ĐỀ số 20 THPT Quốc Gia Môn Toán 2018

SỞ GD-ĐT LÂM ĐỒNG

KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2017

ĐỀ THAM KHẢO

MÔN: TOÁN

ĐỀ SỐ 20

Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề

Câu 1. Đường cong cho bởi hình sau là đồ thị của đồ thị hàm số nào ?
A. y = x 4 − 3x 2 − 1

1
B. y = − x 4 + 3x 2 − 1
4

C. y = x 4 + 2 x 2 − 1

D. y = x 4 − 2 x 2 − 1

2

-1

1

O
-1

-2

x−2

Câu 2. Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = 1/2 và y = -1/2

B. y = 2

4 x2 + x + 1

C. y = ¼

là:

D. y = 0

Câu 3. Hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 đồng biến trên khoảng nào ?
A. ( −1; +∞ )

B. ( −1;0 ) ; ( 1; +∞ )

C. ( −∞; −1) ; ( 0;1)

D. ( −∞;1)

Câu 4. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào.
x

−∞

y'
y

−

− 3
0

+∞

+

0
0
5
2

−

1 4
5
x − 3x 2 +
2
2

1
B. y = − x 4 + 2 x 2
4

+

0

+∞

−2
A. y =

+∞

3

−2
C. y =

1 4
5
x − 2x2 +
2
2

D. y =

1 4
3
x − 3x 2 + .
4
2

Câu 5. Cho hàm số : y = x 3 − 3x + 1 .Tích của giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số bằng:
A. 0

B. -3

C. -6

D. 3

x2
Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
trên [ 1;4] .
x−2
y = −1
A. min
[ 1;4]

y=0
B. min
[ 1;4]

y=6
C. min
[ 1;4]

y =8
D. min
[ 1;4]
1

Câu 7. Biết rằng đường thẳng y = −5 x + 6 cắt đồ thị hàm số y = x3 + x + 6 tại điểm duy nhất

( x0 ; y0 ) . Tìm

y0 .

A. y0 = 4

B. y0 = −1

C. y0 = 0

D. y0 = 6

Câu 8. Giá trị của m để hàm số y = x 3 − 3x 2 + mx − 1 có 2 điểm cực trị x1 , x2 thoả mãn x12 + x22 = 3
là:
A. m = −2

B. m =

3
2

C. m = 1

Câu 9. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y =
A. m = 0

B. m > 0

x−3
mx 2 + 2

D. m =

1
2

có hai tiệm cận ngang.

C. m < 0

D. m =-1

Câu 10. Một công ty đánh giá rằng sẽ bán được N lô hàng nếu tiêu phí hết số tiền là x vào việc
quảng cáo, N và x liên hệ với nhau bằng biểu thức N (x) = − x 2 + 30 x + 6, 0 ≤ x ≤ 30 ( x tính theo
đơn vị triệu đồng). Số lô hàng lớn nhất mà công ty có thể bán sau đợt quảng cáo và số tiền đã dành
cho việc quảng cáo đó lần lượt là :
A. N(x) = 231; x = 15

B. N(x) = 6; x = 30

C. N(x)= 226; x = 10

D. N(x)= 131; x = 5

Câu 11. Với giá trị nào của m hàm số y = x3 + 3x 2 + (m + 1) x + 4m nghịch biến trên (-1;1)
A. m<10

C. m ≤ −10

B. m>10

D. m>5

Câu 12. Giải phương trình : log 2 ( x + 3) + log 2 ( x − 1) = log 2 5 :
A. x = - 4.

B. x = 2.

C. x = 4.

D. x = -4; x = 2.

Câu 13. Tính đạo hàm của hàm số y = 12 x
A. y ' = x.12

x −1

B. y ' = 12 ln12
x

C. y ' = 12

x

12 x
D. y ' =
ln12

Câu 14. Tìm tập xác định của hàm số: y = log 5 (4 − x) 2 .
A. D = [−2;2]

B. D = (−∞; −2) ∪ (2; +∞)

Câu 15. Giải phương trình 5 x
A. [-1;2]

B. (-1;2)

2

+x

C. D = (−∞; −2)

D. D = R \ {4}

≤ 25 x +1
C. [-1;2).

D. (-1;2]

Câu 16. Cho các số thực dương a, b với a ≠ 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
2


A. log a2

a 1
= log a b
b 2

B. log a 2

a
= 2 − 2log a b
b

C. log a 2

a 1
= log a b
b 4

D. log a2

a 1 1
= − log a b
b 2 2

Câu 17. Rút gọn biểu thức A = log 1 7 + 2log 9 49 − log

3

3

A. A = 3log 3 7

B. A = log 3 7

1
7

C. A = 2log 3 7

D. A = 4log 3 7

Câu 18. Cho log 2 20 = a . Tính log 20 5 theo a .
A. a - 2.

B. a + 2.

C.

a−2
.
a

D.

a+2
a

Câu 19. Cho a, b, c >0; a; c; a.b ≠ 1. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?
A.
C.

log a c

= 1 − log a b .
log ab c
log a c
= 1 + log a b .
log ab c

B.

log a c
= 1 − log a c .
log ab c

D.

log a c
= 1 + log a c .
log ab c

Câu 20. Tính đạo hàm số y = (1 + ln x).ln x
A. y ' =

1 − 2ln x
x

B. y ' =

2ln x
x

C. y ' =

1 + 2ln x
x

D. y ' =

−2ln x
x

Câu 21..Một anh sinh viên được gia đình gởi vào sổ tiết kiệm ngân hàng là 80000000 với lãi suất
0,9% /tháng. Hỏi sau đúng 5 năm số tiền trong sổ sẽ là bao nhiêu, biết rằng trong suốt thời gian đó
anh sinh viên không rút một đồng nào cả vốn lẫn lãi?
60

 0,9 
A. 80000000. 
÷
 100 

 0,9 
C. 80000000. 1 −
÷
 100 

60

 0,9 
B. 80000000. 1 −
÷
 100 

60

 0,9 
D. 80000000. 1 +
÷
 100 

Câu 22. Viết công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = f(x),
y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b (a < b).
3


b

b

A. S = ∫ ( f ( x) − g ( x)).dx

B. S =

a

b

∫

f ( x) dx

b

∫ g ( x) dx

C. S =

a

D. S =

a

∫

f ( x) − g ( x) dx

a

Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.ex
A.

∫ f ( x)dx = x.e

x

– ex + C

B.

∫ f ( x)dx = xe

C.

∫ f ( x)dx = x.e

x

– ex

D.

∫ f ( x)dx = e

x

+ ex + C

x

- x.ex + C

1

Câu 24. Tính tích phân I =

∫ x(1 − x) dx
5

0

A. I = -

1
42

B. I =

Câu 25. Tính tích phân I =

1
42

1
6

C. I = -

D. I =

1
6

π
2

∫ x.sin x.dx
0

A. I = 1

B. I = - 1

C. I = 0

D. I = 2

Câu 26. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
A.S = 7 – 4 ln

5
16

B.S = 7 + 4 ln

5
14

C.S =7 + 4 ln

x2 + x − 2
, y = 0, x = - 2 và x = 2
x+3

5
16

D. S = 7 - 4 ln

5
14

Câu 27. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi
các đường y = x ln(1 + x 2 ) , trục Ox và đường thẳng x = 1.
1
4 π
A. V = π ( ln 2 + − )
3
9 6

1
4 π
B. V = π ( ln 2 + + )
3
9 6

1
4 π
C. V = π (− ln 2 + − )
3
9 6

1
4 π
D. V = π ( ln 2 − + )
3
9 6

Câu 28. Giả sử rằng sau t năm dự án đầu tư thứ nhất sẻ phát sinh lợi nhuận với tốc độ f(t) = 50 + t2
trăm đô la/ năm, trong khi đó dự án đầu tư thứ hai sẻ phát sinh lợi nhuận với tốc độ g(t) = 200 + 5t
trăm đô la/ năm. Tính lợi nhuận vượt thực tế cho khoảng thời gian tốc độ sinh lợi nhuận của dự án
đầu tư thứ hai vượt bằng dự án đầu thư nhất.

A. 1688

B. 1687

C. 1687.5

D. 1688.5

Câu 29. Tìm phần thực của số phức z thỏa mãn iz + 4 + 5i = i(6 + 3i)
4


A. 1
B. 7
C. 11
Câu 30. Cho số phức z1 = 1 – 3i, z2 = 2 + i. Tìm số phức w = 2z1 − z2

D. -1

A. z = 7i
B. 5 i
C. – 4 – 7i
D. – 7i
Câu 31. Cho số phức z = (2 + i)(1 – i) + 1 + 2i. Mô-đun của số phức z là
A. 2 2
B. 4 2
C. 17
D. 2 5
Câu 32. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình x3 - 3x2 + 4x – 12 = 0. Tính P = 2 | z1 | − | z2 |
A. P = 0

B. P = 16
C. P = 4
D. P = - 4
Câu 33. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn cac số phức z thỏa mãn | z + z + 5 |= 6 là
đường thẳng có phương trình là :
1
1
1
1
B. x = ±
C. y =
D. y = ±
2
2
2
2
2016
2017
Câu 34. Cho số phức z = a + bi thỏa mãn z + 2iz = 3 + 3i . Tính S = a + b
A. x =

 34032 − 32017 
=
−
A. S = 0
B. S = 2
D. S

÷
2017

 5

Câu 35. Hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA ⊥ (ABC), AB = BC = 2a, ·ABC = 1200. Thể tích của
khối chóp S.ABC là
A. a 3 3 .
B. 3a 3 3 .
C. 2a 3 3 .
D. 6a 3 3 .
Câu 36. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy
một góc bằng 450. Thể tích của khối chóp S.ABCD là
a3 2
a3 2
a3 2
A.
.
B.
.
C. a 3 2 .
D.
.
3
6
2
Câu 37. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’
= a 2 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
C. S =

A.

a3 2

.
2

B.

a3 2
.
6

C.

34032 − 32017
52017

a3 2
.
3

D. a 3 2 .

Câu 38. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và
(ABC) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
A.

3 3 3
a .
8

B.

3 3
a .
8

C.

3 3 3
a .
4

D.

3 3
a .
4

5


·
Câu 39. Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, IOM
= 300, IM = a. Khi quay tam giác
OIM quanh cạnh OI thì tạo thành một hình nón tròn xoay. Tính thể tích khối nón tròn xoay được tạo
thành.
π a3
2π a 3
3
A.
.
B. π a 3 .

C.
.
D. 2π a 3 3 .
3
3
Câu 40. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi H và I lần lượt là trung điểm của AB
và CD. Quay hình vuông quanh trục IH ta được một hình trụ tròn xoay. Tính diện tích xung quanh
của hình trụ tròn xoay đó.
A. πa2.

B. 2πa2.

C.

π a2
.
2

D.

π a2
.
3

Câu 41. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và tam giác SAB đều. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
A.

a 21
.

7

B.

a 21
.
14

C.

a 3
.
7

D.

a 7
.
7

Câu 42. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh bằng a, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC) và SA = a 3 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A.

a 156
.
12

B.

a 13
.
12

C.

a 12
.
12

D.

a 156
.
13

Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z − 2 = 0
Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của (S)
A. I (−2;4; −6) và R = 58 .

B. I (2; −4;6) và R = 58 .

C. I (−1;2; −3) và R = 4 .

D. I (1; −2;3) và R = 4 .

x −1 y + 2 z + 1
=
=
và mặt

2
−1
1
phẳng (P): x + y − z + m = 0 . Khi đó điều kiện của m để ( ∆ ) song song với (P) là:
Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( ∆ ) :

A. m ≠ 0

B. ∀m ∈ R

C. m = 0

D. m > 0

Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−1;0;1); B(2;1;0) . Viết phương trình
mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với AB.
A. ( P) : 3 x + y − z + 4 = 0

B. ( P) : 3 x + y − z − 4 = 0

C. ( P) : 3 x + y − z = 0

D. ( P) : 2 x + y − z + 1 = 0
6


x = 2 + t

Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d ) :  y = 1
. Véctơ nào dưới

 z = 3t − 5

đây là véctơ chỉ phương của đường thẳng (d)?
ur
uu
r
ur
A. u1 = (1;0;3)
B. u2 = (2;1; −5)
C. u1 = (1;1;3)

ur
D. u1 = (1;1; −5)

Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng
d1, d2 tới mặt phẳng (P) trong đó:
d1 :
A.

x + 1 y z −1
−x +1 y z −1
= =
= =
; d2 :
; ( P) : 2 x + 4 y − 4 z − 3 = 0
2
3
3
2
1

1

4
3

B.

7
6

C.

13
6

D.

5
3

Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 1) và hai đường thẳng:
 x = −1
x −1 y + 2 z

'
(∆) :
=
=
và (d ) :  y = 2 + t
3

1
1
z = 3 + t

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, vuông góc với (∆) và cắt đường thẳng (d’).
A.

x
y −1 z −1
=
=
−1
1
2

B.

x
y −1 z −1
=
=
−1
−1
2

C.

x
y +1 z +1
=

=
−1
1
2

D.

x
y −1 z −1
=
=
−1
1
−2

Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 5 điểm A(1; 2; 3); B(0; 0; 2); C(1; 0; 0);
D(0; −1;0) ; E(2015; 2016; 2017). Hỏi từ năm điểm này tạo thành bao nhiêu mặt phẳng?
A.5

B. 3

C. 4

D. 10

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 2; 3); B(0; 0; 2); C(1; 0; 0);
D(0; −1;0) . Tính thể tích khối tứ diện ABCD ?
A.1

B.

1
6

C.

1
3

D.

1
2

----HẾT---

7


ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 20
1
C
21
D
41
A

2
A
22

D
42
A

3
B
23
A
43
D

4
A
24
B
44
A

5
B
25
A
45
A

6
A
26
C
46

A

7
D
27
A
47
A

8
B
28
C
48
A

9
B
29
A
49
D

10
A
30
B
50
B

11 12 13 14 15 16 17
C B B D A D A
31 32 33 34 35 36 37
C C B B A A A

18
C
38
A

19
C
39
A

20
C
40
A

HƯƠNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 .
Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số quay bề lõm lên trên . Đáp án B loại
Hàm số chỉ có một cực trị là (0;-1). Vậy đáp án đúng là đáp án C
y = lim
Câu 2. Ta có xlim
→±∞
x →±∞

2

x−2
1
x
= lim
= ± . Vậy đáp án A là đáp án đúng.
2
4 x 2 + x + 1 x →±∞ | x | 4 + 1 + 1
x x2
1−

Câu 3. Ta có + y ' = 4 x3 − 4 x
x = 0

+ y ' = 0 ⇔ x = 1
 x = −1
Bảng xét dấu
x
-∞
-1
0
1
y’
0
+
0
0
∞
Nhìn vào bảng ta có hàm số đồng biến trên (-1;0) và (1;+ )

+∞

+

Vậy đáp án đúng là đáp án B.
5
Câu 4. Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị đi qua điểm (0; ) nên đáp án B và D loại.
2
8


Đáp án A y =

1 4
5
x − 3x 2 + . Ta có + y ' = 2 x3 − 6 x
2
2
x = 0

+ y ' = 0 ⇔ x = 3 .
x = − 3


Vậy đáp án A là đáp án đúng.
Câu 5. Ta có + y ' = 3 x 2 − 3
x = 1
+ y' = 0 ⇔ 
 x = −1
+ y(1) = -1, y(-1) = 3 => y(1).y(-1)=-3
Vậy đáp án B là đáp án đúng.
x2 − 4x

Câu 6 . Ta có + y ' =
( x − 2) 2
 x = 0 ∉ [1;4]
+ y' = 0 ⇔ 
 x = 4 ∈ [1;4]
+ y(1) = -1; y(4)=8 => GTNN là -1
Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Câu 7 . PTHĐGĐ x 3 + x + 6 = −5 x + 6 ⇔ x 3 + 6 x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = 6
Vậy đáp án đúng là đáp án D.
2
Câu 8 . Ta có y ' = 3 x − 6 x + m

Hàm số có hai cực trị ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ 36 − 12m > 0 ⇔ m < 3
2
2
2
Hai cực trị thỏa mãn x1 + x2 = 3 ⇔ (x1 + x 2 ) − 2 x1 x2 = 3 ⇔ 4 −

2m
3
= 3 ⇔ m = (thỏa mãn)
3
2

Vậy đáp án đúng là đáp án B
Câu 9.
Khi m=0 ta có : y =

x−3
hàm số không có tiệm cận.

2
9


Khi m>0 ta có :
+ xlim
→+∞

+ xlim
→−∞

x−3
mx + 2
2

x−3
mx + 2
2

= lim

1−

x →+∞

= lim

x →+∞

3

x
2
x2

m+
1−

3
x

− m+

2
x2

=

=

1
1
⇒y=
là một tiệm cận ngang.
m
m

−1
−1
⇒y=
là một tiệm cận ngang.

m
m

+ Khi m<0 hàm số không có tiệm cận => Khi m = -1 hàm số không có tiệm cận.
Vậy đáp án B là đáp án đúng.
Câu 10 . Ta có N '(x) = −2 x + 30
N '(x) = 0 ⇔ −2 x + 30 = 0 ⇔ x = 15 ∈ [0;30]
N (0) = 6
N (15) = 231
N(30) = 6
N ( x) = 231 khi x=15
=> Max
[0;30]
Vậy đáp án đúng là đáp án A
Câu 11 . Ta có y ' = 3 x 2 + 6 x + m + 1
Theo giả thiết
y ' ≤ 0 ∀x ∈ (−1;1)
⇔ 3 x 2 + 6 x + m + 1 ≤ 0 ∀x ∈ (−1;1)
⇔ 3 x 2 + 6 x + 1 ≤ −m ∀x ∈ (−1;1)
Xét g (x) = 3 x 2 + 6 x + 1 liên tục trên (-1 ;1) . Ta có g '(x) > 0 ∀x ∈ ( −1;1)
g (x) = −2; lim− g (x) = 10
=> g(x) đồng biến trên (-1 ;1) và x→lim
( −1) +
x →1
Lập bảng biến thiên đối với hàm số g(x) .
⇒ − m ≥ 10 ⇔ m ≤ −10

Vậy đáp án đúng là đáp án C

10

Câu 12.
x + 3 > 0
+) Đk: 
=> x>1.
x −1 > 0
+) log 2 ( x + 3) + log 2 ( x − 1) = log 2 5
⇔ log 2 ( x + 3)( x − 1) = log 2 5
⇔ ( x + 3)( x − 1) = 5
⇔ x2 + 2x − 8 = 0
 x = −4
⇔
x = 2
+) Kết hợp đk chọn x = 2
Câu 13
+) y ' = (12 x ) ' = 12 x ln12
Câu 14.
+) HSXĐ : (4 − x) 2 > 0 ⇔ x ≠ 4
+) D = R \ {4}
Câu 15
+) 5 x

2

+x

≤ 25 x +1 ⇔ 5 x

2

+x

≤ 52( x +1)

⇔ x 2 + x ≤ 2( x + 1)
⇔ −1 ≤ x ≤ 2
Câu 16
+) Ta có: log a2

a 1
a 1
1 1
= log a = (log a a − log a b) = − log a b
b 2
b 2
2 2

Câu 17
2
−1
+) A = − log 3 7 + 2log 32 7 − log 13 7
3

= − log 3 7 + 2log 3 7 + 2log 3 7
= 3log 3 7
11


Câu 18

+) a = log 2 20 = log 2 (22.5) = 2log 2 2 + log 2 5 = 2 + log 2 5
⇒ log 2 5 = a − 2
+) log 20 5 =

log 2 5 a − 2
=
log 2 20
a

Câu 19
1
log c b
log a c
log c a
log c ab log c a + log c b
=
= 1+
= 1 + log a b
=
=
+)
1
log c a
log c a
log ab c
log c a
log c ab
Câu 20
+) y ' = (1 + ln x)'.ln x + (ln x) '.(1 + ln x)
=

=

1
1
ln x + (1 + ln x).
x
x

1 + 2ln x
x

Câu 21
+) Gọi M là số tiền gốc gửi vào sổ tiết kiệm, r là lãi suất hàng tháng (đơn vị %).
+) Sau 5 năm (60 tháng) thì số tiền trong sổ là:
Áp dụng công thức lãi kép:
60

 0,9 
T = M (1 + r ) = 80000000. 1 +
÷
 100 
60

Câu 22. Chọn D
Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.ex
+,

∫ f ( x).dx = ∫ x.e .dx
x

+, Đặt u = x => du = dx và dv = ex.dx => v = ex

∫ f ( x).dx = x.e − ∫ e .dx
x

+, Vậy

x

= x.e x − e x + C
12


1

Câu 24. Tính tích phân I =

∫ x(1 − x) dx
5

0

+, Đặt t = 1 – x => dt = - dx và x = 1 – t
+, Đổi cận : x = 0 => t = 1
x = 1 => t = 0
1

5
+, Vậy I = ∫ (1 − t ).t .dt = (
0

t6 t7 1 1
− ) =
6 7 0 42

Câu 25. Tính tích phân I =

π
2

∫ x.sin x.dx
0

+, Đặt u = x => du = dx và dv = sinx.dx=> v = - cosx
π
π
π
2
+, Vậy I = − x.cos x 2 + cos x.dx = 0 + sin x 2 = 1
∫0
0
0

Câu 26
 x = −2
x2 + x − 2
x2 + x − 2
+, Hoành độ giao điểm của (C) : y =
và đường y = 0 :
=0 ⇔

x+3
x+3
x = 1
+, Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
2

S=

∫

−2

= (

x2 + x − 2
.dx =
x+3

1

x2 + x − 2
, y =0, x = - 2 và x = 2 là :
x+3

2

4
4
∫−2 ( x − 2 + x + 3).dx + ∫1 ( x − 2 + x + 3 ).dx

1
2
x2
x2
5
− 2 x + 4 Ln x + 3 )
+ ( − 2 x + 4 Ln x + 3 ) = 7 + 4 Ln
−2
1
2
2
16

Câu 27
+, Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số y = x Ln(1 + x 2 ) và trục Ox :
x Ln(1 + x 2 ) =0 <=> x = 0

13


+, Do đó thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các
1

2
2
đường y = x Ln(1 + x ) , trục Ox và đường thẳng x = 1 là : V = π ∫ x .Ln(1 + x ).dx
2

0

2x

2
u
=
Ln
(1
+
x
)
=>
du
=
.dx
2

x +1
+, Đặt 
3
dv = x 2 .dx => v = x

3
1
1
1
x3
2 x4
1
2
2 dx

2 1
2
+, Nên V = π ( .Ln(1 + x ) − ∫ 2 .dx) = π ( Ln 2 − ∫ ( x − 1).dx − ∫ 2 )
0 3 0 x +1
3
3
30
3 0 x +1

4 2 
1
= π  Ln 2 + − I ÷
9 3 
3
1

+, Tính I =

∫x
0

dx
+1

2

π π
*, Đặt x = tant = > dx = (1+ tan2t)dt với t ∈ (− ; )
2 2
*, Đổi cận : x = 0=> t = 0 ; x = 1=> t =

π
4

π
4

π
π
*, Ta có : I = ∫ dt = t 4 =
4
0
0
1
4 π
+, Vậy I = π ( Ln 2 + − )
3
9 6
Câu 28
+, Khoảng thời gian để tốc độ sinh lợi nhuận của dự án đầu tư thứ 2 vượt bằng dự án đầu tư thứ
t = −10(l )
nhất khi : f(t) = g(t)  t2 – 5t – 150 = 0 ⇔ 
t = 15
+, Vậy lợi nhuận vượt thực tế trong khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ 15 được cho bởi tích phân xác định
sau :
15

15

0

0

2
LN= ∫ ( g (t ) − f (t ))dt = ∫ (150 + 5t − t )dt = (150t +

5t 2 t 3 15
− ) = 1687,5 trăm đô
2
3 0
14


Câu 29. Tìm z =

i (6 + 3i ) − 4 − 5i
= 1 + 7i
i

Phần thực là 1.
Câu 30. w = 2(1 + 3i ) − (2 + i) = 5i
Câu 31. z = 4+i
Mô-đun của z bằng 17 .
Câu 32. Phương trình có 2 nghiệm phức z1 = 2i và z2 = -2i
| z1 − z2 |= 4 .
Câu 33. Giả sử z = x + yi (x,y ∈ R )
| z + z + 5 |= 6
⇔| x + yi + x − yi + 5 |= 6
⇔| 2 x + 5 |= 6
1


x=

 2x + 5 = 6
2
⇔
⇔
 2x + 5 = −6
x = − 1

2
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là đường thẳng x = ±

1
2

Câu 34. Gọi z = a +bi
z + 2iz = 3 + 3i
⇔ a + bi + 2(ia + b) = 3 + 3i
⇔ (a + 2b) + (b + 2a)i = 3 + 3i
a + bi = 3
⇔
⇔ a = b =1
b + 2a = 3
S = a2016 + b2017= 2.

15


1

AB.BC.sinB = a2 3
2
1
VS.ABC = . SABC.SA = a 3 3
3
Câu 36. SABCD = a2
SA = AC = a 2
1
a3 2
VS.ABCD = . SABCD.SA =
3
3
1
1
Câu 37. SABC = AB.BC = a2
2
2
a3 2
VABC.A’B’C’ = SABC.AA’ =
2
2
a 3
Câu 38. SABC =
4
Gọi M là trung điểm của BC ⇒ ·AMA' = 600
3a
a 3 ⇒
AM =
AA’ = AM.tan600 =
2

2
Câu 35. SABC =

VABC.A’B’C’ = SABC.AA’ =

3 3 3
a
8

Câu 39. h = OI = a 3
π a3
1 2
V = πR h =
3
3
2
Câu 40. Sxq = 2πrl = πa
Câu 41. Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ (ABCD)
d(A, (SCD)) = d(H, (SCD))
Gọi M là trung điểm của CD, kẻ HK ⊥ SM ⇒ d(H, (SCD)) = HK
1
1
1
7
a 21
=
+
= 2 ⇒ HK =
2
2

2
HK
MS
HM
3a
7
Câu 42. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC; Gx là trục của tam giác ABC
Mặt phẳng trung trực của SA cắt Gx tại O; ta có OS = OA = OB = OC; O là tâm mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Xét tam giác OAG vuông tại G
13a 2
OA2 = OG 2 + GA2 =
12
a 156
Bán kính mặt cầu R=
12
16


Câu 43. Mặt cầu (S) có phương trình x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z − 2 = 0
 −2 4 −6 
Suy ra tâm I  ; ; ÷ = I (1; −2;3) và bán kính R = 12 + (−2) 2 + 32 + 2 = 4
 −2 −2 −2 
Câu 44.
uu
r
uur
Đường thẳng ( ∆ ) có u∆ = (2; −1;1) và M (1; −2; −1) ∈ ∆ . Mặt phẳng (P) có nP = (1;1; −1)
uu
r uur

+) Kiểm tra điều kiện cần: ∆ / /( P ) ⇒ u∆ .nP = 0 (đúng)
+) Điều kiện đủ: M ∉ ( P ) ⇔ 1 − 2 − (−1) + m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0
uuu
r
uuu
r
Câu 45 .Ta có: AB = ( 3;1; −1) . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và nhận vecto AB làm vecto
pháp tuyến nên ta có: ( P) : 3( x − x A ) + ( y − y A ) − (z − z A ) = 0 ( P) : 3 x + y − z + 4 = 0
Câu 46.
Đáp án A
Câu 47. Giao điểm A ( x0 ; y0 ; z0 ) của d1; d2 thỏa mãn:
 x0 + 1 y0 z0 − 1
 2 = 3 = 3

 − x0 + 1 = y0 = z0 − 1
 2
1
1
− x0 + 1
x +1
1
3
7
= 3. 0
⇒ x0 = − ⇒ y0 = ⇒ z0 =
2
2
2
4
4

 1 3 7
⇒ A − ; ; ÷
 2 4 4
⇒

⇒ dA

(P)

=

| −1 + 3 − 7 − 3 |
22 + 4 2 + 42

=

4
3

Câu 48
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng (∆) là: 3 x + y + z − 2 = 0
Gọi B = (d ') ∩ ( P) , tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

17


 x = −1
 x = −1
y = 2 + t



⇒ y = 2

z
=
3
+
t

z = 3
3 x + y + z − 2 = 0 
uuu
r
Vậy B(−1;2;3), AB = (−1;1;2)
Phương trình của đường thẳng (d):

x
y −1 z −1
=
=
−1
1
2

Câu 49. Bài này ta cần kiểm tra có bốn điểm nào đồng phẳng hay không? Và câu trả lời là không..
Do đó, có 3 điểm tạo thành 1 mặt phẳng và có tất cả: C53 = 10 mặt phẳng.
Câu 50.
Bài này đơn thuần dùng công thức:
VABCD =

1
6

uuur uuur uuu
r
 BC ; BD  .BA



Ta có:
uuur
uuur
uuu
r
BC = (1;0; −2); BD = (0; −1; −2); BA = (1;2;1)
uuur uuur
 BC ; BD  = (−2;2; −1)


⇒ VABCD =

1
1
(−2;2; −1).(1;2;1) =
6
6

-------------------------------HẾT-------------------------------

18