Đề, đáp án HSG Tỉnh Yên Bái năm học 2006-2007

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – HƯỚNG DẪN GIẢI
Năm học: 2006 – 2007
Bài 1 (3 điểm). Cho
A 2005 2007= +
;
B 2 2006=
. A lớn hơn hay nhỏ hơn B? Hãy chứng minh
Giải: Vì 20062 - 1 < 20062 nên (2006 - 1) ( 2006 + 1) < 20062
⇒ 2005 . 2007 < 20062 ⇒ 2.
2007.2005
< 2. 2006
⇒ 2.2006 + 2.
2007.2005
< 4. 2006 ⇒ (
2005
+
2007
)2 < 4.
2006
⇒
2005
+
2007
< 2.
2006
. Vậy A nhỏ hơn B
Bài 2 (4 điểm). Cho 1 ≤ m ≤ 2 và 1 ≤ n ≤ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
3 3
(m n)
A

m n
+
=
+
Giải:
2
2 2 2 2
(m n) m n m n m n 1 1
A 1 1 2
2mn mn mn m n
(m n)(m n mn) m n mn
+ + + +
= = ≤ = = + ≤ + =
−
+ + − + −
(Do m ≥ 1 và n ≥ 1 nên:
1 1
1; 1
m n
≤ ≤
). Dấu “=” xảy ra ⇔ m = n = 1
Bổ xung: có thể thêm yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
Ta có:
2
2 2 2 2
(m n) m n m n m n 1 1 1 1
A 1
(m n)(m n mn) m n mn 2mn mn mn m n 2 2
+ + + +
= = ≤ = = + ≥ + =

+ + − + − −
Dấu “=” xảy ra ⇔ m = n = 2
Bài 3 (4 điểm). Giải phương trình:
x x 2 2 x 1+ − = −
(1)
Giải: ĐK: x ≥ 2. Ta có: (1) ⇒
x 1 2 x 1 1 x 2 0− − − + + + =
⇔
2
( x 1 1) x 2 0− − + − =
⇔
x 1 1 0
x 2
x 2 0

− − =

⇔ =

− =


Bài 4 (5 điểm). Cho hàm số y = x
2
có đồ thị là đường cong (P) và hai điểm M, N thuộc (P) có hoành độ
lần lượt là –1 và 2
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M, N
b) Vẽ đồ thị (P) trên hệ trục tọa độ xOy và tìm tọa độ điểm E thuộc đoạn đường cong M, N của đồ thị
(P) sao cho ∆MNE có diện tích lớn nhất
Giải: a) Đường thẳng có phương trình là: y = ax +b

Ta có: M(-1,1), N( 2,4)
⇒ a và b là nghiệm của hệ:
a b 1 a 1
2a b 4 b 2
− + = =
 
⇔
 
+ = =
 
Vậy: phương trình đường thẳng đi qua M,N là: y = x + 2
b) Giả sử điểm E cần tìm có hoành độ là m∈[–1; 2] ⇒ E(m, m
2
)
Từ các điểm M,N,E ta kẻ đường vuông góc xuống trục hoành tại
các điểm lần lượt là: A,B,C. Ta có: AC = m+1; BC = 2 – m
và AB = 3, AM = 1; CE = m
2
; NB = 4
S
MNE
= S
ABNM
– (S
ACEM
+ S
BCEN
)
E
2 2

(1 4)3 (m 1)(m 1) (m 4)(2 m)
2 2 2
 
+ + + + −
= − +
 ÷
 
3 2 2 3
15 m m m 1 2m 8 m 4m
2 2
+ + + + + − −
= −
( )
2 2
2
3 3 1 9 27 3 1 27
m m 2 m m
2 2 2 4 8 2 2 8
 
   
= − − − = − − − = − − ≤
 
 ÷  ÷
   
 
 
Vậy: với E(1/2; 1/4) thì ΔMNE có diện tích lớn nhất
Bài 5 (4 điểm). Độ dài các cạnh của một tam giác là các số nguyên liên tiếp không nhỏ hơn 3 đơn vị độ
dài. Chứng minh rằng đường cao hạ xuống cạnh có độ dài lớn thứ hai thì chia cạnh này thành hai phần có
hiệu độ dài bằng 4

Giải: Giả sử ba cạnh của tam giác là n – 1, n, n + 1 (n ∈ Z, n > 4)
Đường cao chia cạnh có độ dài n thành hai đoạn x, y (giả sử x > y). Ta có:
x
2
= (n + 1)
2
– h
2
(1)
y
2
= (n – 1)
2
– h
2
(2)
Lấy (1) trừ (2) ta được: x
2
– y
2
= n
2
+ 2n + 1 – n
2
+ 2n – 1 = 4n
⇔ (x + y)(x – y) = 4n, mà x + y = n ⇒ x – y = 4