7 bi đỏ, 5 bi xanh để trong hộp. Không nhìn vào hộp, lấy ra ít nhất bao
nhiêu viên bi thì chắc chắn có 2 bi đỏ, 3 bi xanh?
Gợi ý + đáp án:
Bài 1: Chú ý rằng tổng số lượng 6 hòm là số chia cho 5 dư 2, số hàng đã bán là số
chia hết cho 5, nên hòm còn lại có khối lượng là số chia hết cho 5 dư 2, đó là hòm
327 kg.
Bài 2: 31 người
23


Bài 3: Gọi số phần trăm học sinh thích cả hai môn là x. Số phần trăm học sinh thích
ít nhất một trong hai môn là: 90 + 60 – x hay 150 – x
Ta có: 150 – x ≤ 100
Do đó x ≥ 50. Vậy có ít nhất 50% số học sinh thích cả hai môn (chú ý rằng có thể
có học sinh không thích môn nào).
Bài 4: Lập luận thử các trường hợp có thể lấy đến 9 viên bị vẫn không thỏa mãn
yêu cầu, còn lấy 10 viên bi thì chắc chắn đạt yêu cầu.
3.1.e2. Áp dụng đại số tổ hợp trong hình học: Tìm số phần tử của tập hợp (Số

điểm, số cạnh, số đường thẳng, số đoạn thẳng ...)
Để đếm số điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng, trong nhiều trường hợp ta
không thể đếm trực tiếp mà phải dùng lập luận.

Bài toán 1: a) Cho 100 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua
hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng?
b) Cũng hỏi như câu a nếu trong 100 điểm đó có đúng ba điểm thẳng hàng.
Bài giải:
a) Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong 99 điểm còn lại, ta vẽ
được 99 đường thẳng. Làm như vậy với 100 điểm, ta được 99.100 đường thẳng.
Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có 99.100:2 = 4950
đường thẳng.
Chú ý: tổng quát, nếu có n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng
thì số đường thẳng có là: n.(n – 1) : 2
b) Giả sử không có ba điểm nào thẳng hàng thì có 4950 đường thẳng. Vì có
ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi: 3 – 1 = 2 (nếu ba điểm không
thẳng hàng thì vẽ được 3 đường thẳng, nếu ba điểm thẳng hàng thì chỉ vẽ được 1
đường thẳng). Vậy có tất cả: 4950 = 2 = 4948 đường thẳng.
Bài toán 2: Trên mặt phẳng có bốn đường thẳng. Số giao điểm của các đường thẳng
có thể bằng bao nhiêu?
Bài giải:
Ta xét các trường hợp sau:
24


Trường hợp 1: Bốn đường thẳng đồng quy: có 1 giao điểm (H.1a)
Trường hợp 2: Có đúng ba đường thẳng đồng quy:
Có hai đường thẳng song song: 3 giao điểm (H.1b)
Không có hai đường thẳng nào song song: 4 giao điểm (H.1c)
Trường hợp 3: Không có ba đường thẳng nào đồng quy:
Bốn đường thẳng song song: 0 giao điểm ( H.2a)
Có đúng ba đường thẳng song song: 3 giao điểm (H.2b)
Có hai cặp đường thẳng song song: 4 giao điểm (H.2c)
Có đúng một cặp đường thẳng song song: 5 giao điểm (H.2d,e)

Không có hai đường thẳng nào song song: 6 giao điểm (H.2g)

Bài toán 3: Cho n điểm (n ≥ 2). Nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó thành các
đoạn thẳng.
25