Chuyên đề III: Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. ppsx

Chuyên đề III:
Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
1. Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ.
Lý huyết
- Ghi nhớ các phép toán với lũy thừa, mũ. (Với
0 1
a
 
)
.
x y x y
a a a


;




.
y x
x x y y
a a a
 
x
x y
y
a
a
a


 ;
1
x
x
a
a


.
Ghi nhớ công thức khử cơ số:




   
f x g x
a a f x g x
  


 
1 0
f x
a f x
  
;


 
log

f x
a
a c f x c
  
Dạng 1: Phương trình mũ bậc hai
2
. . 0
x x
m a n a p
  
(1)
Cách giải:
 Đặt


, 0
x
t a t
 
, khi đó


2
2 2
x x
t a a
  .
Ta có p/trình



2
. . 0, 0
mt nt p t
   
(2)
 Giải p/trình (2), tìm nghiệm
0
t


 Giải p/trình
log
x
a
a t x t
  
 Kết luận, nghiệm của (1)
Ví dụ: Giải các phương trình sau
1)
2 1
3 4.3 1 0
x x
  

2)




2. 3 2 2 2 1 1 0

x x
    

Lời giải :
1)
2 1
3 4.3 1 0
x x
  

2
3.3 4.3 1 0
x x
   

Đặt


3 , 0
x
t t
 
, khi đó
2 2
3
x
t

.
Ta có p/trình

2
3 4 1 0
t t
  
,


0
t


Giải p/trình này được
1
1;
3
t t
 
(thỏa mãn đ/k
0
t

)
 Với
1
t

, ta có
0
3 1 3 3 0
x x

x
    

- Với
1
3
t

, ta có
1
1
3 3 3 1
3
x x
x

     

 Vậy p/trình đã cho có hai nghiệm
0; 1
x x
  

Chú ý:
2 1 2 1 2
3 3 .3 3.3
x x x

 

2) Để ý


2
2 1 2 2 2 1 3 2 2
     
Đặt


2 1
x
t
 
,


0
t

,
Khi đó
     
2
2
2
3 2 2 2 1 2 1
x
x x
t
   

     
   
   

 P/trình đã cho trở thành
2
2 1 0
t t
  
,


0
t


Giải p/trình này ta được
1
t

(nhận);
1
0
2
t
  
(loại)
 Với
1
t


, ta có


2 1 1 0
x
x
   

 Vậy p/trình đã cho có nghiệm duy nhất
0
x

.
Dạng 2:
. . 0
x x
m a n a p

  
hay
. 0
x
x
n
m a p
a
  

Cách giải:

 Đặt


, 0
x
t a t
 
, khi đó
1 1
x
x
a
t
a

 

Thay vào p/trình đã cho, giải tìm nghiệm
0
t

. Rồi tìm x.
 Kết luận.
Ví dụ : Giải các phương trình sau
1)
1
6 6 5 0
x x
  

2)
1
1
1
5 26 0
5
x
x


  

Lời giải:
1) Ta có
1
6 6 5 0
x x
  
6 6.6 5 0
x x
   

 Đặt
6
x
t

,



0
t

ta có
1 1
6
6
x
x
t

 

 Ta có p/trình
1
6. 5 0
t
t
  
,


0
t


2
5 6 0
t t
   

.
Giải p/trình này được
6
t

(thỏa);
1 0
t
  
(không thỏa)
 Vậy ta có
6 6 1
x
x
  
.
Kết luận: P/trình đã cho có nghiệm duy nhất
1
x

.
2) Để ý :
1 1
5 5 .5 5.5
x x x

 
;
1 1
1 1 5

5 5 .5 5
x x x
 
 

Ta có
1
1
1
5 26 0
5
x
x


  
5
5.5 26 0
5
x
x
   

Đặt


5 , 0
x
t t
 

ta có p/trình
 
5
5. 26 0, 0
t t
t
   

2
5 26 5 0
t t
   

Giải p/trình này được
1
5;
5
t t
 
(thỏa mãn đ/k
0
t

)
 Với
5
t

, ta có
5 5 1

x
x
  

- Với
1
5
t

, ta có
1
1
5 5 5 1
5
x x
x

     

 Tóm lại, p/trình đã cho có hai nghiệm
1; 1
x x
  

Dạng 3: Bất phương trình mũ




f x g x

a a ,


0 1
a
 

Cách giải:
 Nếu
0 1
a
 
ta có




f x g x
 (đổi chiều BPT)
 Nếu
1
a

ta có




f x g x
 .

Với BPT


f x
a c


- Nếu
0 1
a
 
, ta có


log
a
f x c
 (Đổi chiều BPT)
- Nếu
1
a

, ta có


log
a
f x c

Ví dụ : Giải các bất phương trình

a)
2
3
1
2
4
x x
 b)
 
2
2 3
1
9
3
x x


Giải:
a) Ta có
2
3
1
2
4
x x

2
3 2
2 2
x x

 
 
2
3 2
x x
   

2
3 2 0
x x
   
1 2
x
  

Vậy BPT đã cho có tập nghiệm


1;2
T 
Vì cơ số
2 1
a
 
nên
2
3 2
2 2
x x
 


2
3 2
x x
   
(hai BPT có cùng chiều). Để
giải BPT
2
3 2 0
x x
  
, ta tìm nghiệm tam thức
2
3 2
x x
 
và xét dấu rồi chọn
miền nghiệm.
b)
 
2
2 3
1 1
3 9
x x

   
2
2 3 2
1 1

3 3
x x
 
2
2 3 2
x x
  
(đổi chiều BPT do cơ số
1
1
3
a
 
)
2
2 3 2 0
x x
   
1
2
2
x
   

Vậy BPT đã cho có tập nghiệm
1
2;
2
T
 

 
 
 

Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2006, Phân ban): Giải phương trình
2 2
2 9.2 2 0
x x
  

Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban):
Giải phương trình
1
7 2.7 9 0
x x
  

Câu 3 (Đề TN 2008, L1, Phân ban):
Giải phương trình
2 1
3 9.3 6 0
x x
  

Câu 4: Giải các bất phương trình sau
a)
   
2
3 2 6

1 1
2 2
x x x
 
 b)
2
2 7 6
3 3
x x x
 

2. Hàm số, phương trình, bất phương trình lôgarit.
Lý huyết
Ghi nhớ: Với
0 1, 0, 0
a b c
   
khi đó
Tính toán: log
a
a



;
log log
a a
b b




1
log log
a
a
b b



Cộng, trừ logarit :
log log log .
a a a
b c b c
 
;
log log log
a a a
b
b c
c
 
Đổi cơ số:
log
log
log
a
c
a
b
b

c

;
1
log
log
a
b
b
a


 Cách khử logarit:
   


   
0
log log
a a
f x
f x g x
f x g x
 

 









log
c
a
f x c f x a
  

Chú ý:
10
log log lg
a a a
 
;
log ln
e
a a

.
Dạng 1: Biến đổi về phương trình




log log
a a
f x g x


Cách giải:
- Dùng các công thức tính toán, cộng trừ logarit để biến đổi.
- Cần chú ý đến đ/k với các biểu thức dưới dấu logarit.
Ví dụ: Giải các p/trình sau:
1)


3 9
log 9 log 5
x x
 

2)




2 2 2
log 2 log 3 log 12
x x   
Lới giải:
1)  Đ/k xác định:
0
0
9 0
x
x
x



 




Khi đó ta có


3 9
log 9 log 5
x x
 
2
3 3
3
log 9 log log 5
x x
   

3 3
1
2 log log 5
2
x x
   
3
3
log 3
2

x
 

2
3
log 2 3 9
x x x
     
(thỏa mãn đ/k)
 Vậy p/trình có nghiệm duy nhất
9
x

.
2)  Đ/k xác định
2 0 2
3
3 0 3
x x
x
x x
  
 
  
 
  
 

Khi đó ta có





2 2 2
log 2 log 3 log 12
x x   




2 2
log 2 3 log 12
x x   




2 3 12
x x
   
2
5 6 0
x x
   

Giải p/trình này dược
6
x

(thỏa đ/k);

1
x
 
(không thỏa đ/k)
 Vậy, p/trình đã cho có nghiệm duy nhất
6
x

.
Dạng 2: P/trình bậc hai chứa lôgarit




2
.log .log 0
a a
m f x n f x p
  

Cách giải:
 Đ/k xác định:


0
f x


 Đặt



log
a
t f x
 ,
t



Ta có p/trình
2
. 0
mt nt p
  
. Giải p/trình này tìm t.
 Giải p/trình




log
t
a
f x t f x a
  
để tìm x.
 Kết luận.
Ví dụ : Giải ph/trình
2 2
2 2

log 3log 10 0
x x
  

Giải:
Đ/k xác định:
0
x


Ta có


 
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
log log 2log 4log
x x x x
  
 Đặt
2
log
t x

, ta có
2 2 2
2
log 4

x t

 P/trình đã cho trở thành
2
4 3 10 0
t t
  

Giải p/trình này được
5
2;
4
t t
  

 Với
2
t

, ta có
2
2
log 2 2 4
x x x
    

- Với
5
4
t

 
, ta có
5
4
2
5
log 2
4
x x

   
 Kết luận: P/trình đã cho có hai nghiệm
5
4;
4
x x
  
.
Dạng 3: Bất p/trình




log log
a a
f x g x
 ,


0 1

a
 
.
Điều kiện xác định:


 
0
0
f x
g x








- Nếu
0 1
a
 
, ta có




f x g x
 (BPT đổi chiều)

- Nếu
1
a

, ta có




f x g x
 (BPT cùng chiều)
 Với BPT


log
a
f x c


- Nếu
0 1
a
 
, ta có


c
f x a

(BPT đổi chiều)

- Nếu
1
a

, ta có


c
f x a

(BPT cùng chiều)
Ví dụ: Giải các bất p/trình:
a)


2 2
log log 3 1
x x
 
b)




1 1
3 3
log 2 1 log 2
x x
  

Giải:
a)  Đ/kiện xác định:
0
1
3 1 0
3
x
x
x


 

 


 Với
1
3
x

ta có :


2 2
log log 3 1
x x
 
3 1
x x

  
1
2 1
2
x x
   

{ Cơ số
2 1
a
 
nên có BPT cùng chiều}
 Vậy tập nghiệm của bất p/trình đã cho
1 1
;
3 2
T
 



 

b)  Đ/kiện xác định:
2 1 0
1
2 0
2
x
x

x
 

 

 


 Với
1
2
x

ta có :




1 1
3 3
log 2 1 log 2
x x
  
2 1 2
x x
   
3
x
 

{ Cơ số
1
1
2
a
 
nên BPT đổi chiều}
 Vậy tập nghiệm của bất p/trình đã cho
1
;3
2
T
 

 
 

Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2007, Lần 1, Phân ban):
Giải phương trình


4 2
log log 4 5
x x
 
.
Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban):
Giải phương trình







3 3 3
log 2 log 2 log 5x x x    

.
Câu 3: Giải các bất phương trình
a)


1 5 1
5 5
log log 2 log 3
x x  
b)
2
3 3
log 4log 3 0
x x
  