on tap chuong iii giai tich lop 11 42859

ONTHIONLINE.NET
ÔN TÂP CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau với đúng với ∀n ∈ N * .
n(3n + 1)
3 n +1 − 3
1/ 2 + 5 + 8 + ........... + (3n − 1) =
2/ 3 + 9 + 27 + ........... + 3 n =
2
2
2
n(4n − 1)
n 2 (n + 1) 2
3/ 12 + 2 2 + 3 2 + ........ + (2n − 1) 2 =
4/ 13 + 2 3 + 33 + ............ + n 3 =
3
4
n
n(n + 1)(2n + 1)
1 1 1
1
2 −1
2
2
2
2
5/ 1 + 2 + 3 + ............ + n =
6/ + + + ........ + n =
6
2 4 8
2

2n
Bài 2: Chứng minh rằng ∀n ∈ N * . Ta có:
1/ n3 – n chia hết cho 3
2/ n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3
3/ 2n3 – 3n2 + n chia hết cho 6
4/ 13n – 1 chia hết cho 6
5/ 4n + 15n – 1 chia hết cho 9
6/ 32n+1 + 2n+2 chia hết cho 7
Bài 3: Chứng minh rằng ∀n ∈ N *
1/ 2n > 2n + 1 ( n ≥ 3 )
2/ 3n > 3n + 1 ( n ≥ 2 )
3/ 2n+1 > 2n + 3 ( n ≥ 2 )
(n ≥ 8)
4/ 3 n −1 > n( n + 2) (n ≥ 4)
5/ 2 n −3 > 3n − 1
BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ
Bài 1: Viết 5 số hạng đầu tiên của các dãy số sau :
u1 = 2
a/ 
un +1 = un + 5

u1 = 3
u1 = u2 = 1
b/ 
c/ 
un +1 = un + 5n − 1
un + 2 = un +1 + un

u1 = u2 = 2
d/ 

un + 2 = 2un +1 + 3un + n

Bài 2: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (un) với:
1/ un = 2n2 + 5
6/ u n =

3
2/ u n = 2n + 3n + 1

2n + 1
5n + 2

7/ u n =

2n 2 − 1
n2 +1

u1 = 2

1
Bài 3: Cho dãy số 
un +1 = 2 − u
n


3/ u n =

8/ u n =

2n

n

4/ u n =
9/ u n =

n −1
n +1

1
4n

5/ u n =

2−n
n

10/ u n = n + 1 − n

( ∀n ≥ 1)
b/ Chứng minh: un =

a/ Viết 5 số hạng đầu của dãy
u1 = 1
Bài 4: Cho dãy số 
un +1 = un + 7
a/ Viết 5 số hạng đầu của dãy
u1 = 2
Bài 5: Cho dãy số 
un +1 = 5un
a/ Viết 5 số hạng đầu của dãy

1
−2
n

n +1
n

(∀n ≥ 1)
b/ Chứng minh: un = 7 n − 6
( ∀n ≥ 1 )
n −1
b/ Chứng minh: un = 2.5

BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ CỘNG
Bài 1: Tìm CSC biết

1


u3 + u7 − u4 = 10
a/ 
u2 + u6 = 8

u7 − u3 = 8
b/ 
u2 .u7 = 75

u2 + u5 − u3 = 10
c) 

u4 + u6 = 26

u17 − u20 = 9
d)  2
2
u17 + u20 = 153

Bài 2: Hãy tính các tổng sau:
a/ Tổng tất cả các số hạng của 1 cấp số cộng có số hạng đầu bằng 102, số thứ 2 bằng 105, số cuối bằng 999
a/ Tổng tất cả các số hạng của 1 cấp số cộng có số hạng đầu bằng 1/3, số thứ 2 bằng -1/3, số cuối bằng -2007
3
3
Bài 3: Cho csc có d > 0: và có u1 + u15 = 302094 và tổng 15 số hạng đầu bằng 585. tìm csc đó
Bài 4: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng bình phương của
chúng bằng 120.
Bài 5: Tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 25 và tổng bình phương của
chúng bằng 165.
Bài 6: Cho một cấp số cộng ( un ) có u5 + u19 = 90. Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của ( un )

Bài 7: Cho một cấp số cộng ( un ) có u2 + u5 = 42 và u4 + u9 = 66. Hãy tính tổng 346 số hạng đầu tiên của cấp
số cộng đó.
u1 = 1 , u 2 = 2
Bài 8: Cho dãy số (un) : 
u n +1 = 2u n − u n −1 (∀n ≥ 2)
a/ Viết 5 số hạng đầu của dãy số.
b/ Lập dãy số (vn) với v n = u n +1 − u n . Chứng minh dãy số (vn) là cấp số cộng.
c/ Tìm công thức tính un theo n.
u1 = 1
Bài 9 : Cho dãy số (u n ) : 
u n +1 = u n2 + 2 (∀n ≥ 1)

2
a/ CMR : (v n ) với v n = u n là một cấp số cộng.
b/ Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy (un).
2
2
2
c/ Tính tổng S = u1 + u 2 + ............ + u101
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN
Bài 1: Tìm CSN biết
u4 + u2 = 60
u7 − u1 = 728
a) 
b) 
u5 + u3 = 180
u1 + u3 + u5 = 91

u7 + u1 = 1460
u7 + u1 = 325
c) 
d) 
u1 + u3 = 20
u1 − u3 + u5 = 65

Bài 2: Xác định số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân sau:

u5 = 96
u9 = 192

a) 

u3 + u5 = 90
u2 − u6 = 240

b) 

u20 = 8u17
u3 + u5 = 272

c) 

6u2 + u5 = 1
3u3 + 2u4 = −1

d) 

Bài 3: Cho 5 số lập thành một cấp số nhân. Biết công bội bằng ¼ số hạng đầu tiên và tổng 2 số hạng đầu
bằng 25.
Bài 4. Cho tứ giác ABCD có 4 góc tạo thành 1 cấp số nhân có công bội bằng 2 . Tìm 4 góc ấy
Bài 5. Một cấp số nhân có số hạng đầu là 9 số hạng cuối là 2187, công bội q = 3 Hỏi cấp số nhân ấy có
mấy số hạng
Bài 6. Xác định cấp số nhân có công bội q = 3, số hạng cuối là 486 và tổng các số hạng là 728
Bài 7. Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu bằng 31 và tổng của 5 số hạng sau
bằng 62

2


Bài 8. Tìm cấp số nhân có 4 số hạng, biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 27 và tích của hai
số hạng còn lại bằng 72
Bài 9: cho 3 số x, y, z, theo thứ tự lập thành 1 CSN, đồng thời chúng là số hạng đầu, số hạng thứ 3 và thứ 9

của 1 CSC. Tím 3 số đó, biết tổng của chúng bắng 13.
Bài 10: cho 3 số x,y,z, theo thứ tự lập thành 1 CSN với công bội q khác 1, đồng thời các số x, 2y, 3z theo
thứ tự lập thành 1 CSC với công sai khác 0. Tìm q.
Bài 11: cho 3 số x,y,z, theo thứ tự lập thành 1 CSN, 3 số x, y-4, z theo thứ tự lập thành 1 CSN, và các số
y-4, z-9 theo thứ tự lập thành 1 CSC. Tìm x,y,z
u1 = 1
Bài 12: Cho dãy số (u n ) : 
u n +1 = 5u n + 8 (∀n ≥ 1)

x,

. Đặt v n = u n + 2

a/ CMR: (vn) là một cấp số nhân. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.
b/ Dựa vào kết quả câu a / hãy tìm số hạng tổng quát của dãy (un).
u1 = 10

Bài 13: Cho dãy số (u n ) : 
un
u n +1 = 5 + 3 (∀n ≥ 1)

. Đặt v n = u n −

15
4

a/ CMR : (vn) là một cấp số nhân. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.
b/ Dựa vào kết quả câu a/ hãy tìm số hạng tổng quát của (un).
1


u1 = 3
Câu 14 : Cho dãy số (u n ) : 
u = (n + 1)u n
 n +1
3n

(∀n ≥ 1)

a/ Viết 5 số hạng đầu của dãy số.
b/ Đặt v n =

un
. CMR : (vn) là một cấp số nhân.
n

c/ Tìm công thức tính un theo n.

3