Đề thi HSG Toán 7-4

Đề thi học sinh giỏi
môn thi : toán lớp 7
Câu 1 : (2 điểm)
Tính : a) A=
68
1
52
1
8
1
51
1
39
1
6
1
+
+
b) B= 512-

32
2
512
2
512
2
512
...-
10
2
512

Câu 2 : (2 điểm)
a) Tìm x,y nguyên biết : xy+3x-y=6
b) Tìm x,y,z biết :
zyx
yx
z
zx
y
yz
x
++=
+
=
++
=
++
211
(x,y,z

0)
Câu 3 : (2 điểm)
a) Chứng minh rằng : Với n nguyên dơng ta có
S=3
n+2
-2
n+2
+3
n
-2
n

chia hết cho 10
b) Tìm số tự nhiên x,y biết : 7(x-2004)
2
= 23-y
2
Câu 4 : (3 điểm)
Cho tam giác ABC , AK là trung tuyến . Trên nửa mặt phẳng không chứa B ,
bờ là AC , kẻ tia Ax vuông góc với AC ; trên Ax lấy điểm M sao cho AM=AC .
Trên nửa mặt phẳng không chứa C , bờ là AB , kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy
điểm N thuộc Ay sao cho AN=AB . Lấy điểm P trên tia AK sao cho AK=KP .
Chứng minh :
a) AC//BP.
b) AK vuông góc với MN.
Câu 5 : (1 điểm) a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác vuông với c là cạnh
huyền . Chứng minh rằng : a
2n
+ b
2n


c
2n
; n là số tự nhiên lớn hơn 0.
đáp án đề thi học sinh giỏi
môn thi : toán lớp 7
Câu 1 : (2 đ)
a) (1đ) A=
3
4
4

1
3
1
)
17
1
13
1
2
1
(
4
1
)
17
1
13
1
2
1
(
3
1
==
+
+
b)(1đ) B=512(1-
1032
2
1

...
2
1
2
1
2
1

) 0,25
B=512







)
2
1
2
1
(...)
2
1
2
1
()
2
1

2
1
()
2
1
1(
109322
0,5
B=512






+++
)
2
1
2
1
...
2
1
2
1
2
1
2
1

2
1
1(
109322
B=512 .
10
2
1
=512.
2
1
1024
1
=
0,25
Câu 2 : (2 đ)
a) (1đ)
xy+3x-y=6
(xy+3x)-(y+3)=3 0,25
x(y+3)-(y+3) =3
(x-1)(y+3)=3=3.1=-3.(-1) 0,25
Có 4 trờng hợp xảy ra :



=+
=
13
31
y

x
;



=+
=
33
11
y
x
;



=+
=
13
31
y
x
;



=+
=
33
11
y

x

Từ đó ta tìm đợc 4 cặp số x;y thoả mãn là :
(x=4;y=-2) ; (x=2;y=0) ; (x=-2;y=-4) ; (x=0; y=-6) 0,5
b : (1đ)
Từ
211
+
=
++
=
++
yx
z
zx
y
yz
x
, suy ra
211
+
=
++
=
++
yx
z
zx
y
yz

x
=
=
2
1
)(2
=
++
++
zyx
zyx
, suy ra x+y+z=
2
1
0,5
Từ đó ta có x+y=
z

2
1
; x+z=
2
1
-y ; y+z=
2
1
-x 0,25
Thay vào ta tìm đợc x=
2
1

; y=
2
1
; z=-
2
1
0,25
Câu 3 : (2đ)
a) (1đ)
S=(3
n+2
+ 3
n
)-(2
n+2
+ 2
n
) =3
n
(3
2
+ 1) - 2
n-1
(2
3
+ 2) 0,5
S=3
n
.10 - 2
n-1

.10=10(3
n
- 2
n-1
) chia hết cho 10 0,5
b) (1đ) 7(x-2004)
2
= 23-y
2
7(x-2004)
2
+ y
2
=23 (*)
Vì y
2


0 nên (x-2004)
2

7
23

, suy ra (x-2004)
2
=0
hoặc (x-2004)
2
=1 0,5

Với (x-2004)
2
=0 thay vào (*) ta có y
2
=23 (loại)
Với (x-2004)
2
=1 thay vào (*) ta có y
2
=16 0,25
Từ đó ta tìm đợc (x=2005;y=4) ; (x=2003; y=4) 0,25

Câu 4 : (3 đ)
a) (1đ)
Chứng minh
PKBAKC
=
(c.g.c)
(0,5đ)
Suy ra
13


PA
=
, từ đó suy ra
AC//BP (0,5đ)
b) (2đ)
Chứng minh góc ABP=góc NAM (cùng bù góc BAC) (0,5đ)
Chứng minh

NAMABP
=
(c.g.c) (0,5đ)
Suy ra
11


NA
=
Gọi H là giao điểm của AK và MN
Chứng minh
0
12
90

=+
AA
(0,5đ)
Suy ra
12


NA
+
=90
0
. Do đó AK

NM tại H (0,5đ)
Câu 5 : (1đ)

Với n=1 , theo định lí Pythagore ta có : a
2
+ b
2
= c
2
(Đúng) 0,25
1
3
2
1
1
x
y
M
N
H
P
K
CB
A
Giả sử đúng với n=k , ta có a
2k
+ b
2k


c
2k

Với n= k+1 , ta có a
2(k+1)
+ b
2(k+1)
=
=(a
2k
+ b
2k
)(a
2
+ b
2
) - a
2
b
2k
- b
2
a
2k


c
2k
c
2
=c
2(k+1)
0,5

Vậy bất đẳng thức đúng với n=k + 1
Do đó ta có a
2n
+ b
2n


c
2n
; n là số tự nhiên lớn hơn 0. 0,25