SKKN giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn toán lớp 9

PHÒNG GD&ĐT PHÙ CỪ
TRƯỜNG THCS ĐÌNH CAO

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Giải bài toán bằng cách lập phương trình và
hệ phương trình trong chương trình môn Toán lớp 9
Môn: Toán học
Người viết: Bùi Nhật Tuynh
Phó hiệu trưởng – THCS Đình Cao

Năm học: 2013 - 2014

3


XÁC NHẬN CỦA ĐỒNG KHOA HỌC
TRƯỜNG: THCS ĐÌNH CAO
Tổng điểm:.................. Xếp loại:....................
TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
HIỆU TRƯỞNG

Nguyễn Văn Hạnh

................................................................................................................................

XÁC NHẬN CỦA ĐỒNG KHOA HỌC
PHÒNG GD&ĐT PHÙ CỪ
Tổng điểm:.................. Xếp loại:....................
TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

4

PHẦN I: PHẦN LÍ LỊCH
- Họ và tên: Bùi Nhật Tuynh.
- Chức vụ: Phó Hiệu trưởng.
- Đơn vị công tác: Trường THCS Đình Cao.
- Tên sáng kiến kinh nghiệm “Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ
phương trình trong chương trình môn Toán lớp 9”

5


Phần 2: Nội dung
A. MỞ ĐẦU
1. Đặt vấn đề
a, Thực trạng của vấn đề.
Khi giảng dạy cho các em học sinh ở bậc THCS môn Toán, tôi nhận thấy các
em học sinh lớp 9 gặp rất nhiều khó khăn khi giải các dạng toán bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình. Mặc dù các em đã biết cách giải dạng toán đố ở Tiểu
học, các bài toán số học ở lớp 6, 7, các dạng phương trình ở lớp 8, giải hệ phương
trình ở lớp 9, phương trình bậc hai ở lớp 9. Nhưng khi gặp bài toán giải bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình thì các em lại thấy khó mặc dù các em đã nắm được
quy tắc chung (các bước giải). Có nhiều em nắm được rất rõ các bước giải nhưng lại
không biết vận dụng vào giải bài tập vì các em không biết xuất phát từ đâu để tìm lời
giải hoặc không biết tìm sự liên quan giữa các đại lượng để lập phương trình, hệ
phương trình. Mà dạng toán này là một dạng toán cơ bản, thường xuất hiện trong các
bài kiểm tra học kỳ, các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, nhưng đại đa số học sinh
bị mất điểm ở bài này do không nắm chắc cách giải, cũng có những học sinh biết cách
làm nhưng không đạt điểm tối đa vì thiếu nhiều ý.
Trong phân phối chương trình môn Toán THCS ở lớp 9 số lượng tiết học về

giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình là 6 tiết nên bản thân giáo
viên và học sinh cũng chưa có sự tìm hiểu một cách thấu đáo, sách vở tài liệu tham
khảo ở các trường về dạng bài tập này cũng còn thiếu.
Từ một vài kinh nghiệm của bản thân khi giảng dạy “Giải bài toán bằng cách
lập phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn Toán lớp 9” đã thôi
thúc tôi ý tưởng trình bày sáng kiến của mình để cùng trao đổi kinh nghiệm với các
đồng nghiệp trong quá trình dạy học môn Toán.
b, Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới.
- Là giáo viên giảng dạy nhiều năm môn Toán và hiện nay là hiệu phó phụ trách
chuyên môn tôi nhận thấy học sinh thực sự lúng túng khi giải bài toán đố bằng cách
lập phương trình và hệ phương trình . Nếu cho sẵn một phương trình (phương trình
bậc nhất thông thường , phương trình chứa ẩn ở mẫu , phương trình tích …) để các
6


em giải , hầu hết học sinh đều thực hiện được, nhưng khi phải giải bài toán đố bằng
cách lập phương trình và hệ phương trình các em phải đứng trước khá nhiều đại lượng
ẩn giấu sau các cách biểu hiện bằng các khái niệm ngoài toán học của đề bài nên các
em thường bị bối rối không giải được . Loại toán này có nhiều dạng khác nhau và sau
khi đọc đề một bài toán đố – với cách diễn đạt thường là rối rắm – cho đến khi lập
được một phương trình của bài toán là một vấn đề rất khó khăn đối với học sinh
trường chúng tôi .
- Với sự hỗ trợ của SGK - SBT và thầy cô, bằng những phương pháp hướng
dẫn , gợi ý thông thường HS không thể nào nắm được mối liên hệ bản chất toán học
của bài toán . Do đó , sau khi đặt ẩn số những đại lượng liên quan đến ẩn số thường
bị các em diễn đạt không chính xác hoặc sai hoàn toàn. Phải chăng, các em thiếu một
cơ sở lý luận để nhìn vào là nhận ra ngay , thiếu một chỗ dựa vững chắc để giúp mình
tự suy luận .
- Vấn đề tiếp theo là cách sắp xếp các bước trong bài giải . Khi đã đặt xong ẩn
số , các em rất lúng túng không biết đại lượng nào cần biểu thị trước , đại lượng nào

biểu thị sau. Những sai sót vừa nêu trên thường sẽ dẫn đến một phương trình sai lệch
hoàn toàn .Đứng trước trách nhiệm này , tôi nhận thấy sự cần thiết của một phương
pháp mới giúp các em hiểu và giải được các dạng từ đơn giản đến phức tạp của dạng
toán này .
- Sách giáo khoa và các bài tập hướng dẫn hoàn toàn không có phương pháp
giúp các em tư duy để tự giải , mà chỉ nêu trình tự và cách tiến hành các bước giải
tương đối chi tiết . Nhưng vấn đề ở đây là làm thế nào để hiểu và giải được như sách .
Chắc chắn không thể nào để học sinh tham khảo cách giải trong sách rồi bắt chước tự
giải lại bài toán đó một cách độc lập được.
- Chính vì vậy tôi đã giành thời gian để đọc tài liệu, nghiên cứu, trao đổi với
các đồng nghiệp và đặc biệt là những kinh nghiệm sau những năm giảng dạy và làm
Phó hiệu trưởng phụ trách chuyên môn tôi mạnh dạn viết đề tài “Hướng dẫn học
sinh giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình”.
c, Phạm vi nghiên cứu của đề tài.
Đề tài được nghiên cứu và áp dụng giảng dạy cho học sinh THCS ở lớp 9 trên
cơ sở các bài toán về “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” của Chương
III - Đại số Toán 9 tập 2, các bài toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình”
của Chương IV - Đại số Toán 9 tập 2, các bài toán giải bằng cách lập phương trình và
hệ phương trình trong các sách tham khảo.
2. Phương pháp tiến hành
a, Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành khoa học.
Ngay từ thế kỉ 13, nhà tư tưởng Anh R. Bêcơn (R. Bacon) đã nói rằng: “Ai không hiểu
7


biết toán học thì không thể hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác và cũng không thể
phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình.”. Đến giữa thế kỉ 20, nhà vật lí học nổi
tiếng (P.Dirac) khẳng định rằng khi xây dựng lí thuyết vật lí “không được tin vào mọi
quan niệm vật lí”, mà phải “tin vào sơ đồ toán học, ngay cả khi sơ đồ này thoạt đầu có

thể không liên hệ gì với vật lí cả.”. Sự phát triển của các khoa học đã chứng minh lời
tiên đoán của C.Mac (K. Marx): “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó sử dụng
được phương pháp của toán học.”.
Mục tiêu cơ bản của Giáo dục nói chung, của Nhà trường nói riêng là đào tạo
và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có
đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay.
Để thực hiện được mục tiêu đó, trước hết chúng ta phải biết áp dụng phương pháp dạy
học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết
vấn đề, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các
phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự
học, tự nghiên cứu cho học sinh.
Đồng thời bản thân mỗi giáo viên cũng phải tự giác, tích cực tìm ra những
phương pháp dạy học mới, khắc phục lối truyền thụ một chiều, phát huy tính tích cực,
tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh trong các môn học, đặc biệt là môn học có
tính đặc thù cao là môn Toán.
Trong thời đại hiện nay, nền giáo dục của nước ta đã tiếp cận được với khoa
học hiện đại. Các môn học đều đòi hỏi tư duy sáng tạo và hiện đại của học sinh. Đặc
biệt là môn Toán, nó đòi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh, đòi hỏi học sinh tiếp thu
kiến thức một cách chính xác, khoa học và hiện đại. Vì thế để giúp các em học tập
môn toán có kết quả tốt giáo viên không chỉ có kiến thức vững vàng, một tâm hồn đầy
nhiệt huyết, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một
cách linh hoạt, sáng tạo truyền thụ kiến thức cho học sinh một cách dễ hiểu nhất.
Chương trình môn Toán ở bậc THCS rất rộng và đa dạng, các em được lĩnh hội
nhiều kiến thức. Trong đó có một nội dung kiến thức theo các em trong suốt quá trình
học tập là phương trình. Ngay từ những ngày mới cắp sách đến trường, học sinh đã
8


được giải phương trình. Đó là những phương trình rất đơn giản dưới dạng điền số
thích hợp vào ô trống và dần dần cao hơn là tìm số chưa biết trong một đẳng thức và

cao hơn nữa các em phải làm một số bài toán phức tạp. Đến lớp 8, lớp 9 các đề toán
trong chương trình đại số về phương trình là bài toán có lời. Các em căn cứ vào lời
bài toán đã cho phải tự mình thành lập phương trình, hệ phương trình và giải phương
trình, hệ phương trình. Kết quả tìm được không chỉ phụ thuộc vào kỹ năng giải
phương trình, hệ phương trình mà còn phụ thuộc rất nhiều vào việc thành lập phương
trình, hệ phương trình. Đó là dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình,
hệ phương trình”. Dạng toán này tương đối khó và mới mẻ, nó mang tính trừu tượng
rất cao, đòi hỏi học sinh phải có các kiến thức về số học, đại số, hình học, vật lí và
phải biết tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán đã cho với thực tiễn đời sống.
Nhưng thực tế cho thấy phần đông học sinh không đáp ứng được những khả năng trên
nên không giải được các dạng của bài toán lập phương trình.
Việc giải các bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình đối với học
sinh THCS là một việc làm mới mẻ. Đề bài cho không phải là những phương trình, hệ
phương trình có sẵn mà là một đoạn văn mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng, học
sinh phải chuyển đổi được mối quan hệ giữa các đại lượng được mô tả bằng lời văn
sang mối quan hệ toán học. Hơn nữa, nội dung của các bài toán này, hầu hết đều gắn
bó với các hoạt động thực tế của con người, xã hội hoặc tự nhiên,… Do đó trong quá
trình giải học sinh thường quên, không quan tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số
vô lý. Một đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều được gắn liền
với nội dung thực tế. Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thường là những số liệu có liên
quan đến thực tế. Do đó khi giải toán học sinh thường mắc sai lầm và thoát ly thực tế.
Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại toán này. Mặc khác, cũng có
thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học
sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà chưa biết phân loại toán,
chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng. Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh
còn yếu, cách chọn ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến việc
học sinh rất lúng túng và gặp rất nhiều khó khăn trong vấn đề giải loại toán này. Đối
9

với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình các em mới được
học nên chưa quen với dạng toán tự mình làm ra phương trình, hệ phương trình. Xuất
phát từ thực tế đó nên kết quả học tập của các em chưa cao. Nhiều em nắm được lý
thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng giải bài tập thì lại không làm được. Do vậy
việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập phương trình để giải toán, ngoài việc nắm
lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy,
đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập.
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán, tôi thấy
cần phải tạo ra cho các em có niềm yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu
hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài toán khó, phải có nghị lực, tập trung
tư tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập. Để giúp học sinh bớt khó
khăn và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc “Giải bài toán bằng cách lập phương
trình, hệ phương trình” lớp 8, lớp 9 tôi thấy cần phải hướng dẫn học sinh cách lập
phương trình, hệ phương trình rồi giải phương trình, hệ phương trình một cách kỹ
càng, yêu cầu học sinh có kỹ năng thực hành giải toán phần này cẩn thận.
Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải toán phù hợp với từng dạng
bài là một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường xuyên, không
chỉ giúp các em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một phương
pháp học tập cho bản thân, rèn cho các em có khả năng thực hành. Nếu làm được điều
đó chắc chắn kết quả học tập của các em sẽ đạt được như mong muốn.
b, Các biện pháp tiến hành và thời gian tạo giải pháp.
- Điều tra, theo dõi thực tế lớp học.
- Nghiên cứu tài liệu (SGK-Sách tham khảo – các đề thi…).
- Vận dụng thực hành trong giảng dạy.
- So sánh, tổng kết, rút kinh nghiệm.
Nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về dạng toán “giải bài toán bằng cách
lập phương trình” để mỗi học sinh sau khi học xong chương trình toán THCS đều
phải nắm chắc loại toán này và biết cách giải chúng.
Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng đặc thù riêng
lẻ. Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được

10


khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo được lòng say mê,
sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với việc giải bài toán
bằng cách lập phương trình.
Giúp giáo viên tìm ra phương pháp dạy phù hợp với mọi đối tượng học sinh
làm cho học sinh hứng thú khi học môn Toán.
Học sinh thấy được môn toán rất gần gũi với các môn học khác và thực tiễn
cuộc sống.
Hướng dẫn học sinh cách lập phương trình, hệ phương trình rồi giải phương trình, hệ
phương trình một cách kỹ càng, chính xác.
Giúp các em học sinh có kỹ năng thực hành giải toán tương đối thành thục khi gặp bài
toán đòi hỏi bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Thời gian tạo giải pháp
- Từ ngày 10 tháng 9 năm 2012 đến ngày 10 tháng 3 năm 2014
B. Nội dung.
1. Mục tiêu.
- Nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về dạng toán “giải bài toán bằng cách
lập phương trình” để mỗi học sinh sau khi học xong chương trình toán THCS đều
phải nắm chắc loại toán này và biết cách giải chúng.
- Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng đặc thù
riêng lẻ. Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy
được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo được lòng say
mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với việc giải bài toán
bằng cách lập phương trình.
- Giúp giáo viên tìm ra phương pháp dạy phù hợp với mọi đối tượng học sinh làm
cho học sinh hứng thú khi học môn Toán.
- Học sinh thấy được môn toán rất gần gũi với các môn học khác và thực tiễn cuộc
sống.

2. Giải pháp của đề tài.
2.1 Phân tích, tìm hiểu dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình và
hệ phương trình”
Từ những khó khăn cơ bản của học sinh cũng như những yếu tố khách quan
khác, tôi đã cố gắng tìm ra những giải pháp khắc phục nhằm đạt được hiệu quả cao
trong công tác. Nắm bắt được tình hình học sinh ngại khó khi giải bài toán bằng cách
lập phương trình nên tôi đã đưa ra các dạng bài tập khác nhau để phân loại cho phù
hợp với khả năng nhận thức của từng đối tượng. Các bài tập ở dạng từ thấp đến cao để
11


các em nhận thức chậm có thể làm tốt những bài toán ở mức độ trung bình, đồng thời
kích thích sự tìm tòi và sáng tạo của những học sinh khá, giỏi.
Bên cạnh đó tôi thường xuyên hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh, lắng
nghe ý kiến của các em. Cho học sinh ngoài làm việc cá nhân còn phải tham gia trao
đổi nhóm khi cần thiết. Tôi yêu cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ động, có trách
nhiệm với bản thân và tập thể.
Mặc dù khả năng nhận thức và suy luận của học sinh trong mỗi lớp chưa đồng
bộ nhưng khi giải bài toán bằng cách lập phương trình tất cả đều phải dựa vào một
quy tắc chung: Đó là các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình. Cụ thể như
sau :
Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình) gồm các công việc sau
- Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) và đặt điều kiện cho ẩn;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình)
- Tùy từng phương trình (hệ phương trình) mà chọn cách giải cho ngắn gọn
và phù hợp.
Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình ( nghiệm
của hệ phương trình), nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi

kết luận).
Lưu ý: Trước khi thực hiện bước 1, học sinh cần phải đọc kỹ đề bài, nhận
dạng bài toán là dạng toán nào, sau đó tóm tắt đề bài rồi giải. Bước 1 có tính chất
quyết định nhất. Thường đầu bài hỏi số liệu gì thì ta đặt cái đó là ẩn số. Xác định
đơn vị và điều kiện của ẩn phải phù hợp với thực tế cuộc sống.
2.2 Phân tích, tìm hiểu những yêu cầu khi giải bài toán bằng cách lập
phương trình và hệ phương trình
Tuy đã có quy tắc trên nhưng người giáo viên trong quá trình hướng dẫn cần
đảm bảo cho học sinh thực hiện theo các yêu cầu sau :
Yêu cầu 1 : Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ.
12


Để học sinh không mắc phải sai lầm này người giáo viên phải hướng dẫn học
sinh tìm hiểu đề toán. Do đó trước khi giải giáo viên phải yêu cầu học sinh đọc thật kỹ
đề bài, đọc lại đề bài nhiều lần, từng câu, từng chữ trong đề bài để nắm được đề bài đã
cho những gì, yêu cầu tìm những gì. Từ đó giúp học sinh hiểu kỹ đề toán và trong quá
trình giải không có sai sót nhỏ hoặc không phạm sai lầm. Việc hiểu kỹ nội dung đề bài
là tiền đề quan trọng trong việc giải bài tập toán. Nó giúp học sinh rất nhiều trong việc
chọn ẩn, đặt điều kiện của ẩn, suy luận, lập luận logic, kỹ năng tính toán, …
Giáo viên phải rèn cho học sinh thói quen đặt điều kiện cho ẩn và đối chiều với
điều kiện của ẩn cho thích hợp để tránh việc sai sót khi kết luận bài toán.
Ví dụ 1 : Bài tập 37 SBT Toán 9 tập 2 - trang 09
Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn
hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho
Phân tích :
Học sinh cần phải nắm được cấu tạo số trong hệ thập phân:
+ số có hai chữ số ab thì được biểu diễn là 10a + b
Ta thấy hai đại lượng chưa biết là chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của
số cần tìm. Theo giả thiết, khi viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại, ta vẫn được

một số có hai chữ số. Điều đó chứng tỏ rằng hai chữ số ấy đều phải khác 0.
Giải :
Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x (ĐK : x ∈ N , 0 < x ≤ 9 )
chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là y (ĐK : y ∈ N , 0 < y ≤ 9 )
Theo đề bài ta có :
Số ban đầu cần tìm là : xy = 10 x + y
Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số mới là : yx = 10 y + x
Theo các điều kiện của đề bài ta có hệ phương trình :
− x + y = 7
( 10 y + x ) − ( 10 x + y ) = 63
⇔

x + y = 9
( 10 x + y ) + ( 10 y + x ) = 99

13


x = 1

Giải hệ ta được : 
y = 8
Vậy số ban đầu cần tìm là : 18
x = 1

Sau khi tìm ra 
, giáo viên lưu ý học sinh đối chiếu với điều kiện ban đầu
y = 8
của đề bài xem đã thỏa mãn các điều kiện chưa.
Yêu cầu 2 : Lời giải phải có căn cứ chính xác.

Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, giáo viên cần lưu ý học sinh lập
luận phải có căn cứ và phải chính xác, khoa học. Vì mỗi câu lập luận trong bài giải
đều liên quan đến ẩn số và các dữ kiện đã cho trong đề toán. Do đó giáo viên cần phải
giúp học sinh hiểu được đâu là ẩn số, đâu là các dữ kiện đã cho trong bài toán, để từ
đó dựa vào những yếu tố và các mối liên quan giữa các đại lượng đã cho và ẩn số để
lập luận và lập nên phương trình. Vì thế, trước khi hướng dẫn học sinh giải bài toán
bằng cách lập phương trình, giáo viên nên hướng dẫn học sinh luyện tập các phương
pháp biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng bởi một biểu thức chứa ẩn, trong đó
ẩn số đại diện cho một đại lượng nào đó chưa biết. Học sinh có thể sử dụng cách lập
bảng (có thể viết ngoài giấy nháp) để biểu diễn các đại lượng chưa biết bởi những
biểu thức của ẩn cùng với các quan hệ của chúng.
Ví dụ 2 : Bài toán SGK toán 9 tập 2 - trang 22
Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi
ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi
đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu ?
Phân tích :
Từ giả thiết hai đội cùng làm trong 24 ngày thì xong cả đoạn đường (và được xem
là xong 1 công việc), ta suy ra trong một ngày cả hai đội làm chung

1
công việc.
24

Tương tự, số phần công việc mà mỗi đội làm trong một ngày và số ngày cần thiết để
đội đó hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Khi đó nếu gọi :
14


+ x là số ngày để đội A làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc

+ y là số ngày để đội B làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc
Ta có bảng sau :
Công việc
Đội A

1

Đội B

1

Cả hai
đội

Năng suất
1
x
1
y

Thời gian
x ngày (x > 0)
y ngày (y > 0)

1 1 1
+ =
x y 24

1

24 ngày

1 1 1
 x + y = 24

1 = 3. 1
 x 2 y

Hệ PT

Trong ví dụ trên, nếu chọn ẩn số theo cách khác :
Nếu gọi :
+ x là số phần công việc làm trong một ngày của đội A
+ y là số phần công việc làm trong một ngày của đội B
Ta có bảng sau :
Công việc

Năng suất

Đội A

1

x

Đội B

1

y

Cả hai đội

1

Hệ PT

x+ y=

Thời gian
1
ngày (x > 0)
x
1
ngày (y > 0)
y

1
24

24 ngày

1

 x + y = 24

x = 3 .y

2

Qua đó ta thấy rằng khi chọn ẩn là “thời gian” thì hệ phương trình phức tạp
hơn so với khi chọn ẩn là “năng suất làm việc”. Do đó khi giải cần chú ý đến việc
chọn ẩn.
Yêu cầu 3 : Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện.

15


Giáo viên khi giảng dạy cho học sinh giải loại toán này cần phải chú ý đến tính
toàn diện của bài giải. Nghĩa là lời giải của bài toán phải đầy đủ, chính xác, không
thừa cũng không thiếu. Phải làm sao sử dụng hết tất cả các dữ kiện của đề bài, không
bỏ sót một dữ kiện, một chi tiết nào dù là nhỏ, khi đã sử dụng hết tất cả các dữ kiện
của bài toán, lập được phương trình, giải tìm được kết quả thì cuối cùng các em phải
chú ý đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn hoặc có thể thử lại kết quả để trả lời, kết
luận bài toán cho chính xác. Có như vậy mới thể hiện được tính đầy đủ và toàn diện
nhất.
Ví dụ 3: Bài tập 30 SGK Toán 9 tập 2- trang 22
Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc
35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ
đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất
phát của ôtô tại A.
Hướng dẫn giải :
Gọi độ dài của quãng đường AB là x (km)
thời gian dự định đi từ A đến B là y (giờ)
Ta có bảng sau :
Dự định

Quãng đường (km)
x (x > 0)

Vận tốc (km/h)
-

Đi chậm

x

35 km/h

Đi nhanh

x

50 km/h

Thời gian (giờ)
y (y > 0)
x
giờ
35
x
giờ
50

x
 35 + 2 = y

 x −1 = y
 50

Hệ PT
 x = 350

Giải hệ ta được : 
y = 8

Lưu ý học sinh : Thời điểm xuất phát của ôtô là : 12 – 8 = 4 giờ sáng
Yêu cầu 4: Lời giải bài toán càng đơn giản càng tốt

16


Bài giải phải đảm bảo được 3 yêu cầu trên không sai sót, có lập luận, mang tính
toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của học sinh, đại đa số học sinh hiểu và làm
được
Ví dụ 4: Bài toán cổ SGK toán 8 tập 2 - trang 24
“Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn.
Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?”
Hướng dẫn :
Gọi số con gà cần tìm là x ( x ∈ Z + ,0 < x < 36 )
và số con chó cần tìm là y ( y ∈ Z + ,0 < y < 36 )
 x + y = 36

Theo đề ra ta có hệ phương trình : 
 2 x + 4 y = 100
Nếu ta giải quyết bài toán theo hướng trên thì lời giải ngắn gọn, hệ phương
trình dễ giải hơn

Nhưng nếu ta chọn ẩn số như sau :
Gọi số chân gà là x ( x ∈ Z + ,0 < x < 100 ) và số chân chó là y ( y ∈ Z + ,0 < y < 100 )
 x + y = 100

Theo đề ra ta có hệ phương trình :  x y
 2 + 4 = 36

Nếu ta giải quyết bài toán theo hướng trên thì việc giải hệ phức tạp hơn, dễ có sai
lầm hơn.
Yêu cầu 5 : Lời giải phải trình bày khoa học.
Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình chúng ta cần lập
luận dựa vào các dữ kiện của đề bài. Tuy nhiên khi lập luận trình bày lời giải cần phải
có thứ tự, vấn đề nào cần lập luận trước, vấn đề nào cần lập luận sau. Giữa các bước
lập luận biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng phải logic, chặt chẽ với nhau,

17


bước sau là sự kế thừa của bước trước, bước trước nêu ra nhằm chủ ý cho bước sau
tiếp nối. Không nên diễn giải lung tung, không có trình tự, dài dòng giữa các bước.
Trên đây là 5 yêu cầu quan trọng khi thực hiện giải bài toán bằng cách lập
phương trình và hệ phương trình mà giáo viên cần lưu ý cho học sinh. Ngoài việc
nhắc nhở học sinh nắm vững các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình,
phương trình, nắm vững các yêu cầu đặt ra trong việc giải toán, học sinh là đối tượng
để giải tốt các bài tập, nhưng việc quan trọng nhất trong thành công dạy học vẫn là do
người giáo viên. Để học sinh học được tốt, hiểu được bài, vận dụng được lý thuyết để
giải bài tập thì trước hết giáo viên phải soạn bài thật tốt, chuẩn bị một hệ thống các
câu hỏi phù hợp, một số bài tập trắc nghiệm, tự luận đơn giản phù hợp với từng đối
tượng học sinh. Phân tích thật rõ ràng và tỉ mỉ các ví dụ trong sách giáo khoa ở các
tiết dạy trên lớp hoặc phân tích thật kĩ các bài tập mẫu cho học sinh qua các giờ học tự

chọn để làm nền tảng cho học sinh giải các bài tập khác. Mặt khác giáo viên có thể
chia học sinh thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm có một nhóm trưởng tổ chức thảo luận
các bài tập mẫu để các em học sinh yếu kém có thể hiểu được bài một cách sâu hơn,
giúp các em có thể giải được một số bài tập tương tự, làm cho các em không chán
nản, không ngại khó khi giải bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình. Từ đó
giúp các em có hứng thú giải những bài tập dạng khó hơn. Do vậy giáo viên cần phải
cho học sinh những bài tập tương tự để các em tự làm và cũng cần phải phân loại rõ
ràng cho học sinh từng dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình để từ đó
học sinh có thể chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
2.3 Phân loại và hướng dẫn giải các dạng toán cụ thể về giải bài toán bằng
cách lập phương trình và hệ phương trình
2.3.1 Dạng bài toán về chuyển động
- Phương pháp giải
Toán chuyển động gồm 3 đại lượng: Quãng đường, vận tốc, thời gian.
S = v.t

quãng đường = vận tốc ´ thời gian

18


t=

S
v

thời gian = quãng đường : vận tốc

v=

S
t

vận tốc = quãng đường : thời gian

Đi nhanh hơn thì vận tốc lớn hơn;
Đi chậm hơn thì vận tốc nhỏ hơn;
Đến sớm hơn (đến trước) thì thời gian ít hơn;
Đến muộn hơn ( đến chậm, đến sau) thì thời gian nhiều hơn.
Thường chọn vận tốc làm ẩn và phương trình là phương trình thời gian.
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
+ Dạng “Khởi hành cùng lúc, cùng nơi và đi cùng chiều” :
Ví dụ 5: Bài 47/Trang 59 (SGK)
Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km,
khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của Bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3
km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.
Đk: x > 0

S(km)

v(km/h)

Bác Hiệp (nhanh)

30

x

Cô Liên (chậm)

30

x+3

Phương trình

30
30 1
−
=
x+3 x 2

t(h)
30
x
30
x+3

+ Dạng “Tìm vận tốc thực, tìm vận tốc xuôi (ngược) dòng”:
Vận tốc thực : Là vận tốc của vật đi được khi dòng chảy đứng yên.
vxuôi = vthực + vdòng
vdòng = (vxuôi - vngược ) : 2

vngược = vthực - vdòng
vthực = (vxuôi + vngược ) : 2.

Ví dụ 6: Bài 52 /Trang 60 (SGK)
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một canô đi từ bến A đến bến
B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A
19

hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc
của nước chảy là 3 km/h.
Đk: x > 3

S(km)

v(km/h)

t(h)

x

Ca nô đi khi nước đứng yên
Khi xuôi dòng

30

x+3

30
x+3

Khi ngược dòng

30

x−3

30
x−3

30
30
2
+
+ =6
x+3 x −3 3

Phương trình

+ Dạng “có nghỉ ở dọc đường và thay đổi vận tốc”:
Ví dụ 7: Bài 43/Trang 58 (SGK).
Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông
dài 120 km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về,
xuồng đi theo đường khác dài hơn đường lúc đi là 5 km và với vận tốc nhỏ hơn vận
tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời
gian đi.
Đk: x >0

S(km)

v(km/h)

Lúc đi (nhanh)

120

x

Lúc về (chậm)

125

x−5

Phương trình

120
125
+1 =
x
x −5

t(h)
120
x
125
x −5

2.3.2 Loại toán “lao động sản xuất”
- Phương pháp giải
Tổng số lượng công việc = số đối tượng × lượng c.việc của mỗi đối tượng
Lượng c.việc của mỗi đối tượng = (Tổng số lượng c. việc) : (số đối tượng)
Lượng công việc : số tấn hàng, số cây, số m2, số bàn ghế,…

20

Đối tượng : số xe, số người, số tàu,…
Thường chọn số đối tượng làm ẩn.
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
Ví dụ 8:
Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ học sinh được giao nhiệm vụ trồng 56
cây. Vì có 1 bạn trong tổ được phân công đi làm việc khác nên để trồng đủ số cây được
giao, mỗi bạn còn lại trong tổ đều trồng tăng thêm 1 cây so với dự định lúc đầu. Hỏi tổ
học sinh có bao nhiêu bạn, biết rằng số cây phân cho mỗi bạn trồng đều bằng nhau.
(ĐS: 8 h/s).
Đk: x

Lúc đầu
Lúc sau

Số cây

Số h/s

Số cây của mỗi h/s

(cây)

(nguời)

(cây/ người)

56
56

Phương trình

x



56
x



x −1



56
x −1



56 56
−
=1
x −1 x

2.3.3 Loại toán “công việc”
- Phương pháp giải
Năng suất lao động : là lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian.
Lượng công việc = thời gian ´ năng suất
⇒ Năng suất = lượng công việc : thời gian

Năng suất và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau.
Thường chọn thời gian làm ẩn.
“Công việc” = 1
Làm nhanh hơn ( năng suất cao hơn) thì ít thời gian hơn;
làm chậm hơn ( năng suất thấp hơn) thì nhiều thời gian hơn.
công việc = thời gian × năng suất
Năng suất = công việc : thời gian
21


Thường chọn thời gian làm ẩn x. Đk : x > thời gian cả hai.
Phương trình thường là : Năng suất I + Năng suất II = Năng suất cả hai
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
Ví dụ 9:
Hai đội học sinh tham gia ngày “Lao động xây dựng Tổ quốc” cùng làm chung
trong 4 giờ thì xong công việc đã được phân công. Nếu để mỗi đội làm một mình thì
đội I làm nhanh hơn đội II là 6 giờ. Tính xem nếu mỗi đội làm một mình thì phải bao
nhiêu thời gian mới xong công việc.
(Đáp số: 6 giờ và 12 giờ)
Đk : x > 4

Công việc

Thời gian (giờ)

Năng suất ( cv/giờ)

Đội I (nhanh)

1

x



Đội II (chậm)

1

x+6



Cả hai đội

1

4

Phương trình

1
x
1
x+6
1
4




1
1
1
+
=
x x+6 4

2.3.4 Loại toán “liên quan đến hình học”
- Phương pháp giải
Nên vẽ hình (ngoài nháp cũng được).
Các kích thước của hình: là độ dài các cạnh của hình.
Phải thuộc các hệ thức, công thức, định lý, hệ quả … liên quan đến hình để
vận dụng vào bài toán.
Đối với hình chữ nhật:
chu vi = ( dài + rộng). 2 ;

diện tích = dài ´ rộng
22


Þ

Dài =

chu vi
2

- rộng

;

Rộng =

chu vi
2

- dài

Nếu chọn chiều rộng là ẩn thì điều kiện là: 0 < rộng <
Nếu chọn chiều dài làm ẩn thì điều kiện là:

chu vi
.
4

chu vi
chu vi
< dài <
:
4
2

Đối với tam giác vuông:
Nếu chọn một cạnh góc vuông làm ẩn x thì Đk là: 0 < x < cạnh huyền.
Diện tích tam giác =

ñaù
y ´ cao
2

- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
Ví dụ 10: Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10 m. Hai cạnh góc vuông
hơn kém nhau 2 m. Tìm các cạnh góc vuông của tam giác đó.
Giải
Gọi độ dài của cạnh góc vuông nhỏ là x (m),( 0 < x < 10 );
Độ dài của cạnh góc vuông lớn là x + 2 (m)
Áp dụng định lý Pitago, ta có phương trình: ( x + 2)2 + x2 = 102
Ví dụ 11 : Bài 48/Trang 59 (SGK)
Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở 4 góc bốn hình vuông có cạnh
bằng 5 dm để làm thành một cái thùng không nắp có dung tích 1500 dm 3. Hãy tính
kích thước của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của
nó gấp đôi chiều rộng.
5 dm
5 dm
Giải

5 dm

Gọi chiều rộng miếng tôn là x (dm), (x > 10)

x

Chiều dài miếng tôn là 2x (dm)
Chiều rộng của thùng là x – 10 (dm)

5 dm

Chiều dài của thùng là 2x – 10 (dm)

2x

Vì thể tích của thùng = dài ´ rộng ´ cao nên ta có phương trình:
1500 = (2x – 10).(x – 10). 5
(ĐS: rộng= 20dm và dài =40 cm).
23


2.3.5 Loi toỏn liờn quan vt lớ, húa hc
- Phng phỏp gii
Cn nm vng cỏc cụng thc vt lý, húa hc cng nh cỏc cụng thc suy
ra vn dng vo bi toỏn.
D=

M
V

ỡù D: laứ khoỏ
i lửụùng rieõ
ng (kg/m3)
ùù
ùớ M : laứkhoỏ
ị
i lửụùng (kg)
ùù
ùù V : laứtheồtớch (m3) :
ợ

V=

M
v
D

M = V. D

Vớ d v dung dch:
Nng dung dch mui l 12 % thỡ ta nờn hiu:
Trong 100 gam dung dch cú 12 gam mui.
mdd = mct + mH 2O
C% =

mct
.100%
mdd

Nu cỏc n v o ca cựng mt i lng cha cựng n v thỡ phi i v
cựng mt n v.
- Mt s dng bi tp thng gp v vớ d minh ha
Vớ d 12 : Bi 50/Trang 59 (SGK)
Ming kim loi th nht nng 880 g, ming kim loi th hai nng 858 g. Th
tớch ca ming th nht nh hn th tớch ca ming th hai l 10 cm 3, nhng khi
lng riờng ca ming th nht ln hn khi lng riờng ca ming th hai l 1
g/cm3. Tỡm khi lng riờng ca mi ming kim loi.
(S: 8,8 g/cm3 v 7,8 g/cm3).
k: x >

Khi lng (M)
(g)

Ming th nht

880

Ming th hai

858

Phng trỡnh

858 880

= 10
x 1
x

Th tớch (V)

Khi lng riờng (D)

(cm3)

(g/cm3)

880
x

x

858

x 1

x 1

24


Ví dụ 13 : Bài 51/Trang 59(SGK)
Người ta đổ thêm 200 g nước vào một dung dịch chứa 40 g muối thì nồng độ
của dung dịch giảm đi 10%. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao
nhiêu nước ?
Đk: x > 0

Số gam nước

Lúc đầu

x

Lúc sau

x + 200

Số gam muối

Phương trình

Nồng độ dung dịch
40
x + 40

40

40
40
=
x + 200 + 40 x + 240
40
40
10
−
=
x + 40 x + 240 100

40

2.3.6 Loại toán “Quan hệ giữa các số”
- Phương pháp giải
Cần phân biệt tổng các bình phương với bình phương của tổng.
+ Tổng các bình phương của hai số a và b là a2 + b2
+ Bình phương của tổng hai số a và b là (a + b)2.
a
b
1
và là nghịch đảo của nhau. Số x có nghịch đảo là .
b
a
x

Phân tích một số ra hai thừa số là biến đổi số đó thành hai số khác nhân với nhau.

Ví dụ: 6 = 2 . 3
Cho tổng hai số : Nếu gọi số thứ nhất là x, thì số thứ hai là: Tổng – x
Cho hiệu hai số : Nếu gọi số lớn là x, thì số nhỏ là : x – hiệu .
Nếu gọi số nhỏ là x, thì số lớn là : x + hiệu.
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
Ví dụ 14: Bài 41/Trang 58 (SGK)
Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn
một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150. Vậy
hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào ?

(ĐS: 10 và 15 hoặc: – 10 và –15).

Giải
Gọi số nhỏ mà một bạn đã chọn là x
Số lớn bạn kia chọn là x + 5
25


Theo bài ra ta có phương trình x(x + 5) = 150.

(HS tự giải tiếp)

Ví dụ 15 : Bài 44/Trang 58 (SGK)
Đố. Đố em tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân
với một nửa của nó bằng một nửa đơn vị. (ĐS: 2 hoặc –1).
Giải :
Gọi số phải tìm là x thì một nửa của nó là

x
2

Một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị là

x 1
2 2

æx 1ö
x 1
÷
.
÷
Theo bài ra ta có phương trình çççè - ø
÷ =
2 2 2 2

Ví dụ 16 : Bài 45/Trang 58 (SGK)
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109.
Tìm hai số đó. (ĐS: 11 và 12).
Giải
Gọi số tự nhiên bé là x , (x Î N, x > 0)
Số tự nhiên liền sau là: x + 1
Tích của chúng là: x.(x + 1) = x2 + x
Tổng của chúng là: x + (x + 1) = 2x + 1
Theo bài ra ta có phương trình (x2 + x) – (2x + 1) = 109..........
Với những giải pháp đã nêu trên tôi đã vận dụng vào trong quá trình hướng dẫn
cho học sinh giải các bài toán dạng này thì nhận thấy các em đã nắm được quy tắc
giải bài toán bằng cách lập phương trình, phân loại được các dạng toán, làm sáng tỏ
mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập được phương trình (hệ phương trình) dễ
dàng, từ đó việc giải phương trình (hệ phương trình) tìm ra đáp số của bài toán chính
xác không gặp phải những khó khăn và sai lầm khi gặp dạng bài toán này, kích thích

học sinh lòng say mê tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được khả năng tư duy
linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán.
*Kết quả nghiên cứu
26


Sau khi thực hiện đề tài tại trường THCS Đình Cao tôi thấy học sinh có ý thức hơn,
cẩn thận hơn trong quá trình lập luận và giải bài toán. Kết quả thể hiện như sau:
- Khi chưa thực hiện đề tài
Tổng
số
106
Tổng
số
106

Giỏi
SL
5
Giỏi
SL
12

%
4,7

%
11,3

Khá

SL
25
Khá
SL
39

%
23,6

%
36,8

Trung bình
SL
%

Yếu, kém
SL

65

11

61,3

Trung bình
SL
%

Yếu, kém

SL

50

5

47,1

%
10,4

%
4,8

C. Kết luận :
1. Đánh giá cơ bản về sáng kiến kinh nghiệm:
a.Nội dung:
- Nội dung đề tài tập trung ở phần rèn luyện kĩ năng lập phương trình,phương
trình : bằng cách luyện tập cho HS biến đổi ngôn ngữ trong để bài thành ngôn
ngữ toán học cụ thể, dễ hiểu với phương trình bằng chữ và Hướng dẫn học sinh
thực hiện tóm tắt đề và giải được bài toán bằng cách lập phương trình, hệ
phương trình.
- Các bài toán minh hoạ là những dạng toán thường gặp (tuy nhiên chưa đầy đủ
dạng) và được hướng dẫn rất chi tiết , dễ hiểu nhất để học sinh có thể tự nắm được,
tự lập được phương trình và giải được bài toán.
- Những bài tập tương tự GV đưa ra nhằm mục đích giúp học sinh tự rèn thêm ở
nhà nhằm nắm kĩ hơn các bài toán GV đã đưa ra ở trên. Tuy nhiên để phát huy hết
hiệu quả của nội dung này, GV cần có kế hoạch kiểm tra , nhắc nhở HS tự làm các
bài đó ở nhà. (Có thể sữa trong các tiết tự chọn là tốt nhất)
b.Ý nghĩa:

Việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên vào thực tế giảng dạy 2 năm nay ở
trường tôi thật sự đã để lại những ý nghĩa hết sức rõ rệt, cụ thể:
- Giúp học sinh thực sự hứng thú , say mê giải toán bằng cách lập phương trình bằng
chính khả năng của mình .
- Nắm được yêu cầu của đề bài , hiểu và thực hiện được cách giải nên tham gia đóng
góp ý kiến xây dựng , khai thác kiến thức xung quanh đề bài một cách tích cực hơn .
- Học sinh cảm thấy tự tin hơn khi giải toán bằng cách lập phương trình , có đủ cơ sở
lý luận để bảo vệ lập luận của mình khi gặp phải ý kiến phản bác của bạn .
- Biết tìm tòi và phát hiện một số dạng bài tập liên quan đến các kiến thức đã học .
- Biết thực hiện nhiều hướng giải toán khác nhau sau khi tóm tắt đề toán, để từ đó các
em có thể chọn một hướng giải bài toán hợp lý và ngắn gọn nhất .
27