chuyên đề phương trình và hệ phương trình Mũ và logarit

Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 1 Email:

Phần A. Kiến thức cơ bản

I. Định nghĩa luỹ thừa và căn
. Với n nguyên d-ơng, căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho b
n
= a.
. Với n nguyên d-ơng lẻ và a là số thực bất kì, chỉ có một căn bậc n của a, kí hiệu là
n
a

. Với n nguyên d-ơng chẵn và a là số thực d-ơng, có đúng hai căn bậc n của a là hai số
đối nhau; căn có giá trị d-ơng kí hiệu là
n
a
, căn có giá trị âm kí hiệu là -
n
a
.
. Số âm không có căn bậc chẵn.
Số mũ


Cơ số a
Luỹ thừa

a

*
Nn


a
R



nthuaso
n
aaaaa




0



0a



a
= a
0
=1

*)( Nnn

0a


n
n
a
aa
1





),(
*
NnZm
n
m



a > 0


n
m
n

m
aaa


),(lim
*
NnQrr
nn



a > 0

n
r
aa lim



II. Tính chất của luỹ thừa
.Giả thiết rằng mỗi biểu thức đ-ợc xét đều có nghĩa.
a
m
.a
n
= a
m+n
;
nm
n

m
a
a
a


; (a
m
)
n
= a
mn
(a.b)
n
= a
n
.b
n
;
n
n
n
b
a
b
a

III. Tính chất của lôgarit
Giả thiết mỗi biểu thức đ-ợc xét đều có nghĩa.
. log
a
1 = 0; log
a
a = 1;
ba
b
a

log
; log
a
a
b
= b.
. log
a
(bc) = log
a
b + log
a
c;
cb
c

b
aaa
logloglog






; log
a
b
n
= nlog
a
b.
.
b
c
c
a
a
b
log
log
log
hay log
a
b.log
b

c=log
a
c.

IV. Hàm số mũ y=a
x
(a>0,a1)




a>1
0<a<1
Chuyªn §Ò PT - HPT - BPT - HBPT mò vµ L«garÝt Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú 2 Email:








V. Hµm sè logarit y = log
a
x (a > 0 vµ a ≠ 1)

a>1
0<a<1
. y

’
>0 víi mäi x
R

. Hµm sè ®ång biÕn trªn R
.


x
x
alim
;
0lim 
x
x
a

. B¶ng biÕn thiªn




. §å thÞ

. y
’
>0 víi mäi x
R

. Hµm sè nghÞch biÕn trªn R
.
0lim 

x
x
a
;

x
x
alim

. B¶ng biÕn thiªn



y=a
x
+


x

-


x
0
-


1
y
1
y
x
0
+


y=a
x
+


x
0
0
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 3 Email:
. y

>0 với mọi

;0x

. Hs đồng biến trên

;0

.





x
x
a
x
a
x
loglim
loglim
0

. Bảng biến thiên


. Đồ thị

. y

<0 với mọi

;0x

. Hs nghịch biến trên

;0

.





x
x
a
x
a
x
loglim
loglim
0

. Bảng biến thiên

. Đồ thị

Phần B. Ph-ơng trình mũ và lôgarit
I. Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình mũ và pt logarit

. Ph-ơng trình mũ cơ bản
a
x
= m (0 < a 1)
. Nếu
0m
thì ph-ơng trình a
x
= m vô nghiệm
. Nếu m > 0 thì ph-ơng trình a
x
= m có một nghiệm duy nhất
Nếu m
mx
a
log
1. Ph-ơng pháp đ-a về cùng cơ số
Ta có tính chất:


aa
;
Các tính chất đó cho phép ta giải một số dạng ph-ơng trình mũ bằng cách đ-a các luỹ thừa

trong ph-ơng trình về luỹ thừa với cùng một cơ số.
Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình (0,75)
2x-3
=
x






5
3
1
1
(1)
Lời giải.
Ph-ơng trình (1)

xx

532
3
4
4
3

532
4
3
4
3














xx

2x-3=x-5

x =-2.
Vậy ph-ơng trình có nghiệm x = -2
Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình 3
x+1
+ 3
x+2
+ 3
x+3
= 9.5
x
+ 5
x+1
+ 5
x+2
(2).
Lời giải:
x
0
+


y=log
a
x
-

+


x
0
+


y=log
a
x
+


-


x
y
0
1
x
y
0
1
Formatted: Indent: Left: 0,25"
Formatted: Indent: Left: 0,01"
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font color: Text 1, Lowered by

14 pt
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 3
pt
Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 3
pt
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 4 Email:
Ph-ơng trình (2)

3
x
.39 = 5
x
.39
1
5
3








x

x = 0.
Vậy ph-ơng trình có nghiệm x = 0.
Bài tập t-ơng tự: 1) 2
x
.3
x-1
.5
x-2
=12; 2) 5
x
+5
x+1
+5
x+3
=3
x
+3
x+3
-3
x+1
.

2. Ph-ơng pháp đặt ẩn phụ
Mục đích của ph-ơng pháp đặt ẩn phụ là chuyển các bài toán đã cho về PT hữu tỉ đã biết
cách giải.
Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình

16738738
tantan

xx
(1)
Lời giải. Điều kiện cosx 0.
Nhận xét

1738738
. Đặt t =

)0(738
tan
t
x
thì ph-ơng trình (1) có dạng
16
1

t
t
0116
2
tt

t =
738
và t =
738
.
. Với t =
738
thì

738738
tan

x


tanx =1


kx
4
(t/mđk).
. Với t =
738
thì



kxx
x

4
1tan738738
tan
(t/mđk).
Vậy ph-ơng trình có hai họ nghiệm


kx

4
và


kx
4
(
Zk
)
Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình 3.49
x
+ 2.14
x
- 4
x
= 0 (4)
Lời giải: Chia cả hai vế của ph-ơng trình cho 4
x
> 0, ta đ-ợc
(4)


.01
2
7
.2
2
7
.3
2

xx
(*)
Đặt
)0(
2
7







tt
x
, ph-ơng trình (*) có dạng 3.t

2
+ 2.t 1 = 0


t = -1(loại) và t = 1/3.
Với t = 1/3 thì
3log
3
1
2
7
2
7







x
x
.
Vậy ph-ơng trình có nghiệm
3log
2
7
x

Ví dụ 3: Tìm nghiệm x < 1 của ph-ơng trình 3

2x-2
+ 3
x-1
(3x - 7) x + 2 = 0
Lời giải.
Đặt t = 3
x-1
(t > 0), ph-ơng trình có dạng 3t
2
+ (3x - 7).t + 2 x = 0.
Coi ph-ơng trình trên là ph-ơng trình ẩn t và tham số x.
Khi đó biệt số
2
)53( x
. Ph-ơng trình có hai nghiệm t = 1/3 và t = -x + 2
Với t = 1/3 thì 3
x-1
= 1/3
11 x


x = 0
Với t = -x + 2 thì 3
x-1
= 2 - x. Ta thấy x < 1 thì 3
x-1
< 1, còn 2 x > 1 suy ra ph-ơng trình vô
nghiệm.
Vậy ph-ơng trình có một nghiệm x = 0.
Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 3

pt
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Numbered + Level: 1 +
Numbering Style: 1, 2, 3, + Start at: 2 +
Alignment: Left + Aligned at: 0,01" + Tab
after: 0,26" + Indent at: 0,26"
Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 3
pt
Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 4
pt
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 3
pt
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 5 Email:
Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình
12.222
56165
22

xxxx

Lời giải. Đặt u =
65

2
2
xx
, v =
2
1
2
x
(u > 0, v > 0). Khi đó u.v = 2
7-5x
= 2.2
6-5x
Ph-ơng trình trở thành u + v = u.v + 1

(u - 1)(v - 1) = 0

u =1 hoặc v = 1.
. Với u =1 thì
65
2
2
xx
=1

x
2
- 5x + 6 = 0

x = 2 hoặc x = 3
. Với v =1 thì

2
1
2
x
=1

1 x
2
= 0

x = 1 hoặc x = -1.
Vậy ph-ơng trình có 4 nghiệm x = -1, x = 1, x = 2, x = 3.
L-u ý: 1. PT có dạng

cbaba
xfxf

)()(
với

1 baba
, ta th-ờng đặt

)(xf
bat
(xem ví dụ 1).
2. PT có dạng

0
)(2

)(
)(2

xf
xf
xf
vcuvbua
, ta th-ờng chia cả hai vế cho v
2.f(x)

Rồi đặt
)(xf
v
u
t







(xem ví dụ 2).
3.Những PT sau khi đặt ẩn phụ cho một biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn
đ-ợc triệt để hoặc biểu diễn quá phức tạp. Khi đó ta th-ờng đ-ợc một ph-ơng trình bậc hai
theo ẩn phụ có biệt số

chính ph-ơng (xem ví dụ 3).
4. Đối với một số bài toán ta lựa chọn ẩn phụ và đ-a về ph-ơng trình tích (xem ví dụ 4)
Bài tập t-ơng tự: 1) 8.3

x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x
; 2)
02)73(33
112


xx
xx
;
3)
2625625.
sinsin

xx
; 4)
1444
7325623
222

xxxxxx

5)
02)73(33
112


xx
xx
; 6)
05
15
1
3
1cos2sin2
8logsincos
1cos2sin2
15

xx
xx
xx


3. Ph-ơng pháp logarit hoá
Ph-ơng pháp lôgarit hoá rất có hiệu lực khi hai vế của ph-ơng trình có dạng tích các luỹ
thừa nhằm chuyển ẩn số khỏi số mũ.
Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình
xx
57
75

Lời giải. Hai vế của ph-ơng trình đều d-ơng, lấy lôgarit cơ số 5 cả hai vế ta đ-ợc ph-ơng
trình 7
x
= 5
x
.log
5
7

7log
5
7

5







x

7loglog
5
5
7
x

Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình
68.3
2

x
x
x

Lời giải. ĐK x - 2.
Lôgarit cả hai vế của ph-ơng trình theo cơ số 3, ta đ-ợc
0
2
2log2
1)1(2log12log

2
3
3
33











x
x
x
x
x



x = 1 hoặc x = 2(1 + log
3
2).
L-u ý: Khi lấy lôgarit hoá hai vế, ta th-ờng lôgarit theo cơ số đã có sẵn trong bài
Bài tập t-ơng tự: 1)
5log
34

55.
x
x
; 2)
9
1
4
)2cossin5(sinlog
2
5,0

xxx
;
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 3
pt
Formatted: Indent: Left: 0"
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 6 Email:
3)
5008.5
1

x
x
x
; 4)
11
1
11
1
2
7log5log
3
2
3





xx
x
xx


4. Ph-ơng pháp hàm số
Các bài toán dạng này th-ờng đ-ợc sử dụng một trong ba tính chất sau( chú ý hàm số f(x)
liên tục trong tập các định)
Tính chất 1: Nếu hàm y = f(x) tăng hoặc giảm trong khoảng (a; b) thì ph-ơng trình f(x) = k
(
Rk

) có không quá một nghiệm trong khoảng (a; b).
Tính chất 2: Nếu hàm y = f(x) tăng trên khoảng (a;b) và y = g(x) là hàm giảm trên (a;b).
Do đó nếu tồn tại

bax ;
0

để f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của ph-ơng trình.
Tính chất 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục, tăng hoặc giảm trên (a;b) thì

vuvfuf )()(
với mọi u,v

(a; b).
Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình 3
x+1
= 3 - x
Lời giải. ĐK x < 3.
Nhận xét:
. Vế trái f(x) = 3
x+1
là hàm đồng biến trên R. Vế phải g(x) = 3 - x là hàm nghịch biến trên R.
. x = 0 là nghiệm duy nhất của ph-ơng trình
Thật vậy: Với x > 0 thì 3
x+1
> 3; 3 x < 3

Với x < 0 thì 3
x+1
< 3; 3 x > 3.
Vậy x = 0 là nghiệm của ph-ơng trình
Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình
x
x
381
2

.
Lời giải. Chia cả hai vế của ph-ơng trình cho 3
x
, ta đ-ợc

1
3
8
3
1

x
x

Nhận xét vế trái f(x) =
x
x















3
8
3

1
là hàm nghịch biến trên R.
x = 2 là nghiệm của ph-ơng trình
Với x > 2 thì
x
x















3
8
3
1
<1
Với x < 2 thì
x
x

3
8
3
1
>1.
Vậy x = 2 là nghiệm của ph-ơng trình
Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình

2
1
122
2


x
xxx

Lời giải. Ph-ơng trình đã cho t-ơng đ-ơng với

)(2)1(2
21
2
xxx
xxx



Đặt u = x - 1; v = x
2
- x.
Ph-ơng trình có dạng 2
u
+ u = 2
v
+ v (2)
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 7 Email:
Xét hàm số f(t) = 2
t

+ t đồng biến và liên tục trên R.
Ph-ơng trình (2)

f(u) = f(v)

u = v

x
2
x = x 1


x
2
- 2x + 1 = 0

x = 1.
Vậy ph-ơng trình có nghiệm x = 1.
Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình
3loglog
2
9log
222
3. xxx
x

(1)
Lời giải. Đk x > 0. áp dụng công thức
ac
bb

ca
loglog

. Khi đó
(1)

xxx
x
222
loglog
2
log.2
33.3
(2).
Đặt t = log
2
x suy ra x = 2
t
.
Khi đó ph-ơng trình (2)

3
2t
= 4
t
.3
t
- 3
t

9
t
+ 3
t
= 12
t
.
Chia cả hai vế cho 12
t
và áp dụng cách giải của ví dụ 2.
Bài tập t-ơng tự: Giải các ph-ơng trình
1) 2
2x-1
+ 3
2x
+ 5
2x+1
= 2
x
+ 3
x+1
+ 5
x+2
; 2)
x
xx
10625625

5. Một số ph-ơng pháp khác
Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình
x
x
2cos2
2


Lời giải. Ta có x
2
0 suy ra
x
x
2cos13
2


Ph-ơng trình đã cho t-ơng đ-ơng với hệ

0
12cos
0
12cos
13
2
2
x
x
x
x
x


Vậy ph-ơng trình có nghiệm x = 0.
L-u ý: Ngoài ph-ơng pháp nhận xét đánh giá nh- trên, ta có thể sử dụng Định lí Rôn: Nếu

hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên khoảng (a;b) thì PT f(x) = 0 có không quá hai nghiệm
thuộc (a;b).
Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình 3
x
+ 5
x
= 6x + 2
Lời giải.
Ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với 3
x
+ 5
x
- 6x 2 = 0.
Xét hàm số f(x) = 3
x
+ 5
x
- 6x - 2, với x

R.
Ta có f

(x) = 3
x
.ln3 + 5
x
.ln5 - 6, f

(x) = 3
x

.ln
2
3 + 5
x
.ln
2
5 > 0 với mọi x

R.
Nh- vậy, hàm số y = f(x) liên tục và có đồ thị lõm trên R nên theo Định lí Rôn ph-ơng trình
có tối đa 2 nghiệm trên R.
Nhận thấy f(0) = f(1) = 0.
Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x = 0, x = 1.
Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình 2003
x
+ 2005
x
= 2.2004
x
Lời giải. Ph-ơng trình đã cho t-ơng đ-ơng với 2003
x
- 2004
x
= 2004
x
- 2005
x
.
Gọi a là một nghiệm của ph-ơng trình, khi đó ta có
2003

a
- 2004
a
= 2004
a
- 2005
a
(2).
Xét hàm số f(t) = t
a
- (t + 1)
a
, với t > 0. Dễ thấy hàm số f(t) liên tục và có đạo hàm trên
khoảng (2003; 2005). Do đó, theo Định lí Lagrange tồn tại c

(2003; 2005) sao cho f

(c) =
0
20032005
)2003()2005(
)(
'



ff
cf

Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1

Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Indent: Left: 0"
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Indent: Left: 0"
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Indent: Left: 0"
Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 2
pt
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Italic, Font color: Text
1
Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1
Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1
Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1
Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1
Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 8 Email:


a[c
a-1
- (c + 1)
a-1
] = 0

1
0
a
a

Thử lại ta thấy x = 0, x =1 đều thoả mãn.
L-u ý: Bài toán trên ta sử dụng Định lí Lagrange: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn
[a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì tồn tại một điểm

bac ;
sao cho
ab
afbf
cf



)()(
)(
'

Bài tập t-ơng tự: 1)
x
x

2cos3
2

; 2) 6
x
+ 2
x
= 5
x
+ 3
x
; 3) 9
x
+3
x
=10x+2;

II. Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình Logarit
Ph-ơng trình logarit cơ bản có dạng log
a
x = m. Với mỗi giá trị tuỳ ý của m, ph-ơng trình có
một nghiệm duy nhất x = a
m
.
1. Ph-ơng pháp đ-a về cùng cơ số
Nếu
0,0

thì

aa
loglog

Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình
2
1
)123(log
2
)3(


xx
x
(1)
Lời giải. Ph-ơng trình (1)







3123
1)3(0
2
xxx
x

313
23
xx
x
(2)
Nếu x 1 thì hệ (2)






34
23
xx
x

3)4(
4
23
2
xx
x
x







0139
2;43
2
xx
xx
. Giải hệ tìm đ-ợc nghiệm
2
299
x

Nếu x < 1 thì hệ (2) t-ơng đ-ơng với

32
23
xx
x










3)2(
2
23
2
xx
x
x

013
2
2
xx
x
. Giải hệ tìm đ-ợc nghiệm
2
53
x
.
Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm
2
299
x
và
2
53
x
.
Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình log
3
[1 + log
3
(2
x
- 7)] = 1 (1)
Lời giải. (1)

1 + log

3
(2
x
- 7) = 3

log
3
(2
x
- 7) = 2


2
x
-7 = 9

2
x
= 16

x = 4.
Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình log
2
x + log
3
x + log
4
x = log
20
x.

Lời giải. Đk: x > 0.
Dùng công thức đổi cơ số, ta đ-ợc
log
2
x + log
2
x.log
3
2 + log
2
x.log
4
2 = log
2
x.log
20
2.
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 9 Email:

(1 +log
3

2 + log
4
2 - log
20
2).log
2
x = 0

log
2
x = 0

x = 1(t/mđk).
L-u ý:1. PT log
f(x)
g(x)=b






b
xfxg
xf
)()(
1)(0
(xem ví dụ 1)
2. Nếu PT có dạng log
a

x + log
b
x + log
c
x + log
d
x = 0, các cơ số a, b, c, d không biểu diễn luỹ
thừa qua nhau. Khi đó ta dùng công thức đổi cơ số để đ-a chúng về cùng một cơ số và áp
dụng các phép toán trên logarit (xem ví dụ 3)
Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình

3
8
2
2
4
4log4log21log xxx

Lời giải. Đk:





1
44
x
x

Với điều kiện trên ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với

)4(log)4(log21log
222
xxx



)16(log4.1log
2
22
xx

2
164.1 xx
(2).
. Nếu x -1 thì (2)

x
2
+ 4x 12 = 0

x = 2 hoặc x = -6.
Kết hợp đk ta đ-ợc x = 2.
. Nếu x < -1 thì (2)

x
2
- 4x 20 = 0
622 x
.

Kết hợp điều kiện ta đ-ợc
622x
.
Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x =2 và
622x
.
L-u ý: Điều kiện của PT ch-a đảm bảo x > 0 thì log
a
x
2
= 2.
x
a
log

Bài tập t-ơng tự: 1)

3log
2
1
log
2
1
65log
3
3
2
2
9

x
x
xx

2)
x
x


)52(log
1
2
; 3) log
3
x + log
4
x = log
12
x
2. Ph-ơng pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình log
2
(2

x
- 1).log
1/2
(2
x+1
- 2) = -2.
Lời giải. Đk: x > 0.
Với đều kiện trên ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với
log
2
(2
x
- 1).[- log
2
2.(2
x
- 1)] = -2


log
2
(2
x
- 1).[- 1 - log
2
(2
x
- 1)] = -2 (1)
Đặt t = log
2

(2
x
- 1).
Ph-ơng trình (1) trở thành t
2
+ t 2 = 0

t = 1 hoặc t = -2.
. Với t = 1 thì log
2
(2
x
- 1) = 1

2
x
1 = 2

2
x
= 3

x = log
2
3(tmđk)
. Với t = -2 thì log
2
(2
x
- 1) = -2

2
x
1 = 1/4

2
x
= 5/4

x = log
2
5/4(tmđk).
Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x = log
2
3 và x = log
2
5/4.
Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình
051loglog
2
3
2
3
xx

Lời giải. Đk:x > 0.
Đặt t =
1log
2
3

x
, t 1.
Ph-ơng trình trở thành t
2
+ t 6 = 0

t = 2 hoặc t = 3 < 0 (loại).
. Với t = 2 thì
1log
2
3
x
=2

log
3
2
x = 3






3log
3log
3
3
x
x

3
3
3
3
x
x
(tmđk).
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 10 Email:
Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm
3
3x
và

3
3

x

Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình log
2x-1
(2x
2
+ x - 1) + log
x+1
(2x - 1)
2
= 4
Lời giải. Ph-ơng trình đã cho viết đ-ợc thành
log
2x-1
(2x - 1).(x + 1) + log
x+1
(2x -1)
2
= 4 (1)
Đk:






0

2
1
1120
110
x
x
x
(*) .
Với điều kiện (*), ph-ơng trình (1)

log
2x-1
(x + 1) + 2log
x+1
(2x - 1) 3 = 0.
Đặt t = log
2x-1
(x + 1), do điều kiện (*) nên t 0.
Ph-ơng trình trở thành
03
2

t
t


t
2
- 3t + 2 = 0

t = 1 hoặc t = 2.
. Với t = 1 thì log
2x-1
(x + 1) = 1

x + 1 = 2x - 1

x = 2 (tmđk).
. Với t = 2 thì log
2x-1
(x + 1) = 2

x + 1 = (2x - 1)
2

4x
2
- 5x = 0

x = 0(loại) hoặcx =
5/4(tmđk).
Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x = 2 và x =5/4.
L-u ý: 1. Trong ph-ơng trình có chứa căn thì cách đặt ẩn phụ cần khéo léo đặt để pt của ẩn
phụ không còn chứa căn. Đối với ví dụ 2 nếu ta đặt t=log
3
x thì pt vẫn chứa căn, nh-ng nếu
đặt t=
1log
2
3

x
,thì PT của ẩn phụ rất đơn giản.
2. Nếu PT có chứa log
a
b và log
b
a thì ta đặt log
a
b=t thì log
b
a =1/t. (xem ví dụ 3).
Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình

2
loglog
122.22
22
xx
xx

(1)
Lời giải. Đk x > 0. Đặt t = log
2
x suy ra x = 2
t
.
Ph-ơng trình (1) trở thành

t
t

t
t
2
2122.222
(2)
Nhận xét:

t
tt
22222
, nên pt (2) t-ơng đ-ơng với



021
22
2
.222
2



t
t
t
t
t

0
22
122
2122
2



















t
t
t
t

0
22
4
1122

t
t
















0
1
22
4
122
t
t
t

Với t = 0 thì x = 1. Vậy ph-ơng trình có nghiệm x = 1.
Ví dụ 5: Giải ph-ơng trình
0log.40log14log

4
3
16
2
2
xxx
xxx
(1)
Lời giải. Đk: x > 0, x 1/4, x 1/16, x 2(*)
Với điều kiện trên ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với

0log.20log.42log.2
416
2
xxx
xxx
(2)
Nhận thấy x =1 luôn là nghiệm của pt.
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 11 Email:
Với 0 < x 1, pt (2)


0

4log
20
16log
42
2
log
2

xx
x
xx
x

Đặt t = log
x
2
,
ph-ơng trình trên trở thành
0
21
20
41
42
1
2

ttt
(3)
Do điều kiện (*) nên pt luôn có nghĩa.
(3)

2t
2
+ 3t 2 = 0

t = 1/2 hoặc t = -2(tmđk)
. Với t = -2 thì log
x
2 = -2

2
1
x

. Với t = 1/2 thì log
x
2 = 1/2

x = 4.
Kết hợp đk ta đ-ợc nghiệm của ph-ơng trình là x = 4, x =
2
1

Bài tập t-ơng tự:
1)
3

4
loglog
3
2
3
2
xx
; 2)
062)1(log)5()1(log
3
2
3
xxxx

3)
4)21236(log)4129(log
2
32
2
73


xxxx
xx

3. Ph-ơng pháp hàm số
Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình log
5
x = log
7

(x + 2)
Lời giải. Đk x > 0. Đặt t = log
5
x = log
7
(x + 2)
Suy ra





t
t
x
x
72
5







tt
t
x
725
5

Xét ph-ơng trình 5
t
+ 2 = 7
t
. Chia cả hai vế của ph-ơng trình cho 7
t
, ta đ-ợc
1
7
1
.2
7
5














tt
.

f(t)=
tt













7
1
.2
7
5
là hàm nghịch biến trên R, t = 1 là nghiệm của ph-ơng trình
Với t > 1 thì f(t) < 1. Với t < 1 thì f(t) > 1.
Vậy t = 1 thì x = 5.
Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình

xxx
2
3
3
log21log3

Lời giải. Đk x > 0. Đặt t =

xxx
2
3
3
log21log3
, suy ra








3
3
2
31
2
t
t
xx
x

)2(32)2(1
)1(2
3
3
tt
t
t
x

chia cả hai vế của (2) cho

t
3
3
ta đ-ợc
1
3
2
3
2
3
1
3
3
33

tt
t
.

Vế trái là hàm nghịch biến và t = 12 là nghiệm.
Với t = 12 thì x = 2
12

Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 12 Email:
L-u ý: 1. Với PT dạng log
a
u = log
b
v, ta th-ờng giải nh- sau:
Đặt t = log
a
u = log
b
v






t
t
bv

au
; sử dụng ph-ơng pháp thế để đ-a về một ph-ơng trình mũ;
tìm t (thông th-ờng PT có nghiệm duy nhất); suy ra x.
2. Đối với ví dụ 2 h/s cần chú ý cách nhẩm nghiệm: Vế trái của PT có chứa căn bậc 3 và căn
bậc 2, vế phải là một số nguyên. Do đó khi tìm nghiệm phải tìm t là bội của 6.
Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình
23
322
1
log
2
2
2
3



xx
xx
xx

Lời giải. Đặt u = x
2
+ x + 1; v = 2x
2
- 2x + 3 (u > 0, v > 0)
suy ra v u = x
2
- 3x + 2.
PT đã cho trở thành

uv
v
u

3
log


log
3
u - log
3
v = v-u

log
3
u + u = log
3
v
+ v (1). Xét hàm số f(t) = log
3
t + t, ta có
0,01
3ln.
1
)(
'
t
t
tf

nên hàm số đồng biến
khi t > 0.
Từ (1) ta có f(u) = f(v), suy ra u = v hay v-u=0, tức là x
2
-3x+2=0.
Ph-ơng trình có nghiệm x = 1,x = 2.
L-u ý: Với ph-ơng trình dạng
uv
v
u
a
log
với u > 0, v > 0 và 1 < a, ta th-ờng biến đổi
log
a
u - log
a
v = v u

log
a
u + u = log
a
v. Vì hàm số
f(t) = log
a
t + t đồng biến khi t > 0, suy ra u = v.
Bài tập t-ơng tự: 1)
xx coslogcotlog2
23

; 2) log
5
x + log
3
x = log
5
3.log
9
225
3)

2loglog
37
xx
; 4)
42
1
532
log
2
2
2



xx
xx
xx

4. Ph-ơng pháp khác
Ví dụ1: Giải ph-ơng trình 6
x
= 1 + 2x + 3log
6
(1 + 5x).
Lời giải. Đk x > -1/5. Đặt a = log
6
(5x + 1), suy ra 5x + 1 = 6
a
. Ta có hệ





1236
156
xa
x
x
a

Trừ vế với vế của hai ph-ơng trình, ta đ-ợc
6
a
- 6
x
= 3x - 3 a

6
a
+ 3a = 6
x
+ 3x (2).
Xét hàm số f(t) = 6
t
+ 3t liên tục và đồng biến với mọi t.
Ph-ơng trình (2) đ-ợc viết d-ới dạng f(a) = f(x)

a = x

log
6
(5x + 1) = x

5x + 1 = 6
x


6
x
- 5x 1 = 0.
Xét hàm g(x) = 6
x
- 5x - 1, với x > -1/5. Ta có g

(x) =6
x
.ln6-5, g

(x)=6
x
.ln
2
6> 0 với mọi x.
Theo định lí Rôn ph-ơng trình có tối đa hai nghiệm trên






;
5
1
x
. Nhận xét rằng g(0) =
g(1) = 0.
Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x = 0, x = 1.
Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình

2354log
23
xx

Lời giải. Đk -5 x 4. Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1

Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1
Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1
Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1
Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1
Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1
Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1
Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1
Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1
Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 13 Email:


154log
23)54).(11(54
23


xx
xxxx
.
Do đó ph-ơng trình có nghiệm khi và chỉ khi
2
1

1
5
1
4




x
xx
.
Vậy x = -1/2 là nghiệm của ph-ơng trình.
Bài tập t-ơng tự:
1) log
2
[3log
2
(3x - 1) - 1] = x; 2) 7
x-1
= 6log
7
(6x - 5) + 1
III. Ph-ơng trình mũ và ph-ơng trình logarit có chứa tham số
Ví dụ 1: Tìm m để ph-ơng trình 4
sinx
+ 2
1+sinx
m = 0 có nghiệm
Lời giải. Đặt t = 2
sinx

,
2
2
1
t

Ph-ơng trình đã cho có dạng t
2
+ 2t m = 0

t
2
+ 2t = m.
Xét f(t) = t
2
+ 2t, f

(t) = 2t + 2 > 0 với mọi






2;
2
1
t
, do đó hàm số đồng biến với

2;
2
1
t

Ph-ơng trình có nghiệm

)()(
2;
2
1
2;
2
1
tfMaxmtfMin

8
4
5
)2()
2
1
( mfmf
.
Vậy ph-ơng trình có nghiệm khi
8
4
5
m

Ví dụ 2: Tìm a để 3/4ph-ơng trình sau có nghiệm
0123).2(9
22
1111


aa
tt
(1)
Lời giải. Đặt x =
2
11
3

t
. Vì
2111
2
t
nên 3 x 9.
Ph ơng trình (1) có dạng x
2
- (a + 2).x + 2a + 1 = 0

)2(12
2
xaxx
2
12
2



x
xx
a
do x

9;3
nên x 2.
Xét f(x) =
2
12
2

x
xx
với x

9;3
,
2
2
'
)2(
34
)(



x
xx
xf
,






3
1
0)(

'
x
x
xf

Ta có bảng biến thiên


Từ bảng biến thiên ta đ-ợc
7
64
4 m

L-u ý: 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b). Khi đó Pt f(x) = m có nghiệm

bax ;

)()(
;;
xfMaxmxfMin
baba


4
7
64

f

(x)

+


x
f(x)
-


1
2
3
9
-
-
+
+
+
0
0
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 3
pt
Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 4
pt
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 14 Email:
2. Với ví dụ 1 chúng ta cô lập đ-ợc tham số m ngay và sử dụng l-u ý 1. Đối với ví dụ 2 số mũ

của tham số a là giống nhau, do đó ta rút a qua x đ-ợc a = f(x). Lập bảng biến thiên của hàm
số y = f(x), từ đó suy ra đáp số.
Đối với ph-ơng trình không cô lập đ-ợc tham số m và không có công cụ Định lí đảo ta sẽ sử
lí ra sao?Chúng ta cùng xem ví dụ 3.
Ví dụ 3: Cho ph-ơng trình
02)4(log)1(2)4(log.
3
2
1
22
2
1
mmxmxm
.
Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 4 < x
1
< x
2
< 6.
Lời giải. Đặt t =
)4(log
2
1
x
, ph-ơng trình có dạng
m.t
2
- 2(m
2
+ 1).t + m

3
+ m + 2 = 0 (1)
Yêu cầu bài toán t-ơng đ-ơng với ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thoả mãn -1 < t
1
< t
2
(*)
C1: m 0, ta có

=(m - 1)
2
ph-ơng trình (1) có hai nghiệm
m
mm
t
2
2
1


và
1
2
mt
. Khi
đó (*)

11
1
2
1;0
2
m
m
mm
mm

10
2
0
1;0
2
0
22
1;0
2
m
m
m
mm
m
m
mm
mm

Vậy 0 < m 1 thoả mãn yêu cầu bài toán
C2: Ta chuyển về bài toán so sánh với số 0.
Đặt X = t + 1 suy ra t = X - 1, ph-ơng trình (1) trở thành
m.X

2
- 2(m
2
+ m + 1).X + m
3
+ 2m
2
+ 2m + 4 = 0 (2)
(*) t-ơng đ-ơng với ph-ơng trình (2) có hai nghiệm d-ơng phân biệt

10
0
422
0
)1(2
0)1(;0
0
0
0;0
23
2
2'
'
m
m
mmm
m
mm
mm
P
S
m

C3:(*)

0
1
0.1
0)1(
1
2
0)1).(1(
0
2

2121
2
21
m
m
tttt
m
S
tt














0
0
2)1(2
1
1
32
m

m
mm
m
m
m

Giải hệ trên ta đ-ợc kết quả 0 < m 1.
L-u ý: Đối với PT trên các luỹ thừa của tham số m không giống nhau nên ta không thể cô
lập đ-ợc tham số. Vì vậy ta có thể có các h-ớng sau:
H-ớng 1: Tính trực tiếp các nghiệm và so sánh nó với 1
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 15 Email:

H-ớng 2: Đặt X = t + 1 và chuyển về bài toán so sánh với số 0.
PT có nghiệm -1< t
1
< t
2
khi và chỉ khi PT ẩn X có hai nghiệm d-ơng phân biệt.
PT có nghiệm t
1
< t
2
< 0 khi và chỉ khi PT ẩn X có hai nghiệm âm phân biệt.
PT có nghiệm t
1
< 0 < t
2
khi và chỉ khi PT ẩn X có hai nghiệm trái dấu
H-ớng 3: Ta sử dụng kết quả

<t
1
<t
2













2
0))((
0
21
S
tt

-



21

tt












2
0))((
0
21
S
tt

0))((
2121


tttt


Ví dụ 4: Cho ph-ơng trình (m - 4).9
x
- 2(m - 2).3

x
+ m 1 = 0 (1)
a) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu
b) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x
1
+ x
2
= 3
Lời giải. Đặt t = 3
x
, (t > 0)
Ph-ơng trình (1) trở thành (m - 4).t
2
- 2(m - 2).t + m 1 = 0 (2)
a) Ph-ơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ph-ơng trình (2) có hai nghiệm
phân biệt thoả mãn 0 < t
1
< 1 < t
2
(*)
C1: Với m 4,
m
'
. Để thoả mãn (*) thì m > 0. Khi đó ph-ơng trình (2) có hai nghiệm
là
2
1
1
4
2

1





m
m
mm
t

và
2
1
1
4
2
2





m
m
mm
t

Ta nhận thấy 0 < t
2

< 1 với mọi m > 0. Vậy để thoả mãn (*) ta cần có t
1
> 1
4021
2
1
1

mm
m

Vậy m > 4 thoả mãn bài
C2: (*) t-ơng đ-ơng với
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 16 Email:

4
41
0
4
1
4
0
4
1
0)(1
4

0.
0)1)(1(
4
2121
21
21
m
mm
m
m
m
m
tttt
m
tt
tt
m

Vậy m>4 thoả mãn bài
C3: Cô lập tham số m
Ph-ong trình (1) t-ơng đ-ơng với m(t
2
- 2t + 1) = 4t
2
- 4t + 1, do t = 1 không phải là nghiệm
nên


2
2

1
12



t
t
m
. Xét hàm số f(t) =


2
2
1
12


t
t
với t > 0.
Ta có
3
'
)1(
24
)(



t

t
tf
, f

(t) = 0 khi t = 1/2. Do đó có bảng biến thiên







Từ bảng biến thiên suy ra m > 4.
b) Ph-ơng trình có hai nghiệm d-ơng phân biệt và thoả mãn t
1
.t
2
= 27
26
107
0
4
)2(2
27
4
1
0

m
m
m
S
m
m
m
.

Ví dụ 5: Tìm a ph-ơng trình sau có nghiệm duy nhất
log
5
(ax) = 2.log
5
(x + 1) (1)

Lời giải. Ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với





2
)1(
01
xax
x






(*)01)2(
1
2
xax
x

Ph-ơng trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ph-ơng trình (*) có đúng một nghiệm lớn
hơn -1.
Ta có
aa 4
2

Nếu

= 0 thì a = 0 hoặc a = 4.
Với a = 0 pt có một nghiệm x = -1(loại).
Với a = 4 pt có một nghiệm x = 1(tm).
Nếu

> 0 thì a < 0 hoặc a > 4. Khi đó pt có hai nghiệm phân biệt
+


1
1/2
t
-


0
f

(t)
f(t)
0
+


1
0
+

4
+
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 17 Email:
x
1
=
2
4
1
2
42
22
aaaaaa



x
2
=
2
4
1
2
42
22
aaaaaa

Nhận xét:
. Nếu a < 0 thì x
2
< -1, do đó để thoả mãn bài thì x
1
> - 1
04
2
aaa

044
2
aaaa
(luôn đúng do a < 0).
. Nếu a > 4 thì x
1
> -1, do đó để thoả mãn bài thì x
2
< -1
04
2
aaa

044
2
aaaa
(vô lí do a > 4)
Vậy a = 4 hoặc a < 0 thoả mãn bài
C2: (*)

a
x
x


2
)1(
, do x = 0 không là nghiệm của pt.
Xét hàm số f(x) =
x
x
2
)1(

Chúng ta có thể giải bằng ph-ơng pháp lập bảng biến thiên.
C3: TH1:
0
'

ta tìm thấy a=4 thoả mãn.
TH2:
0
'

, pt có hai nghiệm phân biệt và để thoả mãn bài ta cần có
21
1 xx
.
Nếu pt có nghiệm x = -1 thì a = 0. Với a = 0 thay vào ta đ-ợc pt x

2
+ 2x +1 = 0 suy ra x = -1
(loại)
Nếu
21
1 xx
012101)(0)1)(1(
212121
axxxxxx


0a
.
Vậy a < 0 hoặc a = 4.
Ví dụ 6: Tìm m ph-ơng trình
mm
xx
2
2009
2008
2
56
2

có 3 nghiệm phân biệt
Lời giải. Đk m < 0 hoặc m > 2.
Lôgarit hoá hai vế theo cơ số
2009
2008
, ta đ-ợc ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với
)2(log56
2
2009
2008
2
mmxx

Xét hàm số g(x) =
56
2
xx
, ta có






51);56(
51;56
)(
2
2

xxx
xxxx
xg

Do đó ta có đồ thị sau
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 18 Email:

Từ đồ thị suy ra ph-ơng trình có 3 nghiệm phân biệt

4
4
4
22
2009
2008
2009
2008
11
2009
2008
11
0
2009
2008
24)2(log
m
m
mmmm
Tmđk
L-u ý: PT dạng a
f(x)

=m, để biện luận nó ta sủa dụng ph-ơng pháp lấy lôgarit hoá hai vế theo
cơ số a và đ-a về Pt đại số.
Ví dụ 7: Tìm m để ph-ơng trình sau có nghiệm

mmxx
mmxxmxx


255
224222
22

Lời giải.
Ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với
)242(5)22(5
2242222
22


mmxxmxx
mmxxmxx
(1)
Xét f(t) = 5
t
+ t, f

(t) = 5
t
.ln5 + 1 > 0 với mọi t. Do đó f(t) là hàm liên tục và đồng biến với
mọi t.

Ph-ơng trình (1)

f(x
2
+ 2mx + 2) = f(2x
2
+ 4mx + m + 2)


x
2
+ 2mx +2 = 2x
2
+ 4mx + m + 2


x
2
+ 2mx + m = 0 (2)
Ph-ơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi pt (2) có nghiệm



= m
2
m > 0

m < 0 hoặc m > 1.
Ví dụ 8: Tìm x để ph-ơng trình sau nghiệm đúng với mọi a

)2(log)13(log
22
222
xx
xaa


(1)
Lời giải.
. Điều kiện cần
Giả sử (1) nghiệm đúng với mọi a suy ra cũng đúng với a = 0.
Với a = 0, ta đ-ợc:
(1)
xxxx 213)2(log)13(log
22

xxx
x
xxxx
x
x
xx
3)3(
0
9)3(23
0
03
33

x
1
5
4
y
0
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 19 Email:

1
1
30
)3()3(
03
0
2
x
x
x
xxx
x
x

Vậy x =1 là điều kiện cần để ph-ơng trình nghiệm đúng với mọi a.
. Điều kiện đủ
Với x =1, ph-ơng trình (1) có dạng

001log1log)12(log)131(log
2222
2222

aaaa
(luôn đúng)
Vậy x = 1 là điều kiện cần và đủ để ph-ơng trình có nghiệm với mọi a
L-u ý: Ngoài các ph-ơng pháp trên, thì đối với các bài toán cần tìm đk của x để bài toán
đúng với mọi tham số
Da
, ta th-ờng sử dụng ph-ơng pháp điều kiện cần và đủ.
Bài tập t-ơng tự: 1) Tìm m để ph-ơng trình
)3(log3loglog
2
4
2
2
1
2
2
xmxx
có
nghiệm


;32x

2) Tìm m để ph-ơng trình sau có nghiệm duy nhất

0)(log)1(log
2
722722

xmxmx

3) Tìm m để ph-ơng trình sau có ít nhất một nghiệm

3
3;1x


0121loglog
2
3
2
3
mxx

4) Tìm x để ph-ơng trình sau có nghiệm đúng với mọi a.


13log65log
2
2
2232
2


xxxaxa
a

Phần C. Bất ph-ơng trình mũ và logarit

I. Một số ph-ơng pháp giải bất ph-ơng trình mũ và lôgarit
Cũng giống nh- ph-ơng trình mũ và PT lôgarit, bất PT mũ và lôgarit cũng có cách giải t-ơng
tự. Chúng ta có l-u ý sau:
. Bất ph-ơng trình mũ
Nếu a >1 thì
)()(
)()(
xgxfaa
xgxf

.
Nếu 0 < a < 1 thì
)()(
)()(
xgxfaa
xgxf

.
. Bất ph-ơng trình lôgarit
Nếu a > 1 thì









)()(0

)()(
0)(
0)(
)(log)(log xgxf
xgxf
xg
xf
xgxf
aa

Nếu 0 < a < 1 thì









0)()(
)()(
0)(
0)(
)(log)(log xgxf
xgxf
xg
xf
xgxf
aa

1. Ph-ơng pháp đ-a về cùng cơ số
Ví dụ 1: Giải bất ph-ơng trình
1
2
3
1
3
2









xx
xx

Lời giải. Đk: x 0 hoặc x 2. Khi đó bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với
1233
2
1
2
2

xxxx
xx
xx
(1)
Nếu x 0 thì
xx 11
, khi đó pt (1)
122
2
xxx
(lđúng vì x 0)
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 20 Email:
Nếu x 2 thì
11 xx
, khi đó pt(1)
12
2
xx


x
2
- 2x 1 0

21
21
x
x

Kết hợp với điều kiện ta đ-ợc
21x
.
Ví dụ 2: Giải bất ph-ơng trình log
x
(5x
2
- 8x + 3) > 2
Lời giải. Bất ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với

2/32/1
1
15/3
2/32/1
10
0384
1
15/3
0384
10

385
1
0385
385
10
2
2
22
2
22
xx
x
xx
x
x
xx
x
xx
xx
x
xxx
x
xx
xxx
x

2
3
5
3
2
1
x
x

L-u ý: Với bất pt dạng log
f(x)
g(x)>a, ta xét hai tr-ờng hợp của cơ số 0<f(x)<1 và 1<f(x).
Ví dụ 3: Giải bất ph-ơng trình

63
3
2
3
loglog

xx
x

Lời giải. Đk x > 0.
Ta sử dụng phép biến đổi

x
x
xx
x
3
3
3
2
3
log
log
loglog
33
. Khi đó bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng
với
36
333
logloglog

xxx
xxx
. Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế, ta đ-ợc:

1log1log.log3log)(log
2
3333
log
3

3
xxxx
x


3
3
1
1log1
3
xx

Vậy ph-ơng trình có nghiệm
3
3
1
x

Ví dụ 4: Giải bất ph-ơng trình
0
1
21
loglog
2
3
1

x
x

Lời giải. Bất ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với











1
1
21
log
0
1
21
log
2
2

x
x
x
x

0
1
01
0
1
1
0
1
2
1
21
1
1
21
x
x
xx
x
x
x
x
x
x

x

Vậy x > 0 là nghiệm của bất ph-ơng trình.
Ví dụ 5: Tìm k để hàm số











1
1
3log
2
2
xx
kxx
y
có tập xác định là mọi x
R

Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 21 Email:
Lời giải. Hàm số có nghĩa
1

1
30
1
1
3
2
2
2
2






xx
kxx
xx
kxx
(1)
Nhận xét x
2
+ x +1 > 0 với mọi x
R
. Do đó (1)
1)1(3
22
kxxxx

04)3(4
02)3(2
)1(31
)1(31
2
2
22
22
xkx
xkx
xxkxx
xxkxx

Yêu cầu bài toán t-ơng đ-ơng với hệ trên có nghiệm với mọi x
R

15
115
17
055664)3(
07616)3(
22
2
22
1
k
k
k
kkk
kkk

Vậy -5 < k < 1 thoả mãn yêu cầu của bài
Bài tập t-ơng tự: 1)

0
4
loglog
2
67,0











x
xx
2)
1)3(log
2
3


x
xx

3)
0250(log4)5(log6)5(log3)5(log
25

25
1
55
2
5
1
xxxx

2. Ph-ơng pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: Giải bất ph-ơng trình
1
23
23.2
2




xx
xx
(1)
Lời giải. ĐK x 0. Chia cả tử và mẫu cho 2
x
, ta đ-ợc
(1)
1
1
2
3
4

2
3
.2
















x
x
(2)
Đặt t =
t

2
3
, 0 < t 1. Khi đó bất ph-ơng trình (2) t-ơng đ-ơng với

3log03
2
3
1310
1
3
01
1
42
2
3













xt
t

t
t
t
x

Vậy bất ph-ơng trình có nghiệm
3log0
2
3
x

Ví dụ 2: Giải bất ph-ơng trình
)(log4
32
log9
8
log)(log
2
2
1
2
2
3
2
2
1
4
2
x
x

x
x

















Lời giải. Điều kiện x > 0.Bất ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với

)(log4
32
log9
8
log)(log
2
2
2
3

2
2
4
2
11
x
x
x
x

)(log4log32log98loglog)(log
2
2
2
22
2
2
3
2
4
2
xxxx



)(log4log2593log3)(log
2
22
2
2
4
2
xxxx

Đặt t = log
2
(x), bất ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với
t
4
- 13t

2
+ 36 < 0





















84
4
1
8
1
3log2
2log3

32
23
94
2
2
2
x
x
x
x
t
t
t

Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 22 Email:
Vậy bất ph-ơng trình có nghiệm

8,4
4
1
,
8
1

Ví dụ 3: Giải bất ph-ơng trình
231523102
55.45


xxxx

Lời giải. Đặt X = 5
x-5
> 0, Y =
23
5
x
> 0, khi đó bất ph-ơng trình có dạng

YX
Y
X
54
2

(1),
Do Y > 0 nên (1)

X
2
- 4XY < 5Y
2

X
2
- 4XY - 5Y
2
< 0

(X + Y)(X - 5Y) < 0

2362315
55505
2315



xxxx
YXYX
xx

Bất ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với hai hệ sau
(I)






62
06
02

x
x
x

(II)




















186
183
6
05421
6

)6()2(9
06
22
x
x
x
xx
x
xx
x

Vậy bất ph-ơng trình có nghiệm là
182 x

Bài tập t-ơng tự: 1)

x
xx
215
4
1
15
; 2)
)3(log53loglog
2
4
2
2
1
2

2
xxx
;
3)
09.93.83
442

xxxx

3. Ph-ơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Ví dụ 1: Giải bất ph-ơng trình

xx
45
log3log

Lời giải. ĐK x > 0.
Đặt t = log
4
x

x = 4
t
, bất ph-ơng trình trở thành log
5
(3+2
t
) > t

3 + 2
t
> 5
t


1
5
2
5
3








t
t

Hàm số
t
t
tf

5
2
5
3
)(
nghịch biến trên R và f(1) = 1.
Bất ph-ơng trình trở f(t) > f(1)

t < 1, ta đ-ợc log
4
x < 1

0 < x < 4.
Ví dụ 2: Giải bất ph-ơng trình
23
322
1
log
2
2
2
3



xx
xx

xx

Lời giải. Đặt u = x
2
+ x + 1; v = 2x
2
- 2x + 3 (u > 0,v > 0) suy ra v-u=x
2
-3x + 2
Bất ph-ơng trình đã cho t-ơng đ-ơng với
uvvuuv
v
u

333
logloglog



log
3
u + u > log
3
v + v (1)
Xét hàm số f(t) = log
3
t + t, có
0,01
3ln
1

)(
'
t
t
tf

Nên h/s đồng biến khi t > 0. Từ (1) ta có f(u) > f(v)

u > v


x
2
+ x + 1 > 2x
2
- 2x + 3

x
2
- 3x + 2 < 0

1 < x < 2.
L-u ý: 1. Với bất ph-ơng trình dạng log
a
u<log
b
v, ta th-ờng giải nh- sau:
Đặt t=log
a
u (hoặc t=log

b
v); đ-a về bất ph-ơng trình mũ và sử dụng chiều biến thiên của hàm
số.
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 23 Email:
2. Với bất ph-ơng trình dạng
vvuuuv
v
u
aaa
logloglog
. Ta xét hàm số f(t)=log
a
t+t
đồng biến khi t>0, suy ra f(u)<f(v)

u<v.
Bài tập t-ơng tự: 1.

xxx
x
64
3
6
loglog
; 2) 2.2
x
+ 3.3
x
> 6

x
- 1.
3) 16
x
- 3
x
< 4
x
+ 9
x
.
4. Ph-ơng pháp vẽ đồ thị
Ví dụ: Giải bất ph-ơng trình
0
132
5
5
log




x
x
x
x

Lời giải. Bất ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với hai hệ
(I)

0132
0
5
5
log
x
x
x
x
và (II)









0132
0
5

5
log
x
x
x
x

Giải hệ (I)
+)
500
5
2
1
5
5
0
5
5
log







x
x
x
x

x
x
x

+) 2
x
< 3x - 1, ta vẽ đồ thị của hai hàm số y = 2
x
và y = 3x - 1 trên cùng một hệ trục toạ
độ.
Khi đó ta đ-ợc nghiệm là 1 < x < 3.
Do đó hệ (I) có nghiệm 1 < x < 3.
Giải hệ (II)
+)

05
50
55
0
5
2
55
1
5
5
00
5
5
log x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x

+) 2

x
> 3x - 1

x < 1 hoặc x > 3
Do đó hệ (II) có nghiệm -5 < x < 0.
Vậy bất ph-ơng trình có nghiệm
)3,1()0,5(

Bài tập t-ơng tự:
0
12
122
1




x
x
x

3. Một số ph-ơng pháp khác
Ví dụ 1: Giải bất ph-ơng trình

8
1
1
log42log
32
x
x

Lời giải. Điều kiện x 2.
Ta có nhận xét sau:
.

242log442
2
xx

VT2.
. x

2

x-11

28
1
1

log98
1
1
1
1
1
11
3
















xxx
x



VP2

Vậy bất ph-ơng trình có nghiệm khi và chỉ khi














2
2
02
2
2
x
x
x
VP
VT

Vậy bất ph-ơng trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 24 Email:
Nh- chúng ta đã biết việc đặt điều kiện để bất ph-ơng trình có nghĩa là cần thiết, vì đó

là b-ớc đầu tiên khi giải bất ph-ơng trình. Từ đ/k đó để loại đi các giá trị không thoả mãn
bất ph-ơng trình đã cho. Đó là ý nghĩa chung của việc đặt điều kiện đối với một bất ph-ơng
trình. Hơn nữa trong nhiều tr-ờng hợp, chính từ b-ớc này cho phép ta đơn giản hoá phép giải
tiếp theo. Sau đây ta xét một số ví dụ.
Ví dụ 2: Giải bất ph-ơng trình log
x
[log
9
(3
x
-9)] < 1
Lời giải. Để log
9
(3
x
-9) có nghĩa, ta cần có 3
x
> 9

3
x
> 9

x > 2.
Với điều kiện trên bất ph-ơng trình đã cho t-ơng đ-ơng với

xx
x
xx
x
x
993
193
)93(log
0)93(log
2
9
9

Đặt 3
x
= t, (t > 0), ta có hệ

10log1030
09
10
3
2
xt
tt
t
x

Ví dụ 3: Giải bất ph-ơng trình

2
2
2
2
432
655log)(log65 xxxxxxxxxx
(1)
Lời giải: Đ/k:






30
06

0
2
x
xx
x
.
Bất ph-ơng trình đã cho t-ơng đ-ơng với



016)5log(
2
2
xxxxx

Do
532log3log3log3
222
xxx
. Vậy khi
30 x
thì xlog
2
x-5<0, do đó
(1)

3
2
5
0532
30
016
30
22
x
xx
x
xxx
x
.
Vậy nghiệm
3
2
5
x

Ví dụ 4: Giải bất ph-ơng trình
2122
22.2).(4284 xxxxxx

xx



Lời giải. Đk
22 x
(1)
Bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với



02212.4
2
xxx
x
(2).
Từ (1) ta có
42.22.22.2
2
3
2

x
xx
. Do đó (2) t-ơng đ-ơng với

xx
xx
x
122
0221
22
2
2
(3)
(3) t-ơng đ-ơng với hai hệ sau
(I)






21
01
02
2
x
x
x

(II)

0725
1
1)2(4
01
2
2
2
xx
x
xx
x








11

5
7
1
1
x
x
x

Vậy tập nghiệm của bất ph-ơng trình là

2;1x

Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 25 Email:
Ví dụ 5: Giải bất ph-ơng trình
)23(log
1
)1(log
1
22
xx



Lời giải. Đk

1;0
2
3
1
2
3
1
01
1230
110
x
x

x
x
x
x

. log
2
(x + 1) > 0

x + 1 > 1

x > 0
. log
2
(3 - 2x) > 0

3 - 2x > 1

x < 1
Ta có bảng xét dấu

Từ đó ta có các tr-ờng hợp sau
TH1: Với -1 < x < 0 thì VT < 0, VP > 0 suy ra bất ph-ơng trình vô nghiệm
TH2: Với 0 < x < 1 thì VT > 0, VP > 0. Khi đó bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với
log
2
(x + 1) < log
2
(3 - 2x)

3 - 2x > x + 1

0 < x < 1.
TH3: Với 1 < x < 3/2 thì VT > 0, VP < 0, bất ph-ơng trình có nghiệm với mọi 1 < x < 3/2.
Vậy tập nghiệm của bất ph-ơng trình là

1\
2
3
0






x
.
L-u ý: Với bất ph-ơng trình dạng
vu
ba
log
1
log
1

, ta th-ờng giải nh- sau:
+)Lập bảng xét dấu của log
a
u và log

b
v trong tập xác định của bất ph-ơng trình.
+)trong tập xác định đó nếu log
a
u và log
b
v cùng dấu thì bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với
log
a
u<log
b
v.
Ví dụ 6: Trong các nghiệm (x; y) của bất ph-ơng trình
1)2(log
22
2


yx
yx
, chỉ ra các nghiệm
có tổng 2x + y lớn nhất.
Lời giải.
Bất ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với hai hệ sau
(I)

02
22
120
22
22
yx
yxyx
yx
và (II)





22
22
22
12
yxyx
yx

Rõ ràng nếu (x; y) là nghiệm của bất ph-ơng trình thì tổng 2x +y lớn nhất chỉ xảy ra khi nó là
nghiệm của hệ (II).
(II)

8
9
22
1
2)1(
12
2
2
22
yx
yx

Ta có
4
9
22
1
2

2
1
)1(22






yxyx

log
2
(3-2x)
x
-1
0
1
-
+
+
+
+
-
2
3

log
2
(x+1)