Chuyên đề toa do trong mat phang

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG.
Chuyªn ®Ò 1 : VÐc tơ v tà ọa độ vÐc tơ.
A. tãm t¾t lÝ thuyÕt.
I. Hệ Trục toạ độ
II. Tọa độ vÐc tơ.
1. Đị nh ngh ĩ a .

( ; )u x y u xi y j= ⇔ = +
r r r r
2. C¸c tÝnh ch ấ t .
Trong mặt phẳng
Oxy
cho
( ; ); ( '; ')u x y v x y= =
r r
, ta cã :
a.
( '; ')u v x x y y+ = + +
r r
b.
( ; )ku kx ky=
r
.
c.
. ' 'u v xx yy= +
r r
.
d.
2
2 2 2 2
' ' .u x x u x x= + ⇒ = +

r r
e.
. 0 ' ' 0.u v u v xx yy⊥ ⇔ = ⇔ + =
r r r r
f
,u v
r r
cïng phương
.
' '
x y
x y
⇔ =
g.
'
'
x x
u v
y y
=

= ⇔

=

r r
.
3. VÝ d ụ .
VÝ dụ 1. T×mm tọa độ cña vÐc tơ sau :
;a i= −

r r

5 ;b j=
r r

3 4 ;c i j= −
r r r

1
( );
2
d j i= −
ur r r

0,15 1,3 ;e i j= +
r r r

0
(cos24 ) .f i j
π
= −
ur r r
VÝ dụ 2. Cho c¸c vÐc tơ :
(2;1); (3;4); (7;2)a b c= = =
r r r
.
a. T×m toạ độ của vÐc tơ
2 3 .u a b c= − +
r r r r
b. T×m toạ độ của vÐc tơ

x
r
sao cho
.x a b c+ = −
r r r r
c. T×m c¸c số
,k l
để
c ka lb= +
r r r
.
VÝ dô. Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
cho c¸c vÐc tơ :
(3;2); ( 1;5); ( 2' 5)a b c= = − = − −
r r r
.
a. T×m toạ độ cña vÐc tơ sau

2 4 .u a b c= + −
r r r r

2 5v a b c= − + +
r r r r
;
w 2( ) 4 .a b c= + +
uur r r r
b. T×m c¸c số
,x y
sao cho

.c xa yb= +
r r r
c. TÝnh c¸c tÝch v« hướng
. ; . ; ( ); ( )a b b c a b c b a c+ −
r r r r r r r r r r
VÝ dụ 4. Cho
1
5 ; 4 .
2
u i j v ki j= − = −
r r r r r r
T×m
k
để
,u v
r r
cïng phương.
III. Toạ độ của điểm.
1. Đị nh ngh ĩ a .
( ; ) ( ; ) .M x y OM x y OM xi y j= = = +
uuuur uuuur r r
2. M i liên h gi a to i m v to c a véc t .
Trong mt phng to
Oxy
cho hai im
1 1 2 2 3 3
( ; ); ( ; ); ( ; )A x y B x y C x y
. Khi đó:
a.
2 2

2 1 2 1 2 1 2 1
( ; ) ( ) ( )AB x x y y AB x x y y= = +
uuur uuur
.
b. To trung im
I
ca on
AB
l :
1 2 1 2
( ; )
2 2
x x y y
I
+ +
.
c. To trng tâm
G
ca
ABC

l :
1 2 3 1 2 3
( ; )
3 3
x x x y y y
G
+ + + +
.
d. Ba im

, ,A B C
thng h ng
,AB AC
uuur uuur
cùng phng.
3. Ví d .
Ví d 1. Cho ba im
( 4;1), (2;4), (2; 2)A B C
.
a. Chng minh ba im không thẳng h ng.
b. Tính chu vi ABC .
c. Tìm ta trc tâm
H
.
Ví d 2. Cho ba im
( 3;4), (1;1), (9; 5)A B C
.
a. Chng minh
, ,A B C
thẳng h ng.
b. Tìm to
D
sao cho
A
l trung im ca
BD
.
c. Tìm to iểm
E
trên

Ox
sao cho
, ,A B E
thẳng h ng.
Ví d 3. Cho ba im
( 4;1), (2;4), (2; 2)A B C
.
a. Chng minh ba im
, ,A B C
to th nh tam giác.
b. Tìm to trng tâm
ABC

.
c. Tìm to im
E
sao cho
ABCE
l hình bình h nh.
đờng thẳng.
Chuyên đề 1
: phơng trình đờng thẳng.
A. kiến thức cơ bản.
I. Véc tơ chỉ ph ơng và véc tơ pháp tuyến của đ ờng thẳng.
1) Véc tơ pháp tuyến: Véc tơ
0n
r r
đợc gọi là véc tơ pháp tuyến ( vtpt ) của đờng thẳng

nếu nó có giá

.
2) Véc tơ chỉ phơng: Véc tơ
0u
r r
đợc gọi là véc tơ chỉ phơng( vtcp) của đờng thẳng

nếu
nó có giá song song hoặc trùng với đờng thẳng

.
* Chú ý:
- Nếu
;n u
r r
là véc tơ pháp tuyến và chỉ phơng của đờng thẳng

thì 0k các véc tơ
;kn ku
r r
cũng tơng ứng là các véc tơ pháp tuyến và chỉ phơng của đờng thẳng

.
- Nếu
( ; )n a b=
r
là véc tơ pháp tuyến của đờng thẳng

thì véc tơ chỉ phơng là
( ; )u b a=

r
hoặc
( ; )u b a=
r
.
- Nếu
1 2
( ; )u u u=
r
là véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng

thì véc tơ pháp tuyến là
2 1
( ; )n u u=
r
hoặc
2 1
( ; )n u u=
r
.
II. Ph ơng trình tổng quát của đ ờng thẳng .
Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng

đi qua
);(
000
yxM
và có véc tơ pháp tuyến
);( ban
=

. Khi đó phơng trình tổng quát của

đợc xác định bởi phơng trình :

0)()(
00
=+
yybxxa
(1). (
.0
22
+
ba
)
III. Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng .
Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng

đi qua
);(
000
yxM
và có véc tơ chỉ phơng
);(
21
uuu
=

. Khi đó phơng trình tham số của

đợc xác định bởi phơng trình :



+=
+=
tuyy
tuxx
20
10
(2) . (
.Rt

)
* Chú ý : Nếu đờng thẳng

có hệ số góc k thì có véc tơ chỉ phơng là
);1( ku
=

IV. Chuyển đổi giữa ph ơng trình tổng quát và ph ơng trình tham số .

1. Nếu đờng thẳng

có phơng trình dạng (1) thì
);( ban
=


. Từ đó đờng thẳng

có vtcp
là
);( abu
=


hoặc
);( abu
=


.
Cho
0
xx
=
thay vào phơng trình (2)
.
0
yy
=
Khi đó ptts của

là :




=

+=
atyy
btxx
0
0
(
t

Ă
).
2. Nếu đờng thẳng

có phơng trình dạng (2) thì vtcp
);(
21
uuu
=


. Từ đó đờng thẳng

có
vtpt là
);(
12
uun
=


hoặc

);(
12
uun
=


. Và phơng trình tổng quát của

đợc xác định bởi :

0)()(
0102
=
yyuxxu
.
* Chú ý :
- Nếu
0
1
=
u
thì pttq của

là :
0
0
=
xx
.
- Nếu

0
2
=
u
thì pttq của

là :
.0
0
=
yy
B. bài tập cơ bản.
I. Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua
0 0
( ; )M x y
và có một vtcp
1 2
( ; )u u u=
r
.
Ví dụ 1 : Viết phơng trình đờng thẳng

trong các trờng hợp sau :
a. Đi qua
(1; 2)M
và có một vtcp
(2; 1)u =
r

.
b. Đi qua hai điểm
(1;2)A
và
(3;4)B
;
( 1;2)A
và
( 1;4)B
;
(1;2)A
và
(3;2)B
.
c. Đi qua
(3;2)M
và
1 2
// : ( )
x t
d t
y t
= +



=

Ă
.

d. Đi qua
(2; 3)M
và
: 2 5 3 0d x y + =
.
II. Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua
0 0
( ; )M x y
và có một vtpt
( ; )n a b=
r
.
Ví dụ 2 : Viết phơng trình tổng quát của đờng thẳng

trong các trờng hợp sau :
a. Đi qua
(1;2)M
và có một vtpt
(2; 3)n =
r
.
b. Đi qua
(3;2)A
và
// : 2 1 0.d x y =
c. Đi qua
(4; 3)B
và

1 2
: ( )
x t
d t R
y t
= +



=

Ă
.
III. Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua
0 0
( ; )M x y
và có hệ số góc k cho trớc.
+ Phơng trình đờng thẳng

có dạng
y kx m= +
.
+ áp dụng điều kiện đi qua
0 0
( ; )M x y
m
.
Ví dụ 3 : Viết phơng trình đờng thẳng

trong các trờng hợp sau :
a. Đi qua
( 1;2)M
và có hệ số góc
3k =
.
b. Đi qua
(3;2)A
và tạo với chiều dơng trục
Ox
góc
0
45
.
III. Luyện tập.
1. Viết phơng trình đờng thẳng

trong các trờng hợp sau :
a. Đi qua
(3;2)A
và
( 1; 5)B
;
( 3;1)M
và
(1; 6)N
;
b. Đi qua
A

và có vtcp
u
r
, nếu :
+
(2;3)A
và
( 1;2)u =
r
.
+
( 1;4)A
và
(0;1)u =
r
.
c. Đi qua
(3; 1)A
và
// : 2 3 1 0d x y+ =
.
d. Đi qua
(3;2)M
và
(2;2)n =
r
.
e. Đi qua
(1;2)N
và

với :
+ Trục Ox .
+ Trục
.Oy
f. Đi qua
(1;1)A
và có hệ số góc 2k = .
g. Đi qua
(1;2)B
và tạo với chiều dơng trục Ox góc
0
60
.
2. Viết phơng trình các cạnh
ABC

biết :
a.
(2;1); (5;3); (3; 4).A B C
b. Trung điểm các cạnh là :
( 1; 1); (1;9); (9;1).M N P
c.
( 4; 5)C
và hai đờng cao
( ) : 5 3 4 0;( ) :3 8 13 0AH x y BK x y+ = + + =
.
d.
( ) :5 3 2 0AB x y + =
và hai đờng cao

( ) : 4 3 1 0;( ) :7 2 22 0AH x y BK x y + = + =
.
e.
(1;3)A
hai trung tuyến
( ) : 2 1 0;( ) : 1 0BM x y CN y + = =
.
f.
(4; 1)C
đờng cao
( ) : 2 3 0AH x y =
trung tuyến
( ) : 2 3 0.BM x y+ =
Chuyên đề 2: vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
A. tóm tắtlí thuyết.
I. Bài toán: Trong mặt phẳng
Oxy
cho hai đờng thẳng
1 2
;
có phơng trình
( )
( )
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2
( ) : 0, 0
( ) : 0, 0
a x b y c a b

a x b y c a b
+ + = +
+ + = +
Hỏi: Hai đờng thẳng trên cắt nhau, song song hay rùng nhau ?
Trả lời câu hỏi trên chính là bài toán xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
II. Phơng pháp.
1. Cách 1:
Nếu
1 2
1 2
a a
b b

thì hai đờng thẳng cắt nhau.
Nếu
1 2 1
1 2 2
a a c
b b c
=
thì hai đờng thẳng song song nhau.
Nếu
1 2 1
1 2 2
a a c
b b c
= =
thì hai đờng thẳng trùng nhau.
2. Cách 2:
Xét hệ phơng trình

1 1 1
2 2 2
0
0
a x b y c
a x b y c
+ + =


+ + =

(1)
Nếu hệ (1) có một nghiệm thì hai đờng thẳng cắt nhau và toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ.
Nếu hệ (1) vô nghiệm thì hai đờng thẳng song song nhau.
Nếu hệ (1) nghiệm đúng với mọi
( )
;x y
thì hai đờng thẳng trùng nhau.
* Chú ý: Nếu bài toán không quan tâm đến toạ độ giao điểm, ta nên dùng cách 1.
b. bài tập cơ bản.
I. Xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
Ví dụ 1: Xét vị trí tơng đối các cặp đờng thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong trờng hợp cắt
nhau:
a)
1 2
: 2 0; : 2 3 0x y x y + = + =
.
b)
1 2
1 4

: 2 4 10 0; : ( )
2 2
x t
x y t
y t
=

+ =

= +

Ă
c)
1
1 5 6 5 '
: ( ) : ( ' )
2 4 2 4 '
2
x t x t
t t
y t y t
= = +



= + =

Ă Ă
II. Biện luận theo tham số vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
Ví dụ 1: Cho hai đờng thẳng

2 2
1 2
: ( 3) 2 1 0; : ( 1) 0m x y m x my m + + = + + =
Tìm
m
để hai đờng thẳng cắt nhau.
Ví dụ 2: Cho hai đờng thẳng
1 2
: 1 0; : 2 0mx y m x my + = + + =
Biện luận theo
m
vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
III. Luyện tập.
Bài 1: Xét vị trí tơng đối các cặp đờng thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong trờng hợp cắt
nhau:
a)
1 2
:8 10 12 0; : 4 3 16 0x y x y + = + =
.
b)
1 2
5
:12 6 10 0; : ( )
3 2
x t
x y t
y t
= +

+ =

= +

Ă
c)
1
6 5 '
: ( ) : ( ' )
1 2
2 4 '
10 5
2
x t
x t
t t
y t
y t
=

= +




=
= +



Ă Ă

Bài 2: Biện luận theo
m
vị trí các cặp đờng thẳng sau
a)
1 2
: 2 0; : 1 0mx y m x my m + = + =
b)
1 2
: 2 0; : 1 0mx y x my m + + = + + + =
Chuyên đề 3: góc giữa hai đờng thẳng.
A. tóm tắt lí thuyết.
I. Định nghĩa: Giả sử hai đờng thẳng
1 2
;
cắt nhau. Khi đó góc giữa
1 2
;
là góc nhọn và
đợc kí hiệu là:
( )
1 2
,
.