CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN TOÁN 9

Chủ đề hệ thức vi-ét với phương trìnhbậc hai Loại nâng cao toán 9

1)Chủ đề:HỆ THỨC VIET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Loại: nâng cao lớp 9
2) Thời lượng: 6 tiết
3) Các nội dung cơ bản:
- Vận dụng hệ thức Viet để tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ( 2 tiết )
- Dạng toán quy về tìm 2 số khi biết tổng và tích (1tiết )
- Không giải phương trình mà tính giá trị của biểu thức liên hệ giữa các nghiệm
của phương trình (2 tiết)
- Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm, độc lập đối với m (1 tiết )
4) Nội dung cụ thể:
Tiết 1+2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
I )Mục tiêu cần đạt:
-Kiến thức :Củng cố kiến thức về định lý Viet thuận , đảo.
-Kỹ năng: nhận dạng được các phương trình có dạng đặc biệt a + b + c = o và
a – b + c = o,thành thạo với các bài toán tính nhanh, lập phương trình bậc khi
biết hai nghiệm của nó.
- Thái độ: cẩn thận, chính xác trong việc xác định đúng các hệ số của phương
trình bậc hai cũng như thực hiện phép tính.
II) Nội dung:
1. Kiến thức cần ghi nhớ:
a. Định lý viet:
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình
ax
2
+ bx + c = 0 (a≠0) thì:

S = x
1
+ x
2
= -
b
a
P = x
1
.x
2
=
c
a
b/ Tính nhẫm nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a≠0) có:
a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x
1
= 1; x
2
=
c
a
a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x
1
= - 1; x
2
= -
c

a
c/ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là 2 nghiệm của
phương trình: x
2
- Sx + P = 0
( Nói cách khác, hệ phương trình:
.
u v S
u v P
+ =


=

giải được
2/Phương pháp giải toán :
Dạng1 : Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình
- : Tính
∆
và chứng tỏ
∆

≥
0 để phương trình có nghiệm
- Áp dụng hệ thức Viét tính: S = x
1
+ x
2
= -

b
a
; P = x
1
.x
2
=
c
a
;
Giáo viên :Trần Thị Mai Thảo Trường THCS Trần Cao Vân
1
Chủ đề hệ thức vi-ét với phương trìnhbậc hai Loại nâng cao toán 9
Bài toán 1: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm của
phương trình sau:
a/ x
2
– 6x + 8 = 0 b)x
2
+ 13x + 42 = 0
c/ 3x
2
+ 5x + 61 = 0 d)x
2
- x
3
- 2 -
6
Giải:
a/x

2
– 6x + 8 = 0
có ∆ =(- 6)
2
– 4.8 = 36 – 32 = 4 > 0
=> Phương trình có 2 nghiệm
- Tổng các nghiệm của phương trình là: S = x
1
+ x
2
= -
b
a
= -
6
1
−
= 6
- Tích các nghiệm của phương trình là: P = x
1
. x
2
=
c
a
=
8
1
= 8
b/ 3x

2
+ 5x + 61 = 0
∆ = 5
2
– 4.3.61 < 0 => Phương trình vô nghiệm
c) Xét phương trình: x
2
+ 13x + 42 = 0
∆ = 13
2
– 4.42 = 169 – 168 = 1 > 0 => Phương trình có hai nghiệm
Ta có: S = x
1
+ x
2
= -
b
a
= 13
P = x
1
. x
2
=
c
a
= 42
d) x
2
- x 3 - 2 - 6 =0

∆ = (
3
)
2
+ 4(2 +
6
) > 0
Ta có: S = x
1
+ x
2
= -
b
a
= 3
P = x
1
. x
2
=
c
a
= - 2 - 6
Dạng 2: Giải phương trình bằng cách tính nhẫm nhanh nhất.
• Áp dụng hệ thức Vi ét tính tổng và tích các nghiệm số
x
1
+ x
2
= -

b
a
; x
1
. x
2
=
c
a

Nhẫm tìm hai số m,n thoả mãn:
x
1
+ x
2
=m + n ; x
1
. x
2
=
c
a
= m.n
• Nếu a + b + c = 0 thì x
1
= 1; x
2
= -
c
a

• Nếua - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x
1
= - 1; x
2
= -
c
a
Bài toán 2a: Hãy giải các phương trình sau bằng cách nhẫm nhanh nhất.
a/ x
2
– 6x + 8 = 0 b/ x
2
+ 13x + 42 = 0
c/ 11x
2
+ 13x - 24 = 0 d/ 11x
2
– 13x – 24 = 0
Giải
Giáo viên :Trần Thị Mai Thảo Trường THCS Trần Cao Vân
2
Chủ đề hệ thức vi-ét với phương trìnhbậc hai Loại nâng cao toán 9
a/ Xét phương trình x
2
– 6x + 8 = 0
- Tổng các nghiệm của phương trình là: S = x
1
+ x
2
= -

b
a
= -
6
1
−
= 6
- Tích các nghiệm của phương trình là: P = x
1
. x
2
=
c
a
=
8
1
= 8
Vì 8 = 2 . 4 và 6 = 2 + 4 nên hai nghiệm của phương trình là: x
1
= 2; x
2
= 4
b/ Phương trình: x
2
+ 13x + 42 = 0
Ta có: S = x
1
+ x
2

= -
b
a
= 13
P = x
1
. x
2
=
c
a
= 42
Vì 42 = (- 6). (- 7) và – 13 = (- 6) + (- 7)
Nên phương trình có hai nhgiệm là x
1
= - 6; x
2
= - 7
c/ Phương trình: 11x
2
+ 13x - 24 = 0 có dạng a + b + c = 0 nên phương trình có
hai nghiệm là 1 và
c
a
=
24
11
−
d/ Phương trình: 11x
2

- 13x - 24 = 0 có dạng a - b + c = 0 nên phương trình có
hai nghiệm là - 1 và -
c
a
=
24
11
Bài toán 2b: Tính nhẫm nghiệm của phương trình
a/ 2005x
2
+ 2006x + 1 = 0
b/ (m
2
+ 1)x
2
– (m
2
+
2
)x +
2
- 1 = 0
Giải
a/ Ta có a - b + c = 0 = 2005 – 2006 + 1 = 0.
Vậy phương trình có nghiệm là: x
1
= - 1; x
2
= -
1

2005
b/ Ta có a + b + c = (m
2
+ 1) – (m
2
+
2
) +
2
- 1 = 0 và m
2
+ 1 ≠ 0 nên
phương trình có nghiệm là: x
1
= 1; x
2
= -
2
2 1
1m
−
+
Dạng 3:: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của phương trình đó
Bước 1: Lập tổng S= x
1
+ x
2
và tích P= x
1
. x

2

Bước 1: Lập phương trình có dạng x
2
- Sx + P = 0
Bài toán3a: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của phương trình đó
là:
a/ 2 và 1 b/ 5 và – 3
c/ 2 và 2
3
d/
2
và 1 -
2
Giải:
a/ S = x
1
+ x
2
= 2 + 1 = 3
P = x
1
. x
2
= 2 . 1 = 2
Phương trình bậc hai phải lập là: x
2
- 3x + 2 = 0
b/ S = x
1

+ x
2
= (- 3) + 5 = 2
P = x
1
. x
2
= (- 3) . 5 = - 15
Giáo viên :Trần Thị Mai Thảo Trường THCS Trần Cao Vân
3
Chủ đề hệ thức vi-ét với phương trìnhbậc hai Loại nâng cao toán 9
Phương trình bậc hai phải lập là: x
2
- 2x - 15 = 0
c/ S = x
1
+ x
2
= 2 + 2
3
= 2(
3
- 1)
P = x
1
. x
2
= 2 . 2
3
= 4.

3
Phương trình bậc hai phải lập là: x
2
– 2((
3
- 1)x + 4
3
= 0
d/ c/ S = x
1
+ x
2
=
2
+ 1 -
2
= 1
P = x
1
. x
2
=
2
(1 -
2
)=
2
- 2
Phương trình bậc hai phải lập là: x
2

- x +
2
- 2 = 0
Bài toán 3b:
a/Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:
1
10 72−
và
1
10 6 2+
b/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x
1
, x
2
và x
1
.x
2
= 4
1
1
1
x
x −
+
2
2
1
x
x −

=
2
2
7
4
a
a
−
−
c/ Lập phương trình bậc hai có hai hệ số nguyên và có một nghiệm là:
3 5
3 5
−
+
Giải:
a/ Ta có: x
1
+ x
2
=
1
10 72−
+
1
10 6 2+
= -
20
28
x
1

.x
2
=
1
10 72−
.
1
10 6 2+
=
1
28
Phương trình cần tìm là: x
2
+
20
28
x +
1
28
= 0 hay 28x
2
+ 20x + 1 = 0
b/ Từ x
1
.x
2
= 4 và
1
1
1

x
x −
+
2
2
1
x
x −
=
2
2
7
4
a
a
−
−
=> x
1
+ x
2
= a
2
+ 1
Phương trình cần tìm là: x
2
- (a
2
+ 1)x + 4 = 0
c/ Ta có x

1
=
3 5
3 5
−
+
=
2
( 3 5)
2
−
−
=
8 2 15
2
−
−
=
15
- 4
Ta tìm nghiệm thứ hai x
2
sao cho x
1
+ x
2
và x
1
.x
2

là các số nguyên:
Chọn x
2
=
15
- 4
Khi đớ: x
1
+ x
2
= - 8
x
1
.x
2
= - (
15
+ 4)(
15
- 4) = - (- 1) = 1
Vậy x
1
.x
2
là nghiệm của phương trình: x
2
+ 8x + 1= 0
Tiết 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
I )Mục tiêu cần đạt được:
Giáo viên :Trần Thị Mai Thảo Trường THCS Trần Cao Vân

4
Chủ đề hệ thức vi-ét với phương trìnhbậc hai Loại nâng cao toán 9
- Nắm vững định lý Viet đảo, lập được phương trình bậc hai khi biết hai
nghiệm x
1,
x
2
.
- Biến đổi thành thạo các hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x
1
, x
2
thành tổng và
tích
- Cẩn thận, chính xác trong tính toán ,vận dụng tốt trong việc giải dạng toán
tính giá trị của biểu thúc nghiệm phương trình .
II) Nội dung:
Dạng 4: Tìm hai só biết tổng và tích của chúng
- Từ hệ thức cho trước của x, y,tìm tổng S = x + y và tích P = x.y
- Hai số x, y là nghiệm của phương trình x
2
– Sx + P = 0.
Bài toán 4a:
Tìm các số x, y trong các trường hợp sau:
a/ x + y = 27; x.y = 180 b/ x + y = 25; x.y = 160
c/ x
2
+ y
2
=650; x +y =30

Giải:
a/ Với x + y = 27; x.y = 180 thì x và y là hai nghiệm của phương trình bậc hai
dạng x
2
– Sx + P = 0 => x
2
– 27 + 180 = 0
∆ = b
2
– 4a.c = 729 – 720 = 9 => ∆ = 3
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
x
1
=
2
b
a
− + ∆
=
27 3
2
+
= 15; x
2
=
2
b
a
− − ∆
=

27 3
2
−
= 12
Do đó ta có:
15
12
x
y
=


=

hoặc
12
15
x
y
=


=

b/ x và y là hai nghiệm của phương trình:
x
2
– 25x + 160 = 0
∆ = b
2

– 4a.c = 625 – 640 = -15 <0
=> Phương trình vô nghiệm trên R
Do đó không tồn tại x và y thoả đề bài
c/ Ta có:
2 2
30
650
x y
x y
+ =


+ =

<=>
2
30
( ) 2 650
x y
x y xy
+ =


+ − =

30
900 2 650
x y
xy
+ =



− =

<=>
30
125
x y
xy
+ =


=

Do đó x và y là hai nghiệm của phương trình:
x
2

– 30x + 125 = 0
∆ = b’
2
– a.c = 225 – 125 = 100 => ∆ = 10
Phương trình có hai nghiệm phân biệt đó là:
x
1
=
' 'b
a
− + ∆
=

15 10
1
+
= 25; x
2
=
' 'b
a
− − ∆
=
15 10
1
−
= 5
Do đó ta có:
25
5
x
y
=


=

v
5
25
x
y
=



=

Giáo viên :Trần Thị Mai Thảo Trường THCS Trần Cao Vân
5