Cac chuyen de toan nang cao

5 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HAY THƯỜNG GẶP TRONG
CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI – THI ĐẠI HỌC
Chuyên đề 1: Phương pháp tìm số hạng tổng quát
Phần 1 : XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT DỰA TRÊN CẤP SỐ VÀ PHƯƠNG
TRÌNH ĐẶC TRƯNG CUẢ DÃY :

Loại 1 :
Dãy số ( ) xác định bởi :
Vì nên là cấp số cộng.

Do đó + (n-1)d = + (n-1)d

Loại 2
Dãy số xác định bởi :
Vì nên là một cấp số nhân do đó

Loại 3
Dãy số ( ) xác định bởi
Ta có :  – = a( – ) (*)
Đặt – ; –

Thay vào (*) : = a suy ra là một cấp số nhân q = a . Vậy . =
với – –

Do đó – )  – = ( – )
 = + ( – ) + b ( )
Các trường hợp a = 0 và a = 1 , b= 0 quy về loại 1 và 2 .

Loại 4
Dãy số ( ) xác định bởi :
Xét phương trình – cx – d = 0 (1) ( phương trình đặc trưng của dãy ).

a) nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và thì
trong đó : e1 , e2 là nghiệm của hệ
b) Nếu phương trình (1) có nghiệm kép r khác 0 thì :
Trong đó e1 , e2 là nghiệm của hệ
Chứng minh công thức (*) , (**) dựa trên phương pháp chứng minh quy nạp .

ta cũng có thể là như sau với dạng 4 để mọi người hiểu rõ hơn , ta tìm 2 số a,b sao cho
a + b = c và ab= -d ,a ,b sẽ là nghiệm của phương trình lúc này ta có
tương đương với )
đặt ta được dãy số với n = 2,3 ... vậy theo loại 2 và
kết hợp với trên ta được (1); lý luận tương tự ta cũng có
(2); lấy (2) - (1 ) vế theo vế ta được số theo n ,
chuyển vế là được số hạng tổng quát
Ví dụ minh họa :
VD1 : Xác định số hạng tổng quát của dãy fibonacci .

giải :
Phương trình đặc trưng của dãy ::

là nghiệm của hệ
do đó theo (*) :
hay
VD2
Xác định số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi :
Giải
giả thuyết ta có :
(1)
rtrong (1) thay n+1 bởi n ta có :
(2)
(1) - (2) theo vế , ta có : = 0 (3)

Giả thuyết : (4)
trong (4) thay n+1 bởi n : (5)
từ (4) và (5) ( do > 0 )
do đó từ (3)
từ giả thuyết
như vậy dãy đã cho xác định lại như sau :
bài toán rơi vào loại 4 giải tương tự ví dụ 1
Sau đây là bài tập áp dụng từ các đề thi
1
2
3
4
5
6
Phần 2 : XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT DỰA VÀO DÃY SỐ PHỤ :
VD1 :
dãy số ( n = 1,2,3,...) được sác định bởi ,
với mọi n = 1,2,3,...
hãy tìm công thức tổng quátcuar theo n .
giải
từ giả thuyết suy ra với mọi n thuộc N*và với n =1 ,
2,...
đặt ta có
và với n = 1,2,...
suy ra :
hay : (1)
đặt và b = 2002 , từ (1) ta có :
= .....
=
=

suy ra : với n = 1,2 ...
từ đó
VD2
cho dãy số ( ) xác định bởi n= 1,2...
hãy xác định số hạng tổng quát ( ) của dãy :
giải
đặt ( n=1,2,...) (1)
ta có (2)
(3)
từ (1),(3) suy ra
nên ( ) và cấp số cộng có công sai d = -1 từ (2) , suy ra :
kết hợp với (1) ta được
phew xong rùi giờ là bài tập ứng dụng
bài 1 cho dãy số ( ) , n thuộc N* ,xác định như sau :
với mọi n thuộc N*
hãy tính tổng của 2001 số hạng đầu tiên của dãy số
(HSGQG 2000-2001 bảng B ; TH và TT 10/2001)
bài 2 dãy số được xác định bởi
a) hãy xác đinh số hạng tổng quát của dãy số trên
b) chứng minh rằng số có otheer biểu diễn được thành tổng bình phương của ba số
nguyên liên tiếp ( với n >= 1)
( đề olimpic 30-4 2001 lương văn chánh phú yên )
bài 3 : cho số thực a khác 0 cva fcho dãy số với mọi x thuộc N*
xác đinh bởi với mọi n thuộc N*
a) tìm số hạng tổng quát cảu dãy trên
b) chứng minh rằng dãy trên có giới hạn hữu hạn khi n tiến về dương vô cùng , Hãy tìm
giới hạn đó .
(HSGQG 2002-2003 bảng b TH và TT 1/2004
bài 4 cho dãy số n thuôc N thỏa điều kiện với n thuôc N
tính

( đề thi olimpic đong bằng sông cửu long năm 2000)