de kiem tra 1 tiet dai so va giai tich 12 thpt phu cat 52033

Onthionline.net

Trường THPT phù cát số 1

ĐỀ KIỂM TRA TOÁN GIẢI TÍCH 12
Bài số 1. Thời gian: 45 phút.

Câu 1(6,0 điểm): Cho hàm số y = 2 x 3 − 3x 2 − 1 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(0; −1) và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ
thị (C) tại ba điểm phân biệt.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm B(−1; −6).
Câu 2(2,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = x 3 + 4(1 − x)3 trên [ −1;1] .
x2
Câu 3(2,0 điểm): Cho hàm số f ( x) = x − sin x + .
2
/
a) Giải phương trình f ( x) = 0.
b) Chứng minh phương trình f ( x) = 2 có đúng hai nghiệm.

Trường THPT phù cát số 1

ĐỀ KIỂM TRA TOÁN GIẢI TÍCH 12
Bài số 1. Thời gian: 45 phút.

Câu 1(6,0 điểm): Cho hàm số y = 2 x 3 − 3x 2 − 1 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(0; −1) và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ
thị (C) tại ba điểm phân biệt.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm B(−1; −6).
Câu 2(2,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = x 3 + 4(1 − x)3 trên [ −1;1] .

x2
Câu 3(2,0 điểm): Cho hàm số f ( x) = x − sin x + .
2
/
a) Giải phương trình f ( x) = 0.
b) Chứng minh phương trình f ( x) = 2 có đúng hai nghiệm


ĐÁP ÁN GIẢI TÍCH 12
Câ
u
1

Đáp án

Điể
m

a.
+) Tập xác định ¡
+) Sự biến thiên:

Câu

0,25

x = 0
y / = 6 x 2 − 6 x, y / = 0 ⇔ 6 x 2 − 6 x = 0 ⇔ 
 x = 1 0,25
. x = 0 ⇒ y = −1, x = 1 ⇒ y = −2

0,25
. Hàm số đb trên các khoảng ( −∞;0 ) và

( 1; +∞ ) , nb trên khoảng ( 0;1) .

. Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y (0) = −1, đạt
cực tiểu tại x = 1, y (1) = −2.
y = −∞, lim y = +∞
. Giới hạn: xlim
→−∞
x →+∞
. Bảng biến thiên:
x
−∞
+∞
0
1
/
+ 0 0 +
f ( x)
f ( x)
+∞
-1
−∞ Z
-2
]
Z

0,25
0,25

0,5

0,25

(1)
(2)

0,25

Ta có y = x 3 + 4(1 − x)3
= −3 x 3 + 12 x 2 − 12 x + 4
+) y / = −9 x 2 + 24 x − 12,
2

x=
/

3
+) y = 0 ⇔ 
 x = 2 ∉ [ −1;1]
2

0,25

2 x − 3x − 1 = mx − 1 ⇔ x ( 2 x − 3 x − m ) = 0 (1)

0,25
0,25

phân biệt khác 0

4
9

3

0,5
0,5
0,5

y= .
+) max y = 31, xmin
∈[ −1;1]

0,5

a. +) Ta có f / ( x) = 1 − cos x + x,

0,25

π
f / / ( x) = sin x + 1 > 0, ∀x ≠ − + k 2π. 0,25
2
/
/
+) f ( x) đb trên ¡ và f (0) = 0.
0,25
+) pt f / ( x) = 0 có nghiệm duy
0,25
nhất x = 0.

b. Bảng biến thiên
−∞

x

0,5

4

+) y ( −1) = 31, y  ÷ = , y (1) = 1.
3 9
x∈[ −1;1]

2

9

 ∆ = 9 + 8m > 0
m > −
⇔
⇔
8
 g (0) = −m ≠ 0
m ≠ 0

3
2
 2 x − 3 x − 1 = kx + k − 6
 2

6 x − 6 x = k

 x = −1
0,25
⇔ ( x + 1)(4 x − x − 5) = 0 ⇔ 
x = 5

4
+) x = −1, suy ra k = 12, ta được
0,25
pt ∆ : y = 12 x + 12.
5
15
+) x = , suy ra k = , ta được pt
4
8
15
33
0,25
∆: y = x− .
8
8

2

x = 0
⇔
2
(2)
 g ( x ) = 2 x − 3x − m = 0

+) d cắt (C) tại ba điểm pb ⇔ pt(1) có ba
nghiệm phân biệt ⇔ pt(2) có hai nghiệm

0,25

2

0,25

2

c. +) Gọi ∆ là đt đi qua điểm
B (−1; −6) và có hệ số góc k
suy ra, pt của ∆ : y = kx + k − 6
+) ∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ
khi hệ pt sau có nghiệm

4 x3 + 3x 2 − 6 x − 5 = 0

1

3

Điểm

Thay (2) vào (1), ta được

0,25

+) Đồ thị:

b.
+) Phương trình đt d có dạng: y = mx − 1
+) Phương trình hoành độ giao điểm của
d và (C):

Điểm

-

/

f ( x)
f ( x)

+∞

+∞
0
0 +
+∞

0 Z
+) Từ bảng biến thiên, ta thấy:
]

min f ( x) = 0.
x∈¡

0,25

0,25
0,25


+) Đt y = 2 cắt đồ thị y = f ( x) tại 0,25
hai điểm phân biệt.
+) Pt f ( x) = 2 có đúng hai N 0 .