Bồi dưỡng HS giỏi

ĐỀ ÔN THI
Đề 1:
1) Chứng minh rằng : n ( n + 2 )(25n
2
– 1) ∶ 24
∀
n
∈
N.
2) Cho x + y = 1 . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức : x
3
+ y
3
.
3) Rút gọn biểu thức :
( ) ( )
( )
2
22
333
3
accbba
abccba
A
−+−+−
−++
=
4) Chứng minh bất đẳng thức. a
4
+ b
4

≥
a
3
b + ab
3

∀
a, b
5) Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC của hình vuông
ABCD. Các đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I. Chứng minh tam giác
ADI là tam giác cân.
Đề 2 :
1) Chứng minh rằng : n
5
– n ∶30
∀
n
∈
N.
2) Tìm số nguyên dương có hai chữ số biết lập phương của chữ số hàng chục
cộng với bình phương chữ số hàng đơn vò bằng chính số đó.
3) Chứng minh rằng :
baba
+
≥+
411
Với a,b > 0.
4) Cho biểu thức :
962
923

2
2
−+−
−++
=
xx
xx
M
a. Rút gọn biểu thức M.
b. Tính giá trò của M với x = -5.
5) Cho hình bình hành ABCD có góc BAD = 120
0
và AB = 2 AD.
a. Chứng minh rằng tia phân giác của góc ADC đi qua trung điểm E của
cạnh AB.
b. Gọi F là trung điểm của cạnh DC. Chứng minh tam giác ADF là tam
giác đều và AD vuông góc với AC.
Đề 3:
1) Tìm số nhỏ nhất chia cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 6
dư 4.
2) Tính giá trò của biểu thức: A =
526526
+−−
3) Giải phương trình x
3
– 5x
2
+ 8x – 4 = 0.
4) Tìm giá trò nhỏ nhất của:
32

6
2
−−
=
x
B
5) Cho ΔABC có B = 120
0
, cạnh BC = 12 cm, cạnh AB = 6cm. Phân giác của
góc B cắt cạnh AC tại D
a) Tính độ dài đường phân giác BD.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM
⊥
BD.
c) Tính diện tích Δ ABD.
Đề 4 :
1) Rút gọn biểu thức :
1...
1...
2222426
4162024
+++++
+++++
=
xxxx
xxxx
A
2) Tìm giá trò lớn nhất của:
542
1

23
−−+
+
=
xxx
x
D
.
3) Chứng minh rằng ( a + 1 )
2

≥
4a
4) Phân tích thành nhân tử : x
2
(y – z ) + y
2
( z – x ) + z
2
(x – y).
5) Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC
theo thứ tự E, K, G. Chứng minh:
a) AE
2
= EK.EG.
b)
AGAKEA
111
+=
Đề 5:

1) Rút gọn biểu thức :
222222
222
111
cbabac
acb
A
−+
+
−+
+
−+
=
Với a + b + c = 0.
2) Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức S = x
2
+ y
2
biết rằng giữa x và y
có mối liên hệ sau : 5x
2
+8xy +5y
2
= 36.
3) Chứng minh rằng với mọi x ta có :
( x – 1)( x – 3)(x + 5)(x + 7) + 75 > 0.
4) Giải phương trình :
42
6
32

1
22
1
222
+−
=
+−
+
+−
xxxxxx
.
5) Cho tam giác ABC, đường phân giác AI. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của
B và C lên AI. Chứng minh :
IE
ID
AE
AD
=
Đề 6 :
1) Chứng minh :
Zn 120 4n5nn
35
∈∀+−

2) Rút gọn biểu thức :
20052004
1
...
54
1

43
1
32
1
−
+−
−
+
−
−
−
=
P
3) Tính
1
2 x Với
=
++++
+−
=
924228
910
234
24
xxxx
xx
B
4) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức :
2)6)(5)(2)(1(
+−−−−=

xxxxB
5) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 36cm,AD= 24cm. E là trung điểm của
AB. Đường thẳng DE cắt AC tại F, cắt CB tại G.
a) Chứng minh FD
2
= EF.FG
b) Tính độ dài đoạn DG.
TRẮC NGHIỆM
Bài 1: Các đẳng thức nào sau đây đúng.
(I)
416
=
(II)
416
−=
(III)
416
+=
hay – 4.
a) Chỉ (I) b) Chỉ (II) c) Chỉ (III) d) Chỉ (I) và (II).
Bài 2 : Xét những mệnh đề sau :
(I)
24
−=−
; (II)
6)9)(4(
=−−
; (III)
24
−=

Những mệnh đề nào sai:
a) Chỉ (I) b) Chỉ (II) c) Chỉ (III) d) Chỉ (I) và (III).
Bài 3: Với giá trò nào của x thì biểu thức 4x
2
+ 4x + 1 có căn bậc hai? Câu nào sau
đây đúng nhất.
a)
0
>∀
x
; b)
x
∀
; c) x = - 2; d) x = 0
Bài 4 : Điều kiện xác đònh của y =
x
x25
−
là.
a) x > 0; b)
2
5
≥
x
; c)
2
5
0
≤<
x

; d) Đáp số khác.
Bài 5 : Chứng minh mọi số đều bằng nhau:
Cho
ba
≠
.
Bước I : (a – b)
2
= (b – a)
2
Bước II : a – b = b – a
Bước III: 2a = 2b
Bước IV : a = b
Trong các bước lý luận trên học sinh này đã :
a) Sai ở bước I; b) Sai ở bước II; c) Sai ở bước III; d) Sai ở bước IV.
Bài 6 : Với
0
≥
x
giá trò nhỏ nhất của
)1(6
1384
2
x
xx
+
++
là :
a) 1; b) 2 ; c)
12

25
; d)
6
13
Bài 7 :
Tính
13829
3434
2
+






−++
=
x
.
a) 1 ; b) 2 ; c) 4 ; d) Đáp số khác.
Bài 8 : Phương trình
244
2
−=++
xxx
có
a) Vô nghiệm; b) Vô số nghiệm c)1 nghiệm âm, d)1 nghiệm dương.
Bài 9: Phương trình
6)1(4

2
=+
x
có
a) Vô nghiệm; b) Vô số nghiệm; c)1 nghiệm, d)2 nghiệm