Bài tập ôn tập hình học 9

O
Mét sè bµi to¸n h×nh häc líp 9 dïng cho «n tËp ch¬ng
1)Bµi tËp 1 : (dïng cho «n tËp ch¬ng 2 h×nh häc 9 theo s¸ch gi¸o khoa míi)
Gäi M lµ 1 ®iĨm trªn nưa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB (AB= 2R).TiÕp tun t¹i M
c¾t c¸c tiÕp tun t¹i A vµ B cđa (O) lÇn lỵt t¹i C vµ D
1. chøng minh :
·
COD
= 1v
2. chøng minh: CD =CA + DB
3. chøng minh :CA.DB = R
2
4. chøng minh AB lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh CD
Bài giải

C
I
D
A B
1) chứng minh
·
COD
= 1v:
ta co ùCO là phân giác của
·
ACM
( t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) đồng thời là
phân giác của
·
AOM
ta co ùDO là phân giác của

·
BDM
( t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) đồng thời là
phân giác của
·
BOM

Mà
·
AOM
và
·
BOM
là 2 góc kề bù
·
1CO OD COD V⇒ ⊥ ⇒ =

2) chứng minh : CD = CA + DB
ta có CA = CM , DB = DM (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
mà CM +DM = CD ( M
∈
CD) => CD = CA + DB
3)chøng minh CA.DB = R
2
Ta có
∆
COD vuông tại O (cmt),OM
⊥
CD tại M (CD là tiếp tuyến)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được:

CM.DM = OM
2
, mà CM =CA,DM = DB , OM = R
=> CA.DB = R
2
1
M
4.chøng minh AB lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh CD:
Nếu gọi I là tâm đường tròn đường kính CD thì I là trung điểm của CD,lại
có
·
COD
= 1v => O
∈
( I )
⇒
IO là bán kính của ( I ) (*)
Xét tứ giác ACDB có AC // DB (cùng vuông góc với AB)
⇒
tứ giác
ACDB là hình thang vuông,và OI là đường trung bình của nó
⇒
OI//AC
⇒
OI
⊥
AB (**). Từ (*), (**)
⇒
AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
CD

Nhận xét: bài tập này đã củng cố các kiến thức về đừơng tròn, điểm thuộc đường
tròn,tiếp tuyến của đường tròn,các tính chất của tiếp tuyến đó cũng là những kiến
thức trọng tâm cuả chương.
2) Bài tập 2 : (dùng cho ôn tập chương2 hình hoc 9)
Cho đường tròn(O) đường kính AB,vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại trung
điểm I của OA .Vẽ OE
⊥
BC .
1)Tứ giác ACOD là hình gì?chứng minh.
2)Chứng minh EC= EB
3)Chứng minh 3 điểm D,O,E thẳng hàng
4)Vẽ (K) đường kính OB.Chứng minh (O) và (K) tiếp xúc nhau
5)chứng minh IE là tiếp tuyến của (K)
Bài giải
C
E
A I O B
D
1)xét tứ giác ACOD có IA = IO (gt), IC= ID (đường kính OA vuông góc day cung
CD tại I)
⇒
ACOD là hình bình hành,lại có 2 đường chéo vuông góc nên ACOD
là hình thoi.
2) Chứng minh EC= EB:ta có OE là đường kính, BC là dây cung mà OE
⊥
BC (gt)
⇒
EC= EB
3)Chứng minh 3 điểm D,O,E thẳng hàng:

2
Ta có C thuộc đường tròn đường kính AB
⇒
·
ACB
= 1v
⇒
AC
⊥
CB
Mà ACOD là hình thoi nên AC // OD
⇒
OD
⊥
CB,lại có OE
⊥
BC(gt)
⇒
3 điểm D,O,E thẳng hàng.
4) Chứng minh (O) và (K) tiếp xúc nhau:
ta có K là trung điểm của OB (gt)
⇒
OK + KB = OB
⇒
OK = OB - KB
Hệ thức này chứng tỏ (O) và (K) tiếp xúc trong.
5)chứng minh IE là tiếp tuyến của (K)
Do OE
⊥
BC(gt)

⇒
·
OEB
=1v
⇒
E thuộc (K)
⇒
EK là bán kính của (K)
Ta có KE=KO (bán kính của (K))
⇒
·
·
OEK EOK=
,mà
·
·
DOI EOK=
(đđ)
⇒
·
·
OEK DOI=
(1).Mặt khác
∆
CED vuông tại E có EI là trung tuyến thuộc cạnh
huyền
⇒
IE = ID
⇒
·

·
IDO IEO=
(2), lại có
∆
DIO vuông tại I (gt)
⇒

·
·
IDO DOI+
= 1V
(3).Từ (1),(2), (3)
⇒
·
·
OEK IEO+
= 1V
⇒
IE
⊥
EK
⇒
IE là tiếp tuyến của (K).
Nhận xét: bài tập này đã củng cố các kiến thức vềđường tròn, ®Þnh lÝ vỊ tam gi¸c
vu«ng néi tiÕp ®êng trßn,đường kính vuông góc dây cung, tiếp tuyến với đường
tròn,vò trí tương đối 2 đường tròn,đó cũng là những kiến thức cơ bản trọng tâm
trong chương .
3) Bài tập 3: (dùng cho ôn tập chương2)
Gọi C là 1 điểm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB .(AB= 2R).Tia BC cắt
tiếp tuyến tại A của (O) tại M. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AM tại I

1) Chứng minh 4 điểm A,O,C,I cùng nằm trên 1 đường tròn.
2) Chứng minh IA = IM.
3) Chứng minh IO
⊥
AC.
4) Gọi K là giao điểm của IO và AC, vẽ OE
⊥
BC (E thuộc BC).
Chứng minh EK không đổi khi C chuyển động trên (O)
5) Chứng minh IC
2
=
1
4
MC.MB
M Bài giải
I C
K E
A O B
3
1)Chứng minh 4 điểm A,O,C,I cùng nằm trên 1 đường tròn.
Ta có
·
IAO
= 1v (IA là tiếp tuyến)
⇒
A nằm trên đường tròn đường kính OI.
(1)
Ta có
·

ICO
= 1v (IC là tiếp tuyến)
⇒
C nằm trên đường tròn đường kính OI.
(2) Từ (1) và (2)
⇒
4 điểm A,O,C,I cùng nằm trên 1 đường tròn
2)Chứng minh IA = IM.
Ta có C thuộc (O)
⇒

·
ACB
= 1v
⇒
·
·
·
ACI ICM ACM+ = =
1v (1)
Do IA= IC ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
⇒
·
·
IAC ICA=
(2)
Do
∆
ACM vuông tại C (cmt)
⇒

·
·
IAC IMC+ =
1V (3). Từ (1) ,(2),(3)
⇒
·
·
IMC ICM=

⇒

∆
IMC cân tại I
⇒
IM = IC
⇒
IA = IM
3)Chứng minh IO
⊥
AC.
Ta có OA = OC = R, IA =IC (cmt)
⇒
OI là trung trực của AC
⇒
IO
⊥
AC.
4)Chứng minh EK không đổi khi C chuyển động trên (O)
Do IO
⊥

AC (cmt) và theo giả thiết K là giao điểm của IO và AC
⇒
K là
trung điểm của AC, do OE
⊥
BC (gt)
⇒
E là trung điểm của BC ( đường
kính vuông góc dây cung)
⇒
EK là đường trung bình của
∆
ACB
⇒
KE =
1
2
AB = R không đổi
5) Chứng minh IC
2
=
1
4
MC.MB:
ta có
∆
MAB vuông tại A ( AM là tiếp tuyến),AC là đường cao (
·
ACB
= 1v),

áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :
MA
2
= MC.MB (1).
Lại có IC = IA =
1
2
MA (cmt)
⇒
IC
2
=
1
4
MA
2
(2)
Từ (1) ,(2)
⇒
IC
2
=
1
4
MC.MB
Nhận xét: Bài toán này đã củng cố các kiến thức vềđường tròn, ®Þnh lÝ vỊ
tam gi¸c vu«ng néi tiÕp ®êng trßn ,đường kính vuông góc dây cung, tiếp tuyến
với đường tròn,, đó cũng là những kiến thức trọng tâm cuả chương.
4 ) Bµi tËp 4 : (dùng cho ôn tập chương2,bµi 41sgk)
Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh BC, d©y AD vu«ng gãc BC t¹i H.Gäi E,F theo thø

tù lµ ch©n c¸c ®êng vu«ng gãc kỴ tõ H ®Õn AB,AC.Gäi (I), (K) theo thø tù lµ c¸c
®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c HBE,HCF.
a) H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ t¬ng ®èi cđa c¸c ®êng trßn: (I) vµ (O), (K) vµ (O), (I) vµ
(K).
b)Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g× ? v× sao?
c) Chøng minh: AE.AB = AF. AC.
4
d) Chøng minh EF lµ tiÕp tun chung cđa 2 ®êng trßn (I) vµ (K).
e) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa H ®Ĩ EF cã ®é dµi lín nhÊt.
Bài giải
A
E G F
B .I H .K C
D
a) OI = OB – IB Nªn (I) tiÕp xóc trong víi (O).
OK = OC – KC Nªn (K) tiÕp xóc trong víi (O).
IK = IH + KH Nªn (I) tiÕp xóc ngoµi víi (K).
b) Tø gi¸c AEHF cã
µ
µ
µ
A E F= =
= 1V (C¸c tam gi¸c BEH,HFC néi tiÕp ®êng trßn
®êng kÝnh BH,CH nªn lµ c¸c tam gi¸c vu«ng) => AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt.
c)
∆
AHB vu«ng t¹i H vµ HE
⊥
AB => AE.AB = AH
2

(1)

∆
AHC vu«ng t¹i H vµ HF
⊥
AC => AF.AC = AH
2
(2)
Tõ (1) vµ (2) => AE.AB = AF. AC.
d) Gäi G lµ giao ®iĨm cđa AH vµ EF,tø gi¸c AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt nªn GH
=GF =>
·
·
GFH GHF=
.
∆
KHF c©n t¹i K nªn
·
·
KFH KHF=
=>
·
·
·
·
0
90GFH KFH GHF KHF+ = + =
do ®ã EF lµ tiÕp tun cđa (K).
Chøng minh t¬ng tù EF lµ tiÕp tun cđa (I).
e) Ta cã AH =

1
2
AD (®êng kÝnh vu«ng gãc d©y cung), mµ EF = AH ( AEHF lµ
h×nh ch÷ nhËt) => EF =
1
2
AD.DO ®ã EF lín nhÊt
⇔
AD lín nhÊt
⇔
AD lµ ®-
êng kÝnh
⇔
H trïng víi O.
Nhận xét: bài tập này đã củng cố các kiến thức vềđường tròn, ®Þnh lÝ vỊ tam gi¸c
vu«ng néi tiÕp ®êng trßn,đường kính vuông góc dây cung, tiếp tuyến với đường
tròn,vò trí tương đối 2 đường tròn,liªn hƯ gi÷ường kính vµ dây cung(vÞ trÝ ,®é dµi )
đó cũng là những kiến thức cơ bản trọng tâm trong chương .
5)Bài tập 5: (dùng cho ôn tập chương3)
5