CHUYÊN đề phương trình hệ phương trình

CHUYÊN ĐỀ:
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. NỘI DUNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)
• x0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x0) = g(x0)" là một mệnh đề đúng.
• Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
• Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình.
Chú ý:
+ Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức

1
thì cần điều kiện P(x) ≠ 0.
P (x)

– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P (x) thì cần điều kiện P(x) ≥ 0.
+ Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số
y = f(x) và y = g(x).
2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1
và f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2.
• (1) ⇔ (2) khi và chỉ khi S1 = S2.
• (1) ⇒ (2) khi và chỉ khi S1 ⊂ S2.
3. Phép biến đổi tương đương
• Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta
được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau:
– Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức.
– Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0.
• Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ
quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
Bài tập vận dụng

Bài 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
5
5
= 12 +
x− 4
x− 4
1
1
= 9−
c) x2 −
x−1
x−1

a) 3x +

1
1
= 15+
x+ 3
x+ 3
2
2
= 15+
d) 3x +
x− 5
x− 5

b) 5x +

Bài 2. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:

a) 1+ 1− x = x − 2
b) x + 1 = 2 − x
c)
e)

d)

x+ 1 = x+ 1
x
3
=
x−1
x−1

x − 1 = 1− x

f) x2 − 1− x = x − 2 + 3

Bài 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
a) x − 3(x2 − 3x + 2) = 0
b) x + 1(x2 − x − 2) = 0
c)

x
x− 2

=

1
x− 2

− x− 2

d)

x2 − 4
x+ 1

=

x+ 3
x+ 1

+ x+ 1

Bài 4. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
a) x − 2 = x + 1
b) x + 1 = x − 2
c) 2 x − 1 = x + 2
d) x − 2 = 2x − 1


Bài 5. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
a)
c)

x
x−1
x
2− x

=
=

x

b)

x−1
x

d)

2− x

x− 2
x−1
x−1
x− 2

=
=

x− 2
x−1
1− x
x− 2

II. NỘI DUNG 2: PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0
1. Giải và biện luận phương trình ax + b = 0

ax + b = 0
Hệ số
a≠ 0
a=0

b≠ 0
b=0

(1)
Kết luận

(1) có nghiệm duy nhất x = −

b
a

(1) vô nghiệm
(1) nghiệm đúng với mọi x

2. Chú ý: Khi a ≠ 0 thì (1) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
Bài tập vận dụng
Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
a) (m2 + 2)x − 2m= x − 3
b) m(x − m) = x + m− 2
b) m(x − m+ 3) = m(x − 2) + 6
d) m2(x − 1) + m= x(3m− 2)
e) (m2 − m)x = 2x + m2 − 1
f) (m+ 1)2 x = (2m+ 5)x + 2+ m
Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo các tham số a, b, c:
x− a

x− b
− b=
− a (a, b ≠ 0)
a
b
b) (ab + 2)x + a = 2b + (b + 2a)x

a)

x + ab x + bc x + b2
+
+
= 3b (a, b,c ≠ −1)
a+ 1
c+1
b+ 1
x − b− c x − c − a x − a − b
+
+
= 3 (a, b,c ≠ 0)
d)
a
b
c

c)

Bài 3. Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình:
i) Có nghiệm duy nhất
ii) Vô nghiệm

iii) Nghiệm đúng với mọi x ∈ R.
a) (m− 2)x = n − 1
b) (m2 + 2m− 3)x = m− 1
c) (mx + 2)(x + 1) = (mx + m2)x
d) (m2 − m)x = 2x + m2 − 1


III. NỘI DUNG 3: PHƯƠNG TRÌNH ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
1. Cách giải
ax2 + bx + c = 0

(a ≠ 0)

∆ = b2 − 4ac

Chú ý:

(1)

Kết luận

∆>0

(1) có 2 nghiệm phân biệt x1,2 =

∆=0

(1) có nghiệm kép x = −

∆<0

(1) vô nghiệm

−b ± ∆
2a

b
2a

– Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x =

c
.
a
c
a

– Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = − .
b
– Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b′ = .
2

2. Định lí Vi–et
Hai số x1, x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 khi và chỉ khi chúng thoả
mãn các hệ thức S = x1 + x2 = −

b
c
và P = x1x2 = .
a

a

VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận phương trình ax2 + bx + c = 0
Để giải và biện luận phương trình ax2 + bx + c = 0 ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra của
hệ số a:
– Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình bx + c = 0 .
– Nếu a ≠ 0 thì mới xét các trường hợp của ∆ như trên.
Bài tập vận dụng
Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) x2 + 5x + 3m− 1= 0
b) 2x2 + 12x − 15m= 0
c) x2 − 2(m− 1)x + m2 = 0
d) (m+ 1)x2 − 2(m− 1)x + m− 2 = 0
e) (m− 1)x2 + (2 − m)x − 1= 0
f) mx2 − 2(m+ 3)x + m+ 1= 0
Bài 2. Cho biết một nghiệm của phương trình. Tìm nghiệm còn lại:
a) x2 − mx + m+ 1= 0; x = −

3
2

b) 2x2 − 3m2x + m= 0; x = 1
c) (m+ 1)x2 − 2(m− 1)x + m− 2 = 0; x = 2
d) x2 − 2(m− 1)x + m2 − 3m= 0; x = 0


VẤN ĐỀ 2: Dấu các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)
• (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0
∆ ≥ 0
• (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ 

P > 0
∆ ≥ 0

• (1) có hai nghiệm dương ⇔  P > 0
 S > 0
∆ ≥ 0


• (1) có hai nghiệm âm ⇔  P > 0
 S < 0

Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì ∆ > 0.
Bài tập vận dụng
Bài 1. Xác định m để phương trình:
i) có hai nghiệm trái dấu
ii) có hai nghiệm âm phân biệt
iii) có hai nghiệm dương phân biệt
a) x2 + 5x + 3m− 1= 0
b) 2x2 + 12x − 15m= 0
c) x2 − 2(m− 1)x + m2 = 0
d) (m+ 1)x2 − 2(m− 1)x + m− 2 = 0
e) (m− 1)x2 + (2 − m)x − 1= 0
f) mx2 − 2(m+ 3)x + m+ 1= 0
g) x2 − 4x + m+ 1= 0
h) (m+ 1)x2 + 2(m+ 4)x + m+ 1= 0
VẤN ĐỀ 3: Một số bài tập áp dụng định lí Vi–et
1. Biểu thức đối xứng của các nghiệm số
b
a

Ta sử dụng công thức S = x1 + x2 = − ; P = x1x2 =

c
để biểu diễn các biểu thức đối xứng của
a

các nghiệm x1, x2 theo S và P.
x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = S2 − 2P
Ví dụ:
x13 + x23 = (x1 + x2) (x1 + x2)2 − 3x1x2  = S(S2 − 3P )

2. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số
Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm:
b
S = x1 + x2 = − ;
a

P = x1x2 =

c
a

(S, P có chứa tham số m).

Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x1 và x2.
3. Lập phương trình bậc hai
Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng:
trong đó S = u + v, P = uv.
x2 − Sx + P = 0 ,

Bài tập vận dụng
Bài 1. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:
A = x12 + x22 ; B = x13 + x23 ; C = x14 + x24 ; D = x1 − x2 ; E = (2x1 + x2)(2x2 + x1)
a) x2 − x − 5 = 0
b) 2x2 − 3x − 7 = 0
c) 3x2 + 10x + 3 = 0
d) x2 − 2x − 15 = 0
e) 2x2 − 5x + 2 = 0
f) 3x2 + 5x − 2 = 0
Bài 2. Cho phương trình: (m+ 1)x2 − 2(m− 1)x + m− 2 = 0 (*). Xác định m để:
a) (*) có hai nghiệm phân biệt.
b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia.
c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2.
Bài 3. Cho phương trình: x2 − 2(2m+ 1)x + 3+ 4m= 0 (*).
a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2.
b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m.
c) Tính theo m, biểu thức A = x13 + x23 .
d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia.
e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x12, x22 .
2
2
b) x1 + x2 − x1x2 = −1

HD: a) m ≥

c) A = (2+ 4m)(16m2 + 4m− 5)
d) m=

1± 2 7

6

e) x2 − 2(8m2 + 8m− 1)x + (3+ 4m)2 = 0
Bài 4. Cho phương trình: x2 − 2(m− 1)x + m2 − 3m= 0 (*).
a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại.
b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m.
c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x12 + x22 = 8 .
HD: a) m = 3; m = 4
b) (x1 + x2)2 − 2(x1 + x2) − 4x1x2 − 8 = 0
c) m = –1; m = 2.
Bài 5. Cho phương trình: x2 − (m2 − 3m)x + m3 = 0 .
a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia.
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại.
HD: a) m = 0; m = 1
b) x2 = 1; x2 = 5 2 − 7.
Bài 6. (nâng cao) Cho phương trình: 2x2 + 2xsinα = 2x + cos2 α (α là tham số).
a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi α.
b) Tìm α để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN.


IV. NỘI DUNG 4: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Định nghĩa và tính chất

− A

A
• A =

khi A ≥ 0
khi A < 0

• A ≥ 0, ∀A

• A.B = A . B
• A 2 = A2
• A + B = A + B ⇔ A.B ≥ 0
• A − B = A + B ⇔ A.B ≤ 0
• A + B = A − B ⇔ A.B ≤ 0
• A − B = A − B ⇔ A.B ≥ 0
2. Cách giải
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
  f (x) ≥ 0
 g(x) ≥ 0
  f (x) = g(x)


• Dạng 1: f (x) = g(x) ⇔ 
hoặc f (x) = g(x) ⇔   f (x) = g(x)
  f (x) < 0
  f (x) = − g(x)
 − f (x) = g(x)

• Dạng 2: f (x) = g(x) ⇔ [ f (x)] 2 = [ g(x)] 2 hoặc f (x) = g(x) ⇔  f (x) = g(x)
 f (x) = − g(x)
• Dạng 3:

a f (x) + b g(x) = h(x)

Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải
Bài tập vận dụng
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) 2x − 1 = x + 3
b) 4x + 7 = 2x + 5
d)

x2 + 6x + 9 = 2x − 1
g) x − 1 − x + 2x + 3 = 2x + 4

c) x2 − 3 x + 2 = 0

e) x2 − 4x − 5 = 4x − 17
f) 4x − 17 = x2 − 4x − 5
h) x − 1 + x + 2 + x − 3 = 14 i) x − 1 + 2 − x = 2x

Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) 4x + 7 = 4x + 7
b) 2x − 3 = 3− 2x
c) x − 1 + 2x + 1 = 3x
d) x2 − 2x − 3 = x2 + 2x + 3
e) 2x − 5 + 2x2 − 7x + 5 = 0 f) x + 3 + 7− x = 10
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) x2 − 2x + x − 1 − 1= 0
b) x2 − 2x − 5 x − 1 + 7 = 0 c) x2 − 2x − 5 x − 1 − 5 = 0
d) x2 + 4x + 3 x + 2 = 0
e) 4x2 − 4x − 2x − 1 − 1= 0 f) x2 + 6x + x + 3 + 10 = 0
Bài 4. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) mx − 1 = 5

b) mx − x + 1 = x + 2
c) mx + 2x − 1 = x
d) 3x + m = 2x − 2m
e) x + m = x − m+ 2
f) x − m = x + 1
Bài 5. Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất:
mx − 2 = x + 4


V. NỘI DUNG 5: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN BẬC HAI
Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:
– Nâng luỹ thừa hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn thức được xác định.
 f (x) = [ g(x)] 2
Dạng 1:
⇔
f (x) = g(x)

 g(x) ≥ 0
 f (x) = g(x)
f (x) = g(x) ⇔ 
Dạng 2:
 f (x) ≥ 0 (hay g(x) ≥ 0)
t = f (x), t ≥ 0
Dạng 3:
af (x) + b f (x) + c = 0 ⇔  2
at + bt + c = 0
f (x) + g(x) = h(x)

Dạng 4:

• Đặt u = f (x), v = g(x) với u, v ≥ 0.
• Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v.
f (x) + g(x) +

Dạng 5:

f (x).g(x) = h(x)

Đặt t = f (x) + g(x), t ≥ 0 .
Bài tập vận dụng
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) 2x − 3 = x − 3
b) 5x + 10 = 8− x
d)

c) x − 2x − 5 = 4

e)

x2 + 2x + 4 = 2− x

f) 3x2 − 9x + 1 = x − 2

g) 3x2 − 9x + 1 = x − 2
h)
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) x2 − 6x + 9 = 4 x2 − 6x + 6

x2 − 3x − 10 = x − 2

i) (x − 3) x2 + 4 = x2 − 9

x2 + x − 12 = 8− x

c) (x + 4)(x + 1) − 3 x2 + 5x + 2 = 6
e) x2 + x2 + 11 = 31
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) x + 1− x − 1 = 1
c)

x2 + 9 − x2 − 7 = 2

e) 3 1+ x + 3 1− x = 2

b) (x − 3)(8− x) + 26 = − x2 + 11x
d) (x + 5)(2− x) = 3 x2 + 3x
f) x2 − 2x + 8− 4 (4 − x)(x + 2) = 0
b) 3x + 7 − x + 1 = 2
d) 3x2 + 5x + 8 − 3x2 + 5x + 1 = 1
f)

x2 + x − 5 + x2 + 8x − 4 = 5

g) 3 5x + 7 − 3 5x − 13 = 1
h) 3 9− x + 1 + 3 7+ x + 1 = 4
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a) x + 3 + 6 − x = 3+ (x + 3)(6 − x) b) 2x + 3 + x + 1 = 3x + 2 (2x + 3)(x + 1) − 16
c)

x − 1+ 3− x − (x − 1)(3− x) = 1 d)

7− x + 2 + x − (7− x)(2+ x) = 3

e)

x + 1+ 4− x + (x + 1)(4 − x) = 5 f)

3x − 2 + x − 1 = 4x − 9+ 2 3x2 − 5x + 2

g) 1+

2
x − x2 = x + 1− x
3

Bài 5. Giải các phương trình sau:

h)

x + 9− x = − x2 + 9x + 9


a) 2x − 4 + 2 2x − 5 + 2x + 4 + 6 2x − 5 = 14
b)

x + 5− 4 x + 1 + x + 2 − 2 x + 1 = 1

c) 2x − 2 2x − 1 − 2 2x + 3− 4 2x − 1 + 3 2x + 8− 6 2x − 1 = 4

VI. NỘI DUNG 6: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta phải chú ý đến điều kiện xác định của
phương trình (mẫu thức khác 0).
Bài tập vận dụng
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) 1+

2
10
50
=
−
x − 2 x + 3 (2 − x)(x + 3)

c)

2x + 1 x + 1
=
3x + 2 x − 2

e)

2x2 − 5x + 2 2x2 + x + 15
=
x−1
x− 3

b)

x + 1 x − 1 2x + 1

+
=
x+ 2 x− 2 x+ 1
x2 − 3x + 5

= −1
x2 − 4
x+ 3
4x − 2
=
f)
(x + 1)2 (2x − 1)2

d)

Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau:
a)

mx − m+ 1
=3
x+ 2
x+ m x+ 3
d)
=
x−1 x− 2

mx + m− 2
=3
x− m
(m+ 1)x + m− 2

e)
=m
x+ 3

b)

x− m x− 1
+
=2
x−1 x− m
x
x
=
f)
x+ m
x+ 1
c)

VII. NỘI DUNG 7: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG
t = x2, t ≥ 0
4
2
1. Cách giải: ax + bx + c = 0 (1) ⇔  2

at + bt + c = 0 (2)

2. Số nghiệm của phương trình trùng phương
Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng.
(2) vônghiệ
m

m ké
p â
m
• (1) vơ nghiệm ⇔ (2) cónghiệ

m â
m
(2) có2 nghiệ
(2) cónghiệ
m ké
p bằ
ng 0
(2)
có
1
nghiệ
m
bằ
n
g
0, nghiệ
m cò
n lại â
m

(2) cónghiệ
m ké
p dương
• (1) có 2 nghiệm ⇔ 
m dương và1 nghiệ

m â
m
(2) có1 nghiệ
m bằ
ng 0, nghiệ
m cò
n lại dương
• (1) có 3 nghiệm ⇔ (2) có1 nghiệ
m dương phâ
n biệ
t
• (1) có 4 nghiệm ⇔ (2) có2 nghiệ

• (1) có 1 nghiệm ⇔ 

3. Một số dạng khác về phương trình bậc bốn
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = K , vớ
i a+ b = c+ d
• Dạng 1:
– Đặt t = (x + a)(x + b) ⇒ (x + c)(x + d) = t − ab + cd
– PT trở thành:
t2 + (cd − ab)t − K = 0

• Dạng 2:

(x + a)4 + (x + b)4 = K


a+ b
a− b

b− a
⇒ x+ a = t +
, x+ b = t +
2
2
2

a− b
2t4 + 12α 2t2 + 2α 4 − K = 0  vôù
iα=
– PT trở thành:
÷

2 

– Đặt t = x +

• Dạng 3:

ax4 + bx3 + cx2 ± bx + a = 0 (a ≠ 0) (phương trình đối xứng)

– Vì x = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x2 , ta được:


1 
1
+ b x ± ÷+ c = 0
2÷
x
x  


1
1
c t = x − ÷ với t ≥ 2 .
– Đặt t = x +  hoaë
x
x

PT ⇔ a x2 +

– PT (2) trở thành: at2 + bt + c − 2a = 0

(2)

( t ≥ 2) .

Bài tập vận dụng
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) x4 − 3x2 − 4 = 0
b) x4 − 5x2 + 4 = 0
d) 3x4 + 5x2 − 2 = 0
e) x4 + x2 − 30 = 0
Bài 2. Tìm m để phương trình:
i) Vô nghiệm
ii) Có 1 nghiệm
iii) Có 2 nghiệm
iv) Có 3 nghiệm
v) Có 4 nghiệm
a) x4 + (1− 2m)x2 + m2 − 1= 0

c) x4 + 5x2 + 6 = 0
f) x4 + 7x2 − 8 = 0

b) x4 − (3m+ 4)x2 + m2 = 0
c) x4 + 8mx2 − 16m= 0
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) (x − 1)(x − 3)(x + 5)(x + 7) = 297
b) (x + 2)(x − 3)(x + 1)(x + 6) = −36
c) x4 + (x − 1)4 = 97
d) (x + 4)4 + (x + 6)4 = 2
e) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16
f) 6x4 − 35x3 + 62x2 − 35x + 6 = 0
g) x4 + x3 − 4x2 + x + 1= 0

VIII. NỘI DUNG 8: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN


1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
 a1x + b1y = c1
a x + b y = c
 2
2
2

(a12 + b12 ≠ 0, a22 + b22 ≠ 0)

Giải và biện luận:
– Tính các định thức:

D=

Xét D

b1

a2 b2

, Dx =

c1

b1

c2 b2

, Dy =

a1 c1
a2 c2

.

Kết quả

D 
D
Hệ có nghiệm duy nhất  x = x ; y = y ÷

D
D

Hệ vô nghiệm
Hệ có vô số nghiệm

D≠ 0
D=0

a1

Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0
Dx = Dy = 0

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như:
phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.
2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương
trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương
pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bài tập vận dụng
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
5x − 4y = 3

2x + y = 11

3x − y = 1

a) 7x − 9y = 8


b) 5x − 4y = 8


c) 6x − 2y = 5


( 2 + 1) x + y = 2 − 1
d) 
2x − ( 2 − 1) y = 2 2

3
2
 4 x + 3 y = 16
e)  5 3
 x − y = 11
2
5

f) 



3x − y = 1
5x + 2y = 3

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
1 8
 x − y = 18
a)  5 4
 + = 51
 x y
2 x − 6 + 3 y + 1 = 5

5 x − 6 − 4 y + 1 = 1

d) 

 10
1
 x − 1 + y + 2 = 1
b)  25
3

+
=2
 x − 1 y + 2
2 x + y − x − y = 9
3 x + y + 2 x − y = 17

e) 

 27
32
 2x − y + x + 3y = 7
c)  45
48

−
= −1
 2x − y x + 3y
4 x + y + 3 x − y = 8
3 x + y − 5 x − y = 6

f) 

Bài 3: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
 mx + (m− 1)y = m+ 1
2x + my = 2


a) 

 (m+ 4)x − (m+ 2)y = 4

d) (2m− 1)x + (m− 4)y = m




mx + (m− 2)y = 5

b) (m+ 2)x + (m+ 1)y = 2


(m− 1)x + 2y = 3m− 1

c)  (m+ 2)x − y = 1− m


(m+ 1)x − 2y = m− 1
 mx + 2y = m+ 1
f) 2x + my = 2m+ 5
2

2
m x − y = m + 2m



e) 

Bài 4: Trong các hệ phương trình sau hãy:
i) Giải và biện luận.
ii) Tìm m ∈ Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
(m+ 1)x − 2y = m− 1
m2x − y = m2 + 2m


a) 



mx − y = 1

b)  x + 4(m+ 1)y = 4m


Bài 5: Trong các hệ phương trình sau hãy:

 mx + y − 3 = 3

c)  x + my − 2m+ 1= 0


i) Giải và biện luận.
ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m.
 mx + 2y = m+ 1

6mx + (2 − m)y = 3

a) 2x + my = 2m+ 5
b)  (m− 1)x − my = 2


Bài 6: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
 ax + y = b

 y − ax = b

a) 3x + 2y = −5

(a + b)x + (a − b)y = a

d) (2a − b)x + (2a + b)y = b


 mx + (m− 1)y = m+ 1
2x + my = 2


c) 

 ax + y = a + b

b) 2x − 3y = 4


c)  x + 2y = a


2
2

e) ax + by = a + b

f) 

 bx + ay = 2ab

 ax − by = a2 − b
2
 bx − b y = 4b

Bài 7: Giải các hệ phương trình sau:
3x + y − z = 1

a) 2x − y + 2z = 5
 x − 2y − 3z = 0

 x + 3y + 2z = 8

b) 2x + y + z = 6
3x + y + z = 6

 x − 3y + 2z = −7

c) −2x + 4y + 3z = 8
3x + y − z = 5

IX. NỘI DUNG 9: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai
• Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.
• Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
• Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.
2. Hệ đối xứng loại 1
 f (x, y) = 0

(I)  g(x, y) = 0
(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).

(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).
• Đặt S = x + y, P = xy.
• Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.
• Giải hệ (II) ta tìm được S và P.
• Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X2 − SX + P = 0 .
3. Hệ đối xứng loại 2
Hệ có dạng:

 f (x, y) = 0

(1)

(I)  f (y, x) = 0

(2)

(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).
• Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:
Hệ có dạng:

 f (x, y) − f (y, x) = 0
 f (x, y) = 0

(3)
(1)

(I) ⇔ 

• Biến đổi (3) về phương trình tích:

x = y
.
 g(x, y) = 0

(3) ⇔ (x − y).g(x, y) = 0 ⇔ 
• Như vậy,

  f (x, y) = 0
 x = y
(I) ⇔  
.
  f (x, y) = 0
  g(x, y) = 0

• Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).


4. Hệ đẳng cấp bậc hai
Hệ có dạng:

 a x2 + b xy + c y2 = d
1
1
(I)  1 2 1
.
2
 a2x + b2xy + c2y = d2

• Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).
• Khi x ≠ 0, đặt y = kx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình
bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y).
Chú ý: – Ngoài các cách giải thông thường ta còn sử dụng phương pháp hàm số để giải (sẽ
học ở lớp 12).
– Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm (x0; y0) thì (y0; x0) cũng là
nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0 .
Bài tập vận dụng
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
 x2 + 4y2 = 8
 x + 2y = 4

a) 

 x2 − xy = 24
2x − 3y = 1

b) 

(x − y)2 = 49
3x + 4y = 84

c) 

 x2 − 3xy + y2 + 2x + 3y − 6 = 0
3x − 4y + 1= 0
e)  xy = 3(x + y) − 9

2x − y = 3

f)  xy + x + y + 6 = 0


 y + x2 = 4x
2x + y − 5 = 0

i) 

d) 
g) 

2x + 3y = 5
2
2
3x − y + 2y = 4

h) 

2x + 3y = 2

2x − y = 5
2
2
 x + xy + y = 7

Bài 2. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
x+ y = 6
2
2
x + y = m

a) 

x+ y = m
2
2
 x − y + 2x = 2

b) 

3x − 2y = 1
2
2
x + y = m

c) 

Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
 x + xy + y = 11
b)
2
2
 x + y − xy − 2(x + y) = −31

a) 

 x y 13
 + =
d)  y x 6
 x + y = 6

x+ y = 4
 2
2
 x + xy + y = 13

c) 

 x3 + x3y3 + y3 = 17
 x + y + xy = 5

f) 

e) 

 xy + x + y = 5

2
2
x + y + x+ y = 8

 x4 + x2y2 + y4 = 481
2
2
 x + xy + y = 37

Bài 4. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
 x + y + xy = m
2
2
 x + y = 3− 2m

a) 

 x + y = m+ 1
(x + 1)(y + 1) = m+ 5
c)  xy(x + y) = 4m
2
2
2

 x y + xy = 2m − m− 3

b) 

Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
 x2 = 3x + 2y

2
 y = 3y + 2x

 x2 − 2y2 = 2x + y
2
2
 y − 2x = 2y + x

 x3 = 2x + y
3
 y = 2y + x

a) 

b) 

c) 


y
 x − 3y = 4 x
d) 
x
 y − 3x = 4
y



y2 + 2
3y =


x2
e) 
2
3x = x + 2

y2


 2
1
2x = y + y
f) 
2y2 = x + 1

x

Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
 x2 = 3x + my
a)  2
 y = 3y + mx

 x(3− 4y2) = m(3− 4m2)
 xy + x2 = m(y − 1)
b) 
2
2 c) 
2
 y(3− 4x ) = m(3− 4m )
 xy + y = m(x − 1)

Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:
 x2 − 3xy + y2 = −1
2
2
3x − xy + 3y = 13

b) 

3x2 + 5xy − 4y2 = 38
2
2
5x − 9xy − 3y = 15

e) 

a) 

d) 

2x2 − 4xy + y2 = −1
2
2
3x + 2xy + 2y = 7

c) 

 y2 − 3xy = 4
2

2
 x − 4xy + y = 1

 x2 − 2xy + 3y2 = 9
2
2
 x − 4xy + 5y = 5

f) 

3x2 − 8xy + 4y2 = 0
2
2
5x − 7xy − 6y = 0

Bài 8. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
 x2 + mxy + y2 = m
a)  2
2
 x + (m− 1)xy + my = m

 xy − y2 = 12
b)  2
 x − xy = m+ 26

 x2 − 4xy + y2 = m
c)  2
 y − 3xy = 4

X. NỘI DUNG 10: LUYỆN ĐỀ TRẮC NGHIỆM VÀ TỰ LUẬN

PHẦN 1: Tự luận
Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) m2x + 4m− 3 = x + m2
b) (a + b)2 x + 2a2 = 2a(a + b) + (a2 + b2)x
c) a2x + 2ab = b2x + a2 + b2
d) a(ax + b) = 4ax + b2 − 5
Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
2x + m x + m− 1
−
=1
x−1
x
2mx − 1
m+ 1
− 2 x−1 =
c)
x−1
x−1

a)

b)

m2x
− m x = 2m+ 1
x −1

d) x − 1 + 2x − 3 = m

Bài 3. Giải và biện luận các phương trình sau:

a) 2x2 + 12x − 15m= 0
b) x2 − 2(m− 1)x + m2 = 0
b) x2 − mx + m− 1= 0
d) x2 − 2(m− 2)x + m(m− 3) = 0
Bài 4. Tìm m để phương trình có một nghiệm x0. Tính nghiệm còn lại:
a) x2 − mx + m+ 1= 0; x0 = −

3
2

b) 2x2 − 3m2x + m= 0; x0 = 1.

Bài 5. Trong các phương trình sau, tìm m để:
i) PT có hai nghiệm trái dấu
ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt
iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt
iv) PT có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả: x13 + x23 = 0 ; x12 + x22 = 3
a) x2 − 2(m− 2)x + m(m− 3) = 0

b) x2 + 2(m− 1)x + m2 = 0

c) x2 − 2(m+ 1)x + m2 − 2 = 0

d) (m+ 2)x2 − 2(m− 1)x + m− 2 = 0

e) (m+ 1)x2 + 2(m+ 4)x + m+ 1= 0
f) x2 − 4x + m+ 1= 0
Bài 6. Trong các phương trình sau, hãy:
i) Giải và biện luận phương trình.
ii) Khi phương trình có hai nghiệm x1, x2 , tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập với m.

a) x2 + (m− 1)x − m= 0
c) (m+ 2)x2 − 2(m− 1)x + m− 2 = 0
Bài 7. Giải các phương trình sau:
a) x2 + x2 − 6 = 12
c) 16x + 17 = 8x − 23

b) x2 − 2(m− 2)x + m(m− 3) = 0
d) x2 − 2(m+ 1)x + m2 − 2 = 0
b) x2 + x2 + 11 = 31
d)

x2 − 2x − 8 = 3(x − 4)


e) 3x2 − 9x + 1+ x − 2 = 0

f) 51− 2x − x2 = 1− x

g) (x − 3) x2 − 4 = x2 − 9
Bài 8. Giải các phương trình sau:
a) 4 − 3 10− 3x = x − 2

h)

x + 3 + 1= 3x − 1

b)

x − 5 + x + 3 = 2x + 4

c) 3x + 4 − 2x − 1 = x + 3

d)

x2 − 3x + 3 + x2 − 3x + 6 = 3

e)

f) 3x − 3 − 5− x = 2x − 4

x + 2 − 2x − 3 = 3x − 5

g) 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4
Bài 9. Giải các phương trình sau:
a)
c)

4

h)

x +1 −1 = x − x + 8

x+ 2 x− 1 − x− 2 x− 1 = 2

b)

x+ 2 x−1 + x− 2 x−1 =

x − x2 − 1 + x + x2 − 1 = 2

d) x2 − x − x2 − x + 13 = 7

e) x2 + 2 x2 − 3x + 1 = 3x + 4

x+ 3
2

f) 2x2 + 3 2x2 + x + 1 = 9− x

g) x2 − x2 − 2x + 4 = 2x − 2
h) 2x2 + 5 x2 + 3x + 5 = 23− 6x
Bài 10. Trong các hệ phương trình sau:
i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m.
 mx + 2y = m+ 1

 mx + y = 3m

a) 2x + my = 2a − 1


b)  x + my = 2m+ 1


 x − 2y = 4 − m

c) 2x + y = 3m+ 3

Bài 11. Giải các hệ phương trình sau:

 x + xy + y = −1
a)  2
2
 x y + y x = −6
 x3 + y3 = 1
d)  5 5 2 2
 x + y = x + y

2x + y = 5

d) 2y − x = 10m+ 5


 x2 + y2 = 5
b)  4 2 2 4
 x − x y + y = 13
 x2 + y2 + xy = 7
e)  4 4 2 2
 x + y + x y = 21

 x2y + y2x = 30
c)  3 3
 x + y = 35
 x + y + xy = 11
2
2
 x + y + 3(x + y) = 28

f) 

Bài 12. Giải các hệ phương trình sau:

1
(x + y)(1+ xy) = 5

a) 
1
(x2 + y2)(1+
) = 49

x2y2

1 1
 x + y+ x + y = 4

c) 
1 1
 x2 + y2 +
+
=4

x2 y2
2x2y + y2x + 2y + x = 6xy

1 y x
e) 
 xy + xy + x + y = 4


 y(x2 + 1) = 2x(y2 + 1)


1 
b)  2 2 
x
+
y
1
+
= 24


 x2y2 ÷
÷




(

)

 x
y
2
=
 2 + 2
3

d)  x + 1 y + 1
(x + y)(1+ 1 ) = 6


xy

1
 xy + xy = 4
f) 
(x + y)  1+ 1 ÷ = 5

 xy 


Bài 13. Giải các hệ phương trình sau:
 x2 = 3x + 2y
2
 y = 3y + 2x

 x3 = 2x + y
3
 y = 2y + x

a) 

b) 

 2 1
2x = y + y
d) 
2y2 = 1 + x

x


2x + y =

e) 
2y + x =


 x3 = 3x + 8y
3
 y = 3y + 8x

c) 


y2 + 2
3y =

x2
f) 
2
3x = x + 2

y2


3
x2
3
y2

PHẦN 2: Trắc nghiệm
1
4 − 3x
=
là
x +1
x+2

Câu 1: Điều kiện của phương trình x + 2 −
A. x > −2 và x ≠ −1

B. x > −2 và x <

4
3

C. x ≠ −2 và x ≠ −1

D. x > −2 , x ≠ −1 và x ≤

Câu 2: Phương trình 3 ( m + 4 ) x + 1 = 2 x + 2 ( m − 3) có nghiệm duy nhất với giá trị của m là
A. m =

4
3

Câu 3: Phương trình
A. m = 1, m = 3

B. m = −

4
3

C. m ≠

10
3

D. m ≠ −

x+m x−2
+
= 2 vô nghiệm với các giá trị của m là
x +1
x

B. m = −1, m = −3

C. m = 2, m = −2

4
3

10
3

1
2

D. m = , m = −

1
2

Câu 4: Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình hệ quả của
phương trình 2 x 2 − x = 0
A. 2 x −

x
=0
1− x

B. x 2 − 2 x + 1 = 0

D. ( 2 x 2 − x ) + ( x + 5 ) = 0
2

C. 4 x3 − x = 0

Câu 5: Trong các phương trình sau, phương trình vô nghiệm là
A. x5 + x + 2 = 0

B. 2 x + 3 = 1

C. x 4 + x + 2 = 0

D. x 4 + x 3 + x 2 = 0

C. 2 nghiệm

D. vô nghiệm

3 x − 6 y = 5
có
 −2 x + 4 y = −3

Câu 6: Hệ phương trình 
A. vô số nghiệm

B. 1 nghiệm
4 x − 6 y = 3
6 x − 8 y = 15

Câu 7: Hệ phương trình 
 33 21 
; ÷
 2 2

A.  −

 33

có nghiệm là

21 

 33 21 

B.  ; − ÷
2
 2

 33 21 
;− ÷
2
 2

C.  ; ÷
 2 2 

D.  −

C. m = −3

D. m = 2

 mx + y = 2
có vô số nghiệm với giá trị của m là
 4 x + my = 6

Câu 8: Hệ phương trình 
A. m = −2

B. m = 2

 x + 2 y − 3z = 2

Câu 9: Hệ phương trình 2 x + 7 y + z = 5

 −3 x + 3 y − 2 z = −7

 55 1 1 

 55 1

1

có nghiệm là
 55

1

1

A.  ; ; ÷
B.  − ; ; − ÷
C.  ; − ; − ÷
 24 24 8 
 24 24 8 
 24 24 8 
2
Câu 10: Phương trình 2 x + 3 x − 10 = 0 có nghiệm là

 55 1 1 

D.  − ; ; ÷
 24 24 8 

2

A. x =

5
2

B. x = −4

C. cả A và B

D. một đáp án khác

Câu 11: Phương trình x 2 − mx − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt với điều kiện của m là
A. m > 0
B. m < 0
C. m ≠ 0
D. m > −2
2
2
Câu 12: Phương trình x + 4mx + m = 0 có hai nghiệm dương phân biệt với điều kiện của m là
A. m < 0
B. m > 0
C. m ≥ 0
D. m ≠ 0
2
Câu 13: Phương trình x − 2 ( m + 2 ) x + m + 2 = 0 có một nghiệm bằng 2 với điều kiện của m là
A. m = −1

B. −1 < m <

2
3

C. m =

2
3

C. m =

2
3

D. m = −

2
3

D. m = −

2
Câu 14: Phương trình x − 2 ( m + 2 ) x + m + 2 = 0 có nghiệm kép với điều kiện của m là

A. m = −1

B. −1 < m <

2
3

2
3

Câu 15: Số nghiệm của phương trình x 4 − 2005 x 2 + 13 = 0 là
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
2
Câu 16: Phương trình ( m − 1) x + ( m + 1) x + 2m − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt với điều kiện của
m là
A. 0 ≤ m ≤

1
24

B. m <

5
3
hoặc m >
4
2

C. 0 < m <

1
24

D.

11 −2 11
11 +2 11
7
7

7

x
+
y
+
xy
=

2
Câu 17: Nghiệm của hệ phương trình 
là
5
 x 2 y + xy 2 =

2

A. ( 1; 2 ) , ( 2;1)

B. ( 0;1) , ( 1;0 )

C. ( 0; 2 ) , ( 2; 0 )

1

 

1

D.  ; 2 ÷,  2; ÷
2   2

 x 2 = 5 x − 2 y
Câu 18: Các nghiệm khác (0; 0) của hệ phương trình  2
là
 y = 5 y − 2 x

A. ( 3;3) , ( 1; 2 ) , ( 6; −3)

B. ( 2; 2 ) , ( 3;1) , ( −3;6 )

C. ( 1;1) , ( 2; 2 ) , ( 3;3)

D. ( −2; −2 ) , ( 1; −2 ) , ( −6;3)

 x 2 − y 2 = 16
Câu 19: Nghiệm của hệ phương trình 
là
x + y = 8

A. ( −5; −3)

B. ( −5;3)

C. ( 5; −3)

D. ( 5;3)

 y 2 − 3 xy = 4
Câu 20: Nghiệm của hệ phương trình  2
là
2
 x − 4 xy + y = 1

A. ( 1; 4 ) và ( −1; −4 )

B. ( −1; 4 ) và ( 1; −4 )

C. ( 1; 4 ) và ( 1; −4 )

D. ( −1; 4 ) và ( −1; −4 )