de taitu 1 bai toan co ban xd cac bai toan phat trien.doc

Từ một bài toán cơ bản xây dựng các bài toán phát triển
A.Lý do chọn đề tài :
Tìm tòi để sáng tạo, đó là nhiệm vụ hàng đầu của ngời làm toán. Tìm tòi và sáng
tạo là một việc không dễ và có nhiều con đờng khác nhau để đạt đợc mục đích.
Vì vậy, việc hớng dẫn học sinh tìm tòi sáng tạo là rát cần thiết đối với tất cả các
thầy cô giáo dạy toán. ở đây, tôi muốn trao đổi một số ví dụ về hớng dẫn học sinh tìm tòi
sáng tạo từ một bài toán nhỏ.
1. Lý do khách quan:
2. Lý do chủ quan:
Phát huy tính tích cực, tự giác chủ động trong học tập của mỗi học sinh đang là
nhiệm vụ trọng tâm trong việc đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay. Cũng giống nh các
bộ môn khác, môn toán với đặc thù riêng mang tính lôgíc chặt chẽ và đòi hỏi t duy trừu t-
ợng cao thì việc tạo ra đợc hứng thú, say mê trong học tập ở tất cả các đối tợng học sinh (
Kém, Yếu , Trung bình, Khá giỏi) là một yêu cầu hết sức cần thiết đối với mỗi giáo viên.
Trong thực tế hiện nay mỗi trờng, mỗi lớp trình độ nhận thức của học sinh không
đồng đều. Vậy làm thế nào để thu hút ttất cả các em vào một hoạt động nhận thức với tính
tích cực, chủ động cao, làm thế nào để học sinh dù thuộc đối tợng nào (Kém, Yếu , Trung
bình, Khá giỏi) cũng đều phát huy tối đa đợc sự linh hoạt, sáng tạo trong việc tiếp cận tri
thức mới hay xây dựng kỹ năng vận dụng kiến thức trong giải bài tập là cả một quá trình
xây dựng tìm tòi gia công nghiêm túc của mỗi giáo viên. Thực tế cho thấy đối với một bộ
môn toán học sinh khối trung học cơ sở ( nhất là các lớp cuối cấp) đã có sự phân hoá rõ
rệt trong trình độ nhận thức, cùng một số bài tập thầy giáo giao cho cả lớp làm, có em
cảm thấy quá dễ có học sinh lại cảm thấy quá khó. Xét ở góc độ tích cực thì cả hai trờng
hợp đều xảy ra tâm lí không sẵn sàng chủ động giải quyết bài toán. Đối với học sinh giỏi
thì coi thờng hoặc cảm thấy nhàm chán, học sinh yếu thì vì không tìm ra hớng giải quyết
sinh ra nản chí. Trong trờng hợp này vai trò của ngời giáo viên là hết sức quan trọng, với
nhiều đối tợng học sinh chênh lệch về khả năng nhận thức thì việc thiết kế một giờ dạy
đảm bảo phát huy tối đa sức suy nghĩ của học sinh là một việc làm cần thiết và không đơn
giản.
Trong dạy học nói chung và giảng dạy bộ môn toán nói riêng ngời giáo viên phải
đặt trớc học sinh những tình huống có vấn đề. Tình huống có vấn đề trong bộ môn toán

thờng đặt ra dới dạng các bài tập, chính vì vậy trong quá trình xây dựng kiến thức cho học
sinh cũng nh việc củng cố, rèn luyện kỹ năng giải toán, ngời giáo viên thờng chuẩn bị
một hệ thống các câu hỏi , bài tập phù hợp với từng đối tợng học sinh. Trong một giờ lên
lớp để đảm bảo cho cả một tập thể học sinh đều đợc tham gia tích cực vào bài học, một
trong nhiều phơng pháp đó là Từ một bài toán cơ bản xây dựng các bài toán phát
triển với ý nghĩ đó tôi đã thực hiện nghiên cứu giảng dạy trong quá trình công tác ở tr-
ờng trung học cơ sở Cẩm Đàn xin trao đổi cùng đồng nghiệp.
B.Nội dung:
1
Từ một bài toán cơ bản xây dựng các bài toán phát triển
I/Phần số học;
Bài toán: Một số chia cho 7 thì d 6, khi chia cho 8 thì d 5. Hỏi số đó chia cho 56
thì d bao nhiêu?

Giải:
Cách 1: Gọi số bị chia là a, theo giả thiết ta có:
a = 7q
1
+ 6 (1)
a = 8q
2
+ 5 (2)
Để tạo ra bội của 56, ta nhân cả hai vế của (1) với 8 và (2) với 7 ta có:
8a = 56q
1
+ 48 (3)
7a = 56q
2
+ 35 (4)
Từ (3) và (4) suy ra:

8a 7a = 56(q
1
q
2
) +13
Hay a = 56(q
1
q
2
) +13
Số d cần tìm là 13.
Cách 2 : Từ (1) và (2) suy ra : 7q
1
+ 6 = 8q
2
+ 5 (5)
Từ (5) rút ra:
7q
1
7q
2
= q
2
- 1
Hay q
2
- 1 = 7(q
1
q
2

) = 7q hay q
2
= 7q + 1 (6)
Thay (6) vào (2) ta đợc:
a = 8(7q + 1) + 5 = 56q + 13
Vậy số d là 13.
Lời bình: Từ giả thiết ta có a = 7q
1
+ 6 và a = 8q
2
+ 5 ta đã đi đến hai cách
giải:
Cách 1: Tìm số d r khi chia a cho 56, ta tìm cách biểu diễn:
a = 56 q + r với 0 < r < 56
Cách 2: Ta chú ý đến 56 = 7.8 và 8a 7a = a
Khai thác bài toán:
Từ bài toán trên ta có thể phát triển mở rộng lên thành bài toán tổng quát sau:
Khi chia sốnguyên a cho số nguyên n thì d r
1
, khi chia cho (n +1) thì d r
2
.
Hỏi khi chia a cho n(n + 1) thì số d là bao nhiêu?
Gải:
Theo giả thiết ta có :
a = nq
1
+ r
1
và a = (n +1)q

2
+ r
2
Do đó (n + 1)a = n(n +1)q
1
+ (n +1)r
1
Và na = n(n +1)q
2
+ nr
2 _
Từ đó suy ra :
(n + 1)a - na = n(n +1)(q
1
q
2
) + (n +1)r
1
- nr
2
Vì (n +1)r
1
- nr
2
< n(n +1) nên ta có:
+ Nếu (n +1)r
1
- nr
2

0 thì số d là (n +1)r
1
- nr
2
+) Nếu (n +1)r
1
- nr
2
< 0 thì
2
Từ một bài toán cơ bản xây dựng các bài toán phát triển
a = n(n +1)(q
1
q
2
- 1) + n(n + 1) + (n +1)r
1
- nr
2
và 0 < n(n + 1) + (n +1)r
1
- nr
2
< n(n + 1)
do đó số d là:
n(n + 1) + (n +1)r
1
- nr
2

II/Phần đại số:
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất của
x
x
A
2
4

=
Giải:
Cách 1: A xác định
4
0
04







x
x
x

áp dụng bất đẳng thúc Cô si cho hai số không âm ta có:

( )
42
44

2
1
44
2
1
4
xx
xx
=
+
=
Do đó:
8
1
242
4
=



=
x
x
x
x
A

Dấu = xảy ra

x 4 = 4

x = 8
Vậy giá trị lớn nhất của A là
8
1
.
Cách 2: A xác định
4
0
04







x
x
x
áp dụng bất đẳng thúc Cô si cho hai số không âm ta có:

( )
( )
48444
2
44
42
=
+

=
xx
x
x
Do đó:
8
1
48
4
2
4
=




=
x
x
x
x
A
Dấu = xảy ra

x 4 = 4

x = 8
Vậy giá trị lớn nhất của A là
8
1

.
Lời bình: Bài toán trên có hai cách giải đều áp dụng bất đẳng thức Cô sic ho hai số
không âm.
Cách 1: Từ
4

x
tìm cách viết thành Trung bình nhân thích hợp để khi chuyển sang
Trung bình cộng phần chứa biến x trong A sẽ bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số.
Cách 2: Từ 2x tìm cách viết thành Trung bình cộng Thích hợp để khi chuyển sang
Trung bình nhân phần chứa biến x trong A sẽ bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số.
Từ cách giải bài toán trên ta có thể khai thác phát triển thành bài toán tổng quát sau:
Bài toán tổng quát:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
dcx
bax
A
+
+
=
trong đó a, b, c, d là những hằng số.
áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ( trong những điều kiện thích
3
Từ một bài toán cơ bản xây dựng các bài toán phát triển
hợp nhất định) ta có hai cách giải sau:
Cách 1:
2
a
bc
d

a
bc
cx
a
bc
dc
a
a
bc
d
a
bc
cx
a
bc
dc
a
bax
++

+







=+

Do đó

a
bc
dc
a
A
2
1
Cách 2:
( )
( )






+

++
=






+=+
b
c
ad
bax
a
c
b
c
ad
bax
a
c
c
ad
ax
a

c
dax
2
2
2
Do đó








a
bc
dc
a
A
2
1
Với a =1, b = -4, c=2 và d = 0 ta có bài toán trên.
III/ Bài toán hình học:
Bài toán 1: (Bài toán lớp 7)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B
ta dựng đoạn thẳng AE AC và AE = AC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm
C dựng đoạn thẳng ADAB và AB = AD. Vẽ đờng cao AH của ABC, tia HA cắt BE tại
M. Chứng minh rằng M là trung điểm của DE.
Giải
Ta có hình vẽ sau: (hình 1)

4
Từ một bài toán cơ bản xây dựng các bài toán phát triển

Đối với học sinh lớp 7, để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta đa về việc chứng
minh hai tam giác bằng nhau. Dễ kiểm tra thấy DMA chứa MD và MEA chứa ME
không thể bằng nhau.
Để giải quyết đợc vấn đề ta phải tạo ra hai tam giác khác cũng nhận ME là cạnh và có
thể chứng minh đựơc chúng bằng nhau. Khai thác ADAB ta suy ra :
DAM

=

AHB ( vì cùng phụ với góc BAM) kết hợp với AD = AB ta nghĩ đến việc
tạo ra một tam giác vuông bằng ABH ( cạnh huyền góc nhọn ) bằng cách kẻ DI


MA.
Tơng tự ta cũng có thể kẻ đợc EK

AM để tạo ra một tam bằng giác ACH .
Ta có hình vẽ 2;

Khai thác kết quả ta đợc: DIA = AHB ( cạnh huyền góc nhọn) ta đợc
DI = AH. (1)
KEA = HAC (nh cách vẽ) ta đợc KE = AH (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: DI = KE
Từ kết quả này ta chứng minh đợc MDI = MEK (Hai tam giác có hai cạnh
góc vuông và một góc nhọn bằng nhau thì bằng nhau)
Từ đó suy ra: MD = ME (đpcm).
Từ bài toán trên theo cách nhìn nhận AB và AD là hai cạnh kề của một hình

vuông thì ta có thể mở rộng thành những bài toán mới sau:
Bài toán 2: (đối với học sinh lớp 8)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Lấy AB và AC làm cạnh dựng ra phía ngoài
tam giác hai hình vuông ADQB và AEFC. Gọi 0
1
và 0
2
theo thứ tự là tâm hai hình vuông
trên và N là trung điểm của BC . chứng minh rằng: NO
1
= NO
2
và NO
1


NO
2
.
D
A
B
C
M
E
H
D
A
B
C

M
E
H
K
I
5