bai tap hinh hoc 9 cuc hay 29988

Onthionline.net
Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), tia phân giác của góc BAC cắt
(O) tại M, vẽ đường cao AH cắt (O) tại N.
a) Cm OM đi qua trung điểm I của dây BC
b) Cm AM là tia phân giác của góc OAH
c) Gọi K là điểm đối xứng của N qua BC. Cm K là trực tâm của tam giác ABC
d) KI cắt (O) tại F. Cm A, O, F thẳng hàng
Giải :
a) Cm OM đi qua trung điểm I của dây BC:
AM là phân giác BAC^ => M là trung điểm cung BC.
=> OM qua trung điểm I của BC và ⊥ BC.
(bán kính qua trung điểm của cung thì qua trung điểm và vuông góc với dây căng
cung đó)
b) Cm AM là tia phân giác của góc OAH:
AH//OM (vì cùng ⊥ với BC) nên có:
HAM^ = AMO^ (1) ( so le)
tam giác AOM cân (OA=OM=bán kính) nên:
OAM^ = AMO^ (2) ( 2 góc đáy tam giác cân)
(1) và (2) => HAM^ = OAM^ hay AM là phân giác của góc OAH.
c) Cm K là trực tâm của tam giác ABC:
Kéo dài AO cắt (O) tại F.
K là điểm đối xứng của N qua BC => tam giác KBN cân tại N => BK = BN (3)
BAN^ = BAM^ - HAM^
CAF^ = CAM^ - OAM^
mà BAM^ = CAM^ và HAM^ = OAM^
=> BAN^ = CAF^ => (BN) = (CF) => BN =CF(4)
(3) và (4) => BK = CF
mặt khác do (BN) = (CF) => NF // BC
vậy BCFN là hình thang cân => NBC^ = FCB^ (5)
tam giác KBN cân có BC ⊥ KN => KBC^ = NBC^ (6)
(5) và (6) => KBC^ = FCB^ => BK // CF mà CF ⊥ AC (vì ∠ACF nội tiếp chắn nửa

đường tròn) => BK ⊥ AC
=> K là trực tâm của tam giác ABC
d) Cm A, O, F thẳng hàng:
Ta chứng minh KF qua I.
BKCF là hình bình hành có BC là 1 đường chéo và I là trung điểm BC và KF là
đường chéo thứ 2 nên KF qua trung điểm I của BC.
nói cách khác:A, O, F thẳng hàng.