Chuyen de Mu va Logarit Phuong trinh mu co loi giai [blogtoanhoc.com]

QUÁCH ĐĂNG THĂNG

CHUYÊN ĐỀ

PHƯƠNG
TRÌNH MŨ
b>0

a = b ⇔ x = log a b
x


Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~1

PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương.
I. Trọng tâm kiến thức:
Bài toán sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để giải phương trình
mũ là bài toán cơ bản của phương trình mũ. Dạng chính của phương pháp này là
sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để biến đổi phương trình mũ về
dạng cơ bản hoặc dạng có cùng cơ số.
Phương pháp:
Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau

Dạng 1: Phương trình a f ( x ) = a g ( x )
+ Khi cơ số a là một hằng số thỏa mãn 0 < a ≠ 1 thì

a f ( x) = a g ( x) ⇔ f ( x ) = g ( x ) .

+ Khi cơ số a là một hàm số của ẩn x thì

a f ( x) = a g( x)

a = 1

ho ặc
⇔  0 < a ≠ 1

 f ( x ) = g ( x )


 a > 0
.

( a − 1)  f ( x ) − g ( x )  = 0

Dạng 2: Phương trình a f ( x ) = b

0 < a ≠ 1, b > 0
Cách giải: a f ( x ) = b ⇔ 
 f ( x ) = log a b
Đặc biệt:
+ Khi b = 0 ho ặc b < 0 thì kết luận ngay phương trình vô nghiệm.
+ Khi b = 1ta viết b = a 0 . Suy ra phương trình

a f ( x) = b ⇔ a f ( x ) = a 0 ⇔ f ( x ) = 0 .

+ Khi b ≠ 1 mà b có thể biểu diễn thành b = a c . Suy ra phương trình

a f ( x) = b ⇔ a f ( x ) = a c ⇔ f ( x ) = c .

Tuy nhiên có nhiều trường hợp với phương trình a f ( x ) = b g ( x ) ta cần chọn
phần tử trung gian c để biến đổi phương trình về dạng

(c )
α

f ( x)

= (cβ )

g(x)

⇔ cα f ( x ) = c β g ( x ) ⇔ α f ( x ) = β g ( x )

Chú ý: Trước khi biến đổi phương trình chúng ta phải tìm điều kiện để f ( x ) và

g ( x ) có nghĩa.

II. Bài tập chọn lọc, điển hình:



Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~3

Vậy phương trình có nghiệm x=10.

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) 7 x −4 x +5 = 49 x .
2

b) 8 x − 2 x + 2 = 4 x + x +3 .
3

2

2

c) 2 x − x +8 = 41−3 x .
d) 3x +1 + 3x − 2 − 3x −3 + 3x −4 = 750 .
2

Hướng dẫn giải

a) Ta có

x = 2
.
7 x −4 x +5 = 49 x ⇔ 7 x −4 x +5 = 7 2 x ⇔ x 2 − 4 x + 5 = 2 x ⇔ x 2 − 6 x + 5 = 0 ⇔ 
x
=
3

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 2, x = 3.
b) Ta có
2

2

8 x − 2 x + 2 = 4 x + x +3 ⇔ 2
3

2

2

(

3 x3 − 2 x 2 + 2

)

=2

(

2 x2 + x +3

)

⇔ 3( x 3 − 2 x 2 + 2 ) = 2 ( x 2 + x + 3)


x = 0

x = 0

4 − 22
3
2
2
⇔ 3x − 8 x − 2 x = 0 ⇔ x ( 3x − 8 x − 2 ) = 0 ⇔  2
⇔ x =

3
3 x − 8 x − 2 = 0

 x = 4 + 22

3

Vậy phương trình có 3 nghiệm x = 0, x =

4 − 22
4 + 22
,x =
.
3
3

c) Ta có 2 x − x +8 = 41−3 x ⇔ 2 x − x +8 = 2 2(1−3 x ) ⇔ x 2 − x + 8 = 2 − 6 x
 x = −3
⇔ x2 + 5x + 6 = 0 ⇔ 
.
 x = −2
2

2

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = −3, x = −2 .

3x 3x 3x
+ = 750
d) Ta có 3 + 3 − 3 + 3 = 750 ⇔ 3.3 + −
9 27 81
1 1
1
250 x

⇔ 3+ −
+  .3x = 750 ⇔
.3 = 750 ⇔ 3x = 3.81 ⇔ 3x = 35 ⇔ x = 5 .
9 27 81 
81

Vậy phương trình có nghiệm x = 5.
x +1

x −2

x −3

x −4

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a)

(

5+2

)

x −1

=

(

5−2

)

x −1
x +1

.

x



Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

6 − 35 =

nên

Khi đó

(

1

6 + 35

6 + 35

) =(
2 x +5
2 x +1

=

6 − 35

(

)

6 + 35

2 x −1
2 x −5

⇔

(

~5

).
−1

6 + 35

) =(
2 x +5
2 x +1

6 + 35

2x + 5
2x − 1
=−
2x + 1
2x − 5
⇔ ( 2 x + 5 )( 2 x − 5 ) = − ( 2 x − 1)( 2 x + 1) ⇔ 4 x 2 − 25 = −4 x 2 + 1

)

−

2 x −1
2 x −5

⇔


13
x=−

13
2
⇔ 8 x 2 = 26 ⇔ x 2 = ⇔ 
(thỏa mãn).
4

13
x =

2


13
x = −
2 .
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm 

13
x =

2

d) Vì x 2 − 2 x + 9 = ( x − 1) + 8 > 0, ∀x ∈ » nên điều kiện của phương trình là

2

∀x ∈ » .

(

)

)(

Mà 7 + 48 7 − 48 = 49 − 48 = 1 . Suy ra

(7 −

)

48 =

Khi đó

(7 +

48

)

(

1
7 + 48

x2 −2 x+9

)

(

= 7 + 48

(

= 7 − 48

⇔ x 2 − 2 x + 9 = −2 x + 7

)

2 x −7

)

−1

(

.

⇔ 7 + 48

)

x2 −2 x +9

(

= 7 + 48

)

−2 x + 7

7

x
≤

7
2


 −2 x + 7 ≥ 0
x ≤
⇔ 2
⇔   x = 2 ⇔ x = 2 (thỏa
2
2 ⇔ 
x
−
2
x

+
9
=
−
2
x
+
7
(
)
2
3 x − 26 x + 40 = 0  

20
 x =
3

mãn).
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.



Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

x − 3 =1
x = 4
x = 4



⇔  0 < x − 3 ≠ 1
⇔  3 < x ≠ 4
⇔
x=5
 3 x 2 − 5 x + 2 = 2 x 2 + 2 x − 8   x 2 − 7 x + 10 = 0 
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x=4, x=5.
Bài 6: Cho phương trình

~7

1
(1) .
4m+1
2
a) Giải phương trình với m = 0.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
1

x2 − 4 x +5

=

c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thuộc khoảng (1, 4 ) .

Biến đổi phương trình về dạng:

1
1
= m+1 ⇔  
x −4 x +5

4
2
2
2
⇔ x − 4 x + 5 = 2m + 2
1

x2 − 4 x +5

2

⇔ x 2 − 4 x + 3 − 2m = 0

Hướng dẫn giải

1
= 
2

2 m+ 2

( 2)

x =1
a) Với m = 0, ta được phương trình x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ 
.
x = 3
Vậy với m = 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = 1, x = 3 .

b) Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu ⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm trái

dấu.

3 − 2m
3
< 0 ⇔ 3 − 2m < 0 ⇔ m > .
1
2
3
Vậy, với m > thì phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.
2
c) Phương trình (1) biến đổi về d ạng x 2 − 4 x + 3 = 2m ( 3 ) .

⇔ P<0⇔

Phương trình (1) có 2 nghiệm thuộc khoảng (1,4 ) ⇔ Phương trình (3) có 2

nghiệm thuộc khoảng (1,4 ) .

Xét hàm số y = f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 trên khoảng (1, 4 ) ta có bảng biến thiên


Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ
x
2
1
4
−∞

~8

+∞

+∞

+∞

y
3
t

0
-1

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (3) có 2 nghiệm thuộc kho ảng
1
(1,4 ) ⇔ −1 < 2m < 0 ⇔ − < m < 0 .
2
1
Vậy, với − < m < 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm thuộc khoảng (1, 4 ) .
2
Lưu ý: Ở câu c) chúng ta có thể sử dụng định lý đảo về tam thức bậc hai để làm
tuy nhiên phận kiến thức này đã được giảm tải không đưa vào nữa nên việc dùng
phương pháp hàm số là hữu hiệu và nhanh nhất.
Bài 7: Cho phương trình 27 mx − 2 x +3 x −2 =
3

1

2

9

− mx 2 − x + 2

(1) .

a) Giải phương trình với m = -3.
b) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt dương.

Biến đổi phương trình về dạng:

( 33 )

mx3 − 2 x 2 + 3 x − 2

= ( 3−2 )

Hướng dẫn giải

− mx 2 − x + 2

⇔ 3( mx 3 − 2 x 2 + 3x − 2 ) = −2 ( − mx 2 − x + 2 )
⇔ 3mx 3 − ( m + 3) x 2 + 7 x − 2 = 0
⇔ ( 3x − 2 ) ( mx 2 − 2 x + 1) = 0

3 x − 2 = 0
⇔ 2
 mx − 2 x + 1 = 0 ( 2 )
a) Với m = -3, ta được phương trình

2

x
=

3
3 x − 2 = 0

⇔  x = −1

2
−
3
x
−
2
x
+
1
=
0


1
x =
3


1

2
Vậy, với m = -3 phương trình có 3 nghiệm x = −1, x = , x = .
3
3



Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

hoặc log b a f ( x ) = log b b g ( x ) ⇔ f ( x ).log b a = g ( x ).

Đặc biệt: Nếu cơ số khác nhau nhưng số mũ bằng nhau thì

a
a
a = b ⇔   = 1 =   ⇔ f ( x ) = 0 (vì b f ( x ) > 0 )
b
b
II. Bài tập chọn lọc, điển hình:
Bài 1: Giải các phương trình:
3
a) 2 x −2 x = .
2
f ( x)

f ( x)

0

f ( x)

2

b) 5x.8

x −1
x

= 500.

2

c) 2 x −4.5x − 2 = 1.
2

d) 3 x − 2.4

2 x −3
x

= 18 .

Hướng dẫn giải
a) Lấy logarit cơ số 2 hai vế phương trình ta được:
3
log 2 2 x − 2 x = log 2 ⇔ x 2 − 2 x = log 2 3 − 1 ⇔ x 2 − 2 x + 1 − log 2 3 = 0
2
,
Ta có ∆ = 1 − 1 + log 2 3 = log 2 3 > 0 .

2

Suy ra phương trình có nghiệm x = 1 ± log 2 3.

b) Điều kiện x ≠ 0 .
Viết lại phương trình dưới dạng:

5x.8

x −1
x

= 500 ⇔ 5x.2

3

x −1
x

= 53.22 ⇔ 5x −3.2

x −3
x

=1

Lấy logarit cơ số 2 vế, ta được:

x −3



 x −3 
log 2  5x −3.2 x  = 0 ⇔ log 2 ( 5x −3 ) + log 2  2 x  = 0




x−3
⇔ ( x − 3) .log 2 5 +
log 2 2 = 0
x
x = 3
1

⇔ ( x − 3 )  log 2 5 +  = 0 ⇔ 
1 .
x = −
x

log 2 5


Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x = 3; x = −

c) Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế phương trình ta được

1
.
log 2 5

~10



Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

Ta viết phương trình về dạng

~12

 x = 0

2
 x = 1
x − x +1 =1
x =1
 x ≠ 0
x −1
 2
2
( x − x + 1) = 1 ⇔  x − x + 1 ≠ 1 ⇔  x ≠ 1 ⇔  x = 0 .
 
 x 2 − 1 = 0
 x = −1


x
=
1



   x = −1

Vậy phương trình có 3 nghiệm x = −1, x = 0, x = 1 .
2

b) Điều kiện x − x 2 > 0 ⇔ 0 < x < 1 .
Ta viết phương trình về dạng

 x − x2 = 1
 x 2 − x + 1 = 0 (VN )
 x − x2 = 1
x−2



x − x2
= 1 ⇔   x − x 2 ≠ 1 ⇔   x − x 2 ≠ 1 ⇔   x 2 − x + 1 ≠ 0
⇔ x=2



 x=2

 x = 2

  x − 2 = 0
(loại).
Vậy phương trình vô nghiệm.

(

)

 x2 − 2 x + 2 > 0
c) Điều kiện 
⇔ −2 ≤ x ≤ 2 .
2
4
−
x
≥
0


(x

2

− 2 x + 2)

4 − x2

x =1
 x2 − 2x + 2 = 1
x =1
x = 2

 2

x ≠ 1


= 1 ⇔   x − 2 x + 2 ≠ 1 ⇔   x ≠ 1
⇔ 
⇔ x =1

  x = 2

2

2

 
 x = −2
4 − x = 0
  4 − x = 0
x
=
−
2
  

(thỏa mãn).
Vậy phương trình có 3 nghiệm x = 2, x = 1, x = −2 .
Bài 3: Giải các phương trình sau
a) xlog x = 1000 x 2 .
b) xlog x + 4 = 32 .
2

c) 7 log

2
25

(5 x )−1

= x log 7 .
5

x

d) 3x.8 x +1 = 36 .
Hướng dẫn giải

x > 0
a) Điều kiện 
.
x
≠
1

Lấy lôgarit cơ số 10 hai vế phương trình ta được



Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~14

Lấy logarit cơ số 2 hai vế ta được

 x xx+1 
log 2  3 .8  = log 2 36



⇔ log 2 3x + log 2 8 x +1 = log 2 ( 22.32 )
x

⇔ x log 2 3 +

x
log 2 23 = log 2 22 + log 2 32
x +1
3x
⇔ x log 2 3 +
= 2 + 2log 2 3
x +1
⇔ x ( x + 1) log 2 3 + 3x = 2 ( x + 1) + 2 ( x + 1) log 2 3
⇔ x 2 .log 2 3 + (1 − log 2 3) .x − 2 − 2log 2 3 = 0

(2)

Phương trình (2) là phương trình bậc 2 ẩn x có ∆ = ( 3log 2 3 + 1) > 0 .
2

x = 2
Suy ra phương trình 2 có 2 nghiệm phân biệt 

(thỏa mãn)
 x = −1 − log 3 2

x = 2
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm 
.
 x = −1 − log 3 2
Bài 4: Giải các phương trình sau:

a) 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 3x + 3x + 2 + 3x +3 .
b) 5x + 5x +1 + 5x + 2 = 3x + 3x +3 + 3x +1 .

d) 4

log 0 ,5

x−

1
2

x+

1
2

− 2 2 x −1 .
(sin x +5sin x cos x + 2) 1
= .
9

c) 4 x − 3

=3

2

Hướng dẫn giải

a) Phương trình được viết lại
2 x + 2.2 x + 4.2 x = 3x + 9.3x + 27.3x ⇔ 2 x (1 + 2 + 4 ) = 3x (1 + 9 + 27 )

2 x 37
37
 2  37
⇔ 7.2 = 37.3 ⇔ x =
⇔  =
⇔ x = log 2 .
3
7
7
 3
3 7
37
.
Vậy phương trình có nghiệm x = log 2
7
3
x

x

x

b) Phương trình được viết dưới dạng

5x + 5.5x + 25.5x = 3x + 27.3x + 3.3x ⇔ 5x (1 + 5 + 25) = 3x (1 + 27 + 3)
5 x 31  5 
5 5
⇔ 31.5 = 31.3 ⇔ x = ⇔   = 1 ⇔   =   ⇔ x = 0 .
3 31  3 
3 3
x

x

x

x

0




Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~17

a
Đặt t =   điều kiện hẹp t>0
b
Dạng 4: Lượng giác hoá.
Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t>0 cho trường hợp đặt t = a f ( x ) vì:
Nếu đặt t = a x thì t>0 là điều kiện đúng.
f

Nếu đặt t = 2 x +1 thì t>0 chỉ là điều kiện hẹp, bởi thực chất điều kiện cho t
phải là t ≥ 2 . Điều kiện này đặc biệt quan trọng cho lớp các bài toán có chứa
tham số.
II. Bài tập điển hình, chọn lọc:
2

Bài 1: Giải phương trình: 4cot x + 2 sin x − 3 = 0 (1)
1

2

2

Hướng dẫn giải
Điều kiện sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ , k ∈ »
(*)

Vì

1
= 1 + cot 2 x nên phương trình (1) được biết dưới dạng:
2

sin x
4cot x + 2.2
2

cot 2 x

−3=0

(2)

Đặt t = 2cot g x điều kiện t ≥ 1 vì cot 2 x ≥ 0 ⇔ 2cot x ≥ 20 = 1
Khi đó phương trình (2) có dạng:
2

2

t = 1
t 2 + 2t − 3 = 0 ⇔ 
⇔ 2cot x = 1 ⇔ cot 2 x = 0
t = −3 ( L )
π
thoả mãn (*)
⇔ cot x = 0 ⇔ x = + kπ , k ∈ Z
2
2

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm x =

(

Bài 2: Giải phương trình: 7 + 4 3

)

x

π
+ kπ , k ∈ Z .
2

(

)

x

−3 2− 3 + 2=0

Hướng dẫn giải

)
)(
) (
(
3 ) điều kiện t>0, thì: ( 2 − 3 )

Nhận xét rằng: 7 + 4 3 = 2 + 3 ; 2 + 3 2 − 3 = 1
2

(

Do đó nếu đặt t = 2 +

x

Khi đó phương trình trở thành:

x

(

1
= và 7 + 4 3
t

)

x

= t2

t = 1
3
t 2 − + 2 = 0 ⇔ t 3 + 2t − 3 = 0 ⇔ ( t − 1) ( t 2 + t + 3) = 0 ⇔  2
t
t + t + 3 = 0(vn)



Chuyên đề - Phương trình Mũ

Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~19

1
1 1
1
1

x − x =  x −  − ≥ − ⇔ 2x −x ≥ 2 4 ⇔ t ≥ 4
2 4
4
2

2

2

2

Bài 4: Giải phương trình: 23 x − 6.2 x −

Viết lại phương trình có dạng:

1

12
=1
2
2x

Hướng dẫn giải
3( x −1)

+

 3 x 23   x 2 
 2 − 23 x  − 6  2 − 2 x  = 1 (1)


 

2
23  x 2 
2

3x
Đặt t = 2 − x ⇒ 2 − 3 x =  2 − x  + 3.2 x  2 x − x  = t 3 + 6t
2
2
2 
2 


3

x

Khi đó phương trình (1) có dạng: t 3 + 6t − 6t = 1 ⇔ t = 1 ⇔ 2 x −
Đặt u = 2 x , u > 0 khi đó phương trình (2) có dạng:

u−

u = −1
u
=1 ⇔ u2 − u − 2 = 0 ⇔ 
2
u = 2

( L)

2
=1
2x

⇔ u = 2 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1

Vậy phương trình có nghiệm x=1.
Chú ý: Tiếp theo chúng ta sẽ quan tâm đến việc sử dụng phương pháp lượng
giác hoá.

(

)

Bài 5: Giải phương trình: 1 + 1 − 2 2 x = 1 + 2 1 − 2 2 x .2 x

Hướng dẫn giải
Điều kiện 1 − 2 ≥ 0 ⇔ 2 ≤ 1 ⇔ x ≤ 0
2x

2x

 π
Như vậy 0 < 2 x ≤ 1 , đặt 2 x = sin t , t ∈  0; 
 2
Khi đó phương trình có dạng:

(

)

1 + 1 − sin 2 t = sin t 1 + 2 1 − sin 2 t ⇔ 1 + cos t = (1 + 2cos t ) sin t

t
t
3t
t
⇔ 2 cos = sin t + sin 2t ⇔ 2 cos = 2sin cos
2
2
2
2
t
3t 
⇔ 2 cos  1 − 2 sin  = 0
2
2
t

 π

( L)
 x 1
 cos 2 = 0
t = 6
2 =
 x = −1
⇔
⇔
⇔
2⇔
 x
2
 3t
x = 0
t = π
2 =1
sin
=


 2
2
2



Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~21

ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn được thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp. Khi
đó thường ta được 1 phương trình bậc 2 theo ẩn phụ ( hoặc vẫn theo ẩn x) có
biệt số ∆ là một số chính phương.
II. Bài tập điển hình, chọn lọc:

Bài 1: Giải phương trình: 32 x − ( 2 x + 9 ) .3x + 9.2 x = 0

(1)

Hướng dẫn giải
Đặt t = 3x , điều kiện t>0. Khi đó phương trình tương đương với:
t 2 − ( 2 x + 9 ) t + 9.2 x = 0

(2)

Có ∆ = ( 2 x + 9 ) − 4.9.2 x = ( 2 x + 9 ) ≥ 0, ∀x ∈ » . Suy ra phương trình (2) có
2

2

t = 9
nghiệm 
x
t = 2
Khi đó:
+ Với t = 9 ⇔ 3x = 9 ⇔ t = 2

3
+ Với t = 2 ⇔ 3 = 2 ⇔   = 1 ⇔ x = 0

2
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm x=2, x=0.
x

x

x

x

Bài 2: Giải phương trình: 9 x + ( x 2 − 3) 3x − 2 x 2 + 2 = 0 (1)
2

2

Hướng dẫn giải

Đặt t = 3 điều kiện t ≥ 1 vì x ≥ 0 ⇔ 3x ≥ 30 = 1
x2

2

2

Khi đó phương trình tương đương với: t 2 + ( x 2 − 3) t − 2 x 2 + 2 = 0

∆ = ( x 2 − 3 ) − 4 ( −2 x 2 + 2 ) = ( x 2 + 1) ≥ 0, ∀x ∈ »
2

2

t = 2
Suy ra phương trình (2) có nghiệm 
2
t = 1 − x
Khi đó:

+ Với t = 2 ⇔ 3x = 2 ⇔ x 2 = log 3 2 ⇔ x = ± log 3 2
2

+ Với t = 1 − x 2 ⇔ 3 x = 1 − x 2 ta có nhận xét:
2

VT ≥ 1 VT = 1 3x = 1
⇒
⇔
⇔ x = 0.

2
VP ≤ 1 VP = 1 1 − x = 1
2

Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm x = ± log 3 2; x = 0 ,
Loại 3: Đặt ẩn phụ dạng 3
I. Trọng tâm kiến thức:

(2)

Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

Vậy với m=1, phương trình có 4 nghiệm phân biệt: x=3, x=2, x= ± 1
b) Để (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 và 3.

~23

m > 0
m > 0
(*) ⇔ 
. Khi đó điều kiện là:
⇔
 2
2
1
−
x
=
log
m
x
=
1
−
log
m


2

2

m > 0
m < 2
m > 0

1 − log m > 0


1 1 
2
⇔  m ≠ 1 ⇔ m ∈ ( 0;2 ) \  ;


 8 256 
8
1 − log 2 m ≠ 4 
1 − log 2 m ≠ 9

1
m ≠

256

1 1 
Vậy với m ∈ ( 0;2 ) \  ;
 thoả mãn điều kiện đầu bài.
 8 256 
Loại 4: Đặt ẩn phụ dạng 4
I. Trọng tâm kiến thức:

Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 4 là việc sử dụng k ẩn phụ chuyển
phương trình ban đầu thành 1 hệ phương trình với k ẩn phụ.
Trong hệ mới thì k-1 thì phương trình nhận được từ các mối liên hệ giữa
các đại lượng tương ứng.
Trường hợp đặc biệt là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban
đầu thành 1 hệ phương trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x, khi đó ta thực hiện theo các
bước:
Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu tượng trong phương trình.
Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng: f  x,ϕ ( x )  = 0

 y = ϕ ( x )
Bước 3: Đặt y = ϕ ( x ) ta biến đổi phương trình thành hệ: 
 f ( x; y ) = 0
II. Bài tập điển hình, chọn lọc:

2x
18
+ x
= x −1 1− x
Bài 1: Giải phương trình: x −1
2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2
Hướng dẫn giải
8
1
18
+ 1− x
= x −1 1− x
Viết lại phương trình dưới dạng: x −1
2 +1 2 +1 2 + 2 + 2
x −1

u = 2 + 1
Đặt: 
, u, v > 1
1− x
v = 2 + 1
8

Nhận xét rằng: u.v = ( 2 x −1 + 1) .( 21− x + 1) = 2 x −1 + 21− x + 2 = u + v


Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

Phương trình tương đương với hệ:

~24

 8 1 18
u = v = 2
u + 8v = 18 
 + =
⇔
u v u + v ⇔ 
9
u = 9; v =
u
+
v
=
uv


u + v = uv

8

2 x −1 + 1 = 2
+ Với u=v=2, ta được:  1− x
⇔ x =1
2 + 1 = 2

 2x −1 + 1 = 9
9

+ Với u=9 và v = , ta được:  1− x
9 ⇔ x=4
8
 2 + 1 = 8
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x=1 và x=4.
Bài 2: Giải phương trình: 22 x − 2 x + 6 = 6

Hướng dẫn giải

Đặt u = 2 x , điều kiện u>0. Khi đó phương trình thành: u 2 − u + 6 = 6

Đặt v = u + 6, điều kiện v ≥ 6 ⇒ v 2 = u + 6

Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:

u 2 = v + 6
u − v = 0

⇔ u 2 − v 2 = − ( u − v ) ⇔ ( u − v )( u + v + 1) = 0 ⇔ 
 2
u + v + 1 = 0
v = u + 6
u = 3
+ Với u=v ta được: u 2 − u − 6 = 0 ⇔ 
⇔ 2x = 3 ⇔ x = 8
u = −2( L)

+ Với u+v+1=0 ta được:


−1 + 21
u =
21 − 1
21 − 1
2
u2 + u − 5 = 0 ⇔ 
⇔ 2x =
⇔ x = log 2
2
2

−1 − 21
u
=
(1)


2

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x=8 và x= log 2

21 − 1
.
2
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số
I. Trọng tâm kiến thức:
Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen
thuộc. Ta có 3 hướng áp dụng:
Hướng1: Thực hiện các bước sau:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x)=k
Bước 2: Xét hàm số y=f(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu( giả sử
đồng biến)