de thi hsg cap truong mon toan 8 co dap an 93001

onthionline.net

Đề thi học sinh giỏi cấp Trường năm học 2005 – 2006 .
Môn thi : Toán 8 .
(Thời gian làm bài :120’ .)

Câu 1 : ( 2,5 đ) . Cho biểu thức : A =

x 3 − x 2 + 3x − 3
x 3 + 3x 2 + 3x + 9

a. Tìm điều kiện của x để A xác định và rút gọn A .
b. Tìm giá trị nguyên của x để A nguyên .
Câu 2 : ( 2 đ )Giải các phương trình .

a.

996 − x
1010

+

971 − x
1035

=

x − 946
-3
1060

. Đề thi học sinh giỏi cấp

Trường năm học 2005 – 2006 .
Mụn thi : Toỏn 8 .
(Thời gian làm bài :120’ .)

Cõu 1 : ( 2,5 đ) . Cho biểu thức : A =

x 3 − x 2 + 3x − 3
x 3 + 3x 2 + 3x + 9

c. Tỡm điều kiện của x để A xỏc định và rỳt gọn A .
d. Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A nguyờn .
Cõu 2 : ( 2 đ )Giải cỏc phương trỡnh .
a.

996 − x
971 − x
x − 946
+
=
-3 .
1010
1035
1060

b. x3 –7x – 6 = 0 .
Cõu 3 : ( 3 đ ) Trờn cỏc cạnh AB , AC của tam giỏc ABC lần lượt
lấy cỏc điểm P và Q sao cho BP = CQ . Gọi M , I lần lượt là trung
điểm của PQ và BC . Dựng cỏc hỡnh bỡnh hành BPMK và CQMH .

a. Chứng minh rằng K , I , H là 3 điểm thẳng hàng .
b. Chứng minh MI là phõn giỏc của gúc HMK .
c. Khi P , Q chạy trờn AB và AC thỡ M chạy trờn đường nào ? Vỡ
sao ?
Cõu 4 : ( 1,5 đ ) Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc ,
biết :
a3 + b3 + c3 –3abc = 0 . Hỏi tam giỏc đú là tam giỏc gỡ ?
Cõu 5 : ( 1 đ ) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : E =
.

x2
với x > 1
x −1


onthionline.net

Đỏp ỏn Toỏn 8 .
Cõu 1 : Mỗi ý trả lời a,b đỳng được (1,25 đ) .
a. Biến đổi : x3 +3x2 +3x +9 = ( x+ 3 ) ( x2 +3 ) . ( 0,25 đ) .
Vỡ x2 + 3 > 0  đ k : x ≠ - 3 ( 1 ) .
( 0,25 đ ) .
x −1
Biến đổi và rỳt gọn được A =
(0,75)
x+3
4
b.Biến đổi được : A = 1 .
(0,25 đ ) .
x+3

Lập luận ( x + 3 ) = { ± 1;±2;±4}
( 0,25 đ ) .
x+3 -4
-2
-1
1
2
4
(0,5đ)
x
-7
-5
-4
-2
-1
1
Kết luận được : với x ∈ { -4 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 4 } thỡ A ∈ Z .
đ).
Cõu 2 : GPT :Mỗi bài a , b đỳng được 1 điểm .
a.

996 − x
971 − x
x − 946
+
=
-3.
1010
1035
1060

( 0,25


onthionline.net
 996 − x 
 971 − x 
 946 − x 
⇔
+ 1 + 
+ 1 + 
+ 1 = 0 .
( 0,25 đ ) .
 1010

 1035

 1060

2006 − x 2006 − x 2006 − x
⇔
+
+
=0 .
( 0,25 đ ) .
1010
1035
1060
1
1 

 1
⇔ ( 2006 − x ) 
+
+
 = 0 ⇒ x − 2006 = 0
( 0,25 đ ) .
 1010 1035 1060 
⇒ x = 2006 .
( 0,25 đ ) .

b. x3-7x – 6 = 0 .
⇔ ( x 3 − x ) − ( 6 x + 6) = 0 .

(

( 0,25 đ ) .

)

⇔ ( x + 1) x 2 − x − 6 = 0

( 0,25 đ ) .

⇔ ( x + 1)( x + 2 )( x − 3) = 0
⇒ x = −1; x = −2; x = 3

( 0,25 đ ) .
( 0,25 đ ) .

Cõu 3 :

a. Chỉ ra được :
1
2

HC//= BK ( = PQ )

( 0,50 đ ) .

Suy ra tứ giỏc BKCH là hỡnh bỡnh hành
( 0,25 đ ) .
Suy ra KH là đường chộo đi qua trung điểm I của BC
( 0,25 đ ) .
b. Chỉ ra được :
MI là trung tuyến của tam giỏc KMH .
( 0,25 đ ) .
Và tam giỏc KMH cõn ( vỡ KM = MH = BP = CQ ) . ( 0,50đ ) .
Suy ra MI cũng là phõn giỏc của gúc KMH
( 0,25 đ ) .
c. Chỉ ra được :
Gúc BAC = gúc KMH ( gúc cú cạnh tương ứng song song ) . ( 0,25
đ).
Suy ra Ax là phõn giỏc của gúc BAC cũng song song với MI . ( 0,25
đ).
Vỡ Ax khụng đổi ; khi PQ thay đổi . Suy ra điểm M chạy trờn đường
thẳng d song song với Ax và d đi qua I.
( 0,25 đ ) .
Do M nằm trờn PQ suy ra M chỉ chạy trờn đoạn IN .
( 0,25 đ ) .
3
3

3
Cõu 4 : a + b + c –3abc =0 .
( 0,75 đ ) .
2
2
2
⇔ ( a + b + c ) [( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ] = 0 .
( 0,75 đ ) .
Vỡ a, b , c là độ dài ba cạnh của tam giỏc ⇒ a + b + c >0 . ( 0,25 đ ) .
⇒ a −b = b −c = c −a = 0
⇒a=b=c

Suy ra tam giỏc là tam giỏc đều .
Cõu 5 : Ta cú : E =2+ ( x-1 ) +

1
x −1

( 0,5 đ ) .
( 0,5 đ ) .


onthionline.net
Theo Cauchy : ( x- 1 ) +

1
≥2
x −1

Suy ra E ≥ 4 ⇒ E nhỏ nhất là 4 khi x-1 =

).

( 0,25 đ ) .
1
Vỡ x>1  x =2 . ( 0,25 đ
x −1

b. x3 –7x – 6 = 0 .
Câu 3 : ( 3 đ ) Trên các cạnh AB , AC của tam giác ABC lần lượt
lấy các điểm P và Q sao cho BP = CQ . Gọi M , I lần lượt là trung
điểm của PQ và BC . Dựng các hình bình hành BPMK và CQMH .
d. Chứng minh rằng K , I , H là 3 điểm thẳng hàng .
e. Chứng minh MI là phân giác của góc HMK .
f. Khi P , Q chạy trên AB và AC thì M chạy trên đường nào ? Vì
sao ?
Câu 4 : ( 1,5 đ ) Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác ,
biết :
a3 + b3 + c3 –3abc = 0 . Hỏi tam giác đó là tam giác gì ?
x2
Câu 5 : ( 1 đ ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : E =
với x >
x −1

1.


onthionline.net
Đáp án Toán 8 .
Câu 1 : Mỗi ý trả lời a,b đúng được (1,25 đ) .
c. Biến đổi : x3 +3x2 +3x +9 = ( x+ 3 ) ( x2 +3 ) . ( 0,25 đ) .

Vì x2 + 3 > 0  đ k : x ≠ - 3 ( 1 ) .
( 0,25 đ ) .
x −1
Biến đổi và rút gọn được A =
(0,75)
x+3
4
b.Biến đổi được : A = 1 .
(0,25 đ ) .
x+3
Lập luận ( x + 3 ) = { ± 1;±2;±4}
( 0,25 đ ) .
x+3 -4
-2
-1
1
2
4
(0,5đ)
x
-7
-5
-4
-2
-1
1
Kết luận được : với x ∈ { -4 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 4 } thì A ∈ Z .
.
Câu 2 : GPT :Mỗi bài a , b đúng được 1 điểm .

( 0,25 đ )

996 − x
971 − x
x − 946
+
=
-3.
1010
1035
1060
 996 − x 
 971 − x 
 946 − x 
⇔
+ 1 + 
+ 1 + 
+ 1 = 0 .
( 0,25 đ ) .
 1010

 1035

 1060

2006 − x 2006 − x 2006 − x
⇔
+
+
=0 .

( 0,25 đ ) .
1010
1035
1060
1
1 
 1
⇔ ( 2006 − x ) 
+
+
 = 0 ⇒ x − 2006 = 0
( 0,25 đ ) .
 1010 1035 1060 
⇒ x = 2006 .
( 0,25 đ ) .

a.

d. x3-7x – 6 = 0 .
⇔ ( x 3 − x ) − ( 6 x + 6) = 0 .

(

)

⇔ ( x + 1) x 2 − x − 6 = 0

⇔ ( x + 1)( x + 2 )( x − 3) = 0
⇒ x = −1; x = −2; x = 3

( 0,25 đ ) .
( 0,25 đ ) .
( 0,25 đ ) .
( 0,25 đ ) .

Câu 3 :
d. Chỉ ra được :
1
2

HC//= BK ( = PQ )

( 0,50 đ ) .

Suy ra tứ giác BKCH là hình bình hành
( 0,25 đ ) .
Suy ra KH là đường chéo đi qua trung điểm I của BC
( 0,25 đ ) .
e. Chỉ ra được :


onthionline.net
MI là trung tuyến của tam giác KMH .
( 0,25 đ ) .
Và tam giác KMH cân ( vì KM = MH = BP = CQ ) . ( 0,50đ ) .
Suy ra MI cũng là phân giác của góc KMH
( 0,25 đ ) .
f. Chỉ ra được :
Góc BAC = góc KMH ( góc có cạnh tương ứng song song ) . ( 0,25
đ).

Suy ra Ax là phân giác của góc BAC cũng song song với MI . ( 0,25
đ).
Vì Ax không đổi ; khi PQ thay đổi . Suy ra điểm M chạy trên đường
thẳng d song song với Ax và d đi qua I.
( 0,25 đ ) .
Do M nằm trên PQ suy ra M chỉ chạy trên đoạn IN .
( 0,25 đ ) .
3
3
3
Câu 4 : a + b + c –3abc =0 .
( 0,75 đ ) .
2
2
2
⇔ ( a + b + c ) [( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ] = 0 .
( 0,75 đ ) .
Vì a, b , c là độ dài ba cạnh của tam giác ⇒ a + b + c >0 . ( 0,25 đ ) .
⇒ a −b = b−c = c −a = 0
⇒a=b=c

Suy ra tam giác là tam giác đều .
1
Câu 5 : Ta có : E =2+ ( x-1 ) +
x −1
1
≥2
Theo Cauchy : ( x- 1 ) +
x −1

Suy ra E ≥ 4 ⇒ E nhỏ nhất là 4 khi x-1 =
đ).

( 0,5 đ ) .
( 0,5 đ ) .
( 0,25 đ ) .
1
Vì x>1  x =2 . ( 0,25
x −1