SKKN đề tài ”sử DỤNG PHƯƠNG PHÁP tọa độ để GIẢI bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN”

ĐỀ TÀI ”SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN”
Phần 1- ĐẶT VẤN ĐỀ
1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Bài toán hình học không gian là một trong những dạng bài quan trọng, là
dạng toán thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, tuyển sinh vào các trường
Đại học-Cao đẳng, đề thi học sinh giỏi và trong cuộc sống. Tuy nhiên trong thực tế,
rất nhiều học sinh còn lúng túng chưa biết cách giải bài toán trên vì lý do đã quên
nhiều kiến thức hình không gian lớp 11. Cho nên trong quá trình làm bài tập, giải đề
thi, các em học sinh còn bỏ câu hình học không gian này.
Phương pháp tọa độ trong không gian là một phần kiến thức quan trọng của
hình học 12 mà học sinh được học suốt kỳ II.Mảng kiến thức này giúp các em giải
quyết một câu hình học trong hệ tọa độ Oxyz thường gặp trong đề thi tốt nghiệp
THPT và cao đẳng-đại học.Do các em được tiếp xúc nhiều trong năm học 12 gần
với kỳ thi nên kiến thức vận dụng sẽ có phần dễ dàng hơn kiến thức lớp 11. Từ
thực tế giảng dạy, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm về việc hướng dẫn học
sinh lớp 12 sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để giải một số bài toán
hình học không gian, giúp các em cảm thấy thoải mái tiếp thu và chủ động giải
quyết các bài toán hình học không gian. Việc hướng dẫn học sinh giải toán không
phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh những bài giải mẫu mà còn phải
hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữa
giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ để giải
bài toán.
2. MỤC ĐÍCH SKKN
Do đây là phần nội dung kiến thức rất phổ biến trong chương trình học tập và
ôn luyện thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng. Nên mục đích của việc nghiên cứu đề

1

tài này là cung cấp cho các em học sinh một phương pháp hữu ích trong giải toán
hình không gian 11 bằng phương pháp tọa độ của lớp 12.
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
a) Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là:
Các dạng toán thường gặp như tính :
• Độ dài đoạn thẳng
• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng
• Góc giữa hai đường thẳng
• Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
• Góc giữa hai mặt phẳng
• Thể tích khối đa diện
• Diện tích thiết diện
• Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc.
b) Phạm vi nghiên cứu:
Phạm vi nghiên cứu của đề tài chủ yếu là kiến thức Hình học lớp 11, 12 và
các đề thi tốt nghiệp THPT, đại học, cao đẳng trong những năm gần đây.
4. KẾ HOẠCH VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Tìm hiểu sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo, các đề thi…
- Dạy học đề tài ở các lớp
- Rút kinh nghiệm sau các tiết dạy học sinh;
- Tham khảo ý kiến của các thầy, cô trong tổ Toán-Tin của trường .

2


3

Phần 2- NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
A-THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:
Qua điều tra và thực tiễn giảng dạy và kiểm tra cho thấy đa phần học sinh
cảm thấy khó khăn trong việc giải quyết bài hình không gian vì đã quên kiến thức
liên quan lớp 11 và các em thường mắc phải những khó khăn sau:
- Chưa có những phương pháp giải cụ thể cho từng loại bài
- Trong quá trình giải học sinh còn mắc phải sai lầm khi tính toán, biến
đổi…trong bước trung gian. Lập luận không chặt chẽ; xác định đề bài sai…
B- CƠ SỞ LÍ LUẬN LIÊN QUAN ĐẾN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.Trình tự giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ ta thực hiện theo các
bước sau :
* Bước 1 : Thực hiện việc chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, chú ý đến vị trí
của gốc O, chuyển bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích
*Bước 2 : Giải bài toán hình học giải tích nói trên.
* Bước 3 : Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tính chất
hình học tương ứng.
2.Lý thuyết cần nắm:
Cách xác định tọa độ điểm,véc tơ,phương trình mặt phẳng, đường thẳng ,các
công thức tính khoảng cách ,góc, diện tích, thể tích một số hình đã học trong lớp
11,12.
Một trong các kỹ năng quan trọng của phương pháp này là xác định được hệ
trục tọa độ thỏa mãn ba trục đôi một vuông góc. Sau đây ta sẽ cùng nhau tìm hiểu
kỹ năng này trong các bài toán.
3.Một số dạng bài tập áp dụng:
3.a.Dạng 1:Hình lăng trụ đứng.
3.a.1.Loại 1:Hình lập phương ,hình hộp chữ nhật.
z

4

A’

Với hình lập phương cạnh a.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

D’

B’
C’

A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C ( a; a;0) ; D(0;a;0)
A '(0;0; a ) ; B '(a;0; a) ; C '(a; a; a) ; D'(0;a;a)

D

A

Với hình hộp chữ nhật cạnh AB=a;

y

CD=b.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

x

C

B

A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C ( a; b;0) ; D(0;b;0)
A '(0; 0; c ) ; B '(a;0; c) ; C '(a; b; c) ; D'(0;b;c)

Ví dụ 1: Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau :
Cho hình lập phương ABCD. A' B' C ' D' có cạnh bằng a.
a.Chứng minh rằng đường chéo A' C vuông góc với mặt phẳng ( AB' D' )
b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A' C và mặt phẳng ( AB' D' ) là trọng
tâm của
tam giác AB' D' .
c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( AB' D' ) và (C ' BD)
d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( DA' C ) và ( ABB' A' )
Hướng dẫn

Bài giải

Dựng hình :

z
A’

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac

B’

vuông góc Oxyz như sau :
O ≡ A(0;0;0) ; A' (0;0; a )

G

D’
C’
D

A

B(a;0;0) ; B ' (a;0; a)

B

C ( a; a;0) ; C ' ( a; a; a)

x

D(0; a;0) ; D' (0; a; a )

5

C

y


a. Chứng minh : A' C ⊥ ( AB' D' )

 A' C = (a; a;−a )


Ta có :  AB' = (a;0; a)


 AD' = (0; a; a)

 A' C ⊥ AB'
⇒ A' C ⊥ ( AB' D' )
 A' C ⊥ AD'

Nếu 

 A' C. AB' = a 2 + 0 − a 2 = 0
⇔
Vì 
 A' C. AD' = 0 + a 2 − a 2 = 0

 A' C ⊥ AB'

 A' C ⊥ AD'

Nên A' C ⊥ mp( AB' D' )

b. Chứng minh : G là trọng tâm

Gọi G = A' C ∩ ( AB' D' ) Toạ độ giao điểm

của tam giác AB' D' Phương

G của đường thẳng A' C và mặt phẳng

trình tham số của đường thẳng

( AB' D ' ) là nghiệm của hệ :

x = t

A' C :  y = t (t ∈ R)
z = a − t


A' C

x = t
y = t

⇔

z = a − t
 x + y − z = 0



Phương trình tổng quát của mặt
phẳng ( AB' D' )

 a a 2a 
G ; ;  (1)
3 3 3 

x A + xB ' + xD ' a

=

 xG =
3
3

y +y +y
a

Mặt khác :  yG = A B ' D ' =
(2)
3
3

z A + z B ' + z D ' 2a

=
 zG =
3
3


( AB' D' ) : x + y − z = 0

Trong đó vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng ( AB' D' )

[

a

x = 3


a

y =
3

2a

z = 3


]

n1 = AB', AD' = (−a 2 ;− a 2 ; a 2 )

So sánh (1) và (2), kết luận
Vậy giao điểm G của đường chéo A' C và
mặt phẳng ( AB' D' ) là trọng tâm của tam
giác AB' D'
c. Tính d ( ( AB' D' ), (C ' BD) )

Ta có :
6

( AB' D' ) : x + y − z = 0


(C ' BD) : x + y − z − a = 0

Phương trình tổng quát của mặt

phẳng (C ' BD) (C ' BD) : x + y − z − a = 0

⇒ ( AB' D ' ) // (C ' BD)

⇒

Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt
d ( ( AB' D' ), (C ' BD) ) = d ( B, ( AB' D' ) ) =

phẳng (C ' BD)

[

]

a
3

n2 = C ' B, C ' D = (a 2 ; a 2 ;−a 2 )

d. Tính cos( ( DA' C ), ( ABB' A' ) )

Vec tơ pháp tuyến của ( ABB' A' ) là

Oy ⊥ ( ABB' A' ) ⇒ Vec tơ pháp tuyến của

j = (0 ; 1 ; 0) Vectơ pháp tuyến của ( DA' C )

( ABB' A' ) là j = (0 ; 1 ; 0)

: n3 = (0;1;−1) 

Vectơ pháp tuyến của ( DA' C ) :

[

]

cos( ( DA' C ), ( ABB' A' ) ) =

n3 = DA', DC = (0; a ;−a ) = a (0;1;−1)
2

2

2

1
2

⇒

( ( DA' C ), ( ABB' A' ) ) = 45o

Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh là a. Gọi N là trung điểm
của B’C’.
a. Chứng minh rằng: AC’ vuông góc với (A’BD).
b. Tính thể tích khối tứ diện ANBD’.
c. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD’.
d. Tính khoảng cách từ C đến mp(AC’D).

Hướng dẫn

Bài giải

Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc Oxyz như sau :
O ≡ A '(0;0;0) ; A(0;0; a)
B (a;0; a ) ; B '( a;0;0)
C ( a; a; a ) ; C '(a; a;0)
D(0; a; a ) ; D '(0; a;0)
7


uuuu
r

uuuur uuuur

a. Chứng minh : Mục đích của ta

a. AC ' = (a; a; −a),  A ' B, A ' D  = (−a 2 ; −a 2 ; a 2 )

là chứng minh một đường thẳng

là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

vuông góc với

(A’BD).

một mp. Ta sẽ chỉ ra rằng véc tơ

Ta thấy hai véc tơ này cùng

chỉ phương của đường thẳng này

phương. Vì thế ta có AC’ vuông góc

cùng phương với véc tơ pháp

với mp (A’BD).

tuyến của mp (A’BD).

b. Tính thể tích tứ diện ANBD’ . Ta
có công thức tính thể tích tứ diện là:
VANBD ' =

1 uuur uuur uuuur
|  AN , AB  . AD ' | .
6 

2
uuu
r uuur 

 AB, AN  =  0; a 2 ; a ÷



2 

uuuur
uuu
r uuur uuuur a 3

, AD ' = (0; a; −a ),  AB, AN  . AD ' =
2

VANBD ' =

a3
3

c. Để tính góc giữa hai đường

Do đó ta có góc giữa hai đường

thẳng và khoảng cách giữa hai

thẳng AN và BD’ là:

đường thẳng ta sử dụng hai công

uuur uuuu
r
| AN .BD ' |
3
r =

cos(AN, BD')= uuur uuuu
| AN || BD ' | 9

thức sau:
rr
rr
| a.b |
Cos(a, b)=|cos(a,b)|= r r ;
| a || b |
r r uuur
.
| [a,b]. AB |
rr
d ( a , b) =
| [a,b] |

Khoảng cách giữa hai đường thẳng
Với

này là:
uuuuruuuu
r uuu
r
|  AN , BD ' . AB | a 26
d ( AN , BD ') =
=
uuuuruuuu
r
26
|  AN , BD ' |

r r
a, b là các véc tơ chỉ phương của

đường thẳng a và b. Đường
8


thẳng a,b lần lượt đi qua hai
điểm A và B.

d. Để tính khoảng cách giữa một điểm

d.Tính khoảng cách từ C đến mp(AC’D).

và mặt phẳng ta áp dụng công

* Viết phương trình mp (AC’D)

thức:cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 và điểm

Vec tơ pháp tuyến cùng phương với

M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) .

uuuu
r uuur
[ AC ', AD]=(-a 2 ;0;-a 2 ) .

Ta chọn véc tơ pháp tuyến của mặt

d ( M 0 ,( P ) ) =

r

Ax0 + By0 + Cz0 + D

phẳng (AC’D) là n = (1;0;1) .

A2 + B 2 + C 2

Phương trình mặt phẳng (AC’D) là:
x + z –a =0
d (C , ( AC ' D)) =

a
2

Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCD. A' B' C ' D' có cạnh bằng a.
Chứng minh hai đường chéo B' D' và A' B của hai mặt bên là hai đường thẳng chéo
nhau. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B' D' và A' B .
Hướng dẫn

Bài giải

z

Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac

A’

vuông góc Oxyz như sau :

B’

O ≡ A(0;0;0) ; A' (0;0; a ) ;

D’
C’
y

A

B (0; a;0) ; B ' (0; a; a )
x

C ( a; a;0) ; C ' ( a; a; a)
9

B

D
C


D(a;0;0) ; D' (a;0; a )

Chứng minh B' D' và A' B
chéo nhau, ta chứng minh ba

Ta có : B' D' = (a;− a;0)
A' B = (0; a;−a) ;

BB' = (0;0; a) 

Cần chứng minh

[B' D', A' B] = (a ; a ; a )
[B' D', A' B].BB' = a ≠ 0

tích hỗn hợp của ba vectơ

⇒ ba vectơ B ' D'; A' B, BB ' không đồng phẳng.

vectơ B' D'; A' B, BB' không
đồng phẳng.

B ' D'; A' B, BB ' khác 0

Tính d ( B' D' , A' B )

d ( B ' D' , A' B ) =

2

2

2

3

hay B' D' và A' B chéo nhau.

d ( B ' D' , A' B ) =

[ B ' D', A' B ].BB '
[ B ' D', A' B ]

10

a3
a +a +a
4

4

4

=

a3
a

2

3

=

a 3

3


3.a.1.Loại 2:Lăng trụ đứng tam giác đáy là tam giác vuông .
Với hình lăng trụ đứng tam giác đáy

z
A’

là tam giác ABC vuông ở A
Ch

B’

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
O ≡ A(0;0;0) ,

C’

Tia Ox trùng tia AC;
Tia Oy trùng tia AB;

B
OA

C

y

x

Ví dụ 1:(khối B-2005)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ
đứng ABC. A1B1C1 với A(0;−3;0) ; B(4;0;0) ; C (0;3;0) ; B1 (4;0;4) .
Tìm toạ độ các đỉnh A1 ; C1 . Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với
mặt phẳng ( BCC1B1 ) . Gọi M là trung điểm của A1B1 . Viết phương trình mặt phẳng
(P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC1 .
Hướng dẫn

Bài giải

Dựng hình :

A1

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông

z

góc Oxyz như sau : O(0;0;0) ;
Với :
A(0;−3;0) ; B(4;0;0) ; C (0;3;0) ; B1 (4;0;4)

B1

 A (0;−3;4)
⇒ 1
C1 (0;3;4)

M


C1

x

y

Toạ độ trung điểm M của A1B1

A

3 

M  2;− ;4) 
2 


B

11

O

C


Ta có : A1 (0;−3;4) ∈ mp(Oyz )

Toạ độ hai đỉnh A1 ; C1 .

C1 (0;3;4) ∈ mp(Oyz )

Phương trình mặt cầu có tâm là
A và tiếp xúc với mặt phẳng
( BCC1B1 )

Vectơ pháp tuyến của mp ( BCC1B1 )
n = [ BC , BB1 ] = (12; 16; 0)

Phương trình tổng quát của mp ( BCC1B1 ) :

Viết phương trình mp
( BCC1 B1 )

Tìm bán kính của mặt cầu (S)

( BCC1B1 ) : 3 x + 4 y − 12 = 0

Bán kính của mặt cầu (S) : R =

24
5

R = d ( A, ( BCC1B1 ) )

(S) : x 2 + ( y + 3) 2 + z 2 =
Phương trình mặt cầu (S) :
Phương trình mặt phẳng (P) :


576
25

Vectơ pháp tuyến của (P) :

Tìm vectơ pháp tuyến của (P)
 AM ⊂ ( P )
⇒ nP = [ AM , BC1 ]

 BC1 // ( P )
 3 
AM =  2; ;4  ; BC1 = (−4;3;4)
 2 

nP = [ AM , BC1 ] = ( −6;−24;12)

Phương trình mặt phẳng (P) :
( P ) : x + 4 y − 2 z + 12 = 0

Ví dụ 2:(khối B-2008): Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam
giác vuông, AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính
theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường
thẳng AM, B’C .
Hướng dẫn

Bài giải
z

Dựng hình :
B’

A’

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
C’
12

B

M

C

A
x

y


góc Oxyz như sau :
B (0;0;0)

A ( 0; a;0 ) ; C ( a;0;0 ) ; B’ ( 0;0; a 2 )


M  ;0;0 ÷
2
a





uuuu
r a
 uuuur
AM =  ; − a;0 ÷ ; B ' C = a;0; −a 2
2

uuuu
r
AB ' = 0; − a; a 2

(

(

)

)

Chứng minh AM và B’C chéo
nhau
2
uuuu
r uuuur 

 AM , B ' C  =  a 2 2; a ; a 2 ÷



2



+ Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’
VABC . A ' B 'C ' = AA '.S ∆ABC =

1 3
a 2
2

đvtt

+ Khoảng cách giữa AM và B’C
uuuu
r uuuur uuuu
r a3


AM
,
B
'
C
AB
'=
Vì : 

2
⇒ AM và B’C chéo nhau

uuuu
r uuuur uuuu
r
 AM , B ' C  AB '


d ( AM , B ' C ) =
uuuu
r uuuur
 AM , B ' C 


a3
a 7
2
=
=
7
1
2a 4 + a 4 + a 4
2

Ví dụ 2:(khối B-2010): Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a,
góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60 0. Gọi G là trọng tâm tam giác
A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
GABC theo a.
13


Hướng dẫn

Bài giải

Gọi O là trung điểm của cạnh

A’

BC. Tam giác ABC đều cạnh a
nên AO ⊥ BC và AO =

a 3
.
2

Chọn hệ trục Oxyz với O là gốc tọa

C’

z

B’
x

y

G
A

độ, tia OA ≡ tia Ox, tia OC ≡ tia Oy,

C
O

tia Oz song song và cùng hướng

B

với tia AA’

O là trung điểm của cạnh BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó :
A(

a
a 3
;0;0),B(0; − ;0),
2
2
a
2

C(0; ;0),A’(
G(

3a
a 3
;0; )
2
2

a
a 3
;0; ).
2
6

Ta có góc giữa mặt phẳng (A’BC)
và(ABC) là góc A·' OA = 60o
⇒ AA ' = OA.tan 60o =

3a
.
2

⇒ VABC . A ' B ' C ' = AA '.S ABC

3a a 2 3 3a 3 3
= .
=
2
4
8

Gọi dạng phương trình mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện GABC là:
x 2 + y 2 + z 2 − 2bx − 2cy − 2dz + e = 0 .
14

Thay lần lượt tọa độ G, A, B, C
vào phương trình trên ta có

a2 a 3

b − ad + e = 0
a 3
 −
3
b =
3
6

3a 2
− a 3b + e = 0
c = 0

 4

⇔
 2
a
 a + ac + e = 0
d = −
12
4

 2

a2

e
=
−
a
 − ac + e = 0


4

4

Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
GABC có bán kính là :
a2 a2
a2
7a
.
R=
+
+ 0 − (− ) =
12 144
4
12

Ví dụ 3:( (ĐH khối D – 2008). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC
vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo
a thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C.
Hướng dẫn

Bài giải

z
B’

A’

Dựng hình :
C’

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc Oxyz như sau :

A
OB
M

B (0;0;0)

C

A ( 0; a;0 ) ; C ( a;0;0 ) ; B’ ( 0;0; a 2 )


M  ;0;0 ÷
2
a





15

x

y


uuuu
r a
 uuuur
AM =  ; − a;0 ÷ ; B ' C = a;0; −a 2
2

uuuu
r
AB ' = 0; − a; a 2

(

(

)

)

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.Suy ra:
B (0;0;0)

A ( 0; a;0 ) ; C ( a;0;0 ) ; B’ ( 0;0; a 2 )



M  ;0;0 ÷
2
a





uuuu
r a
 uuuur
AM =  ; − a;0 ÷ ; B ' C = a;0; −a 2
2

uuuu
r
AB ' = 0; − a; a 2

(

(

⇒V

)

)

1
a3 2
= BB .( .BA.BC ) =
2
2
/

ABC . A/ B / C /

*Tính khoảng cách giữa AM và B’C
Vì M là trung điểm của BC
uuuu
r a
a
⇒ M ( ;0;0) ⇒ AM = ( ; − a;0)
2
2
uuuur
Mà B ' C = (a;0; −a 2)
uuuu
r uuuur
a2 2 2
⇒  AM , B ' C  = ( a 2 2;
;a )
2
uuur
Mặt khác: AC = (a; −a;0)

uuuu
r uuuur uuur a 3 2

 AM , B ' C  . AC
a 7


⇒ d ( AM , B ' C ) =
= 22 =
uuuu
r uuuur
7
a 7
 AM , B ' C 


2

3.b.Dạng 2:Hình chóp
3.b.1.Loại 1:Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy và đáy có ít nhất một
góc vuông.
Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật ,hình vuông và SA ⊥
(ABCD)

16


z

S

ABCD là hình chữ nhật
AB = a; AD = b

chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

y

D

A
O

cho A(0;0;0)

B

C

x

Khi đó : B ( a;0;0 ) ; C ( a; b;0 )
D ( 0; b;0 ) ; S (0;0; h)

Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và ∆ ABC vuông tại A
z

Tam giác ABC vuông tại A có

S

AB = a; AC = b đường cao bằng h .

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

y

C

A

sao cho A(0;0;0)

B

Khi đó : B ( a;0;0 ) ; C ( 0; b;0 )

x

S ( 0;0; h )

Với hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và ABCD là hình thang
vuông tại A z
S

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
sao cho A(0;0;0) .Tia Ox trùng với
tia AB.Tia Oy trùng với tia AD. Tia
Oz trùng với tia AS.
D

OA

17

B

x

C

y


Ví dụ 1(ĐH khối A – 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm
của CN và DM. Biết SH ⊥ (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp
S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Hướng dẫn

Dựng hình :

Bài giải
S

z

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc Oxyz như hình vẽ vẽ

y

sao cho C(0;0;0) .Tia Ox trùng

N

với tia CB.Tia Oy trùng với tia

H

CD. Tia Oz vuông với
mp(ABCD) tại C
Ta có :

A

D
M
CO

B

x

C ≡ O(0;0;0), B(a;0;0),
D(0;a;0), A(a;a;0).
*VS .CDNM = VS . ABCD − VS .BCM − VS . AMN
uuu
r uuuur uuuu
r
CS , DM  .CM



d ( SC , DM ) =
uuu
r uuuu
r
*
CS , DM 



*Tính thể tích khối chóp S.CDNM
Ta có:
18


VS .CDNM = VS . ABCD − VS . BCM − VS . AMN
1
= SH .( S ABCD − S BCM − S AMN )
3
1
a2 a2
5a 3 3
2
= .a 3( a − − ) =
3
4
8
24

* Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

DM và SC theo a
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, ta có
C ≡ O(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0),
A(a;a;0).
a
2

M là trung điểm AB ⇒ M (a; ;0)
a
2

N là trung điểm AD ⇒ N ( ; a;0)
H∈ (Oxy ) ⇒ H ( x; y;0)
H = DM ∩ CN
uuur uuur
uuuu
r uuuur
⇒ CH , CN cùng phương và DH , DM

cùng phương
⇒

x y
x y−a
2a
4a
=
=
,y=
a a và a

a ⇒x=
−
5
5
2
2

. Vậy H(

2a 4a
2a 4 a
; ;0 ) ⇒ S ( ; ; a 3)
5 5
5 5

Khi đó,
uur 2a 4a
uuuur
a
CS = ( ; ; a 3), DM = ( a; − ;0)
5 5
2
uur uuuur
a2 3 2
⇒ CS , DM  = (
; a 3; − a 2 )
2
uuuu
r
a

Mặt khác CM = (a; ;0)
2

19


uuu
r uuuur uuuu
r
CS , DM  .CM


⇒ d ( SC , DM ) =
uuu
r uuuur
CS , DM 


a3 3
2a 57
= 2
=
19
a 19
2

.

Ví dụ 2:(CĐ-2008):Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ,
·

·
BAD
= ABC
= 900 AB = BC = a , AD = 2a , SA vuông góc với đáy và SA = 2a . Gọi

M,N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ
nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a.

Hướng dẫn

Bài giải
z

Dựng hình :
S

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc Oxyz như sau :
N

M

A(0;0;0) ; B ( a;0;0 ) ; C ( a; a;0 ) ; D

( 0; 2a;0 ) ; S ( 0;0; 2a )

D

A

M ( 0;0; a ) ; N ( 0; a; a )

B
C
x

20

y


uuuu
r
uuur
MN = ( 0; a;0 ) ; BC = ( 0; a;0 )
uuur
MB = ( a;0; −a )

uuur
uuu
r
SM = ( 0;0; −a ) ; SC = ( a; a; −a )
uur
uuu
r
SB = ( a; 0; −2a ) ; SN = ( 0; a; −a )
uuur uuu
r
 SM , SC  = a 2 ; −a 2 ;0




(

+ Chứng minh BCNM là hình chữ

nhật
uuuu
r uuur
 MN = BC
⇒ BCNM là hình chữ nhật
r uuur
 uuuu
 MN .MB = 0

+ Tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo
a
VS . BCNM = VSMCB + VSMCN

)

uuur uuu
r uur
 SM , SC  SB = a 3


uuur uuu
r uuu
r
 SM , SC  SN = −a 3




VSMCB =

r uur a 3
1  uuur uuu
 SB =
SM
,
SC

6
6

VSMCN =

3
r uuu
r
1  uuur uuu
 SN = a
SM
,
SC

6
6

VS . BCNM = VSMCB + VSMCN

a3
=
3

đvtt

Ví dụ 3:(Khối D-2002)Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt
phẳng(ABC); AC=AD=4 cm ;AB=3 cm; BC=5 cm. Tính khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng (BCD)
Hướng dẫn
Dựng hình :

Bài giải
z
D

∆ABC có : AB 2 + AC 2 = BC 2 = 25

nên vuông tại A Chọn hệ trục toạ
A

độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau
O ≡ A(0;0;0) ; B (3;0;0) ; C (0;4;0)

B

H

C

y

I

x

D(0;0;4) ;

Tính : AH = d ( A, ( BCD) )

Viết phương trình tổng quát
của mặt phẳng (BCD)

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD)
( BCD) :

Sử dụng công thức tính
21

x y z
+ + = 1 ⇔ 4 x + 3 y + 3z − 12 = 0
3 4 4


khoảng cách từ một điểm đến

d ( A, ( BCD) ) =

một mặt phẳng

− 12
16 + 9 + 9

=

12
6 34
=
17
34

3.b.2.Loại 2:Hình chóp có đáy là đa giác đều.
Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD
z
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
S
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và
đường cao SO = h

D

A

y

Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông
O

 a 2

 a 2

;0;0 ; C 
;0;0 
Khi đó : A −
2

  2


B

C

x


a 2   a 2 
B  0; −
;0 ÷
÷; D  0; 2 ;0 ÷
÷; S (0;0; h)
2

 


Với hình chóp tam giác đều S.ABC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
z

Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và

S

đường cao bằng h . Gọi I là trung
điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

y

sao cho I(0;0;0)
 a
 a

Khi đó : A  − ;0;0 ÷; B  ;0;0 ÷
 2

C

A


2

I



H

B

x

 a 3   a 3 
C  0;
;0 ÷
÷; S  0; 6 ; h ÷
÷
2

 


(Hoặc ta cũng có thể chọn gốc O
trùng H)
Ví dụ 1(Khối B-2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông
cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm
của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính
(theo a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC

22


Hướng dẫn

Bài giải
z
E

Dựng hình :

S

Gọi O là tâm của hình vuông
ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD)

P

M

y
A

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc Oxyz như sau :

D
O

O(0;0;0) ; S ( 0;0; h ) ;

B

N

C

x

 a 2

a 2

;0;0 ÷
;0;0

÷
;
C
÷
 2
÷D
2





A  −

 a 2 

a 2 
 0;
 ; B  0;−
;
0
;0 




2
2





Toạ độ trung điểm P của SA P
uuuu
r  3a 2
h  uuur
MN = 
; 0; − ÷
÷; BD = (0; −a 2; 0)
4
2



 a 2
 a 2 a 2 
h
; 0; ÷
;−
;h÷
 −
; E  −

÷
÷
4
2
2
2



 a 2 a 2 h
;−
; ÷ N
2
4 2÷



Vì : MN .BD = 0 ⇒ MN ⊥ BD

M  −

a 2 a 2 
;−
;0 ÷

÷
4
 4


Tính (theo a) khoảng cách giữa hai

uuuu
r uuur 
ah 2 

MN
;0 ÷
Ta có :  , AC  =  0; −
÷
2



đường thẳng MN và AC.

uuuu
r 
a 2 h
AM =  0; −
; ÷
4 2÷



Chứng minh MN và AC chéo nhau
23


uuuu

r uuur uuuu
r a2h
≠0
Vì :  MN , AC  . AM =
4

Sử dụng công thức tính khoảng cách

⇒ MN và AC chéo nhau

giữa hai đường thẳng chéo nhau

d ( MN , AC ) =

[ MN , AC ]. AM

=

[ MN , AC ]

a 2h
4 =a 2
4
a 2h 2
2

Ví dụ 2:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a .
a.

Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b.

Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

Hướng dẫn

Bài zgiải
S

Dựng hình :
Gọi O = AC ∩ BD
⇒ SO ⊥ ( ABCD)
SO = SC 2 − OC 2 = a 2 −

y

a2 a 2
=
2
2

A

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac

D
O

vuông góc Oxyz như sau :

B

C

x


a 2
O(0;0;0) ; S  0;0;
÷;
2 ÷


 a 2

a 2

;0;0 ÷
;0;0

÷
;
C
÷
 2
÷D
2






A  −

 a 2 

a 2 
 0;
 ; B  0;−
;
0
;0 



2
2





a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD

24


Phương trình mặt phẳng (SCD)
x

(SCD): a 2
2
⇔ x+ y+z−

+

y
a 2
2

+

z
a 2
2

1
1 a 2 a3 2
VS . ABCD = SO.S ABCD = .
.a =
3
3 2
6

=1

a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

(SCD)

a 2
=0
2

Phương trình mặt phẳng (SCD)
(SCD): x + y + z −
−
d ( A, ( SCD) ) =

a 2
=0
2

a 2 a 2
−
2
2
3

=

a 2 a 6
=
3
3

Qua các ví dụ trên ta thấy việc áp dụng phương pháp tọa độ vào giải bài
toán hình không gian rất khả thi nếu trong đề bài có yếu tố vuông góc để gắn vào
hệ trục tọa độ Oxyz . Sau đây ta cùng tìm hiểu thêm một số bài tập để có ý tưởng

rõ ràng hơn trong việc chọn vị trí cho hệ trục Oxyz.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh là 5 tâm O, SO
vuông góc với đáy; các cạnh bên SA = 2 3, SB = 3 . Gọi M là trung điểm của cạnh
SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng: SA và BM.
b) mp (AMB) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
Hướng dẫn

Bài giải
z S

Chọn hệ trục tọa độ sao cho
O(0;0;0)
N

Tia Ox trùng tia OA; Tia Oy

M

trùng tia OB; Tia Oz trùng
D

tia OS;
x

A
25

C
O

By