công thức nguyên hàm

1. B¶ng ®¹o hµm
' 1
( ) ( , 1)
n n
x nx n N n
−
= ∈ >
'
1
( )
2
x
x
=
'
2
1 1
( ( ) 0)u u x
x x
 
= − = ≠
 ÷
 
' 1 '
'
'
'
'
2
( ) . ( , 1)
( )

2
1
( ( ) 0)
n n
u nu u n N n
u
u
u
u
u u x
u u
−
= ∈ >
=
 
= − = ≠
 ÷
 
( )
'
sin cosx x=
( )
'
cos sinx x= −
( )
'
2
1
tan ( , )
cos 2

x x k k
x
π
π
= ≠ + ∈ Z
( )
'
2
1
cot ( , )
sin
x x k k
x
π
= − ≠ ∈ Z
( )
' '
sin cosu u u=
( )
' '
cos sinu u u= −
( )
'
'
2
tan ( , )
cos 2
u
u x k k
u

π
π
= ≠ + ∈ Z
( )
'
'
2
cot ( , )
sin
u
u x k k
u
π
= − ≠ ∈ Z
2. §¹o hµm cña tæng, hiÖu, th ¬ng
' '
' '
' '
'
' '
2
( )
( )
( )
( ( ) 0)
u v u v
u v u v
uv u v uv
u u v uv
v v x

v v
+ = +
− = −
= +
−
 
= = ≠
 ÷
 
3. Vi ph©n
'
'
0 0 0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
dy df x f x x
f x x f x f x x
= =
+ ≈ +
V
V V
4. §¹o hµm cÊp hai
( ) ( 1) '
( ) ( ( ))
n n
f x f x
−
=
5. B¶ng nguyªn hµm cña mét sè hµm sè th êng gÆp
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp

cơ bản
Nguyên hàm của các hàm số hợp
u=u(x)
Đặc biệt u=ax+b với a

0
( )
( )
1
2
2
2
2
( 1, )
1
ln
cos sin
sin cos
1 tan tan
cos
1 cot cot
sin
sin
tan ln cos
cos
cos
cot ln sin
sin
ln
x x

x
x
x
x dx C R
dx
x C
x
xdx x C
xdx x C
dx
x dx x C
x
dx
x dx x C
x
x
xdx dx x C
x
x
xdx dx x C
x
e dx e C
a
a dx C
a




+

= +
+
= +
= +
= +
+ = = +
+ = = +
= = +
= = +
= +
= +










( )
( )
1
2
2
2
2
( 1, )
1

ln
cos sin
sin cos
1 tan tan
cos
1 cot cot
sin
sin
tan ln cos
cos
cos
cot ln sin
sin
ln
u u
u
u
u
u du C R
du
u C
u
udu u C
udu u C
du
u du u C
u
du
u du u C
u

u
udu dx u C
u
u
udu du u C
u
e du e C
a
a dx C
a




+
= +
+
= +
= +
= +
+ = = +
+ = = +
= = +
= = +
= +
= +

( )
( )
1
2
2
2
2
( )
( ) ( 1, )
( 1)
ln
( )
sin( )
cos( )
cos( )
sin( )
tan( )
1 tan ( )
cos ( )
cot( )
1 cot ( )
sin ( )
tan(
ax b

ax b dx C R
a
ax b
dx
C
ax b a
ax b
ax b dx C
a
ax b
ax b dx C
a
dx ax b
ax b dx C
ax b a
dx ax b
ax b dx C
ax b a
ax b




+
+
+ = +
+
+
= +
+

+
+ = +
+
+ = +
+
+ + = = +
+
+
+ + = = +
+
+






( )
( )
( )
( )
ln cos( )
sin( )
)
cos( )
ln sin( )
cos( )
cot( )
sin( )
ln

ax b
ax b
ax b
ax b
ax b
ax b
dx C
ax b a
ax b
ax b
ax b dx dx C
ax b a
e
e du C
a
a
a dx C
a a
+
+
+
+
+
+
= = +
+
+
+
+ = = +
+

= +
= +




6. Một số ph ơng pháp tìm ngnuyên hàm
a) Phơng pháp đổi biến số
Cho hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y=f(u) liên tục sao cho f[(u)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm
của f, tức là
( ) ( )f u du F u C= +

thì
( ) ( )
'
( ) ( ) ( )f u x u x dx F u x C= +

b) Phơng pháp lấy nguyên hàm từng phần
Nếu u,v là hai hàm có đạo hàm liên tục trên Kthì:
' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x dx u x v x u x v x dx=

hay
udv uv vdu=