Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 4 Hàm số mũ và lôgarit

CHUYÊN ĐỀ 4 - HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Lũy thừa và căn thức:

an 

1
(với a  0 và n  ¥ * )
n
a
m
n

a  a  n a m (với a  0 và r 
r

m
,n¢ ,n¥ *)
n

a  lim a rn (với a  0,  ¡ , rn  ¤ và lim rn   ).
Khi n lẻ, b  n a  bn  a (với mọi a)

b  0

Khi n chẵn, b  n a  

n
b  a

(với a  0 ).

- Biến đổi lũy thừa: Với các số a  0, b  0, và  tùy ý, ta có:

a .a   a   ; a : a   a  ;  a   a


 a.b 



 a .b ;  a : b   a : b


- So sánh: Nếu 0  a  b thì: a  b    0; a  b    0
Lôgarit:
- Lôgarit cơ số a:   log a b  a  b ( 0  a  1 và b  0 )
- Lôgarit cơ số 10: log10 b  lg b hay logb
- Lôgarit cơ số e: loge b  ln b  e  2,7183
- Tính chất: log a 1  0 và log a ab  b với a  0, a  1 .

aloga b  b với a  0, b  0, a  1.
- Biến đổi lôgarit trong điều kiện xác định:

log a  b.c   log a b  log a c
log a

b
1
 log a b  log a c,log a     log a c
c

c

1
log a b   log a b (với mọi  ), log a n b  log a b ( n  ¥ * )
n
- Đổi cơ số trong điều kiện xác định:
Trang 1


logb x 

log a x
hay log a b.logb x  log a x
log a b

logb a 

1
1
hay log a b.logb a  1;log a b  log a b

log a b

Hàm số lũy thừa y  x :
Liên tục trên tập xác định của nó

 

 

Đạo hàm x '  ax 1 , u '   u 1u ' ;

 x
n

/

1



n

n x

 x  0 ,  n u 
n 1

/



u'
n u n1
n

, với u  u  x   0 .

Hàm số y  x đồng biến trên  0;  khi   0 ; nghịch biến trên  0;  khi   0 .
Hàm số mũ:

Liên tục trên tập xác định ¡ , nhận mọi giá trị thuộc  0;  .


lim a x  
x 
0

khi a  1
0
; lim a x  
khi 0  a  1 x


khi a  1
khi 0  a  1

 
 
 a  '  a u 'ln a;  e  '  e u ' với u  u  x  .

Đạo hàm: a x '  a x ln a; e x '  e x ;
u

u

u

u

Đồng biến trên ¡ nếu a  1 , nghịch biến trên ¡ nếu 0  a  1 .

Hàm số lôgarit y  log a x :
Liên tục trên tập xác định  0;  , nhận mọi giá trị thuộc ¡ .


lim log a x  
x 

Đạo hàm  log a x  ' 

 log a u  ' 

khi a  1

; lim log a x  
khi 0  a  1 x0


khi a  1
khi 0  a  1

1
1
1
;  ln a  '  ;  ln x  ' 
x ln a
x
x

u'
u'

u'
;  ln u  '  ;  ln u  ' 
với u  u  x  .
u ln a
u
u

Hàm số y  log a x đồng biến trên  0;  nếu a  1 , nghịch biến trên  0;  nếu 0  a  1 .
Giới hạn:

ln 1  x 
ex 1
 1
lim 1    e;lim
 1;lim
1
x 
x 0
x
x
 x
x

x 0

Trang 2


2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 4.1: Thực hiện phép tính



1



3

1
2
1

1
2
 1  3  1  5
0,75
0 2
3
3
3
A  81

    ; B  0,001   2  .64  8   9 
 125 
 32 

Hướng dẫn giải

 

A   3

3
4 4

 1 
  
 5 


3



1
3


 1 
    

 2 

5







3
5

Đăng ký mua file word trọn bộ

chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
  3

B  10

3

1

3

1
1
80
1
1
    
58 
3 
27

27
27
5
 2

1
3  3



 2 . 2
2

2
6 3

4
3 3

  2 

 1  10  22  24  1  7 

1 111

.
16 16

Bài toán 4.2: Đơn giản biểu thức trong điều kiện xác định:

a 1

P

3
4

a a

7
3



1
3

5
3

a a
a a
a a
.a  1; Q  1
 2
4
1

a 1
a3  a3 a3  a 3

.

1
2

1
3

1
4

4

Hướng dẫn giải


P



 . a  a  1 .
a  a  1
 a  1

a 1

4

4

4

1
3

Q

a 1

a 1  a
1

2

1
3

4

a 1  a 1 1  a

  a 1  a   1  a   1  a   2a

a 3 1  a 



a



1
3

2

 a  1

Bài toán 4.3: Trục căn ở mẫu

Trang 3


1
233

a)

1

b)

5  13  48

6

Hướng dẫn giải
3
1

3 2


3
233
9 2

a)



3

nên





2 3 1

3

2

3

1



5  13  48

6



1

b) Vì 5  13  48  5 

1



3  2 33 3  2 3 9  4

3 1



 42 3 



 

3 1
3 1



2

32



2



3  1 .3 4  2 3
2

Bài toán 4.4: Không dùng máy, tính giá trị đúng:
a)

15  6 6  15  6 6

b)

75 2  3 75 2

3

Hướng dẫn giải



a) Ta có 3 2  2 3
nên



2

 18  12  12 6  30  12 6

15  6 6  15  6 6 

3 2 2 3 3 2 2 3

6
2
2

15  6 6  15  6 6  x; x  0 .

Cách khác: Đặt

Ta có x 2  30  2 225  216  36 nên chọn x  6 .



b) Ta có: 7  5 2  1  3 2  6  2 2  1  2



Tương tự 7  5 2  1  2

Do đó

3



3



3





7  5 2  3 7  5 2  1 2  1 2  2 2

Cách khác: Đặt x  3 7  5 2  3 7  5 2 . Ta có:





x3  7  5 2  7  5 2  3
 10 2  3



3



3









7  5 2  3 7  5 2 .  3 7  5 2 7  5 2 





7  5 2  3 7  5 2  10 2  3x .

Ta có phương trình:

Trang 4








x3  3x  10 2  0  x  2 2 x 2  2 2 x  5  0  x  2 2
Bài toán 4.5: Tính gọn
a)

4

49  20 6  4 49  20 6

b)

4

2 5 2 2 5  4 2 5 2 2 5
Hướng dẫn giải

a) Ta có

49  20 6  4 25  10 24  24 

4


Tương tự:
4

Suy ra

4

4



3 2



4

4



5 2 6



2

 3 2

49  20 6  3  2 (do

3 2)

49  20 6  4 49  20 6  2 3

b) Đặt M  4 2  5  2 2  5 , N  4 2  5  2 2  5

Ta có: MN 

4

2  5 

2





 4 2 5 1

M 4  N 4  4  2 5  M 4  N 2  2M 2 N 2  6  2 5 





5 1

 5 1
 M  N  5  2  M  N  2MN  5  3  

 2 
2

Vậy

4

2

2

2

2

2

2 5 2 2 5  4 2 5 2 2 5  M  N 

5 1
.
2

Bài toán 4.6:


1  23  513 3 23  513

 1 . Tính A  x3  x 2  1

3
4
4



a) Cho x   3

4 3
6 8
2k  k 2  1
200  9999

 ... 
 ... 
b) Tính B 
1 3
2 4
k 1  k 1
99  101
Hướng dẫn giải
a) Đặt a 

3

23  513
23  513
,b  3
4
4
Trang 5


23
, ab  1 và 3x  1  a  b

2

 a 3  b3 

Đăng ký mua file word trọn bộ

chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Vì  3x  1  27 x3  27 x 2  9 x  1
3

 27  x3  x 2  1  3  3x  1  29 nên

 3x  1
A

3

 3  3x  1  29  a  b   3  a  b   29

27
27
3

23
a3  b3  3ab  a  b   3  a  b   29 2  29 3




27
27
2
b) Với mọi k  2 thì



2k  k  1

k 1  k  1
2


B



  
 k 1 
2

k 1 

 k  1

3



2

2

k 1 

 k  1

 k  1 k  1  

k 1



k 1  k 1

k 1  k 1





3

. Do đó

1 3
3  13  43  23  53  33  63  43  ...  1013  993 

2

1
999  1013  8
3
3
3
 1  2  101  100 

2
2
999  101 101  2 2

2

a x  a x
a x  a x
a x  a x
; ch  x  
; th  x   x
với a  0, a  1 . Chứng minh
2
2
a  a x
2th  x 
ch2  x   sh2  x   1 , th  2 x  
.
1  th 2  x 

Bài toán 4.7: Cho sh  x  

Trang 6


Hướng dẫn giải
2

 a x  a x   a x  a x 
Ta có ch  x   sh  x   
 

2
2

 

2



2

2

a 2 x  a 2 x  2  a 2 x  a 2 x  2 4
 1
4
4

2  a 2 x  a 2 x 
 a x  a x 

Ta có: 1  th  x   1   x
 2x
x 
a  a 2 x  2
a a 
2

2

nên



2th  x 
a x  a  x a 2 x  a 2 x  2
2 x
.
1  th2  x 
a  a  x 2  a 2 x  a 2 x 

2  a x  a  x  a x  a  x 

2

2  a x  a  x  a 2 x  a 2 x 



a 2 x  a 2 x
 th  2 x  .

a 2 x  a 2 x

Bài toán 4.8: Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh:

1 1 1
1
1 1 1
1
thì n  n  n  n
  
a b c
a  bn  c n
a b c abc

a) Nếu

b) Nếu ax n  by n  cz n ,

1 1 1
   1 thì:
x y z

ax n1  by n1  cz n1  n a  n b  n c

n

Hướng dẫn giải
a) Từ giả thiết suy ra

1 1

1
1
 

a b abc c

  a  b  . a  b  c  c  abc  ab  a  b  c    a  b  b  c  c  a   0

 có 2 số đối nhau mà ta có n lẻ  đpcm.
b) VT =

n

1 1 1
ax n by n cz n


 n ax n      n ax n  x n a  y n b  z n c
x
y
z
x y z

1 1 1
 VT      n a  n b  n c  đpcm.
x y z
Bài toán 4.9: Tính:
5

a) 3log3 18  18;35log3 2  3log3 2  25  32

1
 
8

log 2 5

  23 

log 2 5

 2

3 log 2 5

3

 2log2 5  53 

1
125
Trang 7


 1 
 
 32 
b)

log 0,5 2

  1 5 
   
 2  



log 1 25
2

 25  32 .

1
 6 
2
log 7 36  log 7 14  3log 7 3 21  log 7 
  log 7 7  2 .
2
 14.21 

Bài toán 4.10: Rút gọn các biểu thức:
a) A  log3 2.log 4 3.log 6 5.log 7 6.log8 7
b) B  a

log a b

b

logb a

Hướng dẫn giải
a) A  log3 2.log 4 3.log5 4.log6 5.log 7 6.log8 7



log log3 log 4 log5 log 6 log 7 log 2
1
1
.
.
.
.
.

 log8 2  log 2 2 
log3 log 4 log5 log 6 log 7 log8 log8
3
3

b) Đặt x  log a b  log a b  x 2  b  a x

1
1
 logb a 
2
x
x

Mặt khác logb a 
Do đó: B  a x  a

2

x2 .

1
x

 0.

Bài toán 4.11:
a) Cho log6 15  x,log12 18  y , tính log 25 24 theo x, y
b) Cho a  log 2 3, b  log3 5, c  log7 2 , tính log140 63 theo a, b, c.
Hướng dẫn giải

log 2 2.32 1  2log 2 3
log 2 3.5 log 2 3  log 2 5


a) Ta có x 
và y 
log 2 2.3
1  log 2 3
log 2 22.3 2  log 2 3
Suy ra log 2 3 

2 y 1
x  1  2 y  xy
;log 2 5 
2 y

2 y

log 2 23.3
5 y
Do đó log 25 24 
.

2
log 2 5
2  x  1  2 y  xy 





b) log140 63  log140 32.7  2log140 3  log140 7



2
1
2
1



2
log3 140 log 7 140 log3  2 .5.7  log 7  22.5.7 

Trang 8



2
1

2log3 2  log3 5  log3 7 2log 7 2  log 7 5  1

Ta có log3 2 

log3 7 

1
1
 ,log 7 5  log 7 2.log 2 3.log3 5  cab ;
log 2 3 a

1
1
1


log 7 3 log 7 2.log 2 3 ca

2

Vậy log140 63 

2

1
b
a
ca



1
2ac  1

2c  cab  1 abc  2c  1

Bài toán 4.12: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn:

alog3 7  27, blog7 11  49, clog11 25  11
Tính T  a

 log3 7 2

 b

log7 11

2

 c

log11 25

2

Hướng dẫn giải
Ta có:



T  alog3 7
 27

log3 7



log3 7

 49



 blog7 11

log7 11





log7 11

 11



 clog11 25

log11 25



log11 25

1
2

 7  11  25  469 .
3

2

Bài toán 4.13: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:
a) a
b)

logc b

 blogc a

n  n  1
1
1

1
1


 ... 

log a b log a2 b log a3 b
log an b 2log a b
Hướng dẫn giải

a) alogc b  blogb a
b) VT =

logc b

 blogc b.logb a  blogc a

1
2
3
n


 ... 
log a b log a b log a b
log a b

 1  2  3  ...  n  .

n  n  1

1

log a b 2log a b

Bài toán 4.14: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:
a) Nếu a 2  c 2  b2 thì logbc a  logbc a  2logbc a.logbc a .
b) Nếu a, b, c lập cấp số nhân thì

log a d  logb d log a d

logb d  log c d log c d
Trang 9


Hướng dẫn giải
a) Theo giả thiết: a 2   b  c  b  c  . Xét a  1 : đúng.
Xét a  1 thì log a  b  c   log a  b  c   2 

1
1

2
logbc a logbc a

nên logbc a  logbc a  2logbc a.logbc a

c
log d  
1
1

b
b) Ta có log a d  log b d 


log d a log d b  log d a  log d b 
c
log d  
1
1
a
Tương tự: log b d  log c d 


log d b log d c  log d b  log d c 
Vì a, b, c lập thành cấp số nhân nên
Do đó

c b
c
b
  log d    log d  
a a
b
a

log a d  logb d log d c log a d


logb d  log c d log d a log c d

Bài toán 4.15: Cho x, y, z, a là các số thực dương đôi một khác nhau và khác 1. Chứng minh:
a) Nếu log a x  1  log a x.log a z , log a y  1  log a y.log a x thì:

a
A  log x.log a y.log a z.log x a.log y a.log z a  1 .
x
y
z
b) Nếu

x  y  z  x y  z  x  y  z  x  y  z 


thì x y . y x  y z .z y  z x .x z
log x
log y
log z
Hướng dẫn giải

a) Từ giả thiết, ta có: log a x  1  log a x.log a z

 log a x 

1
1

 log a z
1  log a z log a
z
a

z

Do đó: log x a log a z  1 . Tương tự log y a log a x  1
z

x

Mà log a y  1  log a y.log a z , nên log a y  1 

log a y
log a y
 1  log a z 
1  log a z
log a y  1

 log a z  1  log a y.log a z
Trang 10


Tương tự trên, ta cũng có log z a log a y  1. Do đó
y





A   log a x.log y a  .  log a y.log z a  .  log a z.log x a   1


x

y
z





Đăng ký mua file word

trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
b) Nếu một trong các số x  y  z, y  z  x, z  x  y bằng 0 thì cả ba số đều bằng 0 và dẫn đến

x  y  z  0 , mâu thuẫn.
Do đó x  y  z, y  z  x, z  x  y khác 0.

 x  log y  .  y  z  x   y  log x  .  z  x  y 

Từ giả thiết thì:  y  log z  .  z  x  y   z  log y  .  x  y  z 

 z  log x  .  x  y  z   x  log z  .  y  z  x 
Ta có: x  log y  . y  z  x   y  log x  z  x  y 

 x log y  y  log x  .

zx y
yzx

 zx y 
 x log y  y log x  y  log x  . 
 1
 yzx 
 x log y  y log x  y  log x  .

2z
zx y

Tương tự y log z  z log y  z  log y  .

2x
zx y

Do đó: x y . y x  y z .z y  x log y  y log x  y log z  z log y

 y log x.

2z
2x
 z log y.
yzx
zx y

 y  log x  . z  x  y   x  log y  y  z  x  : đúng
Chứng minh tương tự: y z .z y  z x .x z .
Trang 11

Bài

toán

4.16:

Cho

các

số

thực

a,

b,

c

mãn 1  a  b  c .

thỏa

Chứng

minh

rằng:

log a  log a b   logb  logb c   logc  logc a   0 .
Hướng dẫn giải
Vì 1  a  b nên log a b  1  log a  log a b   logb  log a b   0
Ta có 1  a  c nên logc a  1
Suy ra 0  logc  logc a   logb  logc a 
Do đó log a  log a b   logb  logb c   logc  logc a 

 logb  log a b   logb  logb c   log b  log c a 
 logb  log a b.logb c.log c a   log b 1  0
13

  23

Bài toán 4.17: Trong khai triển nhị thức P  x    x  x x  , x  0 .


a) Tìm hệ số của x13

b) Tìm số hạng không chứa x
Hướng dẫn giải
13

 2

Số hạng tổng quát của P  x    x 3  x x  là:


13 k

  23 

Tk 1  C  x 


k
13

x x

a) Hệ số của x13 ứng với

k

 C .x
k
13

13 k 52
6

13k  52
 13  k  10 là:
16

10
T11  C13
 286 .

b) Số hạng không chứa x ứng với 13k  52  0  k  4 là T5  C134  715 .
6

1


lg x 1

x
 12 x  , biết số hạng thứ tư bằng 200. Tìm x?
Bài toán 4.18: Trong khai triển nhị thức





Hướng dẫn giải
ĐK: x  0, x 

1
. Ta có:
10
6

1
6 k
1
1 
k

 
6
2 lg x 1

k 2 lg x 1 12
lg x 1
12
12
 x
 x x
 x    C6 x
.x
 k 0

 



6

Trang 12


Số hạng thứ 4 ứng với k  3 , theo giả thiết bằng 200 nên:
3
6

C x

3
1

2 lg x 1 4

 200  x

7  lg x
4 lg x  4

 10 

7  lg x
lg x  1
4lg x  4

 x  10
lg x  1
(Chọn).
 lg 2 x  3lg x  4  0  

4
lg
x


4
x

10


Bài toán 4.19: Chứng minh các giới hạn:

log a 1  x 

ax 1
1
 ln a;lim

x 0
x 0
x
x
ln a

a) lim

n
1  ax  1 a
 a
b) lim 1    ea ;lim

x 
x 0
x
n
 x
x

Hướng dẫn giải

ax 1
eln a  1
e x ln a  1
 lim

 lim
.ln a  ln a
a) lim
x 0
x 0
x 0 x ln a
x
x
x

log a 1  x 
ln 1  x 
1
 limlog a e

x 0
x 0
x
x
ln a

lim

a

x


a
 


x

1
 a
b) lim 1    lim 1     e a
x 
x 
 x  x 
 

a

 


n

lim
x 0

1  ax  1
 lim
x 0
x
x



1  ax  1

n

1  ax 

n 1

 n 1  ax 

n2

 ...  1





a
n

Bài toán 4.20: Tìm các giới hạn sau:

2 x  5x  2
x0 3x  5 x  2

e 2 x  e5 x
x 0
x

b) lim

a) lim

Hướng dẫn giải

 e 2 x  1 e5 x  1 
e 2 x  e5 x
 lim 

  2  5  3
x 0
x 0
x
x
x



a) lim

2 x  1 5x  1

2 x  5x  2
x
x  ln 2  ln 5  ln10
b) lim x

lim
x
x
x 0 3  5 x  2

x 0 3  1
5  1 ln 3  ln 5 ln15

x
x
Trang 13


Bài toán 4.21: Tìm các giới hạn sau:
a) lim
x 0

ln 1  3x 2 

6 x  3x
b) lim
x 0 ln 1  6 x   ln 1  3 x 

1  cos 2 x

Hướng dẫn giải
a) lim
x 0

ln 1  3x 2 
1  cos 2 x

 lim
x 0

ln 1  3x 2 
2sin 2 x

 3ln 1  3x 2   sin x 2  3
1
 lim 
:
 
2 x0 
3x 2
x   2




 6 x  1 3x  1   ln 1  6 x  ln 1  3x  
6 x  3x
 lim 



:
x 0 ln 1  6 x   ln 1  3 x 
x 0
x  
x
x
 x


b) lim

1
  ln 6  ln 3 :  6  3  ln 2 .
3
Bài toán 4.22: Tìm các giới hạn sau:

1 

a) lim 1 

x 
 x 3

 x 3
b) lim 

x  x  1



x

x

Hướng dẫn giải


1 
1 


lim 1 
 lim 1 


x 
 x  3  x  x  3 
x

a)

x 3





x
x 3

 e1  e
2x

x 1 x 1


2





x
x

2 
1  
 x 3


b) lim 
 lim 1 
 lim 1 
 e2




x  x  1
x 1

 x  x  1  x 
 

2  



Bài toán 4.23: Tìm các giới hạn sau:
a) lim
x 0

e

2 x 2

 1 x
ln 1  x 2 
3

1
x

 a b 
 với 0  a, b  1 .
 2 

2

x

x

b) lim 
x 0
Hướng dẫn giải

2
 e2 x2  1 3 1  x 2  1  ln 1  x 2 
e2 x  3 1  x 2
a) lim

 lim 

:
2
2
x 0
x 0 

x
x
x2
ln 1  x 2 



Trang 14



2 x 2
1
 e
 lim  2

2
x 0

2
x





2
7
 ln 1  x 
:

2

x
3
 3 1  x2  1 

1

3

1  x 

2 2

1
1


x
x
a x b x
 ax  bx  x



a

b
1 

 1 2
b) lim 
  lim
1 
x 0
x 0 

2
2






 lim e

a x b x
1
2
x

x 0

 lim e

a x 1 b x 1

2x
2x

x 0

e

ln a  ln b
2

 eln

ab

a x b x
1
2
x

 ab

Đăng ký mua file word trọn

bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
1

 ax  bx  x
Vậy lim 
  ab
x 0
 2 
Bài toán 4.24: Tính các giới hạn sau:

1 
 1


 x  1 ln x 

a) lim 
x 1

b) lim 1  x 

cot x

x 0

Hướng dẫn giải

1 

ln x  x  1
 1

  lim
 x  1 ln x  x1  x  1 ln x

a) lim 
x 1

1
1
ln x  x  1 '

x
 lim
 lim
x 1  x  1 ln x '

 x1 ln x  x  1
x

1  x  '  lim 1   1
1 x
 lim
x 1 ln x  x  1
x 1  x ln x  x  1 '
x 1 ln x  2
2

 lim

Trang 15


1
ln 1  x 
 ln 1  x   '  lim 1  x  1
b) Ta có: lim  cot x ln 1  x    lim
 lim
x 0
x 0
x 0
tan x
 tan x  ' x0 tan 2 x  1
nên lim 1  x 

 lim e

cot x

x 0

cot x ln 1 x 

x 0

lim  cot x ln 1 x  

 e x 0

e

Bài toán 4.25: Tìm các giới hạn sau:
1

5

a) lim  cos x  2 x2

b) lim  cos3x  x

x 0

x 0

Hướng dẫn giải

ln  cos x 
 ln  cos x   '  lim  tan x  lim   tan x  '

lim
x 0
x 0
2x2
 2 x 2  ' x 0 4 x x 0  4 x  '

a) Ta có lim

 lim 

  tan 2 x  1

x 0

4

Nên lim  cos x 
x 0

1
2 x2



1
4
ln  cos x 

 lim e

2 x2

x 0

e

lim

ln  cos x 

e

2 x2

x 0



1
4

15sin 3x

5ln  cos3x   '
5ln  cos3x 

b) lim
 lim
 lim cos3x  0
x 0
x

0
x 0
x
1
 x '
5
x

Nên lim  cos3x   lim e
x 0

5ln  cos 3 x 
x

x 0

e

lim

5 ln  cos 3 x  

x 0

x

 e0  1

Bài toán 4.26: Tính giới hạn sau:
1


 ln x
1
a) lim 

2
x 

 x  x 1 

b) lim
x 

ln  x  
x 

Hướng dẫn giải
1




 ln x
1
a) lim 
x  x2  1
  xlim
2
x 

 x  x 1 



ln x  x  1
Ta có: lim

x 

2

  lim

x 

ln x



1
ln x

1
x2  1  1
1
x

1


 ln x
1
Vậy: lim 
 e1  e

2
x 
 x  x 1 

Trang 16


1
1
x
ln  x  ln  
x 
b) lim
ln    lim
ln   lim
x  x  
x  x  
x 

x 
Đặt g  x   ln  x thì g    ln  và g '  x   ln 
Theo định nghĩa đạo hàm ta có:

g  x   g  
ln  x
lim
 lim
 g '    ln 
x  x  
x 
x 
Bài toán 4.27: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
b) y 

a) y  x 2 e4 x  1

2 x  2 x
2 x  2 x

c) y  x5  5x  x x
Hướng dẫn giải

a) y '  2 x e

b)

2
y' 
2


x

x

4x

1 

2 x 2e4 x
e4 x  1



2 x  x  1 e4 x  1
e4 x  1

ln 2  2 x ln 2  2 x  2 x    2 x  2 x  2 x ln 2  2  x ln 2 

2

 2 x    2 x  2 x 
2

2

x

 2 x 

x

 2 x 

2

2

ln 2 2 

2

2

4ln 2 2
x

 2 x 

2

c) Ta có y  x5  5x  x x  x5  5x  e x ln x nên

y '  5x4  5x ln 5  e x ln x  ln x  1  5x 4  5x ln 5  x x  ln x  1
Bài toán 4.28: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:



a) y  ln x  x 2  a 2
b) y  log

3

 x

2



 5x  6

c) y  cos x.e2 tan x
Hướng dẫn giải

x

1
a) y ' 

x2  a2 
x  x2  a2

b) y ' 

2 x  5
4 x  10

2
  x  5x  6 ln 3   x  5x  6 ln 3

1
x2  a2

2

Trang 17


c) y '   sin x.e2 tan x 

2
 2

.e2 tan x  e2 tan x 

 sin x 
cos x
 cos x


Bài toán 4.29: Chứng minh:
a) Nếu y  e4 x  2e x thì: y ''' 13 y ' 12 y  0
b) Nếu y 

x2 1
 x x 2  1  ln x  x 2  1 thì: 2 y  xy ' ln y '
2 2
Hướng dẫn giải

a) y '  4e4 x  2e x , y ''  16e4 x  2e x , y '''  64e4 x  2e x nên:

y ''' 13 y ' 12 y   64e4 x  2e x   13 4e4 x  2e x   12  e4 x  2e x   0

b) y '  x 

 x

x

1

2

1 2
x

x 1
x 1 

2
2
2 x  1 2 x  x2  1
2



2x2  1
2 x 1
2



1
2 x 1
2



 x  x2  1



Do đó, ta có: 2 y  x 2  x x 2  1  ln x  x 2  1





xy '  x 2  x x 2  1 và ln y '  ln x  x 2  1



 2 y  xy ' ln y ' : đpcm.
Bài toán 4.30: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số





b) y  ln 6 x 2  x  1

a) y  5kx

Hướng dẫn giải
a) y '   k ln 5 .5kx ; y ''   k ln 5 .5kx
2

Ta chứng minh quy nạp: y
b) Với x  

 n

  k ln 5 .5kx
n

1

1
hoặc x  :
3
2

y  ln   2 x  1 3x  1   ln 2 x  1  ln 3x  1

 y' 

1
1

2 x  1 3x  1

Trang 18


 1 
Ta chứng minh quy nạp 

 ax  b 
Suy ra y

 n

 m

1 m!a m



m 1
 ax  b 
m

1  n  1!2n1  1  n  1!3n1



n
n
 2 x  1
 3x  1
n 1

n 1

Đăng ký mua file word trọn
bộ chuyên đề khối 10,11,12:

Bài toán 4.31: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị hàm số:

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
a) y 

ex
x

b) y  x 2 .e x
Hướng dẫn giải

e x  x  1
, y '  0  x  1.
a) D  ¡ \ 0 , y ' 
x2
BBT



x

0
−

y'

−

0

+







y



1



e

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng  ;0  và  0;1 đồng biến trên khoảng 1;  , đạt CT 1;e 





b) D  ¡ , y '  2 x  x 2 e x , y '  0  x  0 hoặc x  2 .
BBT

x


−

y'
y

0



0



2
+

0

−

4e2
Trang 19




0

Vậy hàm số đồng biến trong khoảng  0;2  , nghịch biến trong các khoảng  ;0  và  2;  , đạt CĐ

 2;4e  , CT  0;0 .
2

Bài toán 4.32: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị hàm số:





b) y  x  ln 1  x 

a) y  ln x 2  1

Hướng dẫn giải
a) D   ; 1  1;   , y ' 

2x
x 1
2

Khi x  1 thì y '  0 nên hàm số nghịch biến trên  ; 1
Khi x  1 thì y '  0 nên hàm số đồng biến trên 1; 
Hàm số không có cực trị.
b) D   1;   , y '  1 

1
y

, y'  0  x  0
1 x 1 x

y '  0, x   0;   nên hàm số đồng biến trên  0; 

y '  0, x   1;0  nên hàm số nghịch biến trên  1;0 
Ta có y '' 

1

1  x 

2

 0 nên đạt cực tiểu tại x  0, yCT  0 .

Bài toán 4.33: Cho a, b, c là các sự thực dương. Chứng minh hàm số

ax
bx
cx
f  x  x


đồng biến với mọi x dương.
b  cx cx  ax ax  bx
x
x
x
x
x
x
 a x  a .ln a  b  c   a  b .ln b  c .ln c 
'
Ta có  x
2
x 
b c 
bx  c x 



a xb x  ln a  ln b   a x c x  ln a  ln c 

b

x

 cx 

2

/
 a xb x ln a  ln b  a x c x ln a  ln c 
 ax 




Do đó f '  x     x
 
2
x 

sym  b  c 
sym 
bx  c x 



Trang 20


 a xb x ln a  ln b a xb x ln a  ln b 




 
2
2
x
x
sym 
 a x  c x  
 b  c 
 a b
x

sym

 a  b  a  b  2c   0
 ln a  ln b 
 a  c  b  c 
x

x

x

x

x

x

x 2

x

x 2

x

Bài toán 4.34: So sánh các số:
a)

13 và

4

5

23

b)

7  15 và 10  3 28

3

Hướng dẫn giải
a)

4

13  20 135  20 371293; 3 23  20 234  20 279841

Ta có 371293  279841 nên
b)

3

4

13  5 23

7  15  2  4  3  3  10  3 28

Bài toán 4.35: So sánh các số:
600

a) 3

và 5

 1 
b) 

 3

400

4 5

và 33

2

Hướng dẫn giải

 

a) Ta có: 3600  33

5400   52 
 1 
b) Ta có 

 3

200

4 5

200

 27200 và

 25200 . Vậy 3600  5400

1
 
 3

2 5

3 2

và 3



Ta có 3 2  2 5  3 2

1
1
Vì cơ số 0   1 nên  
3
 3

1
 
 3

 
2

 2 5

2 5

1
 
 3



2

3 2

3 2

 18  20 : đúng
 1 


 3

4 5

 33

2

.

Bài toán 4.36: Hãy so sánh các số:
a) log3 4 và log 4

1
3

log6 11

b) 3

và 7

log6 0,99

Hướng dẫn giải
a) Ta có log3 4  1 và log 4

1
1
 0 , suy ra log3 4  log 4
3
3
Trang 21


b) Ta có log6 1,1  0 nên 3log6 1,1  30  1 (vì 3  1 ) và log6 0,99  0 nên 7log6 0,99  70  1 (vì 7  1).
Suy ra 3log6 1,1  7log6 0,99 .
Bài toán 4.37: Hãy so sánh các số:
b) log 4 9  log9 25

a) log8 27  log9 25

Hướng dẫn giải
a) log8 27  log8 25  log9 25
b) log 4 9  log 2 3  log8 27  log9 25
Bài toán 4.38:
a)

Đăng ký mua file word
trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:

So sánh hai số 1  2  3  ...  1000
1

2

3

1000

và 2

22

22

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
N2

b) Chứng minh với n số 2, n  6 thì 22

 222...2222...2
Hướng dẫn giải

a) Ta thấy rằng 22

2
22

24

 22  22

16

Mà 210  1024  1000,26  64

 216  210.26  64000 nên 22

2
22

 264000

Mặt khác: 12  22  33  ...  10001000  1000.10001000  10001001

  210 

1001

Từ đó suy ra 22

2
22

 210010  264000

 12  22  33  ...  10001000

b) Ta chứng minh quy nạp 2n2  n, n  6
Với n số 2, đặt an  2nN , bn  222...2222...2
2

Ta có 222...2  10n  24 n nên
Trang 22


bn   24 n 

24 n

 24 n.2  22
4n

5n

n2

Và mặt khác an2  5n  22N  8.2n2  22

2

Nên an  22

an  2

 2n1  0

 22  bn . Ta có đpcm.
5n

Bài toán 4.39: Chứng minh:
a) log n  n  1  log n1  n  2  với mọi số nguyên n  1
b) a m  bm  c m , nếu m  1, a  b  c với a  0, b  0
Hướng dẫn giải




a) A  log n  n  1  log n n 1 

1
 1
  1  log n 1  
n
 n

1 
1 



B  log n1  n  2   log n1  n  1 1 
  1  log n1 1 

 n 1
 n 1
Ta có 1 

1
1
1 
 1

 1
 log n 1    log n 1 

n
n 1
 n
 n 1




và log n 1 

1 
1 

  log n1 1 


n 1
 n 1

1 
 1

 log n 1    log n1 1 
 . Do đó A  B .
 n
 n 1
m

m

a b
b) Ta có a  b  c        1
c c
m

m

m

Mà a  b  c, a  0, b  0 nên 0 
m

1

a

a
Suy ra với m  1 thì     
c
c
m

a
b
 1,0   1
c
c
m

1

b
b
;    
c
c

m

a b
a b
Từ đó ta có:         1
c c
c c
Bài toán 4.40:
a) Cho a, b, c  0 . Chứng minh a a .bb .cc  ab .bc .c a

b) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nhọn. Chứng minh:

Trang 23


2
2
2
 2
  2

2
3
3
3
b

b

c

c

a

a

 



 


Hướng dẫn giải
a) Giả sử a  max a; b; c .
- Xét a  b  c : BĐT  a ab .bbc  cac
Vì a  b  c  0 nên a ab .bbc  cab .bbc  cac
- Xét a  c  b : BĐT  a ab  bcb .ca c
Vì a  c  b  0 nên bcb .cac  acb .aac  aa b
b) Không mất tính tổng quát, ta giả sử a là cạnh lớn nhất trong các cạnh của tam giác. Khi đó, ta có
2
3

2
3

2
3

a  b  c , a  b  c nên:
2

2

2

2
2
2
2

2
2
 2
 2
  2
  2

 2
2
3
3
3
3
3
3
và
a
a


a
a


b
c


c
b



b
c


b
c


 
 




 
 



Do a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nhọn nên b2  c 2  a 2
1
3

1
3

1
3

x  a ; y  b ; z  c thì y3  z 3  x3



Ta có: y 2  z 2



3

 y 6  z 6  3 y 2 z 2  y 2  z 2   y 6  z 6  2 y 3 z 3   y 3  z 3    x3   x 6
2

2
3

2
3

2

2
3

Suy ra y  z  x hay b  c  a  đpcm.
2

2

2

Bài toán 4.41:
a) Cho a, b, c  0 . Chứng minh  abc 

a b  c
3

 a a .bb .c c

1 
4 

b) Cho 4 số x, y, z, t   ;1 . Chứng minh:

1
1
1


 1

log x  y    log y  z    log z  t    logt  x    8 .
4
4
4


 4


Hướng dẫn giải
a) BĐT  log  abc 

a b  c
3

 log  a a .bb .cc 

  a  b  c  log  abc   3 log a a  log bb  log cc 

  a  b  c  log a  log b  log c   3  a log a  b log b  c log c 
  a  b  log a  log b    b  c  log b  log c    c  a  log c  log a   0
Trang 24


BĐT này đúng vì cơ số 10  1 nên x  y  0  log x  log y hoặc 0  x  y  log x  log y nên

 x  y  log x  log y   0 , x  0, y  0 .
2

1
1

b) Ta có:  a    0  a   a 2 với mọi a.
2
4

Và vì

1

 x, y, z, t  1 nên hàm nghịch biến, do đó:
4

VT  log x y 2  log y z 2  log z t 2  logt x 2

 2  log x y  log y z  log z t  logt x 
 8. 4 log x y.log y z.log z t.logt x  8 4 1  8 .
Bài toán 4.42: Chứng minh:
a) nn1   n  1 , n  ¥ , n  3
n

b)

n

x n  y n  n1 x n1  y n1 với n nguyên, n  2 và x, y  0 .
Hướng dẫn giải

a) Với n  ¥ , n  3 , bất đẳng thức tương đương

 n  1 ln n  n ln  n  1 
Xét f  x  

n 1
n

ln  n  1 ln n

x
ln x  1

 0.
trên  3;  thì f '  x  
ln x
ln 2 x

Do đó f đồng biến trên  3;  nên: n  1  n  3  f  n  1  f  n  (đpcm)
b) Với x  0 hoặc y  0 , bất đẳng thức đúng.
Với xy  0 , bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
n

x
 x
n 1
   n1 1   
 y
 y

n 1

. Xét f  t  

t n1.1  t 

Ta có f '  t  
n 1

1  t 

n 1 n  2 n

1  t 

n n 1

n
n 1

1 tn
1 t

n 1

với t   0;   .

; f 't   0  t  1 .

BBT

x

0

f 't 

0



1
+

0

−
Trang 25