Độ đo xác suất gauss trên không gian banach

-----------------------

ỗ

Ộ

uy

ùng

XÁ SUẤ
Ô

USS
B

ộ - 2017


U

-----------------------

ỗ

Ộ

uy

ùng

XÁ SUẤ
Ô

USS
B

LTXS v t ố
ố

LU

V

S.TS

k toá

60460106

T

S

. ặ

ù

ộ - 2017

T ắ

ọc


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình và cũng hết sức nghiêm khắc
của GS.TSKH.Đặng Hùng Thắng. Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác
giả muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người thầy đáng kính của mình.
Thầy đã luôn tận tình hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tác giả trong suốt
quá trình làm luận văn.
Tác giả cũng muốn gửi tới toàn thể các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại
học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã đảm nhận giảng dạy
khóa Cao học 2014 - 2016, đặc biệt là các thầy cô tham gia giảng dạy nhóm Xác suất
thống kê 2014 - 2016 lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy dỗ trong suốt thời gian
của khóa học.
Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các anh chị em trong nhóm Xác
suất thống kê 2014 - 2016 đã quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện và động viên tinh thần để
tác giả có thể hoàn thành được khóa học này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày

tháng

năm 2017

Học viên

Đỗ Huy Hùng

0

Mục lục
Lời cảm ơn

0

Lời mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4 Toán tử Hilbert-Schmidt và toán tử lớp vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.5 Giới thiệu về phân phối hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2 Độ đo Gauss trong không gian Banach

21

2.1 Độ đo Borel trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2 Độ đo Wiener và tích phân Wiener trong C[0,1]. . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.3 Không gian Wiener trừu tượng

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.4 C[0,1] được coi như một không gian Wiener trừu tượng . . . . . . . . . . . .

64

2.5 Định lý phân phối yếu và định lý Gross-Sazonov. . . . . . . . . . . . . . . . .

68

3 Tính tương đương và tính trực giao của độ đo Gauss.

75

3.1 Phép tịnh tiến của độ đo Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

3.2 Định lý Kakutani về tích vô hạn các độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

3.3 Định lý Feldman-Hajek về tính tương đương của các độ đo Gauss trong
không gian Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

82


MỤC LỤC
Kết luận

90

1


Lời mở đầu

Ngày nay, Lý thuyết xác suất có lẽ là một ngành toán học không còn xa lạ gì đối với mọi
người vì tính ứng dụng thực tiễn của nó trong rất nhiều lĩnh vực trong cuộc sống. Chính
vì tầm quan trọng của bộ môn này nên nó đã trở thành một ngành nghiên cứu được
quan tâm một cách đặc biệt và đương nhiên nó bao hàm một lượng kiến thức rất rộng
lớn, chuyên sâu. Vì kiến thức hạn hẹp nên tác giả cũng chỉ xin tìm hiểu và nghiên cứu
một đề tài nhỏ đó là "Độ đo xác suất Gauss trên không gian Banach".
Như ta đã biết độ đo Lebesgue đóng vai trò rất quan trọng trong định lý tích phân trong
không gian Rn Nhưng một câu hỏi đặt ra là: Liệu độ đo Lebesgue có nghĩa trong không
gian vô hạn chiều hay không. Rất tiếc câu trả lời là không. May mắn là, độ đo Gauss có
nghĩa trong không gian vô hạn chiều và đây chính là trọng tâm trong nghiên cứu của
chúng ta trong luận văn này.
Luận văn của tác giả được chia làm 3 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, tác giả xin giới thiệu về các kiến thức chuẩn bị để làm tiền đề
giúp người đọc có thể dễ dàng theo dõi các chương sau. Chương này tác giả chủ yếu giới
thiệu về các không gian cơ bản đó là không gian metric, không gian Banach và không
gian Hilbert, đồng thời nhắc lại các kiến thức về các toán tử liên quan trong không gian
Hilbert cũng như khái niệm về phân phối hữu hạn chiều.
Chương 2. Độ đo Gauss trong không gian Banach
Trong chương này, tác giả trình bày các kiến thức về độ đo xác suất Gauss trong không
gian Hilbert (một không gian Banach đặc biệt) và các vấn đề liên quan.
Chương 3. Tính tương đương và tính trực giao của độ đo Gauss
Trong chương này, tác giả giới thiệu một số định nghĩa, khái niệm và các tính chất
2


liên quan đến độ đo Gauss là tính tương đương và tính trực giao.
Để nghiên cứu về đề tài "Độ đo Gauss trên không gian Banach", tác giả đã tham khảo
một số tài liệu trong và ngoài nước về Lý thuyết xác suất. Trong đó
◦ Nội dung chính chương 1 của luận văn tham khảo tài liệu [1] [2] [7] [4] và [3];

◦ Nội dung chính chương 2 của luận văn tham khảo tài liệu [7];
◦ Nội dung chính chương 3 của luận văn tham khảo tài liệu [7] và [6];

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1. Tập hợp X được gọi là một không gian metric nếu tồn tại ánh xạ d :
X × X → [0 : ∞) có tính chất sau:

1. d (x, y) > 0 với mọi cặp (x, y) của X × X và d (x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y .
2. d (x, y) = d (y, x).
3. Với mọi x, y, z ∈ X ta có bất đẳng thức tam giác sau
d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z).

Ánh xạ d được gọi là hàm khoảng cách hay metric trên X . Tập X cùng với metric d
được gọi là không gian metric với metric d và được ký hiệu là (X , d ). Các phần tử của
không gian metric thường được gọi là điểm.
Định nghĩa 1.1.2. Cho (X , d ) là không gian metric.
1. Với mỗi số thực r > 0 và điểm a ∈ X , tập B (a, r ) = {x ∈ X : d (a, x) < r } được gọi là hình
cầu mở tâm a với bán kính r . Tập B (a, r ) = {x ∈ X : d (a, x) ≤ r } được gọi là hình cầu
đóng tâm a với bán kính r . Tập S r (a) = {x ∈ X : d (a, x) = r } được gọi là mặt cầu tâm a
với bán kính r .
4

1.1. KHÔNG GIAN METRIC
2. Cho A và B là hai tập con khác trống của X . Khoảng cách giữa A và B được định
nghĩa là
d (A, B ) =

inf

x∈A,y∈B

d (x, y).

Nói riêng khi A = {a} thì khoảng cách d ({a}, B ) được gọi là khoảng cách từ điểm a tới
tập B và ký hiệu là d (a, B ) tức là
d (a, B ) = inf d (a, y).
y∈B

3. Cho A tập con khác trống của X . Đường kính của A ký hiệu là δ(A) được định nghĩa
là
δ(A) = sup d (x, y).
x∈A,y∈A

Chú ý rằng δ(A) ≥ 0 (có thể là bằng +∞) và δ(A) = 0 nếu và chỉ nếu A là tập chỉ gồm
duy nhất một điểm. Ngoài ra x, y ∈ B (a, r ) → d (x, y) ≤ d (x, a) + d (a, y) < 2r do đó
δ(B (a, r )) ≤ 2r.

4. Tập con A khác trống của X được gọi là tập bị chặn nếu δ(A) < +∞. Dễ thấy A bị chặn
khi và chỉ khi tồn tại hình cầu B (x 0 , r ) chứa A .
5. Tập con A khác trống của X được gọi là hoàn toàn bị chặn nếu với mọi r > 0 tồn tại
một số hữu hạn các hình cầu B 1 , . . . , B n (mở hay đóng) có bán kính bé hơn hay bằng

r sao cho
A ⊂ E1 ∪ E2 ∪ . . . ∪ En .

Tức là với mọi r > 0 tập A được phủ bởi một số hữu hạn hình cầu (mở hay đóng) có
bán kính ≤ r .
Hiển nhiên một tập hoàn toàn bị chặn là bị chặn. Trong không gian hữu hạn chiều
thì điều ngược lại cũng đúng còn nói chung thì điều ngược lại không đúng.
Tiếp theo là các định nghĩa về tập mở, tập đóng, lân cận và không gian con.
Định nghĩa 1.1.3. Cho (X , d ) là không gian metric.
5


1.1. KHÔNG GIAN METRIC
1. Tập A ⊂ X được gọi là tập mở nếu với mọi x ∈ A tồn tại r > 0 sao cho B (x, r ) ⊂ A.
2. Cho x ∈ X . Mỗi tập mở V chứa x được gọi là một lân cận mở của x .
3. Điểm x ∈ X được gọi là điểm trong của tập A ⊂ X nếu tồn tại lân cận mở V của x sao
cho V ⊂ A .
4. Tập tất cả các điểm trong của A được gọi là phần trong của A và ký hiệu A o . Tập
A ⊂ X được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó A c là tập mở.

5. Điểm x ∈ X được gọi là điểm dính của tập A ⊂ X nếu mọi lân cận của x đều có giao
khác trống với A . Tập tất cả các điểm dính của A được gọi là bao đóng của A và ký
hiệu là A.
6. Điểm x ∈ X được gọi là điểm biên của tập A ⊂ X nếu nó là điểm dính cả của A và cả
của A c . Tập tất cả các điểm biên của A được gọi là biên của A và ký hiệu là F r (A).
7. Tập A ⊂ X gọi là trù mật trong X nếu X = A.
8. Ký hiệu B(X ) là σ− đại số bé nhất chứa các tập mở. Mỗi tập B ∈ B(X ) được gọi là tập
Borel của X .
9. Không gian metric X gọi là khả ly nếu trong X tồn tại tập A đếm được trù mật trong
X.

10. Dãy (x n ) ⊂ X được gọi là hội tụ tới x ∈ X nếu
lim d (x n , x) = 0.

11. Dãy (x n ) ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại n 0 sao cho nếu
n > n 0 , m > n 0 thì d (x n , x m ) < ε.

12. Không gian metric X gọi là đầy đủ nếu với mọi dãy Cauchy (x n ) ⊂ X đều hội tụ.
Một số kết quả cần nhớ.

6


1.2. KHÔNG GIAN BANACH
Định lý 1.1.4.

1. Hình cầu mở là tập mở. Hình cầu đóng là tập đóng. Mặt cầu là tập

đóng.
2. Hợp của một số tùy ý các tập mở là tập mở. Giao của một số hữu hạn các tập mở là
tập mở.
3. Giao của một số tùy ý các tập đóng là tập đóng. Hợp của một số hữu hạn các tập
đóng là tập đóng.
4. Với mỗi tập A , phần trong A o là tập mở lớn nhất bị chứa trong A và bao đóng A là
tập đóng nhỏ nhất chứa A .
5. Với mọi cặp tập hợp A, B ta có
(A ∩ B )o = A o ∩ B o ,

(A ∪ B ) = A ∪ B .

6. Giả sử (Y , d ) là không gian con của không gian metric (X , d ). Để tập B ⊂ Y là mở
(đóng) trong Y cần và đủ là tồn tại tập A mở (đóng) trong X sao cho B = A ∩ X .
7. Nếu A và B là hai tập con đóng rời nhau của X thì luôn tìm được hai tập mở rời
nhau V , U sao cho A ⊂ V, B ⊂ W. Tính chất này gọi là tính chất chuẩn tắc của không
gian metric X .

1.2

Không gian Banach

Định nghĩa 1.2.1. Cho E là một không gian vector trên trường K (K = R hoặc K = C). Một
chuẩn trên E là một ánh xạ p : E → R thỏa mãn các điều kiện
1. p(x) ≥ 0 ∀x ∈ E .
2. p(x) = 0 ⇔ x = θ , ở đó θ là phần tử không.
3. ∥ t x ∥= |t | ∥ x ∥ ∀t ∈ K .
7


1.2. KHÔNG GIAN BANACH
4. p(x + y) ≤ p(x) + p(y) ∀x, y ∈ E .
Ký hiệu ∥ x ∥= p(x) và ∥ x ∥ được gọi là chuẩn của x .
Một không gian vector E cùng với chuẩn ∥ · ∥ xác định trên đó gọi là không gian định
chuẩn.
Nếu E là không gian định chuẩn thì E cũng là một không gian metric với khoảng cách
d (x, y) =∥ x − y ∥ .

Định nghĩa 1.2.2. Không gian định chuẩn E gọi là không gian Banach nếu E là một
không gian metric đầy đủ với metric nói trên.
Tất nhiên tất cả các kết quả về không gian metric đều áp dụng được cho các không
gian định chuẩn với metric định nghĩa như trên. Đặc biệt, ta chú ý đến một số kết quả

sau.
Định lý 1.2.3. Cho không gian định chuẩn E .
1. Nếu x 0 ∈ E và A ⊂ E là tập mở (đóng), thì tập x 0 + A = {x 0 + x : x ∈ A} là tập mở (đóng).
2. Nếu λ = 0 và A ⊂ E là tập mở (đóng), thì tập λA = {λx : x ∈ A} là tập mở (đóng).
A. Toán tử tuyến tính liên tục.
Định lý 1.2.4. Cho E và F là hai không gian định chuẩn và A : E → F là một toán tử tuyến
tính. Khi đó A liên tục khi và chỉ khi A bị chặn tức là tồn tại hằng số M sao cho
∥ Ax ∥≤ M ∥ x ∥

∀x ∈ E .

Chuẩn của toán tử bị chặn A , ký hiệu bởi ∥ A ∥, là số M nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức
trên. Dễ thấy
∥ A ∥= sup ∥ Ax ∥= sup ∥ Ax ∥ .
∥x∥=1

∥x∥≤1

Ký hiệu L(E , F ) là tập các toán tử tuyến tính liên tục A : E → F. Khi đó L(E , F ) là một không
gian định chuẩn với toán tử xác định như trên. Nếu F là một không gian Banach thì
8


1.2. KHÔNG GIAN BANACH
L(E , F ) cũng là một không gian Banach.

Ba kết quả sau đây gọi là ba nguyên lý cơ bản của lý thuyết toán tử tuyến tính
Định lý 1.2.5.

• (Nguyên lý bị chặn đều) Giả sử E là không gian Banach, F là không

gian định chuẩn và {A i }i ∈I là một họ tùy ý các phần tử của L(E , F ). Nếu với mỗi x ∈ E
ta có
sup ∥ A i x ∥< ∞
i ∈I

thì
sup ∥ A i ∥< ∞.
i ∈I

• (Nguyên lý ánh xạ mở) Giả sử E , F là các không gian Banach và A ∈ L(E , F ). Khi đó

với mỗi tập mở G ⊂ E tập A(G) ⊂ Y cũng là mở.
Từ đó suy ra nếu A là song ánh thì A −1 : F → E là toán tử tuyến tính liên tục.
• (Định lý đồ thị đóng) Giả sử E , F là các không gian Banach và A : E → F là toán tử

tuyến tính. Khi đó A liên tục khi và chỉ khi đồ thị của A là đóng theo nghĩa sau đây:
với mọi dãy (x n ) ⊂ E nếu limn x n = x 0 , limn Ax n = y 0 thì y 0 = Ax 0 .
B. Không gian liên hợp và toán tử liên hợp.
Định nghĩa 1.2.6. Nếu E là không gian định chuẩn trên trường K (K = R hoặc K = C) thì
tập L(E , K ) được gọi là không gian liên hợp của E và được ký hiệu là E ∗ . Mỗi phần tử
f ∈ L(E , K ) được gọi là một phiếm hàm tuyến tính.

Như vậy nếu f ∈ E ∗ thì
∥ f ∥= sup | f (x)| = sup | f (x)|.
∥x∥=1

∥x∥≤1

Người ta thường ký hiệu f (x) bởi x, f . Như vậy ta có bất đẳng thức

x, f

≤∥ x ∥ ∥ f ∥ .

Một kết quả sâu sắc của lý thuyết không gian định chuẩn là định lý Hahn-Banach sau
đây về thác triển một phiếm hàm tuyến tính.
9


1.2. KHÔNG GIAN BANACH
Định lý 1.2.7. Cho E là không gian định chuẩn và M ⊂ E là một không gian con tuyến
tính của E . Nếu f ∈ L(M , K ) thì tồn tại f˜ ∈ L(E , K ) sao cho f˜(x) = f (x) ∀x ∈ M và ∥ f˜ ∥=∥ f ∥.
Từ định lý Hahn-Banach ta suy ra kết quả quan trọng sau.
Định lý 1.2.8. Với mỗi x 0 ∈ E có tồn tại f 0 ∈ E ∗ sao cho f 0 , x 0 =∥ x 0 ∥ và ∥ f 0 ∥= 1. Từ đó suy
ra
∥ x ∥=

x, f

sup

.

(∗)

∥ f ∥≤1, f ∈E ∗

Nếu E khả ly thì chưa chắc E ∗ khả ly. Tuy nhiên:
Định lý 1.2.9. Nếu E ∗ khả ly thì E khả ly.
Ký hiệu E ∗∗ là không gian liên hợp của E ∗ . Với mỗi x ∈ E , ánh xạ T x : f → f (x) là một

phần tử của E ∗∗ và do (∗) nên
∥ x ∥=∥ T x ∥ .

Vì thế có thể đồng nhất E với một không gian con của E ∗∗ .

Định nghĩa 1.2.10. Không gian định chuẩn E được gọi là phản xạ nếu E = E ∗∗ .
Định nghĩa 1.2.11. Cho A ∈ L(E , F ). Khi đó tồn tại và duy nhất một toán tử tuyến tính liên
tục A ∗ : F ∗ → E ∗ sao cho với mọi f ∈ F ∗ , x ∈ E
x, A ∗ f = Ax, f .
A ∗ được gọi là toán tử liên hợp của A .

Định lý 1.2.12. Giả sử E , F, H là các không gian Banach và A, B ∈ L(E , F ),C ∈ L(F, H ). Khi đó
• ∥ A ∗ ∥=∥ A ∥.
• (λA)∗ = λA ∗ , (A + B )∗ = A ∗ + B ∗ , (C A)∗ = A ∗C ∗ .
• Nếu tồn tại A −1 ∈ L(F, E ) thì tồn tại (A ∗ )−1 và
(A ∗ )−1 = (A −1 )∗ .

10


1.2. KHÔNG GIAN BANACH
C. Sự hội tụ.
∞
Định nghĩa 1.2.13. Cho (x n )∞
n=0 ⊂ E , (A n )n=0 ⊂ L(E , F ).

• Dãy (x n ) gọi là hội tụ tới x 0 nếu limn ∥ x n − x 0 ∥= 0.
• Dãy (x n ) gọi là hội tụ yếu tới x 0 nếu

lim f , x n = f , x 0

n

• Chuỗi

∞
n=1 x n

∀ f ∈ X ∗.

gọi là hội tụ (hội tụ yếu) tồn tại s 0 sao cho dãy (s n ) hội tụ (hội tụ yếu)

tới s 0 ở đó

n

xi .

sn =
i =1

• Dãy (A n ) gọi là hội tụ tới A 0 nếu với mỗi x ∈ X dãy (A n x) hội tụ tới A 0 x .
• Dãy (A n ) gọi là hội tụ yếu tới A 0 nếu với mỗi x ∈ X dãy (A n x) hội tụ yếu tới A 0 x .
• Dãy (A n ) gọi là hội tụ theo chuẩn tới A 0 nếu

lim ∥ A n − A 0 ∥= 0.

∞
Định lý 1.2.14. Cho (x n )∞
n=0 ⊂ X , (A n )n=0 ⊂ L(E , F )

• Giả sử E là không gian Banach. Để chuỗi

∞
n=1 x n

hội tụ điều kiện cần và đủ là với

mọi ε > 0 tồn tại n 0 sao cho với mọi n ≥ n 0 , với mọi p ta có
∥ x n+1 + . . . + x n+p ∥< ε.

• Nếu dãy (x n ) hội tụ tới x 0 thì dãy (x n ) ⊂ E hội tụ yếu tới x 0 . Điều ngược lại không

đúng.
• Nếu dãy (x n ) hội tụ yếu tới x 0 thì supn ∥ x n ∥< ∞ và
∥ x 0 ∥≤ lim inf ∥ x n ∥ .

11


1.3. KHÔNG GIAN HILBERT
• Nếu dãy (x n ) ⊂ X hội tụ yếu tới x 0 thì dãy (A 0 x n ) hội tụ yếu tới A 0 x 0 .
• Nếu dãy (A n ) hội tụ theo chuẩn tới A 0 và dãy (x n ) ⊂ X hội tụ yếu tới x 0 thì A n x n hội

tụ yếu tới A 0 x 0 .

1.3

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.3.1. Cho E là không gian vector (trong trường số phức C). Một ánh xạ ϕ :

E × E → C được gọi là dạng Hermite trên E nếu nó thỏa mãn:

1. ϕ(x 1 + x 2 , y) = ϕ(x 1 , y) + ϕ(x 2 , y),
2. ϕ(λx, y) = λϕ(x, y),

∀x 1 , x 2 , y ∈ E .

∀x, y ∈ E , ∀λ ∈ C.

3. ϕ(x, y) = ϕ(y, x), ∀x, y ∈ E .
Trong đó, với z ∈ C, z là số phức liên hợp của z .
Từ định nghĩa trên ta có:
ϕ(x, y 1 + y 2 ) = ϕ(x, y 1 ) + ϕ(x, y 2 ),
ϕ(x, λy) = λϕ(x, y),

∀x, y 1 , y 2 ∈ E .

∀x, y ∈ E , ∀λ ∈ C.

Định nghĩa 1.3.2. Dạng Hermite ϕ trên E được gọi là dương nếu ϕ(x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ E
và được kí hiệu là ϕ ≥ 0.
Định nghĩa 1.3.3. Tích vô hướng trên không gian vector E là dạng Hermite ϕ ≥ 0 trên E
thỏa mãn điều kiện:
ϕ(x, x) = 0 ⇒ x = 0.

Để thuận tiện, ta sẽ ký hiệu ϕ(x, y) bằng x, y và gọi là tích vô hướng của hai vector x
và y .
Bổ đề 1.3.4. Dạng Hermite ϕ ≥ 0 trên E là tích vô hướng nếu và chỉ nếu ϕ không suy biến,
tức là:
x ∈ E , x = 0 ⇔ ϕ(x, y) = 0 ∀y ∈ E .

12


1.3. KHÔNG GIAN HILBERT
Định nghĩa 1.3.5. Không gian vector E cùng với một tích vô hướng 〈·, ·〉 trên đó gọi là
không gian tiền Hilbert.
Ta có hai bất đẳng thức quan trọng sẽ được áp dụng trong những chương sau:
Mệnh đề 1.3.1. (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)
Giả sử ϕ là dạng Hermite không âm trên không gian vector E . Khi đó,
|ϕ(x, y)|2 ≤ ϕ(x, x)ϕ(y, y), ∀x, y ∈ E .

Với x ∈ E , ta đặt ∥ x ∥= 〈x, x〉. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ở trên có thể được phát
biểu lại như sau:
| x, y | ≤∥ x ∥ ∥ y ∥, ∀x, y ∈ E

.
Mệnh đề 1.3.2. (Bất đẳng thức Minkowski)
Nếu ϕ là dạng Hermite không âm trên không gian vector E thì:
ϕ(x + y, x + y) ≤

ϕ(x, x) +

ϕ(y, y), ∀x, y ∈ E .

Tương tự, bằng việc với x ∈ E , ta đặt ∥ x ∥= 〈x, x〉.
Khi đó, bất đẳng thức Minkowski được phát biểu lại như sau:
∥ x + y ∥≤∥ x ∥ + ∥ y ∥ .

Từ định nghĩa và quy ước đã đặt ra ở trên ta có:

a. ∥ x ∥≥ 0, ∀x ∈ E ; ∥ x ∥= 0 thì x = 0.
b. ∥ λx ∥= |λ| ∥ x ∥, ∀λ ∈ C, ∀x ∈ E .
Như vậy, ta thấy với mọi không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn với chuẩn
sinh bởi tích vô hướng
∥ x ∥=

〈x, x〉, x ∈ E .

Nếu không gian định chuẩn này là đầy đủ thì E gọi là không gian Hilbert.
13


1.4. TOÁN TỬ HILBERT-SCHMIDT VÀ TOÁN TỬ LỚP VẾT
Mệnh đề 1.3.3. Nếu E là không gian tiền Hilbert thì tích vô hướng của nó liên tục trên
E ×E.

1.4

Toán tử Hilbert-Schmidt và toán tử lớp vết

Cho H là một không gian Hilbert khả ly với chuẩn | · | = 〈·, ·〉. Cho A là một toán tử tuyến
tính của H .
Định lý 1.4.1. Cho {e n } và {d n } là hai cơ sở trực chuẩn bất kì của H , khi đó
∞
n=1

∞
2
n=1 |Ae n |

|Ad n |2 .

n=1

Chú ý. Định lý trên chỉ ra rằng nếu
với bất kì {dn } khác, và nếu

∞

|Ae n |2 =

∞
2
n=1 |Ae n |

là hội tụ đối với {e n }, thì cũng là hội tụ

là phân kỳ, thì cũng là phân kỳ với bất kì {dn } khác.

Định nghĩa 1.4.2. Một toán tử tuyến tính A của H được gọi là toán tử Hilbert-Schmidt
∞
2
n=1 |Ae n |

nếu, với các cơ sở trực chuẩn {e n } của H thì

< ∞. Một chuẩn Hilbert-Schmidt

của A được định nghĩa như sau:
∞

∥ A ∥2 =

|Ae n |2

1/2

.

n=1

Chú ý. ∥ A ∥2 không phụ thuộc vào sự lựa chọn {e n } theo Định lí 1.4.1.
Định lý 1.4.3.
(a) ∥ A ∗ ∥2 =∥ A ∥2 ,
(b) ∥ αA ∥2 = |α| ∥ A ∥2 , α : đại lượng vô hướng,
(c) ∥ A + B ∥2 ≤∥ A ∥2 + ∥ B ∥2 ,
(d ) ∥ A ∥≤∥ A ∥2 , trong đó ∥ A ∥= sup
x=0

|Ax|
,
|x|

(e) ∥ AB ∥2 ≤∥ A ∥∥ B ∥2 , ∥ AB ∥2 ≤∥ A ∥2 ∥ B ∥,

Chú ý. (a) chỉ ra rằng nếu A là một toán tử Hilbert-Schmidt thì toán tử liên hợp A ∗ của
nó cũng là toán tử Hilbert-Schmidt. Một cách giải thích tương tự có thể được áp dụng
14

1.4. TOÁN TỬ HILBERT-SCHMIDT VÀ TOÁN TỬ LỚP VẾT
cho các khẳng định khác.
Kí hiệu: L (2) (H ) được kí hiệu là tập hợp các toán tử Hilbert-Schmidt của H . L(H ) được kí
hiệu là tập hợp các toán tử tuyến tính bị chặn của H . Theo định lý 1.4.3(d), L (2) (H ) ⊂ L(H ).
Nếu H là hữu hạn chiều, thì L (2) (H ) = L(H ). Nhưng nếu H là vô hạn chiều, thì L (2) (H ) =
L(H ). (Tức là, toán tử đồng nhất I của H thuộc L(H ) nhưng không thuộc L 2 (H )).

Định nghĩa 1.4.4. Cho A và B thuộc L (2) (H ). Định nghĩa tích trong Hilbert-Schmidt 〈〈A, B 〉〉
của A và B như sau:
∞

〈〈A, B 〉〉 =

〈Ae n , B e n 〉 ,
n=1

trong đó {e n } là một cơ sở trực chuẩn của H .
|Ae n |2 + |B e n |2 và ta thấy rằng

Chú ý: Chuỗi trên hội tụ tuyệt đối, bởi vì 2| 〈Ae n , B e n 〉 |
〈〈A, B 〉〉 hoàn toàn xác định.

Định lý 1.4.5. L (2) (H ) với tích trong 〈〈·, ·〉〉 là một không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.4.6. Một toán tử của H được gọi là compact nếu nó đưa bất kì tập con bị
chặn nào của H vào một tập đóng là compact.
Định lý 1.4.7 (Khai triển cực). Cho A là một toán tử compact của H . Khi đó A có thể được
viết dưới dạng A = U T , trong đó T là một toán tử compact xác định dương của H , và U là
một ánh xạ đẳng cự có miền thuộc T vào H .

Định lý 1.4.8. Nếu A là một toán tử compact tự liên hợp, thì tồn tại một cơ sở trực chuẩn

{e n } của H sao cho

∞

Ax =

λn 〈x, e n 〉 e n ,

n=1

Trong đó các λn là các số thực và λn → 0 khi n → ∞.
Chú ý: các λn được gọi là các giá trị riêng và các e n được gọi là các vector riêng. Và khi A là
xác định dương, thì λn ≥ 0.
Định nghĩa 1.4.9. Một toán tử compact A của H được gọi là một toán tử lớp vết nếu
∞
n=1 λn

1

< ∞, trong đó các λn là các giá trị riêng của (A ∗ A) 2

15


1.5. GIỚI THIỆU VỀ PHÂN PHỐI HỮU HẠN CHIỀU
Kí hiệu: L (1) (H ) kí hiệu cho tập hợp các toán tử vết lớp của H . Nếu A ∈ L (1) (H ), định
nghĩa một chuẩn lớp vết của A bởi
∞

||A||1 =

λn .

n=1

Định nghĩa 1.4.10. Nếu A ∈ L (1) (H ), thì vết của A được định nghĩa như sau:
t r ace A =

∞
n=1 〈Ae n , e n 〉 ,

trong đó {e n } là một cơ sở trực chuẩn của H .

Định lý 1.4.11.
|α| ||A||1 , α ∈ C ,

(a) ||αA||1
(b) ||A + B ||1
(c) ||A||

||A||1 + ||B ||1 ,

||A||1 ,

(d ) Nếu A, B ∈ L (2) (H ) thì AB ∈ L (1) (H ) và ||AB ||1
(e) ||A||2
( f ) ||AB ||1

||A||2 ||B ||2 ,

||A||1 ,
||A|| ||B ||1 , ||AB ||1

||A||1 ||B ||,

(g ) ||A ∗ ||1 = ||A||1 .

Thật trùng hợp, suy ra từ A = (U T ) T ta có những điều sau:
Hệ quả 1.4.12. Bất kỳ toán tử lớp vết nào cũng có thể được viết như một tích của 2 toán
tử Hilbert-Schmidt.
Định lý 1.4.13. L (1) (H ) là một không gian Banach với một chuẩn lớp vết.

1.5

Giới thiệu về phân phối hữu hạn chiều

Phân phối hữu hạn chiều thực chất là ta làm việc với vector ngẫu nhiên hữu hạn chiều
(nên còn được gọi là phân phối của vector ngẫu nhiên).
Trong Rd ta có thể đưa vào quan hệ thứ tự bộ phận. Với x = (x 1 , . . . , x d ), y = (y 1 , . . . , y d ) ∈ Rd ,
ta viết
x ≤ y nếu x k ≤ y k , k = 1, . . . , d ,

16


1.5. GIỚI THIỆU VỀ PHÂN PHỐI HỮU HẠN CHIỀU
x < y nếu x k < y k , k = 1, . . . , d ,

Tập hợp [x, y) := {u ∈ R d : x ≤ u < y}.
Giả sử X = (X 1 , . . . , X d ) là vector ngẫu nhiên d chiều xác định trên (Ω, F, P ).

Như đã biết, hàm số
F (x) = P [X < x] ≡ P [X 1 < x 1 , . . . , X d < x d ],
x = (x 1 , . . . , x d ) ∈ Rd là hàm phân phối của vector ngẫu nhiên X . Vì
F (x) = P X (−∞, x), x ∈ Rd ,

nên như đã biết, hàm F có các tính chất sau:
i) 0 ≤ F (x) ≤ 1.
ii) Nếu x k → −∞ với một k nào đó thì lim F (x) = 0.
Nếu x 1 → +∞, . . . , x d → +∞ thì lim F (x) = 1.
iii) Hàm F liên tục trái.
iv)

1
h1

2
...
h2

d
F (x) ≥ 0
hd

với hk > 0, k = 1, . . . , d bất kỳ,

trong đó nếu g (x) = g (x 1 , . . . , x d ) là hàm số bất kỳ, toán tử sai phân
k
hk

k

hk

được xác định bởi

= g (x 1 , . . . , x k−1 , x k + h k , x k+1 . . . , x d ) − g (x 1 , . . . , x k , . . . , x d ).

Chẳng hạn, khi d = 2 ta có:
1
h1

2
h 2 F (x) = F (x 1 + h 1 , x 2 + h 2 ) − F (x 1 + h 1 , x 2 ) − F (x 1 , x 2 + h 2 ) + F (x 1 , x 2 ).

Dễ dàng thấy rằng
P [X ∈ [x, x + h]] =

1
h1

2
h2 . . .

d
h d F (x).

Ngược lại, như trường hợp d = 1, nếu hàm số d biến số F (x) thỏa mãn 4 tính chất trên thì
F sẽ là hàm phân phối của vector ngẫu nhiên d − chiều nào đó.

Thật vậy, ta có thể lấy không gian đo (Rd , B(Rd )). Trên lớp C = {[a, b), a < b} đặt
P 0 [a, b] =

1
b 1 −a 1

2
b 2 −a 2 . . .

17

d
b d −a d F (a).


1.5. GIỚI THIỆU VỀ PHÂN PHỐI HỮU HẠN CHIỀU
Sau đó, nhờ nguyên lý thác triển độ đo, có thể thác triển P 0 từ C lên B(Rd ) để được độ đo
xác suất P trên B(Rd ). Vector ngẫu nhiên X cần tìm chính là ánh xạ đồng nhất từ Rd lên
Rd .
• Vector ngẫu nhiên d − chiều X được gọi là có phân phối rời rạc nếu tồn tại tập

không quá đếm được S = {x i , i ∈ I } ⊂ Rd sao cho P [X ∈ S] = 1.
Đặt p i = P [X = x i ], i ∈ I . Khi đó
P [X ∈ B ] =

pi .
i :x i ∈B

Ví dụ 1. Phân phối đa thức.
Vector ngẫu nhiên d − chiều X được gọi là có phân phối đa thức với các tham số
n, p 1 , . . . , p d , ở đây n ∈ N∗ , p 1 , . . . , p d ≥ 0, p d +1 = 1 − (p 1 + . . . + p d ) nếu
P [X 1 = k 1 , . . . , X d = k d ] =

n!
k +1
k k
p 1 1 p 2 2 . . . p dd+1
,
k 1 !k 2 ! . . . k d +1 !

ở đây 0 ≤ ki ≤ n, kd +1 = n − (k1 + . . . + kd ) ≥ 0.
• Vector ngẫu nhiên X = (X 1 , . . . , X d ) được gọi là có phân phối liên tục tuyệt đối nếu

tồn tại một hàm Borel f : Rd → R1 khả tích sao cho
xd

x1

F X (x 1 , . . . , x d ) =
−∞

...

f (t 1 , . . . , t d )d t 1 . . . d t d ,

−∞

với mỗi x = (x 1 , . . . , x d ) ∈ Rd .
Hàm f (t ) được gọi là hàm mật độ của X hay mật độ đồng thời của X 1 , . . . , X d .
Từ định nghĩa ta có ngay
P [X ∈ B ] =

...

f (x 1 , . . . , x d )d x 1 . . . d x d , B ∈ B(Rd ).

B

18


1.5. GIỚI THIỆU VỀ PHÂN PHỐI HỮU HẠN CHIỀU
Giả sử X = (X 1 , . . . , X d ). Đặt Y = (X 1 , . . . , X k ), k < d . Khi đó
F Y (x 1 , . . . , x k ) =P [X 1 < x 1 , . . . , X k < x k ]
=P [X 1 < x 1 , . . . , X k < x k , X k+1 < +∞, . . . , X d < +∞]
=F X (x 1 , . . . , x k , +∞, . . . , +∞).

Từ đó nếu C ∈ B(Rk ) và B = C × Rd −k và X có mật độ f (x), x ∈ Rd thì
P [Y ∈ C ] =P [X ∈ B ] =

f (x)d x
B
+∞

+∞

=

C

=

f (x 1 , . . . , x d )d x 1 . . . d x d

...

...

−∞

−∞

...

...

C

Rd −k

f (x 1 , . . . , x k , x k+1 , . . . , x d )d x k+1 . . . d x d d x 1 . . . d x k .

Như vậy, Y cũng có phân phối liên tục tuyệt đối với hàm mật độ
f Y (y 1 , . . . , y k ) =

...

f (y 1 , . . . , y k , x k+1 , . . . , x d )d x k+1 . . . d x d .

Rd −k

Từ định nghĩa của hàm mật độ đồng thời, ta có

∀x ∈ Rd , f (x) ≥ 0 và

f (x)d x = 1.
Rd

Ngược lại, nếu f (x) là hàm mật độ của X = (X 1 , . . . , X d ) thì hầu khắp nơi
∂d F X (x 1 , . . . , x d )
= f (x 1 , . . . , x d ).
∂x 1 ∂x 2 . . . ∂x d

Ví dụ 2.Phân phối chuẩn nhiều chiều.
Giả sử a = (a1 , . . . , ad ) là vector d chiều và M = (mi j )di, j =1 là ma trận vuông cấp n . Giả
thiết rằng M đối xứng và xác định dương và A = M −1 . Ta nói rằng vector ngẫu

19


1.5. GIỚI THIỆU VỀ PHÂN PHỐI HỮU HẠN CHIỀU
nhiên X = (X 1 , . . . , X d ) có phân phối chuẩn N (a, M ) nếu mật độ của X có dạng
ϕ(x) =

d et A
(2π)d /2

1
exp − (x − a)A(x − a) ,
2

trong đó
(x − a)A(x − a) =

a i j (x i − a i )(x j − a j ).
i

20

j


Chương 2
Độ đo Gauss trong không gian Banach
2.1

Độ đo Borel trong không gian Hilbert

Cho H là một không gian Hilbert thực khả ly. B kí hiệu cho một trường Borel của H , tức
là σ − trường sinh ra bởi các tập con mở của H . Một độ đo Borel trong H theo định nghĩa
là một độ đo xác định trong (H , B).

Định nghĩa 2.1.1. Cho µ là một độ đo Borel trong H . Một toán tử hiệp phương sai S µ của
µ được định nghĩa bởi
〈x, z〉 y, z µ(d z), x, y ∈ H .

S µ x, y =
H

Chú ý. S µ có thể không tồn tại. Nếu S µ tồn tại thì S µ xác định dương và là tự liên hợp.
Định nghĩa 2.1.2. Một toán tử được gọi là một S-toán tử của H nếu nó thuộc L (1) (H ), xác
định dương và tự liên hợp. S kí hiệu cho tập hợp các S-toán tử của H .
Chú ý. Rõ ràng S không là một không gian vector. S sẽ được coi như một tập hợp. Chú

ý rằng nếu A ∈ S thì ||A||1 = t r ace A .
Định lý 2.1.3.
H

|x|2 µ(d x) < ∞ khi và chỉ khi S µ ∈ S.

Thực tế, t r ace S µ = |x|2 µ(d x)
H

21