SKKN Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toán

PHẦN I. MỞ ĐẦU
I.

lý do chọn đề tài.

Trong các kỳ thi HSG toán 9, thi tuyển sinh vào lớp 10, vào các trường chuyên, lớp
chọn ta thường gặp các dạng toán mà học sinh có thể vận dụng „Điều kiện có nghiệm
của phương trình bậc hai” để giải quyết một cách nhanh chóng, tránh gặp các sai sót một
cách đáng tiếc có thể xẩy ra.
Vì lẻ đó, là một giáo viên được giao nhiệm vụ bồi dưỡng và giảng dạy môn Toán 9, lớp
mà các em sắp bước vào nhiều kì thi quan trọng – tôi đã học hỏi và tích lũy được nhiều
điều và phân dạng để xây dựng phương pháp giải cho từng dạng.
Với những lý do trên đây, trong sáng kiến này tôi đưa ra "Sử dụng điều kiện có
nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toán”.
II. Phạm vi nghiên cứu.
1. Phạm vi của đề tài.
Môn Đại sổ 9
2. Đối tượng
Học sinh lớp chọn 9D trường THCS Cẩm Nhượng năm học 2015 – 2016.
3. Mục đích:
a) Kiến thức:
1. Tìm cực trị của một biểu thức.
2. Giải phương trình nghiệm nguyên.
3. Chứng minh bất đẳng thức.
b) Kỹ năng:
Học sinh có kỹ năng vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai
để tìm GTNN, GTLN của một biểu thức, giải phương trình nghiệm nguyên,
chứng minh bất đẳng thức.
PHẦN II. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
A. NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận của đề tài:

2
* Phương trình ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )

⇔ ax 2 + bx = −c
1


⇔ x2 +

b
c
x=−
a
a
2

2

b  b   b  c
⇔ x + 2.x. +  ÷ =  ÷ −
2a  2 a   2 a  a
2

2

b  b 2 − 4ac

⇔x+
÷ =
2a 

4a 2

Người ta ký hiệu: ∆ = b 2 − 4ac .
2
- Nếu ∆ > 0 thì phương trình ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có 2 nghiệm phân biệt:

x1 =

−b + ∆
;
2a

−b − ∆
2a

x2 =

2
- Nếu ∆ = 0 thì phương trình ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có nghiệm kép:

x1 = x2 = −

b
2a

2
- Nếu ∆ < 0 thì phương trình ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) vô nghiệm

2
* Phương trình ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) , đặt b=2b’

2
2
2
Thì: ∆ = b − 4ac = ( 2b ') − 4ac = 4b ' − 4ac = 4 ( b ' − ac )
2

Ký hiệu: ∆ ' = b '2 − ac , ta có: ∆ = 4∆ '
- Nếu ∆ ' > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
x1 =

−b '+ ∆ '
;
a

x2 =

−b '− ∆ '
a

- Nếu ∆ ' = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = −

b'
a

- Nếu ∆ ' < 0 thì phương trình vô nghiệm
Vậy: Đối với phương trình

ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )

có nghiệm khi và chỉ khi

∆≥0

hoặc

∆' ≥ 0

II. Nội dung và phương pháp nghiên cứu.
Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đưa ra một số bài tập sau:
2


Dạng 1: Tìm cực trị của một biểu thức
I. Biểu thức có dạng là phân thức :
Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
4x + 3
a, A = 2
x +1

2x2 − 2x + 9
b, B = 2
x + 2x + 5

Giải:
a) A =

4x + 3
x2 + 1

Ta có x2+1 ≠ 0 với ∀x ∈ R , nên A =

4x + 3
x2 + 1
⇔ A(x2+1)=4x+3

⇔ Ax2 + A = 4x+3
⇔ Ax2 - 4x +A – 3 = 0 (2)
- Nếu A=0 thì phương trình (2) ⇒ - 4x – 3 = 0
⇔ x=

−3
4

A=0 ⇔ x=

−3
(*)
4

- Nếu A ≠ 0, thì phương trình bậc hai ẩn x: Ax2 - 4x +A – 3 = 0 (2)
Có nghiệm khi và chỉ khi: ∆ ' ≥ 0
⇔ (-2)2-A(A-3) ≥ 0
⇔ 4-A2+3A ≥ 0
⇔ (4-A)(A+1) ≥ 0
 4 − A ≥ 0
 A ≤ 4


A
+

1
≥
0

 A ≥ −1
⇔
⇔
⇔ −1 ≤ A ≤ 4
 4 − A < 0
 A > 4


(VN )
A
+
1
<
0
 
  A < −1
*Max A=4, Thay vào (2) ta có: 4x2 – 4x + 1 = 0 ⇔ x =

1
2

*Min A=1, Thay vào (2) ta có: –x2 - 4x – 4=0 ⇔ x= - 2
Đối chiếu với (*) ta có: Max A=4 ⇔ x =

1
2

3


Min A= -1 ⇔ x= - 2
2x2 − 2x + 9
b, B = 2
x + 2x + 5
Ta có: x2 +2x+5=(x+1)2+4 ≠ 0, ∀x ∈ R
2x2 − 2x + 9
⇔ B(x2 + 2x + 5) = 2x2 - 2x + 9
Nên B = 2
x + 2x + 5
⇔ (B-2)x2+2(B+1)x+5B-9 = 0 (3)
Nếu B=2 thì phương trình (3) ⇒ 6x+1=0
⇔ x=

−1
6

Nếu B ≠ 2 thì phương trình bậc hai ẩn x: (B-2)x2+2(B+1)x+5B-9 = 0
có nghiệm khi và chỉ khi: ∆ ' ≥ 0
⇔ (B+1)2-(B-2)(5B-9) ≥ 0
⇔ B2+2B+1-5B2+9B+10B-18 ≥ 0
⇔ -4B2+21B-17 ≥ 0
⇔ 4B2-21B+17 ≤ 0
⇔ (B-1)(4B-17) ≤ 0
 B ≥ 1

 B − 1 ≥ 0
  B ≤ 17


17
 
4 B − 17 ≤ 0
4
⇔
⇔
⇔1≤ B ≤
 B − 1 < 0
4
  B < 1


17 (VN )
 4 B − 17 > 0
B
>

4

Vậy: Max B=

17
−7
⇔x=
4
3

Min B=1 ⇔ x=2
Bài toán 2: Tìm a,b để biểu thức M =

ax + b
1
; (4) đạt giá trị nhỏ nhất bằng − , đạt giá
2
2
x +2

trị lớn nhất bằng 1.
Giải:
Ta có: x 2 + 2 ≠ 0 , với ∀x ∈ R ;
4


Nên (4) ⇔ M(x2+2) = ax+b
⇔ Mx2-ax+2M-b=0 (*)

-

a = b = 0
Nếu M=0 thì (*) ⇔ ax+b=0 ⇔ 
−b
a ≠ 0, x =
a


- Nếu M ≠ 0 thì phương trình (*) ẩn x có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0
⇔ (-a)2- 4M(2M-b) ≥ 0
⇔ a2-8M2+4bM ≥ 0
1

2

1
2

Để M đạt giá trị nhỏ nhất bằng − , đạt giá trị lớn nhất bằng 1, thì − , 1 là nghiệm của
phương trình bậc hai: -8M2+4bM+a2=0 (ẩn M)
Vì phương trình: -8M2+4bM+a2=0 (ẩn M) có hệ số a,c trái dấu nên luôn có nghiệm, theo
hệ thức viet ta có:
 a = −2
−4b
 1
 1 2 b
−
+
1
=

−
+
=
 2
b = 1
 2 2 2
b = 1
−8
⇔
⇔
⇔


2
2
 a = 2
a = ±2
 − 1 .1 = a
1 = a

 2 8
−8
 2
 b = 1

Vậy: Để biểu thức M =

ax + b
1
; (4) đạt giá trị nhỏ nhất bằng − , đạt giá trị lớn nhất
2
x +2
2

a = −2
a = 2
hoặc 
b = 1
b = 1

bằng 1 thì: 

Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x 2 + xy + y 2
A=
với x ≠ 0 ;
x2 + y 2

- Xét y=0 ⇒ A=1(*)
2

-

x 2 xy y 2  x  x
+
+
 ÷ + +1
y2 y2 y2  y  y
=
Xét y ≠ 0 ta có A =
2
x2 y2
x
+
 y ÷ +1
y2 y2
 
x

t2 + t +1

Đặt y = t , ta có: A = 2
, ta có: t2+1 ≠ 0

t +1
t2 + t +1
⇔ At2+A=t2+t+1
Nên : A = 2
t +1

5


(A-1)t2-t+A-1=0

- Nu A=1 thỡ t=0 (**)
- Nu A 1, thỡ phng trỡnh bc hai: (A-1)t2-t+A-1=0 (n t) cú nghim:
1-4(A-1)(A-1) 0
4A2-8A+3 0
(2A-1)(2A-3) 0


1
A < 2
(VN )

2 A 1 < 0
3

A >

2
A

3
>
0




2


2 A 1 0
A 1


2 1 A 3
2 A 3 0

3
2
2
A
2

1
3
A (***)
2
2
T (*),(**) v (***) ta cú: Max A=
MinA=

3
x=y
2

1
x=-y
2

Bi tp t luyn.
Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc:
x2 x + 1
a) A = 2
x + x +1

2x2 + 4 x + 5
b) B =
x2 + 1

c) C =

x 2 xy + y 2
x 2 + xy + y 2

II. Biu thc l mt a thc hai bin :
Bi toỏn 1. ( Đề thi TS lớp 10- Tỉnh Hà tĩnh- năm học 2010 - 2011)
Tìm x để y lớn nhất thõa mãn: x2 + 2y2 + 2xy - 8x - 6y +13 = 0
(1)
Gii
(1) x2 + 2(y 4).x + 2y2 - 6y +13 = 0

' =( y 4)2 - 2y2 + 6y -13
' =- y2 -2 y +3
Phng trỡnh bc hai n x, cú nghim
6


⇔ ∆ ' ≥ 0 ⇔ -y2 - 2y +3 ≥ 0
⇔ y2 + 2y -3 ≤ 0
⇔ ( y – 1)(y + 3) ≤ 0

 y − 1 ≤ 0
 y ≤ 1
⇔ −3 ≤ y ≤ 1


y
+
3
≥
0
y
≥
−
3


⇔
⇔
 y − 1 ≥ 0
 y ≥ 1



(VN )
  y + 3 ≤ 0
  y ≤ −3
Vậy Max(y) = 1 ⇔ x = -3
Bài toán 2.( §Ò thi TS líp 10- §HQG Hµ néi - n¨m häc 04 - 05)
T×m c¨p sè ( x; y) sao cho y nhá nhÊt tháa m·n: x 2 + 5y2 +2y - 4xy -3
= 0(2)
Giải
(2) ⇔ x2 - 4xy+ 5y2 +2y -3 = 0
Phương trình bậc hai ẩn x, có nghiệm
⇔ ∆ ' ≥ 0 ⇔ 4y2 - 5y2 -2y +3 ≥ 0
⇔ -y2 -2y +3 ≥ 0
⇔ ( y – 1)(y + 3) ≤ 0
⇔ -3 ≤ y ≤ 1

Vậy: ( x; y) = ( 6; -3)
Bài toán 3: (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10- Hà Tĩnh năm học 2010-2011)
Tìm x để y lớn nhất thỏa mãn: x2+2y2+2xy-8x-6y+13=0 (3)
Giải:
x2+2y2+2xy-8x-6y+13=0
⇔ x2+2(y-4)x+2y2-6y+13=0; (Phương trình bậc hai ẩn x), có nghiệm:
2
2
⇔ ∆ ' ≥ 0 ⇔ (y-4) -(2y -6y+13) ≥ 0

⇔ y2-8y+16-2y2+6y-13 ≥ 0
⇔ -y2-2y+3 ≥ 0

7


 y − 1 ≤ 0
 y ≤ 1
⇔ −3 ≤ y ≤ 1


y
+
3
≥
0
y
≥
−
3


⇔ y2+2y-3 ≤ 0 ⇔ (y-1)(y+3) ≤ 0 ⇔ 
⇔
 y − 1 > 0
 y ≥ 1


(VN )
  y + 3 < 0
  y ≤ −3
Nên y có giá trị lớn nhất là 1, thay y=1 vào phương trình (5) ta có:
x2+2+2x-8x-6+13=0 ⇔ x2-6x+9=0

⇔ (x-3)2=0
⇔ x-3=0
⇔ x=3

Vậy x=3 thì y đạt giá trị lớn nhất bằng 1
Bài toán 4: (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10- ĐHQG Hà Nội- Năm học 2004-2005):
Tìm cặp số (x;y) sao cho y nhỏ nhất thỏa mãn:
x2+5y2+2y-4xy-3=0; (4)
Giải:
Ta có: x2+5y2+2y-4xy-3=0
⇔ x2-4yx +5y2+2y-3=0 (Phương trình bậc hai ẩn x) có nghiệm:
2
2
⇔ ∆ ' ≥ 0 ⇔ (-2y) -(5y +2y-3) ≥ 0

⇔ 4y2-5y2-2y+3 ≥ 0
⇔ -y2-2y+3 ≥ 0

 y − 1 ≤ 0
 y ≤ 1
⇔ −3 ≤ y ≤ 1


y
+
3
≥
0
y
≥

−
3


⇔ y2+2y-3 ≤ 0 ⇔ (y-1)(y+3) ≤ 0 ⇔ 
⇔
 y − 1 > 0
 y ≥ 1


(VN )
  y + 3 < 0
  y ≤ −3
Nên y có giá trị nhỏ nhất bằng -3, thay y=-3 vào phương trình (4) ta có:
x2+5(-3)2+2(-3)-4x(-3)-3=0
⇔ x2+12x+36=0
⇔ (x+6)2=0
⇔ x=-6

Vậy: (x;y)=(-6;-3)
Bài toán 5: Tìm m để phương trình ẩn x sau
8


x4+2x2+2mx+m2+2m+1=0 (5) có nghiệm là lớn nhất, nhỏ nhất:
Giả sử x0 là nghiệm của phương trình đã cho, phương trình ẩn m sau có nghiệm:
m2+2(x0+1)m+ x 04 +2 x02 +1=0 khi ∆ ' ≥ 0
⇔ (x0+1)2 - ( x 04 +2 x02 +1) ≥ 0
⇔ (x0+1)2 - ( x02 +1)2 ≥ 0
⇔ ( x0+1+ x02 +1) ( x0+1- x02 -1) ≥ 0

⇔ ( x02 +x0+2) ( x0- x02 ) ≥ 0
1
2

7
4

Vì x02 +x0+2= (x0+ )2+ >0
Nên ( x02 +x0+2) ( x0- x02 ) ≥ 0 khi: ( x0- x02 ) ≥ 0
⇔ x0(1- x0) ≥ 0
  x0 ≥ 0

1 − x0 ≥ 0
⇔ 
⇔ 0 ≤ x0 ≤ 1
 x0 < 0

 1 − x0 < 0

Dấu “=” xảy ra khi x0=0; x0=1 thay vào (5) ta có:
Khi x0=0 thì m2+2m+1=0 ⇔ m= -1
Khi x0=1 thì : m2+4m+4 = 0 ⇔ m= - 2
Vậy: Để phương trình ẩn x: x4+2x2+2mx+m2+2m+1=0 có nghiệm là lớn nhất x0=1 thì
m= - 2, có nghiệm nhỏ nhất x0=0 thì m= -1.
Bài toán 6: Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn: x − 1 y 2 + x − 1 = y ; (6) sao cho x đạt giá trị lớn
nhất.
Giải:
- Nếu x=1 thì y=0.
- Nếu x>1, Xem phương trình (6) là phương trình bậc 2 ẩn y
Phương trình (6) ⇔ x − 1y 2 − y + x − 1 = 0 có nghiệm:

⇔ ∆≥0

( −1)

2

− 4 x −1 x −1 ≥ 0

⇔ 1- 4(x-1) ≥ 0 (vì x>1)
⇔ 1-4x+4 ≥ 0

9


⇔ x≤

5
4

Suy ra x có giá trị lớn nhất là

5
.
4

5
4

Thay x = vào (6) ta có:
5

5
− 1y 2 +
−1 = y
4
4
1
1
⇔ y2 + − y = 0
2
2
2
⇔ y − 2 y +1 = 0
⇔ ( y − 1) = 0
2

⇔ y =1

Vậy: Cặp số (x;y) thỏa mãn:
5 
x − 1 y 2 + x − 1 = y ; Sao cho x đạt giá trị lớn nhất là (x;y)=  ;1÷ .
4 

Bài toán 7: Cho các số thực thõa mãn: 9x2+y2=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M= x − y .
Giải
Đặt: A=x-y, Suy ra: y=x-A
9x2+y2=1
⇔ 9x2+(x-A)2-1=0
⇔ 10x2-2Ax+A2-1=0 ( phương trình bậc 2 ẩn x) có nghiệm:
⇔ ∆'≥ 0

⇔ A2-10(A2-1) ≥ 0
⇔ -9A2+10 ≥ 0
⇔ A2 ≤

10
9

⇔ A ≤ 10
3
10
Hay: M= x − y ≤
.
3

Hay giá trị lớn nhất của M là

10
3

10


Bi toỏn 8: (Trớch thi tuyn sinh vo lp 10- Nm hc 2008-2009- H Tnh)
Cho cỏc s x,y tha món: x2+2y2+2xy+8(x+y)+7=0 ; (8)
Tỡm Min, Max ca S=x+y
Gii:
T: S=x+y, Suy ra : y=S-x, thay vo (8) ta cú:
x2+2(S-x)2+2x(S-x)+8(x+S-x)+7=0
x2+2(S2-2Sx+x2)+2xS-2x2+8S+7=0
x2+2S2-4Sx+2x2+2xS-2x2+8S+7=0

x2-2Sx +2S2+8S+7=0 ( Phng trỡnh bc hai n x), cú nghim
2
2
' 0 (-S) -(2S +8S+7) 0

S2-2S2-8S-7 0
S2+8S+7 0
(S+1)(S+7) 0

S + 1 0
S 1
7 S 1



S
+
7

0
S


7




S + 1 0
S 1

(VN )
S + 7 0
S 7
Hay: 7 x + y 1 .
x = 1
Vy: Max S=-1
y = 0
x = 7
Min S=-7
y = 0
Bài tập tự luyện:
1) Tìm Max P = -x2 y2 + xy + 2x + 2y + 5
2) Tìm min P = 2x2 + 4y2 + 4xy + 2x + 4y + 9
3) Tìm cặp số (x;y) sao cho y nhỏ nhất thỏa mãn: x 2 + 5y2 4xy +
2y 3 = 0
4) Cho các số thực (x;y) thỏa mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 6x + 8y + 4 = 0
Tìm min, Max của S = x + y +2010
5) Cho x + y + z =3. Tìm Max D = xy + 2yz + 3xz
6) Cho các số thực (x;y; z) thỏa mãn: x + y +2z = 3.
11


Tìm min P = 2x2 + 2y2 z2
7) Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn: x+y+z = 1.
Tìm Max P = ( x+2y+3z)(6x+3y+2z)

Dng 2: Gii phng trỡnh nghim nguyờn:
Bi toỏn 1: Tìm nghiệm nguyên của đa thức:

5x2 + 5y2 + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0 (1)
Gii
(1) 5x2 + 2( 4y 1)x + 5y2 + 2y + 2 = 0 ( pt bậc 2 ẩn x)
' =16y2 8y +1- 25y2 -10y -10

= - 9y2 -18y - 9 = - 9( y + 1)2 0

(1) cú nghim ' = 0 y =- 1. T ú suy ra x = 1.
Thử lại ta có (x;y) = ( 1;-1).
Bi toỏn 2 ( Đề TS 10 Chuyên tỉnh Hà tĩnh 07- 08)
Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: x2-xy+y2=2x-3y-2
Gii:
x2-xy+y2=2x-3y-2
x2-(y+2)x+y2+3y+2=0 (Phng trỡnh bc hai n x, y l tham s) cú nghim:

(

)

0 ( y + 2) 4 y 2 + 3 y + 2 0


2

y2+4y+4-4y2-12y-8 0
-3y2-8y-4 0
3y2+8y+4 0

y < 2

y + 2 < 0
y > 2

2

3
3 y + 2 > 0
(y+2)(3y+2) 0

2 y
y + 2 0
3
y 2


2
3 y + 2 0
y 3

Vỡ y Z nờn: 2 y 1 :
- Vi y=-2, thay y=-2 vo phng trỡnh x2-xy+y2=2x-3y-2 ta c:
x2+2x+4=2x+6-2
x2=0 x=0. ta cú: (x;y)=(0;-2)

- Vi y=-1, thay y=-1 vo phng trỡnh x2-xy+y2=2x-3y-2 ta c:
x2+x+1=2x+3-2
12


⇔ x2-x=0

⇔ x(x-1)=0
⇔ x=0 hoặc x=1. ta có: (x;y)=(0 ;-1)

(x;y)=(1;-1)
Vậy: Phương trình có 3 nghiệm nguyên là: (x;y)=(0;-2)
(x;y)=(0 ;-1)
(x;y)=(1;-1)
Bài toán 3: T×m cÆp sè (x, y ) nguyªn tháa m·n: 3x2 + 4y2 + 6x +4 y 5 = 0 (3)
Giải
(3) ⇔ 3x2 + 6x + 4y2 +4 y - 5 = 0
Phương trình bậc hai ẩn x, có nghiệm
⇔ ∆ ' ≥ 0 ⇔ 9 – 3(4y2 + 4y – 5) ≥ 0
⇔ -y2 - y + 2 ≥ 0
⇔ ( y – 1)(y + 2) ≤ 0
⇔ -2 ≤ y ≤ 1

Vì y∈ Z, nên y = ( -2; -1; 0; 1)
Suy ra: (x; y) = (-1; 2), (-1; 1)
Bài tập :Tìm cÆp sè (x, y ) nguyªn tháa m·n:
1) x2 + y2 + xy - 2x - y = 0
2) x2 + 2y2 - 2xy + 3x - 3y + 2 = 0
3) x2 + 2y2 + 2xy - 3y - 4 = 0
4) 2x2 + y2 - 2xy + y = 0

Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức:
Bài toán 1: Cho x,y thỏa mãn điều kiện: x2+y2=xy+x-2y; (1) Chứng minh:
−

2 3
2 3

≤x≤
.
3
3

Giải: x2+y2=xy+x-2y ⇔ y2+(2-x)y+x2-x=0 (*)
Xét phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn y, ta có:
Phương trình (*) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0
13


⇔ (2-x)2-4(x2-x) ≥ 0
⇔ 4-4x+x2-4x2+4x ≥ 0
⇔ -3x2+4 ≥ 0
⇔ x2 ≤
⇔ x≤

4
3
4
3

⇔ x≤2 3
3
⇔ − 2 3 ≤ x ≤ 2 3 (ĐPCM)
3
3

Bài toán 2: Cho x,y,z thỏa mãn: x2+4y2+z2=4xy+5x-10y+2z-5; (2).
Chứng minh rằng: 1 ≤ x − 2 y ≤ 4

Giải:
Ta có: x2+4y2+z2=4xy+5x-10y+2z-5
⇔ z2 -2z +x2-4xy+ 4y2-5x+10y+5=0 (*)

Xem phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn z, có nghiệm:
⇔ ∆'≥ 0
⇔ 1-(x-2y)2+5x-10y-5 ≥ 0
⇔ (x-2y)2-5(x-2y)+4 ≤ 0
⇔ (x-2y-1)(x-2y-4) ≤ 0
 x − 2 y − 1 ≥ 0

x − 2 y − 4 ≤ 0
⇔
⇔ 1≤ x − 2y ≤ 4
 x − 2 y − 1 < 0

  x − 2 y − 4 > 0

Vậy: 1 ≤ x − 2 y ≤ 4
Bài toán 3. Cho đẳng thức: x2 - x + y2 - y = xy. ( 3)
4
3

Chứng minh rằng: (y - 1)2 ≤ ,

(x - 1)2 ≤

4
3

Giải
( 3) ⇔ x2 – ( y – 1)x + (y2 - y) = 0

(4)

∆ = (y + 1)2 - 4(y2 - y) = - 3y2 + 6y + 1

14


Để phương trình (4) ẩn x có nghiệm, ta phải có ∆ ' ≥ 0 , tức là
3y2 - 6y - 1 ≤ 0 ⇔ 3y2 - 6y + 3 ≤ 4 ⇔ 3(y - 1)2 ≤ 4 ⇔ (y - 1)2 ≤

4
3

Vai trò x và y trong (3) bình đẳng. Do đó ta cũng có (x - 1)2 ≤

4
3

Bài toán 4: Cho a,b là hai số thực thỏa mãn: a2+4b2=1; (4)
Chứng minh rằng: a − b ≤

5
.
2

Giải:
Đặt a-b=x; ⇒ a=b+x, thay vào (4) ta có:

(b+x)2+4b2=1 ⇔ 5b2+2xb+x2-1=0 (*) (Phương trình bậc hai ẩn b) có nghiệm
⇔ ∆'≥ 0
⇔ x2-5(x2-1) ≥ 0
⇔ -4x2+5 ≥ 0
⇔ x2 ≤

5
4

⇔ x≤ 5
2

Hay: a − b ≤

5
2

Bài toán 5: Cho a,b,c thỏa mãn:
a + b + c = 4

 ab + bc + ca = 5

Chứng minh rằng:

2
≤ a , b, c ≤ 2
3

a + b + c = 4
b + c = 4 − a

b + c = 4 − a
⇔
⇔
 ab + bc + ca = 5
bc = 5 − a ( b + c )
bc = 5 − a ( 4 − a )

Giải: Ta có 

Khi đó b,c là hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn x sau:
x2-(4-a)x+5-4a+a2=0, có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0
⇔ (a-4)2-4(5-4a+a2) ≥ 0
⇔ a2-8a+16-20+16a-4a2 ≥ 0
⇔ -3a2+8a-4 ≥ 0
⇔ 3a2-8a+4 ≤ 0

15


⇔ (a-2)(3a-2) ≤ 0
 a − 2 > 0

2
3a − 2 < 0
⇔
⇔ ≤a≤2
 a − 2 ≤ 0
3

 3a − 2 ≥ 0

⇒

2
≤a≤2
3

Tương tự ta có:
Vậy:

2
2
≤b≤ 2; ≤ c ≤ 2
3
3

2
≤ a , b, c ≤ 2
3

Bài toán 6: ( Đề Thi HSG Toán 9 huyện Cẩm Xuyên năm học 2013- 2014)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2x + − x 2 − 4 x + 1 (5)
Giải
ĐK: −2 − 5 ≤ x ≤ 5 − 2
(5) ⇔ P - 2x = − x 2 − 4 x + 1
⇔ P2 – 4Px + 4x2 = -x2 -4x+ 1
⇔ 4Px + 5x2 – 4(P – 1)x + P2 – 1= 0

Phương trình bậc hai ẩn x, có nghiệm
2
⇔ ∆ ' ≥ 0 ⇔ -P – 8P + 9 ≥ 0

⇔ 25 –(P + 4)2 ≥ 0
⇔ -9 ≤ P ≤ 1

Vậy Max(P) = 1 ⇔ x = 0

B. ỨNG DỤNG VÀO CÔNG TÁC GIẢNG DẠY
I. Quá trình áp dụng của bản thân:
Bản thân tôi khi nghiên cứu xong sáng kiến này, tôi đã giảng dạy sáng kiến này cho
hai đối tượng học sinh Khá, Giỏi, tùy từng đối tượng mà tôi chọn bài tập cho phù hợp
thì thấy đa số các em tiếp thu nội dung trong sáng kiến một cách khá dễ dàng, các em rất
hứng thú khi tự mình có thể lập ra các bài toán mới tương tự.
II. Hiệu quả khi áp dụng đề tài
16


Khi giảng dạy đề tài này cho học sinh lớp chọn 9D năm học 2015 – 2016 tôi đã
cho các em làm bài kiểm tra và kết quả thu được như sau:
LỚP
9D

SĨ
SỐ
32

GIỎI
SL
%

KHÁ

SL
%

12

13

%

%

TB
SL

%

7

%

III. Những bài học kinh nghiệm rút ra:
Qua đề sáng kiến này tôi nhận thấy rằng muốn dạy cho học sinh hiểu và vận dụng
một vấn đề nào đó trước hết người thầy phải hiểu vấn đề một cách sâu sắc, vì vậy người
thầy phải luôn học hỏi, tìm tòi, đào sâu suy nghĩ từng bài toán, không ngừng nâng cao
trình độ cho bản thân.
IV. Những kiến nghị đề xuất
Khi giảng dạy sáng kiến này cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận dụng
phù hợp với đối tượng học sinh của mình.
PHẦN III. KẾT LUẬN
Đề tài “ Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài

toán” tuy là một vấn đề khó nhưng trong quá trình tìm hiểu tôi thấy đây là một đề tài rất
hữu ích không những cho bồi dưỡng học sinh giỏi mà còn bồi dưỡng kiến thức cho giáo
viên, đặc biệt là những em học sinh muốn thi tuyển vào các lớp chọn, lớp chuyên của
trung học phổ thông, hy vọng qua đề tài này góp một phần nhỏ vào kho tàng kiến thức
của quý thầy cô giáo và các em học sinh.
Trên đây là một số bài toán và suy nghĩ của tôi trong việc nâng cao chất lượng dạy
học bộ môn Toán 9. Rất mong các bạn đồng nghiệp góp ý xây dựng để trong thực tế
giảng dạy của mình đối với môn toán nói chung và môn đại số nói riêng ngày càng có
chất lượng hơn.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng với kiến thức còn hạn chế chắc chắn tôi chưa thể
đưa ra vấn đề một cách trọn vẹn được, mong các thầy cô giáo đóng góp ý kiến xây dựng
để sáng kiến này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tháng 09 năm 2016
Người thực hiện
17


18