ĐỀ TUYEN TAP 80 BAI TOAN HINH HOC LOP9

Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 HK2
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD,
BE, CF cắt nhau tại
H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
1. Tứ giác CEHD, nội tiếp .
2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn.
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4. H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O
là tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác AHE.
1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn.
1
3. Chứng minh ED = BC.
2
4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến
Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến
Ax , By lần lợt ở C và D. Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau tại N.
1.
Chứng minh AC + BD = CD.
2.
Chứng minh COD = 900.
AB 2
3.Chứng minh AC. BD =
.
4
4.Chứng minh OC // BM

5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD.
5.Chứng minh MN AB.
6.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc
A , O là trung điểm của IK.
1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn.
2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.
Bài 5 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung
điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC MB, BD MA, gọi H là
giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn .
3. Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
4. Chứng minh OAHB là hình thoi.
5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d

1


Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 HK2
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm A bán
kính AH. Gọi HD là đờng kính của đờng tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đờng tròn
tại D cắt CA ở E.
1.
Chứng minh tam giác BEC cân.
2.
Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
3.

Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đờng tròn (A; AH).
4.
Chứng minh BE = BH + DE.
Bài 7 Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp
tuyến đó một điểm P sao
cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.
1.
Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp đợc một đờng tròn.
2. Chứng minh BM // OP.
3. Đờng thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là
hình bình hành.
4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng
minh I, J, K thẳng hàng.
Bài 8 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng
tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến
Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia
BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB.
3) Chứng minh BAF là tam giác cân.
4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.
5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn.
Bài 9 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C
và D thuộc nửa đờng tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B và E).
1. Chứng minh AC. AE không đổi.
2. Chứng minh ABD = DFB.
3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.
Bài 10 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn sao cho AM < MB. Gọi M là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm
của hai tia BM, MA. Gọi P là chân đờng
vuông góc từ S đến AB.

1.Gọi S là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng PSM cân. 2.Chứng minh
PM là tiếp tuyến của đờng tròn .
Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn
(O) tại các điểm D, E, F . BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng minh :
1.
Tam giác DEF có ba góc nhọn.
BD BM
=
2.
DF // BC.
3. Tứ giác BDFC nội tiếp.
4.
CB CF
Bài 12 Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB và CD vuông góc với
nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đờng thẳng
vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến
tại N của đờng tròn ở P. Chứng minh :

2


Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 HK2
1.
2.
3.
4.

Tứ giác OMNP nội tiếp.
Tứ giác CMPO là hình bình hành.
CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định
nào.

Bài 13 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng
bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, Nửa đờng tròn
đờng kính HC cắt AC tại F.
1. Chứng minh AFHE là hình chữ nhật.
2. BEFC là tứ giác nội tiếp.
3. AE. AB = AF. AC.
4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn .
Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm.
Vẽ về một phía của AB các nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB và
có tâm theo thứ tự là O, I, K.
Đờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao
điểm của EA,
EB với các nửa đờng tròn (I), (K).
1.Chứng minh EC = MN.
2.Ch/minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đ/tròn (I), (K).
3.Tính MN.
4.Tính diện tích hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn
Bài 15 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng tròn
(O) có đờng kính MC. đờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) tại D. đờng thẳng AD
cắt đờng tròn (O) tại S.
1. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp .
2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB.
3. Gọi E là giao điểm của BC với đờng tròn (O). Chứng minh rằng các đờng
thẳng BA, EM, CD đồng quy.
4. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE.
5. Chứng minh điểm M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE.
Bài 16 Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đờng

tròn đờng kính BD cắt BC tại E. Các đờng thng CD, AE lần lợt cắt đờng tròn tại F,
G.
Chứng minh :
1800 mà đây là hai góc đối
1.
Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.
nên ADEC là tứ giác nội
2.
Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp .
tiếp .
3. AC // FG.
4.
Các đờng thẳng AC, DE, FB đồng quy.
Lời giải:
1. Xét hai tam giác ABC và EDB Ta có BAC = 900 ( vì tam giác
ABC vuông tại A); DEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng
tròn )
=> DEB = BAC = 900 ; lại có ABC là góc chung => DEB
CAB .
2. Theo trên DEB = 900 => DEC = 900 (vì hai góc kề bù); BAC
= 900 ( vì ABC vuông tại A) hay DAC = 900 => DEC + DAC =

3


Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 HK2
* BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A); DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa
đờng tròn ) hay BFC = 900 nh vậy F và A cùng nhìn BC dới một góc bằng 900 nên A
và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC => AFBC là tứ giác nội tiếp.
3. Theo trên ADEC là tứ giác nội tiếp => E1 = C1 lại có E1 = F1 => F1 = C1 mà đây là

hai góc so le trong nên suy ra AC // FG.
4. (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đờng cao của tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy
tại S.
Bài 17. Cho tam giác đều ABC có đờng cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất
kì ( M không trùng B. C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB. AC.
1.
Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đờng tròn
ngoại tiếp tứ giác đó.
2.
Chứng minh rằng MP + MQ = AH.
3.
Chứng minh OH PQ.
Bài 18 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì
( H không trùng O, B) ; trên đờng thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở
ngoài đờng tròn ; MA và MB thứ tự cắt đờng tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao
điểm của AD và BC.
1. Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp .
2. Chứng minh các đờng thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I.
3. Gọi K là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội
tiếp .
Bài 19. Cho đờng tròn (O) đờng kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B
khác O, C ). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với
AB. Nối CD, Kẻ BI vuông góc với CD.
1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp .
2. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi.
3. Chứng minh BI // AD.
4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng.
5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O).
Bài 20. Cho đờng tròn (O; R) và (O; R) có R > R tiếp xúc ngoài nhau tại C.
Gọi AC và BC là hai đờng kính đi qua điểm C của (O) và (O). DE là dây cung của

(O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của DC với (O) là
F, BD cắt (O) tại G. Chứng minh rằng:
1. Tứ giác MDGC nội tiếp .
2. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đờng tròn
3. Tứ giác ADBE là hình thoi.
4. B, E, F thẳng hàng
5. DF, EG, AB đồng quy.
6. MF = 1/2 DE.
7. MF là tiếp tuyến của (O).
Bài 21. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Vẽ đờng tron tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q.
1.
Chứng minh rằng các đờng tròn (I) và (O) tiếp xúc nhau tại A.
2. Chứng minh IP // OQ.
3. Chứng minh rằng AP = PQ.
4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất.

4


Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 HK2
Bài 22. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đờng thẳng
vuông góc với DE, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng DE và DC theo thứ tự ở H
và K.
1. Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp .
2. Tính góc CHK.
3. Chứng minh KC. KD = KH.KB
4. Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đờng nào?
Bài 23. Cho tam giác ABC vuông ở A. Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các hình
vuông ABHK, ACDE.
1. Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng.

2. Đờng thẳng HD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F, chứng minh
FBC là tam giác vuông cân.
3. Cho biết ABC > 450 ; gọi M là giao điểm của BF và ED, Chứng minh 5 điểm
b, k, e, m, c cùng nằm trên một đờng tròn.
4. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 24. Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 . Vẽ đờng tròn đờng kính AC có
tâm O, đờng tròn này cắt BA và BC tại D và E.
1.
Chứng minh AE = EB.
2. Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng đờng trung trực của đoạn HE đi
qua trung điểm I của BH.
3.Chứng minh OD là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp BDE.
Bài 25. Cho đờng tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R). Kẻ các tiếp tuyến với
đờng tròn (O) tại B và C chúng cắt nhau tại A. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi
kẻ các đờng vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tơng ứng BC, AC, AB. Gọi giao
điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH là Q.
1. Chứng minh tam giác ABC cân.
2. Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp .
2
3. Chứng minh MI = MH.MK.
4. Chứng minh PQ MI.
Bài 26. Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R. Vẽ dây cung CD AB ở H. Gọi M
là điểm chính giữa của cung CB, I là giao điểm của CB và OM. K là giao điểm của
AM và CB. Chứng minh :
KC AC
=
1.
2. AM là tia phân giác của CMD.
3. Tứ giác OHCI nội tiếp

KB AB
4. Chứng minh đờng vuông góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đờng tròn
tại M.
Bài 27 Cho đờng tròn (O) và một điểm A ở ngoài đờng tròn . Các tiếp tuyến với
đờng tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn (O) tại B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý
trên đờng tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH BC, MK CA, MI AB. Chứng minh :
1. Tứ giác ABOC nội tiếp.
2. BAO = BCO.
3. MIH MHK.
4.
2
MI.MK = MH .
Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; E là
điểm đối xứng của H qua BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC.
1.
Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành.
2.
E, F nằm trên đờng tròn (O).
3.
Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân.
4.
Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác
ABC.

5


Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 HK2

Bài 29 BC là một dây cung của đờng tròn (O; R) (BC 2R). Điểm A di động

trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đờng cao AD, BE, CF
của tam giác ABC đồng quy tại H.
1.
Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.
2.
Gọi A là trung điểm của BC, Chứng minh AH = 2OA.
3.
Gọi A1 là trung điểm của EF, Chứng minh R.AA1 = AA. OA.
4. Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vị trí của A để
tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhất.
Bài 30 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại M.
Vẽ đờng cao AH và bán kính OA.
1. Chứng minh AM là phân giác của góc OAH.
2. Giả sử B > C. Chứng minh OAH = B - C.
3. Cho BAC = 600 và OAH = 200. Tính:
a) B và C của tam giác ABC.
b) Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC theo R
Bài 31 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O; R), biết BAC = 600.
1.
Tính số đo góc BOC và độ dài BC theo R.
2.
Vẽ đờng kính CD của (O; R); gọi H là giao điểm của ba đờng cao của tam
giác ABC Chứng minh BD // AH và AD // BH.
3.
Tính AH theo R.
Bài 32 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R. Một cát tuyến MN quay quanh
trung điểm H của OB.
1.
Chứng minh khi MN di động , trung điểm I của MN luôn nằm trên một đờng tròn cố định.
2.

Từ A kẻ Ax MN, tia BI cắt Ax tại C. Chứng minh tứ giác CMBN là hình bình
hành.
3.
Chứng minh C là trực tâm của tam giác AMN.
4.
Khi MN quay quanh H thì C di động trên đờng nào.
5.
Cho AM. AN = 3R2 , AN = R 3 . Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài
tam giác AMN.
Bài 33 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I,
cắt đờng tròn tại M.
1. Chứng minh OM BC.
2. Chứng minh MC2 = MI.MA.
3. Kẻ đờng kính MN, các tia phân giác của góc B và C cắt đờng thẳng AN tại P
và Q. Chứng minh bốn điểm P, C , B, Q cùng thuộc một đờng tròn .
Bài 34 Cho tam giác ABC cân ( AB = AC), BC = 6 Cm, chiều cao AH = 4 Cm, nội
tiếp đờng tròn (O) đờng kính AA.
1. Tính bán kính của đờng tròn (O).
2. Kẻ đờng kính CC, tứ giác CACA là hình gì? Tại sao?
3. Kẻ AK CC tứ giác AKHC là hình gì? Tại sao?
4. Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác ABC.
Bài 35 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O
sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung
lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
1.
Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp .
2.
Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.

6

Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 HK2
3.
Chứng minh AM2 = AE.AC.
4.
Chứng minh AE. AC - AI.IB = AI2 .
5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại
tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Bài 36 Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ các đờng cao AD, BE, CF. Gọi H là trực
tâm của tam giác. Gọi M, N, P, Q lần lợt là các hình chiếu vuông góc của D lên AB, BE,
CF, AC. Chứng minh :
1.
Các tứ giác DMFP, DNEQ là hình chữ nhật.
2.
Các tứ giác BMND; DNHP; DPQC nội tiếp .
3. Hai tam giác HNP và HCB đồng dạng.
4. Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.
Bài 37
Cho hai đờng tròn (O) và (O) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung
ngoài BC, B (O),
C (O) . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung
ngoài BC ở I.
1. Chứng minh các tứ giác OBIA, AICO nội tiếp .
2. Chứng minh BAC = 900 .
3. Tính số đo góc OIO.
4. Tính độ dài BC biết OA = 9cm, OA = 4cm.
Bài 38 Cho hai đờng tròn (O) ; (O) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung
ngoài, B(O), C (O). Tiếp tuyến chung trong tại A cắ tiếp tuyến chung ngoài BC ở
M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của OM và AC. Chứng minh :

1. Chứng minh các tứ giác OBMA, AMCO nội tiếp .
2. Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
3. ME.MO = MF.MO.
4. OO là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính BC.
5. BC là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính OO.
Bài 39 Cho đờng tròn (O) đờng kính BC, dấy AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F
theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi ( I ), (K) theo thứ
tự là các đờng tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
1. Hãy xác định vị trí tơng đối của các đờng tròn (I) và (O); (K) và (O); (I) và
(K).
2. Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?.
3. Chứng minh AE. AB = AF. AC.
4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (I) và (K).
5. Xác định vị trí của H để EF có độ dài lớn nhất.
Bài 40 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax,
By. Trên Ax lấy điểm M rồi kẻ tiếp tuyến MP cắt By tại N.
1.
Chứng minh tam giác MON đồng dạng với tam giác APB.
2.
Chứng minh AM. BN = R2.
S MON
R
3.
Tính tỉ số
khi AM = .
S APB
2
4.
Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh cạnh AB sinh ra.
Bài 41 Cho tam giác đều ABC , O là trung điển của BC. Trên các cạnh AB, AC

lần lợt lấy các điểm D, E sao cho DOE = 600 .
1)Chứng minh tích BD. CE không đổi.

7


Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 HK2
2)Chứng minh hai tam giác BOD; OED đồng dạng. Từ đó suy ra tia DO là tia
phân giác của góc BDE
3)Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đờng tròn này luôn
tiếp xúc với DE.
Bài 42 Cho tam giác ABC cân tại A. có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp
đờng tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C lần lợt cắt AC, AB ở D và E. Chứng minh :
1.BD2 = AD.CD.
2.Tứ giác BCDE nội tiếp .
3.BC song song với DE.
Bài 43 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm M thuộc đờng tròn . Vẽ điểm N
đối xứng với A qua M,
BN cắt (O) tại C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
1.
Chứng minh tứ giác MNCE nội tiếp .
2.
Chứng minh NE AB.
3.
Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh FA là tiếp tuyến của (O).
4.
Chứng minh FN là tiếp tuyến của đờng tròn (B; BA).
Bài 44 AB và AC là hai tiếp tuyến của đờng tròn tâm O bán kính R ( B, C là
tiếp điểm ). Vẽ CH vuông góc AB tại H, cắt (O) tại E và cắt OA tại D.
1.

Chứng minh CO = CD.
2.
Chứng minh tứ giác OBCD là hình thoi.
3.
Gọi M là trung điểm của CE, Bm cắt OH tại I. Chứng minh I là trung điểm của
OH.
4.
Tiếp tuyến tại E với (O) cắt AC tại K. Chứng minh ba điểm O, M, K thẳng
hàng.
Bài 45 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O). Gọi D là trung
điểm của AC; tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại A cắt tia BD tại E. Tia CE cắt (O) tại F.
1.
Chứng minh BC // AE.
2.
Chứng minh ABCE là hình bình hành.
3.
Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của BC và OI.
So sánh BAC và BGO.
Lời giải
Bi 46: Cho ng trũn (O) v mt im P ngoi ng trũn. K hai tip tuyn PA, PB (A; B l tip
im). T A v tia song song vi PB ct (O) ti C (C A). on PC ct ng trũn ti im th hai D. Tia
AD ct PB ti E.
a. Chng minh EAB ~ EBD.
B
b. Chng minh AE l trung tuyn ca PAB.
.
Bi 47: Cho ABC vuụng A. Ly trờn cnh AC mt im D. Dng CE vuụng gúc BD.
a. Chng minh ABD ~ ECD.
b. Chng minh t giỏc ABCE l t giỏc ni tip.
c. Chng minh FD vuụng gúc BC, trong ú F l giao im ca BA v CE.

ã
d. Cho ABC
= 600; BC = 2a; AD = a. Tớnh AC; ng cao AH ca ABC v bỏn kớnh ng trũn
C
ngoi tip t giỏc ADEF.

E
8


TuyÓn tËp 80 bµi to¸n h×nh häc líp 9 HK2
·
Bài 48: Cho ∆ABC vuông ( ABC
= 900; BC > BA) nội tiếp trong đường tròn đưòng kính AC. Kẻ dây
cung BD vuông góc AC. H là giao điểm AC và BD. Trên HC lấy điểm E sao cho E đối xứng với A qua H.
Đường tròn đường kính EC cắt BC tại I (I ≠ C).
B
CI CE
=
a. Chứng minh
CB CA
I
b. Chứng minh D; E; I thẳng hàng.
c. Chứng minh HI là một tiếp tuyến của đường tròn đường kính EC.
H
HD; a) AB // EI (cùng ⊥ BC)
A
C
E O’
CI CE

⇒
=
(đ/lí Ta-lét)
CB CA
b) chứng minh ABED là hình thoi ⇒ DE // AB mà EI //AB
⇒ D, E, I cùng nằm trên đường thẳng đi qua E // AB
⇒ D, E, I thẳng hàng.
D
·
·
c) EIO' = IEO' ( vì ∆ EO’I cân ; O’I = O’E = R(O’))
·
·
·
·
= HED
(đ/đ) ; ∆BID vuông ; IH là trung tuyến ⇒ ∆HID cân ⇒ HIE
= HDI
IEO'
·
·
Mà HDI
+ HED
= 900 ⇒ đpcm.
Bài 49: Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng (d) cố định không cắt (O; R). Hạ OH ⊥ (d) (H ∈
d). M là một điểm thay đổi trên (d) (M ≠ H). Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MP và MQ (P, Q là tiếp điểm) với (O; R).
Dây cung PQ cắt OH ở I; cắt OM ở K.
a. Chứng minh 5 điểm O, Q, H, M, P cùng nằm trên 1 đường tròn.
P
b. Chứng minh IH.IO = IQ.IP

0
·
c. Giả sử PMQ = 60 . Tính tỉ số diện tích 2 tam giác: ∆MPQvà ∆OPQ.
HD: a) 5 điểm O, Q, H, M, P cùng nằm trên 1 đường tròn
K O
M
(Dựa vào quĩ tích cung chứa góc 900)
I
IO IQ
⇒ IH.IO = IQ.IP
=
b) ∆ OIP ~ ∆ QIH (g.g) ⇒
IP IH
Q
PQ
PQ 3
0
·
c) ∆v MKQ có : MK = KQ.tg MQK = KQ.tg60 =
.
3=
H
2
2
3 PQ 3 PQ 3
·
∆v OKQ có: OK = KQ.tg OQK
= KQ.tg300 = KQ.
=
.

=
3
2 3
6
SMPQ PQ 3 PQ 3
⇒
=
:
=3
SOPQ
2
6
Bài 50: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB=2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (E ≠ A). Từ E,
A, B kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn. Tiếp tuyến kẻ từ E cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B theo thứ tự
tại C và D.
a. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa đường tròn. Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp
được trong một đường tròn.
DM CM
=
b. Chứng minh ∆EAC ~ ∆EBD, từ đó suy ra
.
D
DE CE
1
c. Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MN // BD.
M
d. Chứng minh: EA2 = EC.EM – EA.AO.
·
e. Đặt AOC
= α. Tính theo R và α các đoạn AC và BD.

C
N
Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc giá trị của R,
2 3
không phụ thuộc vào α.
1
4
0
HD:a) ACMO nội tiếp (Dựa vào quĩ tích cung chứa góc 90 )
B
O

9

E

A


Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 HK2

b) AC // BD (cựng EB) EAC ~ EBD
CE AC
CE CM
DM CM

=
=
=
(1)m AC = CM ; BD = MD (T/c hai tip tuyn ct nhau)

(2)
DE BD
DE DM
DE CE
NC AC
NC CM
MN // BD
=
=
c) AC // BD (cmt) NAC ~ NBD
(3) .T 1; 2; 3
NB BD
NB DM
d) ảO1 = ảO 2 ; ảO3 = ảO 4 m ảO1 + ảO 2 + ảO3 + ảO 4 = 1800 ảO 2 + ảO3 = 900 ; ảO 4 + ảD1 = 900 ()
OB
R
R
ảD1 = ảO 2 = ảO1 = . Vy: DB =
=
; Li cú: AC = OA.tg = R.tg AC.DB = R.tg.
tg
tg
tg
2
AC.DB = R (pcm)
Bi 51: Cho ABC cú 3 gúc nhn. Gi H l giao im ca 3 ng cao AA1; BB1; CC1.
a. Chng minh t giỏc HA1BC1 ni tip c trong ng trũn. Xỏc nh tõm I ca ng trũn y.
b. Chng minh A1A l phõn giỏc ca ãB1A1C1 .
A
c. Gi J l trung im ca AC. Chng minh IJ l trung trc ca A1C1.

MH 1
= .
d. Trờn on HC ly 1 im M sao cho
MC 3
B1
So sỏnh din tớch ca 2 tam giỏc: HAC v HJM.
C1
HD: a) HA1BC1 ni tip (qu tớch cung cha gúc 900)
J
H
Tõm I l trung im BH.
b) C/m: ãHA1C1 = ãHBC1 ; ãHA1B1 = ãHCB1 ;
M
K
ãHBC = ãHCB ãHA C = ãHA B pcm.
I
1

1

1

1

1

12

1

c) IA1 = IC1= R(I) ; JA = JA1= AC/2
C
A1
J l trung trc ca A1C1.
B
1
1
d) S HJM = HM.JK ; SHAC =
HC.AC1
2
2
HC.AC1
MH 1
HC HM+MC
MC
AC1
SHAC : S HJM =
=
=
= 1+
= 1+ 3 = 4 ;
= 2 (JK// AC1
m
HM.JK
MC 3
HM
HM
HM
JK
SHAC : S HJM = 8

Bi 52: Cho im C c nh trờn mt ng thng xy. Dng na ng thng Cz vuụng gúc vi xy v
ly trờn ú 2 im c nh A, B (A gia C v B). M l mt im di ng trờn xy. ng vuụng gúc vi
AM ti A v vi BM ti B ct nhau ti P.
a. Chng minh t giỏc MABP ni tip c v tõm O ca ng trũn ny nm trờn mt ng thng
c nh i qua im gia L ca AB.
b. K PI Cz. Chng minh I l mt im c nh.
c. BM v AP ct nhau H; BP v AM ct nhau K. Chng minh rng KH PM.
d. Cho N l trung im ca KH. Chng minh cỏc im N; L; O thng hng.
z
HD: a) MABP ni tip /trũn /k MP.(qu tớch cung cha gúc 900)
P
I
OA = OB = R(O) O thuc ng trung trc AB i qua L
l trung im AB
B
b) IP // CM ( Cz) MPIC l hỡnh thang. IL = LC khụng i
H
vỡ A,B,C c nh. I c nh.
O
N
c) PA KM ; PK MB H l trc tõm PKM
L
KH PM
K
d) AHBK ni tip /trũn /k KH (qu tớch cung cha gúc)
N l tõm /trũn ngoi tip NE = NA = R(N)
A
N thuc ng trung trc AB

10

x

y


TuyÓn tËp 80 bµi to¸n h×nh häc líp 9 HK2

⇒ O,L,N thẳng hàng.

M

C

Bài 53: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và K là điểm chính giữa của cung AB. Trên cung AB
lấy một điểm M (khác K; B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP song song với KM.
Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP, BM.
a. So sánh hai tam giác: ∆AKN và ∆BKM.
b. Chứng minh: ∆KMN vuông cân.
c. Tứ giác ANKP là hình gì? Vì sao?
HD: a) ∆ AKN = ∆ BKM(c.g.c)
U
b) HS tự c/m. ∆ KMN vuông cân.
c) ∆ KMN vuông ⇒ KN ⊥ KM mà KM // BP ⇒ KN ⊥ BP
P
·
= 900 (góc nội tiếp…) ⇒ AP ⊥ BP
APB
⇒ KN // AP ( ⊥ BP)
·

·
KM // BP ⇒ KMN
= PAT
= 450
¼
// N
PKM
·
·
Mà PAM
= PKU
=
= 450
A
2
·
·
PKN
= 450 ; KNM
= 450 ⇒ PK // AN . Vậy ANPK là hình bình hành.

K
M
T
O

=
B

Bài 54: Cho đường tròn tâm O, bán kính R, có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. M là một điểm

tuỳ ý thuộc cung nhỏ AC. Nối MB, cắt CD ở N.
a. Chứng minh: tia MD là phân giác của góc AMB.
b. Chứng minh:∆BOM ~ ∆BNA. Chứng minh: BM.BN không đổi.
c. Chứng minh: tứ giác ONMA nội tiếp. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ONMA, I di động
như thế nào?
C
0
·
·
HD: a) AMD = DMB = 45 (chắn cung ¼ đ/tròn)
·
⇒ MD là tia phân giác AMB
M F
b) ∆ OMB cân vì OM = OB = R(O)
N
I
∆ NAB cân có NO vừa là đ/cao vừa là đường trung tuyến.
B
⇒ ∆ OMB ~ ∆ NAB
A
E
O
2
BM BO
⇒
⇒ BM.BN = BO.BA = 2R không đổi.
=
BA BN
c) ONMA nội tiếp đ/tròn đ/k AN. Gọi I là tâm đ/tròn ngoại tiếp
⇒ I cách đều A và O cố định ⇒ I thuộc đường trung trực OA

Gọi E và F là trung điểm của AO; AC
D
Vì M chạy trên cung nhỏ AC nên tập hợp I là đoạn EF
Bài 55: Cho ∆ABC cân (AB = AC) nội tiếp một đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của AC; tia BD cắt
tiếp tuyến tại A với đường tròn (O) tại điểm E; EC cắt (O) tại F.
a. Chứng minh: BC song song với tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A.
b. Tứ giác ABCE là hình gì? Tại sao?
·
·
c. Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của các tia BC; OI. So sánh BGO
với BAC
.
A
E
·
d. Cho biết DF // BC. Tính cos ABC
.
HD:a) Gọi H là trung điểm BC ⇒ AH ⊥ BC (∆ ABC cân tại A)
lập luận chỉ ra AH ⊥ AE ⇒ BC // AE. (1)
D
M
b) ∆ ADE = ∆ CDB (g.c.g) ⇒ AE = BC (2)
N
F
⇒
Từ 1 và 2
ABCE là hình bình hành.
O
_

11

I


TuyÓn tËp 80 bµi to¸n h×nh häc líp 9 HK2

c) Theo c.m.t ⇒ AB // CF ⇒ GO ⊥ AB.
_
1 ·
·
·
·
⇒ BGO
= 900 – ABC
= BAH
= BAC
2
H
C
d) Tia FD cắt AB taijM, cắt (O) tại N.; DF // BC và AH là trục B
đối xứng cuarBC và đ/tròn (O) nên F, D thứ tự đối xứng với N, M qua AH.
1
1
⇒ FD = MN = MD = BC = ND = BH ; ∆ NDA ~ ∆ CDF (g.g) ⇒ DF.DN = DA.DC
2
2
1
BH
2

·
⇒ 2BH2 = AC2 ⇒ BH = 2 AC ⇒ cos ABC
=
=
.
4
AB
4
4

G

Bài 56: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Các đường thẳng AO; AO’ cắt đường
tròn (O) lần lượt tại các điểm C; D và cắt (O’) lần lượt tại E; F.
E
a. Chứng minh: C; B; F thẳng hàng.
b. Chứng minh: Tứ giác CDEF nội tiếp được.
D
c. Chứng minh: A là tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE.
A
d. Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’).
·
·
O’
HD: a) CBA
= 900 = FBA
(góc nội tiếp chắn nửa đ/tròn)
O
·
·

⇒ CBA
+ FBA
= 1800 ⇒ C, B, F thẳng hàng.
·
·
F
⇒ CDEF nội tiếp (quĩ tích …)
b) CDF
= 900 = CEF
C
B
·
·
c) CDEF nội tiếp ⇒ ADE
= ECB
(cùng chắn cung EF)
·
·
Xét (O) có: ADB
= ECB
(cùng chắn cung AB)
= ADB
. Tương tự EA là tia phân giác DEB
·
·
·
·
⇒ ADE
⇒ DA là tia phân giác BDE
Vậy A là tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE..

·
·
·
·
·
·
d) ODEO’ nội tiếp. Thực vậy : DOA
= 2 DCA
; EO'A
= 2 EFA
mà DCA
= EFA
(góc nội tiếp chắn
·
·
·
·
·
·
⇒ ODEO’ nội tiếp.
cung DE) ⇒ DOA
= EO'A
; mặt khác: DAO
= EAO'
(đ/đ) ⇒ ODO'
= O'EO
Nếu DE tiếp xúc với (O) và (O’) thì ODEO’ là hình chữ nhật ⇒ AO = AO’ = AB.
Đảo lại : AO = AO’ = AB cũng kết luận được DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’)
Kết luận : Điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) là : AO = AO’ = AB.
Bài 57: Cho đường tròn (O; R) có 2 đường kính cố định AB ⊥ CD.

a) Chứng minh: ACBD là hình vuông.
b). Lấy điểm E di chuyển trên cung nhỏ BC (E ≠ B; E ≠ C). Trên tia đối của tia EA lấy đoạn EM = EB.
·
Chứng tỏ: ED là tia phân giác của AEB
và ED // MB.
c). Suy ra CE là đường trung trực của BM và M di chuyển trên đường tròn mà ta phải xác định tâm và
bán kính theo R.
HD: a) AB ⊥ CD. ; OA = OB = OC = OD = R(O)
C
⇒ ACBD là hình vuông.
E // M
1 ·
1 ·
0
·
·
b) AED
=
= DOB
= 450
AOD = 45 ; DEB
=
2
2
·
·
·
⇒ AED
⇒ ED là tia phân giác của AEB
= DEB

.
B
A
O
0
0
·
·
= 45 ; EMB
= 45 (∆ EMB vuông cân tại E)
AED
·
·
⇒ AED
= EMB
(2 góc đồng vị) ⇒ ED // MB.
c) ∆ EMB vuông cân tại E và CE ⊥ DE ; ED // BM
⇒ CE ⊥ BM ⇒ CE là đường trung trực BM.
D
d) Vì CE là đường trung trực BM nên CM = CB = R 2
Vậy M chạy trên đường tròn (C ; R’ = R 2 )

12


Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 HK2

Bi 58: Cho ABC u, ng cao AH. Qua A v mt ng thng v phớa ngoi ca tam giỏc, to vi
cnh AC mt gúc 400. ng thng ny ct cnh BC kộo di D. ng trũn tõm O ng kớnh CD ct AD
E. ng thng vuụng gúc vi CD ti O ct AD M.

a. Chng minh: AHCE ni tip c. Xỏc nh tõm I ca ng trũn ú.
b. Chng minh: CA = CM.
c. ng thng HE ct ng trũn tõm O K, ng thng HI ct ng trũn tõm I N v ct
ng thng DK P. Chng minh: T giỏc NPKE ni tip.
Bi 59: BC l mt dõy cung ca ng trũn (O; R) (BC 2R). im A di ng trờn cung ln BC sao cho O
luụn nm trong ABC. Cỏc ng cao AD; BE; CF ng quy ti H.
a. Chng minh:AEF ~ ABC.
b. Gi A l trung im BC. Chng minh: AH = 2.AO.
c. Gi A1 l trung im EF. Chng minh: R.AA1 = AA.OA.
d. Chng minh: R.(EF + FD + DE) = 2.SABC.
Suy ra v trớ im A tng (EF + FD + DE) t GTLN.
Bi 60: Cho ng trũn tõm (O; R) cú AB l ng kớnh c nh cũn CD l ng kớnh thay i. Gi () l
tip tuyn vi ng trũn ti B v AD, AC ln lt ct () ti Q v P.
a. Chng minh: T giỏc CPQD ni tip c.
b. Chng minh: Trung tuyn AI ca AQP vuụng gúc vi DC.
c. Tỡm tp hp cỏc tõm E ca ng trũn ngoi tip CPD.
à < 900), mt cung trũn BC nm bờn trong ABC tip xỳc vi AB, AC
Bi 61: Cho ABC cõn (AB = AC; A
ti B v C. Trờn cung BC ly im M ri h cỏc ng vuụng gúc MI, MH, MK xung cỏc cnh tng ng
BC, CA, AB. Gi Q l giao im ca MB, IK.
a. Chng minh: Cỏc t giỏc BIMK, CIMH ni tip c.
ã
b. Chng minh: tia i ca tia MI l phõn giỏc HMK
.
c. Chng minh: T giỏc MPIQ ni tip c PQ // BC.
Bi 62: Cho na ng trũn (O), ng kớnh AB, C l trung im ca cung AB; N l trung im ca BC.
ng thng AN ct na ng trũn (O) ti M. H CI AM (I AM).
C
a. Chng minh: T giỏc CIOA ni tip c trong 1 ng trũn.
b. Chng minh: T giỏc BMCI l hỡnh bỡnh hnh.

M
=
ã
ã
c. Chng minh: MOI
.
= CAI
1 2
N
d. Chng minh: MA = 3.MB.
I
=
0
0
ã
ã
HD: a) COA
= 90 () ; CIA
= 90 ()
T giỏc CIOA ni tip (qu tớch cung cha gúc 900)
O
B
A
b) MB // CI ( BM). (1)
ã
ã
CIN = BMN (g.c.g) ảN1 = ảN 2 (/) ; NC = NB ; NCI
(slt)
= NBM
CI = BM (2). T 1 v 2 BMCI l hỡnh bỡnh hnh.

1ã
0
ã
ã
c) CIM vuụng cõn ( CIA
= 900 ; CMI = COA = 45 ) MI = CI ; IOM = IOC vỡ OI chung ;
2
ã
ã
ã
ã
ã
ã
MOI
IC = IM (c.m.t) ; OC = OM = R(O) MOI = IOC
m: IOC
= CAI
= CAI
R 2 AC
d) ACN vuụng cú : AC = R 2 ; NC =
(vi R = AO)
=
2
2

13


Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 HK2
T ú : AN =

MB =

AC2 +CN 2 = 2R 2 +

NC 2 MN 2 =

AM = 3 BM.

R2
5 R 10
NC2 R 10
MI
; NI =
=R
=
=
= MN =
2
2
2
NA
10
2

R2 R2
2R R 10
AM = AN + MN = R 10 + R 10 = 3R 10

=
=

2 10
5
2
10
5
10

à = 600 ni tip trong ng trũn (O), ng cao AH ct ng trũn D,
Bi 63: Cho ABC cú A
ng cao BK ct AH E.
ã
ã
a. Chng minh: BKH
.
= BCD
ã
b. Tớnh BEC
.
c. Bit cnh BC c nh, im A chuyn ng trờn cung ln BC. Hi tõm I ca ngtrũn ni tip ABC chuyn
ng trờn ng no? Nờu cỏch dng ng ú (ch nờu cỏch dng) v cỏch xỏc nh rừ nú (gii hn ng ú).
d. Chng minh: IOE cõn I.
A
ã
ã
HD: a) ABHK ni tip BKH
;
= BAH
ã
ã
ã

ã
( cựng chn cung BD) BCD
BCD
= BAH
= BKH
b) CE ct AB F. ;
K
0
0
0
0
0 ã
ã
ả

AFEK ni tip FEK = 180 A = 180 60 = 120
BEC = 120
0
F E I
ảB + ảC
120
ã
c) BIC
= 1800
= 1800
= 1200
2
2
Vy I chuyn ng trờn cung cha gúc 1200 dng trờn on BC, cung
C

B
H
ny nm trong ng trũn tõm (O).

ằ
IO
DS
ã
ã
d) Trong /trũn (O) cú DAS
= s
; trong /trũn (S) cú ISO
= s
D S
2
2

ằ
IO
DS
= IE
ã
ã
ằ = IE
IO
pcm.
vỡ DAS
= ISO
(so le trong) nờn:
=

m DS
2
2
Bi 64: Cho hỡnh vuụng ABCD, phớa trong hỡnh vuụng dng cung mt phn t ng trũn tõm B, bỏn kớnh AB
v na ng trũn ng kớnh AB. Ly 1 im P bt k trờn cung AC, v PK AD v PH AB. Ni PA, ct
na ng trũn ng kớnh AB ti I v PB ct na ng trũn ny ti M. Chng minh rng:
C
D
a. I l trung im ca AP.
b. Cỏc ng PH, BI v AM ng quy.
c. PM = PK = AH.
d. T giỏc APMH l hỡnh thang cõn.
P
K
ã
HD: a) ABP cõn ti B. (AB = PB = R(B)) m AIB
= 900 (gúc ni tip )
M
BI AP BI l ng cao cng l ng trung tuyn
I l trung im ca AP
I
b) HS t c/m.
c) ABP cõn ti B AM = PH ; AP chung vAHP = v PMA
AH = PM ; AHPK l hỡnh ch nht AH = KP PM = PK = AH
d) PMAH nm trờn /trũn /k AP m PM = AH (c.m.t)
B
A H
ằ = AH
ằ PA // MH
PM

Vy APMH l hỡnh thang cõn.
Bi 65: Cho ng trũn tõm O, ng kớnh AB = 2R. K tia tip tuyn Bx, M l im thay i trờn Bx;.
AM ct (O) ti N. Gi I l trung im ca AN.
a. Chng minh: T giỏc BOIM ni tip c trong 1 ng trũn.

14


TuyÓn tËp 80 bµi to¸n h×nh häc líp 9 HK2
b. Chứng minh:∆IBN ~ ∆OMB.
c. Tìm vị trí của điểm M trên tia Bx để diện tích tam giác AIO có GTLN.
·
·
HD: a) BOIM nội tiếp được vì OIM
A
= OBM
= 900
·
·
·
·
b) INB
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
= OBM
= 900 ; NIB
= BOM
⇒ ∆ IBN ~ ∆OMB.
1
c) SAIO = AO.IH; SAIO lớn nhất ⇔ IH lớn nhất vì AO = R(O)
2

Khi M chạy trên tia Bx thì I chạy trên nửa đường tròn đ/k AO. Do đó SAIO lớn nhất
·
Khi IH là bán kính, khi đó ∆ AIH vuông cân, tức HAI
= 450
Vây khi M cách B một đoạn BM = AB = 2R(O) thì SAIO lớn nhất .

H O

B

I
N

M

Bài 66: Cho ∆ ABC đều, nội tiếp trong đường tròn (O; R). Gọi AI là một đường kính cố định và D là điểm
di động trên cung nhỏ AC (D ≠ A và D ≠ C).
A
·
a. Tính cạnh của ∆ABC theo R và chứng tỏ AI là tia phân giác của BAC
.
D
b. Trên tia DB lấy đoạn DE = DC. Chứng tỏ ∆CDE đều và DI ⊥ CE.
c. Suy ra E di động trên đường tròn mà ta phải xác định tâm và giới hạn.
=
d. Tính theo R diện tích ∆ADI lúc D là điểm chính giữa cung nhỏ AC.
=
E O
HD: a) ∆ ABC đều, nội tiếp trong đường tròn (O; R). HS tự c/m :
⇒ AB = AC = BC = R 3

Trong đ/tròn (O; R) có: AB = AC ⇒ Tâm O cách đều 2 cạnh AB và AC
C
B
·
⇒ AO hay AI là tia phân giác của BAC
.
·
·
» )
b) Ta có : DE = DC (gt) ⇒ ∆ DEC cân ; BDC
= BAC
= 600 (cùng chắn BC
I
º ⇒ BDI
» ⇒ IB
º = IC
·
·
⇒ ∆CDE đều. I là điểm giữa BC
= IDC
·
⇒ DI là tia phân giác BDC
⇒ ∆CDE đều có DI là tia phân giác nên cũng là đường cao ⇒ DI ⊥ CE
c) ∆CDE đều có DI là đường cao cũng là đường trung trực của CE ⇒ IE = IC mà I và C cố định ⇒ IC
» (cung nhỏ )
không đổi ⇒ E di động trên 1 đ/tròn cố định tâm I, bán kính = IC. Giới hạn : I ∈ AC
» nhỏ của đ/t (I; R = IC) chứa trong ∆ ABC đều.
D → C thì E → C ; D → A thì E → B ⇒ E đi động trên BC
Bài 67: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Trên AD và DC, người ta lấy các điểm E và F sao cho :
a

AE = DF = .
3
a. So sánh ∆ABE và ∆DAF. Tính các cạnh và diện tích của chúng.
b. Chứng minh AF ⊥ BE.
c. Tính tỉ số diện tích ∆AIE và ∆BIA; diện tích ∆AIE và ∆BIA và diện tích các tứ giác IEDF và IBCF.
µ = 450. Vẽ các đường cao BD và CE.
Bài 68: Cho ∆ABC có các góc đều nhọn; A
Gọi H là giao điểm của BD, CE.
a. Chứng minh: Tứ giác ADHE nội tiếp được trong 1 đường tròn.; b. Chứng minh: HD = DC.
DE
c. Tính tỷ số:
d. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Chứng minh: OA ⊥ DE
BC
Bài 69: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB. Hạ BN và DM cùng
vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh:
a. Tứ giác CBMD nội tiếp được trong đường tròn.
·
·
b. Khi điểm D di động trên đường tròn thì ( BMD
+ BCD
) không đổi.
c. DB.DC = DN.AC

15


Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 HK2
Bi 70: Cho ABC ni tip ng trũn (O). Gi D l im chớnh gia cung nh BC. Hai tip tuyn ti C
v D vi ng trũn (O) ct nhau ti E. Gi P, Q ln lt l giao im ca cỏc cp ng thng AB v
CD; AD v CE. Chng minh:

a. BC // DE.
b. Cỏc t giỏc CODE, APQC ni tip c.
c. T giỏc BCQP l hỡnh gỡ?
Bi 71: Cho 2 ng trũn (O) v (O) ct nhau ti A v B; cỏc tip tuyn ti A ca cỏc ng trũn (O) v
(O) ct ng trũn (O) v (O) theo th t ti C v D. Gi P v Q ln lt l trung im ca cỏc dõy AC v
AD. Chng minh:
a. ABD ~ CBA.
ã
ã
b. BQD
= APB
c. T giỏc APBQ ni tip.
Bi 72: Cho na ng trũn (O), ng kớnh AB. T A v B k 2 tip tuyn Ax v By. Qua im M thuc
na ng trũn ny, k tip tuyn th ba, ct cỏc tip tuyn Ax v By ln lt E v F.
a. Chng minh: AEMO l t giỏc ni tip c.
b. AM ct OE ti P, BM ct OF ti Q. T giỏc MPOQ l hỡnh gỡ? Ti sao?
c. K MH AB (H AB). Gi K l giao im ca MH v EB. So sỏnh MK vi KH.
d.Cho AB = 2R v gi r l bỏn kớnh ng trũn ni tip EOF. Chng minh:

1 r 1
< < .
3 R 2

Bi 73: T im A ngoi ng trũn (O) k 2 tip tuyn AB, AC v cỏt tuyn AKD sao cho BD//AC.
Ni BK ct AC I.
a. Nờu cỏch v cỏt tuyn AKD sao cho BD//AC.
b. Chng minh: IC2 = IK.IB.
ã
c. Cho BAC
= 600. Chng minh: Cỏt tuyn AKD i qua O.

Bi 74: Cho ABC cõn A, gúc A nhn. ng vuụng gúc vi AB ti A ct ng thng BC E. K
EN AC. Gi M l trung im BC. Hai /thng AM v EN ct nhau F.
a. Tỡm nhng t giỏc cú th ni tip ng trũn. Gii thớch vỡ sao? Xỏc nh tõm cỏc ng trũn ú.
b. Chng minh: EB l tia phõn giỏc ca AEF .
c. Chng minh: M l tõm ng trũn ngoi tip VAFN .
Bi 75: Cho na ng trũn tõm (O), ng kớnh BC. im A thuc na ng trũn ú. Dng hỡnh
vuụng ABED thuc na mt phng b AB, khụng cha nh C. Gi F l giao im ca AE v na
ng trũn (O). K l giao im ca CF v ED.
a. Chng minh: Bn im E, B, F, K nm trờn mt ng trũn.
b. BKC l tam giỏc gỡ? Vỡ sao?
c. Tỡm qu tớch im E khi A di ng trờn na ng trũn (O).
1
AB. Trờn cnh BC ly im E (E khỏc B v C). T B k ng
2
thng d vuụng gúc vi AE, gi giao im ca d vi AE, AC kộo di ln lt l I, K.
ã
a. Tớnh ln gúc CIK
.
b. Chng minh: KA.KC = KB.KI; AC2 = AI.AE AC.CK.
c. Gi H l giao im ca ng trũn ng kớnh AK vi cnh AB.
Chng minh: H, E, K thng hng.
d. Tỡm qu tớch im I khi E chy trờn BC.

Bi 76: Cho ABC vuụng ti C, cú BC =

16


TuyÓn tËp 80 bµi to¸n h×nh häc líp 9 HK2
Bài 77: Cho ∆ABC vuông ở A. Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy một điểm E.

Nối BE và kéo dài cắt AC tại F.
a. Chứng minh: CDEF nội tiếp được.
·
·
b. Kéo dài DE cắt AC ở K. Tia phân giác của CKD
cắt EF và CD tại M và N. Tia phân giác của CBF
cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giác MPNQ là hình gì? Tại sao?
c. Gọi r, r1, r2 theo thứ tự là bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC. Chứng
minh: r2 = r12 + r22.
Bài 78: Cho đường tròn (O;R). Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm chính giữa của cung
nhỏ BC; AE cắt CO ở F, DE cắt AB ở M.
a. Tam giác CEF và EMB là các tam giác gì?
b. Chứng minh: Tứ giác FCBM nội tiếp. Tìm tâm đường tròn đó.
c. Chứng minh: Cấc đường thẳng OE, BF, CM đồng quy.
Bài 79: Cho đường tròn (O; R). Dây BC < 2R cố định và A thuộc cung lớn BC (A khác B, C và không trùng
điểm chính giữa của cung). Gọi H là hình chiếu của A trên BC; E, F thứ tự là hình chiếu của B, C trên
đường kính AA’.
a. Chứng minh: HE ⊥ AC.
b. Chứng minh: ∆HEF ~ ∆ABC.
c. Khi A di chuyển, chứng minh: Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HEF cố định.
Bài 80: Cho ∆ ABC vuông ở A. Kẻ đường cao AH. Gọi I, K tương ứng là tâm các đường tròn nội tiếp
∆ ABH và ∆ ACH .
1) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HIK.
2) Đường thẳng IK cắt AB, AC lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh tứ giác HCNK nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Chứng minh AM = AN.
1
c) Chứng minh S’ ≤ S , trong đó S, S’ lần lượt là diện tích ∆ ABC và ∆ AMN.
2

17