SKKNPhát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức

SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức

PHẦN I: LÍ LỊCH

Họ và tên: PHẠM XUÂN HÀ
Chức vụ : Phó hiệu trưởng
Đơn vị công tác : Trường THCS Đình Cao

Tên sáng kiến kinh nghiệm :

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH
THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC

N¨m häc 2013-2014

Người viết: Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

1


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức

PHẦN II: NỘI DUNG
A - MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề :
1) Thực trạng của vấn đề

Ngày nay sự phát triển của tất cả các nghành khoa học cơ bản cũng như
ứng dụng vào tất cả các ngành công nghiệp then chốt như : dầu khí , viễn
thông , hàng không , đều không thể thiếu toán học. Sự ra đời và phát triển
mạnh mẽ của công nghệ thông tin đã dẫn đến sự bùng nổ các ứng dụng của
toán học, đưa lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội .
Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí .
Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh ( người học toán) những kĩ năng
tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khẳ năng tư duy
lôgic , một phương pháp luận khoa học.
Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và
giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc , hệ thống bài tập , sử
dụng đúng phương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển tư duy
của học sinh . Đồng thời qua việc học toán học sinh cần được bồi dưỡng , rèn
luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập toán
trong đó có các bài tập về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán
hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư duy , trí tuệ cho học sinh.
Tuy nhiên giải toán bất đẳng thức là bài toán khó vì phạm vi kiến thức
rộng đặc biệt là với học sinh THCS . Là giáo viên dạy ở THCS tôi thấy thực
trạng khi dạy toán bất đẳng thức đó là:
- Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong , ít khai
thác , phân tích đề tài mở rộng bài toán mới dẫn đến khi học sinh gặp bài
toán khác một chút là không giải được.
- Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức không liền
mạch, phương pháp giải hạn chế , các bài toán bất đẳng thức thường khó ,
phải áp dụng các kiến thức khó như: quy nạp toán học, phản chứng nên học
Người viết: Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

2


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
sinh hay ngại và học sinh chưa vận dụng được toán bất đẳng thức vào để giải
các bài toán khó như : cực trị , hàm số ...
Vì vậy: phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc giải toán
bất đẳng thức là cần thiết. Trong những năm giảng dạy thực tế ,tôi đã tích
luỹ được một số kiến thức về toán bất đẳng thức xin được trình bày dưới góc
độ nhỏ.
2)Ý nghĩa, tác dụng của đề tài:
*Đối với giáo viên :
- Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy
- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức
*Đối với học sinh:
- Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về
chứng minh bất đẳng thức nói riêng.Trang bị cho học sinh một số kiến
thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài
một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có
liên quan đến bất đẳng thức.
- Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách
tham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập.
- Giải đáp những thắc mắc , sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải
toán bất đẳng thức trong quá trình dạy học.
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ
bản và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập .
- Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ
mục đích của việc học toán và học tốt hơn toán bất đăng thức
3)Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài:

-Đối tượng nghiên cứu: Phát triển năng lực tư duy của học sinh thông qua
giải toán bất đẳng thức đối với học sinh lớp 8 và lớp 9 THCS.
- Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán Bất đẳng thức ở chương trình Toán
lớp 8 và lớp 9 THCS
Người viết: Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

3


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
I) Phương pháp tiến hành
1) Cơ sở lý luận và thực tiễn:
Thế nào là tư duy?
“Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực
khách quan”. ( Phạm Minh Hạc, Phạm Hoàng Gia, Trần Trọng Thủy, Nguyễn
Quang Uẩn (1992), (trong Tâm lý học, Nxb Giáo dục, Hà Nội)
“Tư duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ- quá
trình tìm tòi sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần
hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó. Tư duy sinh ra trên cơ
sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó”
(Sacđacov M. N. (1970), Tư duy của học sinh, Nxb Giáo dục, Hà Nội).
Năng lực tư duy là một khả năng, một phẩm chất tâm sinh lý của óc người, vừa
như là cái tự nhiên bẩm sinh, “sẵn có”, vừa như là sản phẩm của lịch sử, hơn nữa là
sản phẩm của lịch sử phát triển xã hội. Cái vốn có tự nhiên ấy thông qua rèn luyện
trong thực tiễn mới trở nên một sức mạnh thật sự có hiệu quả của con người và xã hội.

Tư duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt động
toán học của học sinh, nó còn là thành phần mà, nếu thiếu sự phát triển một cách có
phương hướng thì không thể đạt dược hiệu quả trong việc truyền thụ cho học sinh hệ
thống các kiến thức và kỹ năng toán học”
Vì vậy , Việc phát triển tư duy cho học sinh qua môn Toán nói chung và phần bất
đẳng thức nói riêng là hết sức cần thiết và có thể thực hiện theo ba hướng liên quan chặt
chẽ với nhau:
* Làm cho học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết logic:
và, hoặc, nếu thì, phủ định, những lượng từ tồn tại và khái quát,...
* Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa.
* Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập tiến
hành chứng minh vá suy luận mở rộng

2) Các biện pháp tiến hành:
- Nghiên cứu đưa ra hệ thống lý thuyết dựa vào SGK , tài liệu tham khảo
Người viết: Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

4


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
- Đưa ra bài tập mẫu (tình huống có vấn đề) , các sai lầm thường gặp và
cách khắc phục
-Hệ thống bài tự giải (Hs tự luyện)
-Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, suy luận
logic tìm hướng giải quyết.

B – NỘI DUNG
I) Mục tiêu:.Phát triển tư duy học sinh thông qua:
-Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhận
thức của học sinh THCS.
-Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải toán bất đẳng thức , áp
dụng để làm bài tập .
-Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phương pháp .
-Chọn lọc , hệ thống một số dạng bài tập hay gặp cho phù hợp với từng
phương pháp giải , cách đổi biến.
-Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cực trị, giải một số
phương trình dạng đặc biệt .
II) Nội dung:
II.1/ Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức(BĐT)
1) Định nghĩa : Các mệnh đề dạng "a < b", "a > b", "a ≤ b" và "a ≥ b" được gọi
là bất đẳng thức. Trong đó các kí hiệu a và b có thể là các biểu thức của các
biến., a được gọi là là vế trái, b là vế phải của BĐT

2. Các tính chất của bất đẳng thức :
2.1. a>b ⇔ b2.2.Tính chất bắc cầu: a>b, b>c ⇔ a>c
2.3.Tính chất đơn điệu của phép cộng : cộng cùng một số vào hai vế của bất
đẳng thức:

a>b ⇔ a+c>b+c.

2.4.Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều được bất đẳng thức mới cùng
chiều với bất đẳng thức đã cho:
a>b, c > d ⇔ a+c > b+d
* Chú ý : Không được trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều.
Người viết: Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

5


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
2.5.Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều được bất đẳng thức mới
cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ.
Nếu a > b , c < d thì a-c > b-d
2.6. Tính chất đơn điệu của phép nhân :
a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương .
a > b , c>0 ⇔ a.c > b.c
b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm
a >b , c<0 ⇔ a.c 2.7. Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm
Nếu a>b ≥0 , c>d≥ 0 thì ac>bd
2.8. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức
a>b>0 ⇔ an >bn.
a>b ⇔ an >bn với n= 2k ( k ∈ Z)
2.9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương
Với m > n > 0 : - Nếu a >1 thì am > an.
- Nếu a=1 thì am = an.
- Nếu 0 2.10. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu
Nếu a >b >0 hoặc a< b<0 thì :

1 1

〈
a b

1 1
a b

hoặc 〉

* Chú ý: Trong các tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu “ >” ( hoặc dấu “<” )
có thể thay bởi dấu “≥” ( hoặc dấu “ ≤ “ )
3.Các bất đẳng thức cần nhớ
3.1

a2 ≥ 0; - a2≤ 0 Đẳng thức xảy ra khi a=0

3.2

│a│ ≥ 0 Đẳng thức xảy ra khi a=0

3.3

- │a│ ≤ a ≤ │a│ Đẳng thức xảy ra khi a=0

3.4

│a+b│≤ │a│+│b│ Đẳng thức xảy ra khi ab≥ 0

3.5

│a-b│≥ │a│-│b│ Đẳng thức xảy ra khi a≥ b≥ 0 hoặc a≤ b≤ 0

*Chú ý : Một số bất đẳng thức chứng minh đơn giản hay được áp dụng :
•

a+b ≥2 ab với mọi a,b ≥ 0 . Đẳng thức xảy ra khi a=b

Người viết: Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

6


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
(Bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm)
• a2 + b2 ≥ 2ab với mọi a,b . Đẳng thức xảy ra khi a=b
• (a+b) ≥ 4ab hay ( a + b )
2

4

2

≥ ab với mọi a,b . Đẳng thức xảy ra khi a=b

•

1 1

4
+ ≥
với mọi a,b>0 . Đẳng thức xảy ra khi a=b
a b a+b

•

a b
+ ≥ 2 với ab>0 . Đẳng thức xảy ra khi a=b
b a

• (a x+by)2 ≤ (a2 + b2) (x2 + y2) với mọi a,b ,x,y. Đẳng thức xảy ra khi
a b
=
( BĐT Bunhia cop-ki cho 2 bộ số (a,b) và (x,y))
x y

II.2- Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức trong đại số
Chứng minh BĐT là một trong những dạng toán mà học sinh rất ‘ngại’ vì
đây là dạng toán luôn ở mức độ tương đối khó,phải vận dụng cả khả năng và
kinh nghiệm của bản thân mới có thể làm được. Chính vì vậy để giải tốt bài
toán BĐT , học sinh cần có kiến thức lý thuyết vững vàng, hệ thống tri thức và
phương pháp đầy đủ, tư duy đúng hướng (đặc biệt là những bài khó, áp dụng
các BĐT phụ…) . Sau đây là một số phương pháp cơ bản và các ví dụ áp dụng
từ đơn giản đến phức tạp để học sinh có hướng rèn luyện phát triển tư duy:
1. Phương pháp dùng định nghĩa
1.1. Cơ sở toán học:

A ≥B ⇔ A-B ≥ 0 nên

Để chứng minh A ≥B ta chứng minh A-B ≥ 0
Tương tự để chứng minh A ≤ B ta chứng minh A-B ≤ 0.
1.2. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Chứng minh: 2(x2 + y2) ≥( x+y)2 với mọi x,y
Giải: Xét hiệu 2(x2+y2) – (x+y)2
= 2x2+ 2y2-x2-y2-2xy = x2-2xy+y2
= (x-y)2 ≥ 0 ∀x, y .Dấu “=” xảy ra khi x=y
Vậy 2(x2+y2) ≥ ( x + y ) 2 ∀x, y . Dấu “=” xảy ra khi x=y
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu a ≥ b thì a3 ≥ b 3
Người viết: Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

7


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
Giải: Xét hiệu:

a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2)

Thừa số (a-b) ≥ 0 do giả thiết a ≥ b
b
2

Thừa số (a2+ab+b2) = a2+2a +
b
2

Do (a+ )2 ≥ 0 ;

b 2 3b 2
+
4
4

b
2

= (a+ )2+

3b 2
4

3b 2
≥ 0 nên a2+ab+b2 ≥ 0
4

Vậy a3- b3 ≥ 0 suy ra a3 ≥ b3 . Dấu “=” xảy ra khi a=b
3x2+y2 + z2 +1 ≥ 2x(y +z+1)

Ví dụ 3: Chứng minh

Giải: Xét hiệu: 3x2+y2 + z2 +1 - 2x(y +z+1)= 3x2+y2 + z2 +1- 2xy - 2xz – 2x
= (x2 -2xy+ y2) + (x2 -2xz +z2) + ( x2 – 2x+1)
= (x-y)2 + (x-z)2 + (x-1)2 ≥ 0 ∀x, y ,z
Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1
*Nhận xét chung : Nếu bài toán chứng minh bất đẳng thức đơn thuần với số

mũ của các biến tương đối nhỏ ta nên dùng phương pháp này với sự trợ giúp
của các hằng đẳng thức đáng nhớ.
1.3: Bài tập tự giải: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
3

1)
3)

a3 + b3  a + b 
≥
 với a>0 ,b>0
2
 2 

2)

x3 + 4x + 1 > 3 x2 với x ≥ 3

c2 + d2 +cd ≥ 3ab với a+b = c+d

2)Phương pháp biến đổi tương đương
2.1 : Cơ sở toán học:

: Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta biến đổi tương

đương( dựa vào các tính chất của bất đẳng thức ) :A ≥ B ⇔ … ⇔ C ≥ D
Cuối cùng đạt được bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên C ≥ D
Vì các phép biến đổi đều là tương đương nên A ≥ B
2.2 Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: ∀ a,b,c ta luôn có: a2+b2+c2 ≥ ab+bc+ca

Giải:

Ta có: a2+b2+c2 ≥ ab+bc+ca (1)

⇔ 2a2+2b2+2c2 ≥ 2ab+2bc+2ac ⇔ 2a2+2b2+2c2- 2ab-2bc-2ac ≥ 0
⇔ (a2-2ab+b2) + (b2-2bc+c2) + (c2-2ac+a2) ≥ 0 ⇔ (a-b)2 +(b-c)2+(c-a)2 ≥ 0 (2)

Vì (a-b)2 ≥ 0 ∀a, b ;(b-c)2 ≥ 0 ∀b, c ;(c-a)2 ≥ 0 ∀a, c
Người viết: Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

8


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
Nên (2) đúng do đó (1) đúng ∀ a,b,c
a − b = 0

Dấu “=” xảy ra ⇔ b − c = 0
c − a = 0


⇔ a=b=c

a4+b4 ≥ a3b+ab3 ∀a, b

Ví dụ 2: Chứng minh rằng

a4+b4 ≥ a3b+ab3 ⇔ ( a4 – a3b)+(b4-ab3) ≥ 0

Giải:

⇔ a3(a-b) – b3(a-b) ≥ 0 ⇔ (a-b)(a3-b3) ≥ 0

b 2 3b 2 
(
a
+
) +
⇔
≥ ⇔

≥
2
4 
2 2
2
2
(a-b) (a +ab+b ) 0 (a-b)
0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng do đó a4+b4 ≥ a3b+ab3 ∀a, b
3

a3 + b3  a + b 
≥
Ví dụ 3: Chứng minh

 với a>0 ,b>0
2
 2 
a+b 2
a + b ( a + b) 2
a3 + b3  a + b 
≥
(a – ab + b2) ≥
.
 ⇔
2
2
2
4
 2 
3

Giải:

⇔ a 2 − ab + b 2 ≥

( a + b ) 2 (vì a>0, b>0 suy ra a+b>0)
4

⇔ 4a 2 − 4ab + 4b 2 ≥ a 2 + 2ab + b 2
⇔ 3a 2 − 6ab + 3b 2 ≥ 0

(

)

⇔ 3 a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0
⇔ 3( a − b ) ≥ 0
2

Bất đẳng thức cuối đúng suy ra

a3 + b3  a + b 
≥

2
 2 

3

* Nhận xét chung :
a) Để dùng các phép biến đổi tương đương ta đều chú ý các bất đẳng thức
sau:

(A ± B)2 = A2 ± 2AB+B2
(A+B+C)2 = A2 +B2 +C2+2AB+2AC+2BC
b) Sẽ mắc sai lầm nếu trong lời giải trên nếu thay các dấu “ ⇔ ”bằng các

dấu “ ⇒ ”.Thật vậy ,nếu từ BĐT(1) ⇒ BĐT (2) mà bất đẳng thức (2) đúng thì
chưa thể kết luận được bất đẳng thức (1) có đúng hay không!

Người viết: Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao

9


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
c)Khi sử dụng phép biến đổi tương đương ,học sinh thường bỏ qua các
phép biến đổi tương đương có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ .Vì vậy cần
lưu ý các phép biến đổi tương đương có điều kiện ,chẳng hạn như ở ví dụ 3
2.3. Bài tập tự giải :Chứng minh rằng
1,a2 + b2+ c2+ d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) với mọi a,b,c,d,e
2,

a 2 +2
a 2 +1

≥ 2∀a ∈R

x

3)

x −1

≥ 2∀x >1

3) Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức
3.1. Cơ sở toán học
- Xuất phát từ các bất đẳng thức đó biết vận dụng các tính chất của
bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức phải chứng minh

- Thường là áp dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức (đó đều
ở phần trên)
3.2. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Cho a+b >1 chứng minh a4 + b4 >

1
8

Giải Ta có a+b>1>0 (1) Bình phương hai vế của (1) ta được :
( a+b)2 >1 ⇔ a2 +2ab+ b2>1

(2)

Mặt khác (a-b)2≥0 ⇔ a2 – 2ab +b2 ≥0 (3)
cộng từng vế của (2) và (3) ta được: 2(a2+b2) >1 ⇒ ( a2+b2)>
bình phương hai vế của (4) ta được : a4+2a2b2+b4 >
Mặt khác : (a2-b2)≥0 ⇔ a4 – 2a2b2 +b4 ≥0

1
4

1
2

(4)
(5)

(6)

cộng từng vế của (5) và (6) ta được:2(a4 +b4) >

1
4

hay a4 +b4 >

1
8

*Nhận xét : Từ giả thiết ta có bậc của a,b là bậc nhất do vậy để làm xuất hiện
bậc 4 như điều cần chứng minh ta cần suy nghĩ đến việc nâng bậc đối với BĐT
điều kiện (giả thiết) và phương án lựa chọn ở đây nên chọn là bình phương 2 vế.
Ví dụ 2: Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:
a2b(a-b) +b2c(b-c) + c2a(c-a) ≥ 0
Người viết: Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao 10


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
GiảiViết lại bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng tương đương sau:
a3b + b3c + c3a ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2

(1)do vai trò bình

đẳng giữa a,b,c nên không giảm tính tổng quát có thể giả sử rằng a≥b≥c≥0
Xét hai dãy sau:

bc, ac, ab và a2 + bc, b2 + ac, c2 + ab

Ta có 0< bc≤ac≤ab còn a2 + bc≥ b2 +ac ≥ c2 +ab >0
( thật vậy : a2 + bc ≥b2 + ac ⇔ a2 – b2 +bc - ac≥0
⇔ (a + b )(a- b) - c( a – b)≥ 0 ⇔ (a – b)(a + b –c ) ≥ 0

(*)

do a ≥b và a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên (*)đúng )
Áp dụng tính chất của bất đẳng thức :
bc(a2 + bc)+ ac(b2 +ac)+ab(c2 +ab) ≤ bc(b2 +ac)+ac(c2 + ab) + ab( a2 + bc)
⇔ b2c2 + a2c2 + a2b2 ≤ a3b +b3c + c3a

Vậy (1) đúng và đó là điều phải chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c ( tam giác đó cho là tam giác đều )
*Nhận xét :Có thể giải bài trên bằng phương pháp biến đổi tương đương
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu a2 + b2 ≤ 2 thì a + b ≤ 2
Giải :Ta có : ( a – b )2 ≥ 0 ⇔ a2 + b2 ≥ 2ab

(1)

Từ giả thiết a2 + b2 ≤ 2 Suy ra -a2 – b2 ≥ -2

(2)

Cộng từng vế của (1) và (2) ta được:0 ≥ 2ab – 2 hay 2ab ≤ 2
Kết hợp (3) với giả thiết a2 + b2 ≤ 2 suy ra :(a + b)2 ≤ 4 hay

(3)
│a + b│ ≤ 2

Nhưng │a + b│≥ a + b . Do đó a + b ≤ 2 (đpcm)
*Nhận xét : Khi sử dụng các bất đẳng thức ta cần tránh những sai lầm sau :
a) a > b; c > d ⇒ a – c > b – d

b)Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức mà chưa biết hai vế có không âm
hay không :

a>b;c>d

⇒ ac > bd

c) Bình phương hai vế của một bất đẳng thức mà chưa biết hai vế có âm
hay không :a > b ⇒ a2 > b2
d) Khử mẫu mà chưa biết dấu của chúng:

Người viết: Phạm Xuân Hà

-

a
c
>
b
d

⇒ ad > bc

THCS Đình Cao 11

SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
e) Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà chưa biết hai vế
có cùng dấu hay không : a > b ⇒

1 1
>
a b

3.3 Bài tập tự giải : Chứng minh
1/

1
a

+

1
b

3/ a 4 + b 4 ≥

≥

4
a+ b

(a>0; b>0 )

2/ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ 4 abcd

1
với a+b =1
8

4/

5)Với mọi số tự nhiên n≥2 thì :1 +

1
1
1 n +1
+ 2 + ..... + 2 <
2
n
2
3
n

1 1 1
1
+ + + ...... + n
2 3 4
2 −1

4) Phương pháp quy nạp toán học
4.1: Cơ sở toán học
Nội dung của phương pháp này là tiên đề quy nạp toán học .
Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n nếu :

. Mệnh đề đúng với n=1
. Từ giả thiết đúng với n=k (k ∈ N )
Suy ra được mệnh đề cũng đúng với n=k+1
Thế thì mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương
Như vậy để chứng minh một mệnh đề T đúng với mọi số nguyên
dương bằng phương pháp quy nạp toán học ta phải tiến hành theo 3 bước:
Bước 1 : chứng minh mệnh đề T (1) đúng ( kiểm tra mệnh đề đúng với n=1)
Bước 2 : giả sử mệnh đề T (k) đúng . Ta phải chứng minh mệnh đề T (k+1)
cũng đúng
Bước 3 : Kết luận mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n
4.2.Ví dụ minh hoạ :
Ví dụ 1 : với x > -1 thì (1 + x )n ≥ 1 + nx, trong đó n là số nguyên dương bất kì
Giải + Với n=1 ta có bất đẳng thức đúng 1+x ≥ 1 + x
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n= k tức là : (1 + x) k ≥ 1 + kx
Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n=k+1 , tức là phải chứng
minh
Người viết: Phạm Xuân Hà

(1 + x) k +1 ≥ 1 + (k + 1) x

-

THCS Đình Cao 12


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
Thật vậy , theo giả thiết : 1+x >0 Ta có : ( 1+k)k (1+x) ≥ (1+kx) (1+x)
⇔ (1 + x) k +1 ≥ 1 + (k + 1) x + kx 2

Mà kx2 ≥ 0 nên 1+(k+1)x+kx2 ≥ 1+ (k+1)x

Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi x=0
Ví dụ 2: Cho a; b là những số không âm; n là số tự nhiên khác 0 . Chứng minh
n

rằng:

a n + bn
a+b

 ≤
2
 2 

(1)

Giải*Với n=1 thì (1) trở thành

a+b a+b
≤
(đúng với mọi a;b không âm)
2
2
k

*Giả sử (1) đúng với n=k, tức là ta có:

a k + bk
a+b


 ≤
2
 2 

(2)

Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng với n= k+1, nghĩa là phải chứng minh:
a+b


 2 

k +1

≤

a+b


 2 

Từ (2) và do a;b ≥ 0 suy ra:

 a k + bk

 2

Ta sẽ chứng minh rằng:

a k +1 + b k +1
2
k +1

(3)

 ak + bk
≤ 
 2

 a + b 


 2 

(4)

 a + b  a k +1 + b k +1

≤
2
 2 

(5)

Thật vậy (5)

(

)

(

⇔ a k + b k ( a + b ) ≤ a k +1 + b k +1

)

⇔ a k +1 + b k +1 − a k b − ab k ≥ 0

(

)

⇔ ( a − b) a k − b k ≥ 0

(

)

⇔ ( a − b ) a k −1 + a k − 2 b + ... + ab k −2 + b k −1 ≥ 0
2

Do a ,b không âm nên bất đẳng thức cuối đúng , vậy (5) đúng. Từ (4) và(5)
theo tính chất bắc cầu của bất đẳng thức suy ra (3) đúng .
Vậy (1) đúng vơi mọi n là số tự nhiên khác 0 .
•

Nếu n=1 thì dấu đẳng thức có với mọi a, b không âm

•

Nếu n > 1 thì dấu đẳng thức có khi a = b
*Nhận xét : Nếu cả hai vế của bất đẳng thức phải chứng minh đều phụ thuộc

vào đối số tự nhiên n thì có thể dựng phương pháp quy nạp toán học . Khi sử
Người viết: Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao 13


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
dụng phương pháp này phải hiểu kỹ các bước chứng minh , các phép biến đổi
tương đương , các tinh chất của bất đẳng thức
4.3.Bài tập tự giải: chứng minh rằng :
1/ với mọi n > 2 thì 2n > 2n+1
2/ với mọi n > 9 thì 2n > n4
5)Phương pháp sử dụng giả thiết hoặc 1 bất đẳng thức phụ
5.1 Cơ sở toán học
Trong nhiếu bài toán để việc chứng minh bất đẳng thức được gọn ta có thể
sử dụng các bất đẳng thức đã được chứng minh , nhất là các bất đẳng thức :
Côsi , BunhiaCôpxki …và các BĐT ở đầu trang 7
5.2 Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: chứng minh rằng với mọi số a, b, c thì : a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
Giải : Ta bắt đầu biến đổi từ một bất đẳng thức đó biết :
( a – b)2 ≥ 0 ⇔ a2 + b2 ≥ 2ab (1)
Tương tự : b2 + c2 ≥ 2bc

c2 + a2 ≥ 2ac

(2) và

(3)

Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều (1) , (2), (3) ta có :
2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca
Chia hai vế của bất đẳng thức này cho 2 ta có : a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
*Nhận xét : Ta có thể nhân cả 2 vế với 2 rồi chuyển về cùng vế và đưa về
tổng 3 bình phương
Ví dụ 2 : cho a, b thoả mãn 3a – 4b = 7.Chứng minh rằng: 3a2 +4b2 ≥ 7
Giải

Có 3a – 4b = 3. 3 a – 2.2.b = 7.nên

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-Côpxki cho bốn số 3; 3.a;− 2;2b ta được :
72 = (3a – 4b)2 = ( 3. 3.a - 2.2.b)2 ≤ (3 + 4).(3a2 + 4b2) ⇔ 7 ≤ 3a2 + 4b2.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

a 3
3

=

2b
⇔ a = 1; b = -1.
−2

*Nhận xét : Khi sử dụng phương pháp này cần chú ý : sử dụng các bất đẳng
thức có sẵn phải chú ý điều kiện chặt chẽ của BĐT đó để có được bất đẳng thức

cần áp dụng . Nếu không sẽ dẫn đến sai lầm , thiếu sót.Sau đây là 1 VD:
Người viết: Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao 14


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
a2 b2
a b
+ 2 − 3 +  + 4 ≥ 0 (1)
2
b
a
b a

Ví dụ3 : cho a ; b ≠ 0 . Chứng minh rằng :
Có một số học sinh giải như sau :
 a 2
b2

⇔
+
2
+
Ta có (1)
 2
a2
 b

  a b  9 1
1
a b 3
 − 3 +  +  − ≥ 0 ⇔  + −  − ≥ 0
4
b a 2
  b a  4 4
2

a b
 a b 
⇔  + − 2 . + − 1 ≥ 0
b a
b a 

(2)

a b
Vì  +  ≥ 2 ⇒ (2) luôn đúng với ∀a; b ≠ o
b

a

Vậy (1) luôn đúng với ∀a; b ≠ 0 (đpcm)


Bài toán này sai ở chỗ áp dụng bất đẳng thức  +  ≥ 2 với điều kiện
a
b

b
a

a; b không đúng
Lời giải đúng
Dùng PP biến đổi tương đương
a2 b2
a b
Có 2 + 2 − 3 +  + 4 ≥ 0
b
a
b a
⇔

a 4 + b 4 + 4a 2 b 2 − 3a 3b − 3ab 3
≥0
a 2b 2

⇔ a4 + b4 – 2a2b2+6a2b2- 3a3b – 3ab3 ≥0

vì a2b2> 0 nên ⇔ ( a 2 − b 2 ) − 3ab( a 2 − 2ab + b 2 ) ≥ 0
2

⇔ ( a − b ) ( a + b ) − 3ab( a − b ) ≥ 0
2

2

2

2

b
3b 2 
⇔ ( a − b )  a −  +
≥0
2
4 

2

(2)

(2) luôn đúng . Vậy (1) đúng
5.3 Bài tập tự giải
1/ Chứng minh rằng : nếu các số dương a;b ;c có tổng a + b +c =1 thì :
1 1 1
+ + ≥9
a b c

2/cho x ; y ∈ R, x; y ≥ 0 và x2 + y2 =1. chứng minh rằng :
Người viết: Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao 15


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức

1
2

≤ x3 + y3 ≤ 1

3/ cho a ≥ 1; b ≥ 1 . chứng minh rằng : a b − 1 + b a − 1 ≤ ab
6) Phương pháp phản chứng
6.1 Cơ sở toán học :
Gọi mệnh đề cần chứng minh là mệnh đề “A ⇒ B”.
Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng như sau :
1/Dùng mệnh đề phản đảo : B ⇒ A
2/ Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với giả thiết
3/ Phủ định luận đề rồi suy ra 2 điều trái nhau
4/Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với một điều đúng
5/ Phủ định luận để rồi suy ra kết luận của A, B ⇒ B
6.2 Các Ví dụ :
Ví dụ 1; cho a2 + b2 ≥ 2 Chứng minh rằng : a + b ≤ 2
Giải

Giả sử a + b >2 , Vì hai vế đều dương nên bình phương hai vế ta được :
(a + b)2 > 4 ⇔ a2 + 2ab + b2 >4

(1)

Mặt khác ta có ; 2ab < a2 + b2 ⇒ a2 + 2ab + b2 ≤ 2(a2 + b2)
Mà a2 + b2 ≤ 2 (gt)

⇒ 2(a2 + b2)≤ 4 . Do đó a2 + 2ab + b2<4

Ta thấy (2) mâu thuẫn với (1)

(2)

Vậy a + b ≤ 2

Ví dụ 2: Cho 0 < a , b, c, d < 1 . Chứng minh rằng ít nhất có một bất đẳng thức
sau là sai: 2a(1 – b) > 1; 3b(1 – c) >2; 8c(1 – d ) >1;

32d(1 – a) > 3

Giải Giả sử ngược lại cả 4 bất đẳng thức đều đúng . Nhân từng vế ta có :
2.3.8.32.a(1 – b)b(1 – c)(1- d)c(1 – a)d >2.3
⇒ [ a(1 − a ) ].[ b(1 − b ) ].[ c(1 − c ) ].[ d (1 − d ) ] >

1
256

(1)

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dương a và 1-a ta có :
a (1 − a ) ≤

a +1− a 1
1
= ⇒ a (1 − a ) ≤
2
2
4
1
4

1
4

CM Tương tự : b(1 – b) ≤ ; c(1-c) ≤ ; d(1-d) ≤
Người viết: Phạm Xuân Hà

-

1
4

THCS Đình Cao 16


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
Nhân từng vế các bất đẳng thức ta có :
[a(1 – a) ] [ b(1 – b) ] [c(1 – c) ] [d(1 – d) ] <

1
256

(2)

Từ (1) và (2) suy ra vô lý . Chứng tỏ ít nhất 1 trong 4 bất đẳng thức cho
trong đầu bài là sai (đpcm)
*Nhận xét :

Với những bài toán chứng minh bất đẳng thức có dạng như trên ta

nên sử dụng phương pháp phản chứng . Tuy nhiên để sử dụng phương pháp này
cần nắm vững 5 cách chứng minh và các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi
, lập luận .
6.3:Bài tập tự giải
1/Cho a > b > 0 và

1 + ab
< 1 . Chứng minh rằng không thể có a < 1; b < 1
a+b

2/Cho hai số dương a ; b thoả món điều kiện a 5 + b5 = a3 + b3 . Chứng
minh rằng :

a2 +b2≤ 1 + ab

3/ Cho ba số dương a; b; c thoả mãn điều kiện abc =1 .CMR: a + b + c ≥ 3
7)Phương pháp đổi biến
7.1 Cơ sở toán học
B1: Đặt biến mới dựa vào biến cũ
B2:Biến đổi bất đẳng thức theo biến mới , chứng minh bất đẳng thức theo
biến mới
B3:Kết luận và trả lời theo biến cũ
7.2 Ví dụ minh hoạ
Vídụ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: abc ≥ ( a + b − c )( a + b − c )( b + c − a ) . (1)
Với a;b ;c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
GiảiĐặt: b+c-a=x; a+c-b=y; a+b-c=z, ta có x;y;z>o
⇒a=

y+z
x+z

x+ y
y+x x+z x+ y
≥ xyz
;b =
;c =
. Ta phải chứng minh:
.
.
2
2
2
2
2
2

⇔ ( y + z )( x + z )( x + y ) ≥ 8xyz. (2) ⇔ ( y + z ) 2 ( x + z ) 2 ( x + y ) 2 ≥ 64 x 2 y 2 z 2

Ta có: (x+y) 2 ≥ 4 xy ; (y+z) 2 ≥ 4 yz ; (x+z) 2 ≥ 4 yz

Người viết: Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao 17


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
Vì hai vế của các bất đẳng thức trên không âm nên ta nhân từng vế
⇔

các bất đẳng thức trên ta được: (y+z) 2(x+z)2(x+y)2 ≥ 64x2y2z2

[ ( y + z )( x + z )( x + y ) ] 2 ≥ ( 8xyz ) 2 ⇒ (2) được C/m . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
x = y = z . Vậy (1) được chứng minh .Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Ví dụ 2: cho a + b + c = 1 .CMR : a2 + b2 + c2 ≥
Giải :Đặt a =

1
3

1
1
1
+ x ; b = +y ; c = +z . Do a + b + c = 1 nên x + y + z = 0
3
3
3
2

2

2

1  1  1  1 2
 1 2
 1 2

Ta có: a + b + c =  + x  . + y  . + z  =  + x + x 2   + y + y 2   + z + z 2 
3  3  3  9 3
 9 3

 9 3

2

2

2

1
3

2
3

1
3

= + ( x + y + z) + x2 + y 2 + z 2 = + x2 + y 2 + z 2 ≥

1
3

Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi x = y = z = 0 ⇔ a = b = c = 1/3.
*Nhận xét :

Khi dùng phương pháp đổi biến để chứng minh bất đẳng thức cần

chú ý : * Đặt biến mới theo hệ biến cũ , kèm theo điều kiện của biến mới
* Nắm chắc được các phép biến đổi , các BĐT cơ bản để áp dụng
* Đổi về biến cũ

7.3 Bài tập tự giải :
1/ cho a , b, c là ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
a
b
c
+
+
≥3
b+c−a a+c−b a+b−c

2/ cho a; b; c ≥ 0 . CMR:

a4
b4
c4
a2 + b2 + c2
+
+
≥
2
b2 + c2 a2 + c2 a2 + b2

8. Phương pháp tam thức bậc hai
8.1 Cơ sở toán học :
Ta có thể dùng định lý về dấu tam thức bậc hai , dấu của nghiệm của tam
thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức .
Cho tam thức bậc hai : F(x) = ax2 + bx + c

với a ≠ 0 Có ∆ = b2 – 4ac

+ Nếu ∆ < 0 thì a.F(x) >0 với ∀x ∈ R
b
a

+ Nếu ∆ = 0 thì a.F(x) >0 với ∀x ≠ − ⇒ F(x) cùng dấu với a
Người viết: Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao 18


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
+ Nếu ∆ > 0 thì tồn tại x1, x2 sao cho x2 > x1 .Ta có :
.x nằm ngoài hai khoảng nghiệm : x < x1 ; x > x 2 ⇔ a.F ( x) > 0
.x nằm trong khoảng hai nghiệm : x1 < x < x 2 ⇔ a.F ( x) < 0
8.2 Ví dụ minh hoạ :
Ví dụ 1: Cho − 1 ≤ a ≤ 2;−1 ≤ b ≤ 2;−1 ≤ c ≤ 2 và a + b +c = 0 .CMR: a2 + b2 +c2 ≤ 6
Giải

Theo tính chất về dấu của tam thức bậc hai :

-1 ≤ a ≤ 2 ⇒ (a – 2)(a + 1) ≤ 0 (1) ;

-1 ≤ b ≤ 2 ⇒ (b – 2)(b + 1) ≤ 0 (2)

-1 ≤ c ≤ 2 ⇒ (c – 2)(c + 1) ≤ 0 (3) . Cộng từng vế của (1), (2), (3) ta được :
a2 –a – 2 + b2 –b -2 + c2 – c -2 ≤ 0 ⇔ a2 + b2 + c2 –(a + b + c)≤ 6
Vì a +b +c =0 nên a2 + b2 +c2 ≤ 6 (đpcm)
Ví dụ 2: cho các số a, b, c, d thoả mãn : a + d = b+ c.

CMR nếu lấy số m sao cho : 2m > ad − bc thì với mọi x ∈ R
ta luôn có (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m2 ≥ 0
Giải

(1)

Dựa vào giả thiết cho : a + d = b + c nên ta có :
(1) ⇔ [ x 2 − (a + d ) x + ad ][. x 2 − (b + c) x + bc ] + m 2 ≥ 0
Vỡ a + d = b + c nên đặt : y = x 2- (a + d)x = x2 –(b + c)x ta được bất

đẳng thức : (y + ad)(y + bc) +m2 ≥ 0 ⇔ y2 + (ad + bc)y + abcd + m2 ≥ 0
Đặt F(y) = y2 + (ad + bc)y + abcd +m2
2
2
2
2
Ta có : ∆ y = (ad + bc) − 4.1(abcd + m ) = (ad − bc) − 4m

Vỡ 2m > ad − bc

nên 4m2 ≥ (ad-bc)2 ⇔

∆y ≤ 0
A =1> 0

⇔ F( y ) ≥ 0

Hay (x – a)(x – b)(x – c)(x – d)+ m2≥ 0 (đpcm)
*Nhận xét :

.Chú ý khi sử dụng tam thức bậc hai cần :
+ Nắm chắc định lý về dấu của tam thức bậc hai
+Thường dùng các phép biến đổi tương đương để đưa bất đẳng

thức cần chứng minh về dạng ;
F(x) ≥ 0 hay F(x) ≤ 0 .Trong đó F(x) là tam thức bậc hai đối với biến x
8.3 Bài tập tự giải

Người viết: Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao 19


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
1/Chứng minh rằng với mọi a ∈ R ta đều có

1 a2 + a +1
≤
≤3
3 a2 − a −1

2/Cho a; b; c thoả mãn hệ thức ; a 2 + b2 + c2 =2 và ab +bc +ca =1.
4
3

Chứng minh rằng : − ≤ a; b; c ≤

4

3

3/cho b>c> d . CMR với mọi a ∈ R ta luôn có :( a + b +c +d)2 > 8(ac+bd)
4/ cho 6 số a; b; c; d; m; n thoả mãn : a 2 +b2 + c2 +d2 < m2 +n2. Chứng
minh rằng :

(m2 – a2 –b2) (n2 –c2 –d2) ≤ (mn –ac-bd)2

II.3) Giải bài toán bất đẳng thức trong hình học
1. Một số kí hiệu thường dùng để chỉ các yếu tố của tam giác.
1.1. a; b; c tương ứng là độ dài 3 cạnh BC; AC; AB của ∆ABC .
1.2. α ; β ; γ tương ứng là độ lớn các góc tại 3 đỉnh A; B; C.
1.3.

ma ;mb; mc tương ứng là độ dài các đường trung tuyến dựng từ các đỉnh
A; B; C.

1.4.

ha ; hb; hc tương ứng là độ dài các đường cao hạ từ các đỉnh A; B; C.

1.5.

la; lb ; lc tương ứng là độ dài các đường phân giác dựng từ các đỉnh A; B;
C.

1.6.

R và r tương ứng là độ dài các bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường
tròn nội tiếp của ∆ABC .

1.7.

SABC là diện tích của ∆ABC .

1.8.

ra; rb; rc tương ứng là độ dài các bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc
A; B; C của ∆ABC .

1.9.

Kí hiệu góc là : “ ∠ ”.

2. Một số kiến thức cơ bản cần dùng
2.1 Với 3 điểm bất kì A; B; C ta có

A

AB ≤ AC + BC.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi C nằm
giữa 2 điểm A và B.
B

2.2 Trong một tam giác góc đối diện

C

với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
Người viết: Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao 20


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
Cạnh đối diện với góc lớn hơn là

A

cạnh lớn hơn: AB ≤ AC ≤ BC ⇔
Cˆ ≤ Bˆ ≤ Aˆ .

2.3 Trong tam giác vuông cạnh

C

B

huyền lớn hơn mỗi cạnh góc vuông:
CA > AB > BC.

A

2.4 Trong một tam giác góc đối diện
với cạnh lớn nhất là góc lớn nhất.
2.5 Trong hai đường xiên kẻ từ một
điểm đến một đường thẳng, đường

B

C

H

nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn
A

hơn và ngược lại: AB ≤ AC ⇔ BH
≤ HC

2.6 Trong tam giác ABC có :
AB – AC < BC < AB + AC

C

B

AB – BC < AC < AB + BC
AC – BC < AB < AC – BC

C
D
B

A

2.7 Trong một đường tròn hay trong

O

hai đường tròn bằng nhau :
+ Cung lớn hơn khi và chỉ khi dây
căng cung lớn hơn
+ Đường kính là dây cung lớn nhất.
CD ≤ AB = 2R
3. Một số cách chứng minh bất đẳng thức hình học
3.1. Sử dụng bất đẳng thức tam giác
Bài 1: Cho ∆ ABC.Chứng minh rằng :

b+c−a
b+c
< ma <
2
2

Giải:
B

Gọi M là trung điểm của BC
Người viết: Phạm Xuân Hà

-

D

THCS Đình Cao 21
M

C


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
Xét ∆ ABM có : AM > AB- BM
Xét ∆ ADM có: AM > AC – CM
Cộng từng vế 2 bất đẳng thức trên ta được:
2AM > AB + AC – (BM + CM)
⇒ 2AM > AB + AC – BC
⇒ ma >

b+c−a
(1)
2

A

Trên tia đối của tia MA lấy điểm
D sao cho :MA= MD ⇒∆ ABM = ∆ DCM
⇒AB = CD. Xét ∆ ACD có : AD< AC + CD = AC + AB., do AD=2AM
⇒ 2AM < AC + AB ⇒ ma <
Từ (1)và (2) ⇒

b+c
(2)
2

b+c−a
b+c
< ma <

(điều phải chứng minh)
2
2

3.2-Sử dụng bất đẳng thức Côsi
Bài 2: Cho ∆ ABC có 3 góc nhọn. Gọi H là trực tâm của ∆ ABC, K là chân
đường cao vẽ từ A của ∆ ABC. Chứng minh rằng : KH.KA ≤

BC 2
4

Giải
Xét ∆ AKB và ∆ CKH có :
∠ AKB = ∠ CKH = 90

A

0

∠ BAK = ∠ HCK
H

(2 góc có cạnh tương ứng vuông góc).
⇒∆ AKB đồng dạng với ∆ CKH (g.g)
⇒

KA KC
=
⇒ KA. KH = KB. KC
KB KH

B

K

C

Theo bất đẳng thức Côsi ta có :
2KB.KC ≤ KB2+KC2 nên 4KB.KC
≤ (KB+KC)2 do vậy
2

KB + KC 
BC 2
BC 2
KB.KC ≤ 
. Vậy KH.KA ≤
(điều phải chứng minh)
 =
2
4
4



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi KB = KC hay K là trung điểm của BC
⇔ ∆ ABC cân tại A.

Người viết: Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao 22


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC
và CD. Gọi P là trung điểm của AB. Chứng minh rằng:
a)SABCD ≤

1
(AM + BN)2
2

b) PN ≤

1
(AD + BC). Dấu “=” xảy ra khi nào?
2

Giải
1. Gọi I là giao điểm của AM và BD
Ta có : SABCD = SABC + SADC

B

Mà ∆ ABM và ∆ AMC có :
BM = MC (gt)⇒ SABM = SAMC ⇒

M

P

SABC = 2SAMC

I

∆ ANC và ∆ AND có : CN = ND
O

N

⇒ SADC = 2SACN ⇒ SABCD = 2(SABC +
SANC)=

C

A

(gt) ⇒ SANC = SAND

D

2SMCNA

= 2(SAMN + SMNC)
Ta lại có : MN là đường trung bình
của ∆ CBD ⇒ MN // BD
⇒∆ MNC và ∆ MDN có đường cao bằng nhau
⇒SIMN = SMCN ⇒SABCD = 2(SAMN + SIMN)
Mặt khác: SIMN ≤ SAMN ⇒ SABCD ≤ 2(SAMN + SAMN) = 4SAMN ≤ 4.

2AM. AN⇒ SABCD ≤ 2AM. AN ≤

1
.AM. AN=
2

1
(AM+BN)2. (đpcm)
2

2. Gọi O là trung điểm của AC, ta có : PN ≤

PO + ON =

BC AD 1
+
= ( AD + BC )
2
2
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi AD //BC. Tứ giác ABCD là hình thang.
3.3) Sử dụng phép đối xứng giải toán bất đẳng thức hình học
Bài 4: Cho ∆ ABC bất kì .Chứng minh rằng : ha≤

p ( p − a)

Với p là nửa chu vi của ∆ ABC, ha là đường cao hạ từ A.
Người viết: Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao 23


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
Giải
Qua A kẻ Ax // BC
Thực hiện phép đối xứng

C'

B'

trục Ax ta có
SAx : B  B’
A

x

C  C’

b
ha

Ta có : AB + AC = AB’ +

H

B

AC ≥ CB’

a
C

Xét tam giác vuông CC’B’
ta có :
CB’ =
b+ c ≥

C ' C 2 + C ' B' 2 ⇔
2

4 ha + a 2

⇔ (b+ c)2 ≥ 4ha2 + a2 ⇔
ha2 ≤
=

1
[(b+c)2 – a2]
4

1
(b + c- a)(b + c+ a)= p(p-a)⇔ ha2 ≤ p(p-a) ⇔ ha ≤
4

p ( p − a) (đpcm)

Bài 5: Gọi a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, các đường cao tương ứng là
ha , hb, hc. Chứng minh rằng:

(a + b + c) 2
2

2

ha + hb + hc

2

≥4

Giải
Qua A kẻ Cx // AB
Lấy E đối xứng với A qua đường

A

thẳng Cx⇒ HE = HA

x
c

Nối C với E, B với E ⇒ ∆ CAE cân

H

b

K

tại C⇒ CE = CA = b
E

Hạ CK ⊥ AB ⇒ CK = hc. Ta có :

B
C

CK = AH = HE⇒AE = 2hc
Người viết: Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao 24


SKKN:Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức
Với 3 điểm E,B, C ta luôn có : BE
≤ BC + CE ⇒ BE ≤ a+ b
Theo định lý Pi tago trong tam giác
vuông ABE ta có :
AE2 + AB2 = BE2.
⇔ (2hc)2 + c2 ≤ (a+b)2
⇔ 4hc2 ≤ (a+b)2– c2
Tương tự ta chứng minh được: 4ha2 ≤ (b+c)2– a2
4hb2 ≤ (a+c)2– b2
⇒4(ha2 + hb2+ hc2) ≤ (a+b)2-c2 + (b+c)2 –a2 +(a+c)2 – b2
⇔4(ha + h + hc ) ≤ (a+b+c) ⇔

2

2
b

2

2

(a + b + c) 2
2

2

ha + hb + hc

2

≥ 4. (ĐPCM)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c ⇔ ∆ ABC đều.
3.4.Sử dụng các bất đẳng thức đại số.
Bài 5: Cho ∆ ABC và 0 là một điểm bất kì trong tam giác, các tia
AO,BO,CO cắt BC,CA,AB lần lượt tại P,Q,R. Chứng minh rằng:
1/

OP OQ OR
+
+
=1

AP PQ CR

2/

PQ CR
AP
+ OQ +
≥ 9.Dấu bằng xảy ra khi
OP
OR

nào ?
Giải
1/Từ A kẻ AH ⊥ BC,OK ⊥ BC⇒OK // AH
Xét ∆ AHP có :
SBOC =

OP
OK
=
; (Định lí Talet)
AP
AH

A

1
1
OK .BC , SABC = OH .BC ⇒
2

2

O

S OBC OK
OP
=
=
S ABC AH
AP
S BOA

B

OR S AOC

Q

R

H

K

P

C

OQ

Tương tự :Ta có S =
,
= PQ ,
CR S ABC
ABC

Người viết: Phạm Xuân Hà

-

THCS Đình Cao 25