SKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất

Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất

PHẦN I: MỞ ĐẦU
1.TÊN ĐỀ TÀI :
MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH
GIẢI CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT.
2. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
a. Đặt vấn đề:
Từ trước, Đại số và Giải tích 11 luôn được coi là nặng nhất trong ba năm
học phổ thông (THPT). Đặc biệt, chương II: Tổ hợp-Xác suất là một chương mà
học sinh thường ngại học vì sao?
Thứ nhất, các bài toán xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng
ngẫu nhiên trong thực tiễn nhưng các em chỉ thấy một hoặc một số khả năng xảy
ra mà không thấy được hết các khả năng xảy ra.
Thứ hai, kiến thức của chương này có quan hệ chặt chẽ với nhau, các qui
tắc lại na ná giống nhau khó phân biệt mà áp dụng.
Do đó, các em rất lúng túng khi giải quyết các bài toán của chương, nhất là
các bài toán xác suất, có khi các em đã làm xong mà không dám chắc mình đã
làm đúng. Chính vì thế, tôi nghĩ rằng cần phải giúp học sinh có phương pháp, kĩ
năng giải quyết các bài toán xác suất.
b. Cơ sở lí luận:
- Các khái niệm phép thử, không gian mẫu, biến cố, xác suất của biến cố,
biến cố đối, biến cố xung khắc, biến cố độc lập… là những khái niệm hoàn toàn
mới trong chương trình phổ thông. Do đó, học sinh cảm thấy chúng khó hiểu và
ngại tiếp cận các kiến thức này. Chính vì vậy, giáo viên cần giúp học sinh hiểu
và nắm rõ các khái niệm này thông qua các ví dụ thực tiễn từ đơn giản đến phức
tạp.
- Khi học sinh đã nắm rõ các khái niệm này thì việc giải bài toán đơn giản
hơn và không bị lúng túng. Với các bài toán đếm thường ứng dụng thực tế nên
các em sẽ càng thấy ý nghĩa của toán tổ hơp xác suất, từ đó các em thêm yêu
thích học toán.

c. Cơ sở thực tiễn:
Thực tế cho thấy: đa số học sinh không quen với các bài toán của
chương II tổ hợp - xác suất lớp 11. Đó là vì:
+ Các em thường gặp các bài toán trên lý thuyết mà ít khi gặp và giải
quyết các bài toán thực tế .
1/22


Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất
+ Cách suy luận không hoàn toàn giống suy luận toán học.
Xuất phát từ những ý nghĩ trên tôi thấy cần phải có biện pháp giúp học
sinh có kĩ năng giải các bài toán xác suất .

3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất
đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán vào
những tình huống cụ thể.

4. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác
suất, các bài toán xác suất.
- Đối tượng khảo sát thực nghiệm: Học sinh lớp 11A6. Trước khi thực
hiện đề tài tôi cho học sinh làm một bài kiểm tra, kết quả như sau:
Điểm

Điểm dưới 5

Điểm 5;6

Điểm 7;8

Điểm 9;10

50%

40%

7,5%

2,5%

Lớp
11A6

- Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về xác suất trong chương
trình SGK cơ bản và nâng cao môn toán lớp 11.
- Kế hoạch nghiên cứu: Từ tháng 10 năm 2012 đến tháng 12 năm 2014.
Áp dụng vào lớp 11A6 trong tháng 11 năm 2014.

5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học
- Phỏng vấn, gợi mở.
- Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải quyết
các bài toán ở những lớp trước.

2/22


Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất

PHẦN II: NỘI DUNG
A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT:
1. Lý thyết tổ hợp
- Hoán vị: Kí hiệu :Pn, Pn=n(n-1)…2.1=n!
- Chỉnh hợp: Kí hiệu :Akn, Akn=n.(n-1)…(n-k+1) . Khi k=n thì Akn=Pn
- Tổ hợp: Kí hiệu: Ckn, Ckn= (0<=k<=n)
2. Biến cố và phép thử biến cố
- Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của
nó, mặc dù đã biết tập hợp các kết quả có thể có của phép thử đó.
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu
của phép thử và kí hiệu là Ω .
Biến cố là một tập con của không gian mẫu
Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A, B, C,… và cho dưới dạng mệnh
đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con.
Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:
- Tập φ được gọi là biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không).
- Tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn.
Phép toán trên biến cố
Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử và các
kết quả của phép thử là đồng khả năng.
+ Tập Ω \ A được gọi là biến cố đối của biến cố , kí hiệu là . Và
và chỉ khi

xảy ra khi

không xảy ra.

+ Tập A ∪ B được gọi là hợp của các biến cố A và B.
+ Tập

được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết là A.B.

+ Nếu
+ Hai biến cố

thì ta nói
và

và

là xung khắc.

được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không

xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
3. Định nghĩa cổ điển của xác suất
3/22


Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất
Giả sử

là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả

đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số

n( A)
là xác suất của biến cố
n ( Ω)

, kí hiệu là

n( A)

P(A). Vậy P( A) = n(Ω)
4. Tính chất của xác suất:
Tính chất cơ bản:
P( φ ) = 0
P( Ω ) = 1
0 ≤ P (A) ≤ 1 với mọi biến cố A.
P ( A ) = 1- P(A)
Quy tắc cộng xác suất
Nếu A và B xung khắc thì: P( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B)
Nếu A ∩ B = φ thì P( A ∪ B ) = P( A) + P( B)
Với mọi biến cố

và

bất kì ta có:

P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A.B )

Quy tắc nhân xác suất:
Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P( A.B) = P( A).P( B)
B. GIẢI PHÁP:
n(A)

Dạng1. Các bài toán áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất: P( A) = n(Ω)
1. Phương pháp: - Tìm số phần tử của không gian mẫu
- Tìm số phần tử của biến cố

n(A)

- Áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất: P( A) = n(Ω)
2. Các ví dụ:
Bài toán 1. Gieo con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất sao cho
a. Lần đầu tiên xuất hiện mặt 6 chấm.
b. Cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt chấm lẻ
Hướng dẫn học sinh:
Phép thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai con súc sắc’’. Hãy mô tả không gian mẫu là gì?

4/22


Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất
(1,1), (1, 2), (1,3),..............(1, 6) 
(2,1), (2, 2), (2,3),..............(2, 6) 


Ω
=
Không gian mẫu:

 gồm 6.6=36 phần tử
...................................................
(6,1), (6, 2), (6,3),..............(6, 6) 

Gọi A là biến cố: “Lần đầu tiên xuất hiện mặt 6 chấm”.
Liệt kê các kết quả thuận lợi của A ?
A={(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} ⇒ n( A) = 6
Gọi B là biến cố: “Cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt chấm lẻ”

Liệt kê các kết quả thuận lợi của B?
B={(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1),(3,3),(3,5),(5,3),(5,5)} ⇒ n(B) = 9
Lời giải 1 :
(1,1), (1, 2), (1,3),..............(1, 6) 
(2,1), (2, 2), (2,3),..............(2, 6) 


Ta có không gian mẫu: Ω = 
 gồm 6.6=36 phần tử
...................................................
(6,1), (6, 2), (6,3),..............(6, 6) 

a. Gọi A là biến cố: “Lần đầu tiên xuất hiện mặt 6 chấm”.
Các kết quả thuận lợi cho biến cố A:
A={(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} ⇒ n( A) = 6
Xác suất của A: P( A) =

n( A) 6
=
n(Ω) 36

b. Gọi B là biến cố: “Cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt chấm lẻ”
Các kết quả thuận lợi cho biến cố B:
B={(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1),(3,3),(3,5),(5,3),(5,5)} ⇒ n(B) = 9
Xác suất của B: P( A) =

n( B ) 9 1
=
=
n(Ω) 36 4

Nhận xét: Phương pháp liệt kê chỉ có hiệu quả khi số phần tử của biến cố là
nhỏ. Nếu số phần tử lớn thì việc liệt kê trở nên khó khăn và dễ xét thiếu phần tử.
Khi đó ta sử dụng quy tắc nhân để giải quyết bài toán:
Lời giải 2 :
Gieo con xúc sắc lần 1 có 6 khả năng xảy ra, gieo con xúc sắc lần 2 có 6 khả
năng xảy ra nên tra có n(Ω) = 6.6 = 36
5/22


Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất
a. Gọi A là biến cố: “ Lần đầu tiên xuất hiện mặt 6 chấm”
Lần đầu tiên xuất hiện mặt 6 chấm ⇒ gieo lần 1: có 1 cách chọn mặt 6 chấm,
gieo con xúc sắc lần 2 có 6 khả năng xảy ra ⇒ n(A) = 1.6 = 6
Xác suất của A: P( A) =

n( A) 6 1
=
=
n(Ω) 36 6

b. Gọi B là biến cố: “Cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt chấm lẻ”
Gieo xúc sắc lần 1: có 3 cách chọn mặt lẻ, gieo con xúc sắc lần 2: có 3 cách
chọn mặt lẻ ⇒ n(B) = 3.3 = 9
Xác suất của B: P( A) =

n( B ) 9 1
=
=
n(Ω) 36 4

Bài toán 2. Có hai chiếc hộp chứa quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 18 quả cầu đỏ và
2 quả cầu xanh, hộp thứ 2 chứa 17 quả cầu đỏ và 3 quả cầu xanh. Lấy ngẫu
nhiên từ mỗi hộp ra 1 quả cầu. Tính xác suất để
a. Hai quả cầu được lấy ra đều màu đỏ
b. Hai quả cầu được lấy ra có cùng màu.
Phân tích: Rõ ràng là trong bài toán này ta không thể sử dụng phương pháp liệt
kê vì số phần tử của biến cố là tương đối lớn. Do đó, học sinh đếm số phần tử
theo quy tắc nhân
Lời giải :
Số cách chọn 2 quả cầu, mỗi quả từ một hộp là ⇒ n(Ω) = 20.20 = 400.
a. Gọi A là biến cố: “Hai quả cầu được lấy ra đều màu đỏ”
Số cách chọn 2 quả cầu đỏ, mỗi quả từ một hộp là 18.17 = 306 ⇒ n( A) = 306
Xác suất để 2 quả cầu được lấy ra có màu đỏ là: P( A) =

n( A) 306 153
=
=
n(Ω ) 400 200

b. Gọi B là biến cố: “ Hai quả cầu được lấy ra cùng màu ”
Số cách chọn 2 quả cầu xanh, mỗi quả từ một hộp là 2.3 = 6
Số cách chọn 2 quả cầu đỏ, mỗi quả từ một hộp là 18.17 = 306
Số cách chọn 2 quả cầu cùng màu là n(B) = 306+6=312
Xác suất để 2 quả cầu được lấy ra có cùng màu là: P(B) =

6/22

n(B) 312 39
=

=
n(Ω ) 400 50


Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất
Bài toán 3. Một chiếc hộp đựng 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu
nhiên 2 thẻ và các số trên hai thẻ này tạo thành một số có hai chữ số. Tính xác
suất để chữ số được tạo thành là chữ số chẵn
Phân tích: - Trong bài toán này ta có thể sử dụng phương pháp liệt kê nhưng số
phần tử của biến cố là tương đối lớn nên học sinh đếm số phần tử sẽ mất thời
gian và không tránh khỏi bỏ sót phần tử.
- Ví dụ: Rút được thẻ ghi số 1, rồi rút được thẻ ghi số 2 thì số tạo
thành là số bao nhiêu? (Trả lời: số 12). Còn rút được thẻ ghi số 2, rồi rút được
thẻ ghi số 1 thì số tạo thành là số bao nhiêu? (Trả lời: số 21). Hai cách rút này có
khác nhau không? Trả lời được câu hỏi này học sinh sẽ biết phải dùng chỉnh hợp
để tìm số phần tử của không gian mẫu. Vậy số phần tử của không gian mẫu ?
Lời giải :
2
Từ 9 chữ số 1,2,...,9 có thể tạo thành A7 = 72 số có hai chữ số khác nhau

⇒ n(Ω) = 72

Gọi A là biến cố: “Số được tạo thành là số chẵn”
Số tạo thành có dạng ab với b chẵn ⇒ có 4 cách chọn b và mỗi cách chọn b có
8 cách chọn a ⇒ n( A) = 4.8=32
n( A)

32

4

Xác suất cần tính là P( A) = n(Ω) = 72 = 9

Bài toán 4. Một lớp có 30 học sinh trong đó có 8 giỏi, 15 khá và 7 em trung
bình. Chọn ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác suất sao cho:
a. Ba em được chọn đều là học sinh giỏi.
b. Ba em được chọn không có học sinh trung bình.
Phân tích: Chọn 3 học sinh đi dự đại hội mà không sắp xếp vị trí chức vụ, công
việc cụ thể tức là chọn 3 học sinh không phân biệt thứ tự ta dùng tổ hợp, còn
nếu tham gia xếp vị trí chức vụ hoặc phân công công việc cụ thể thì có phân biệt
thứ tự thí ta dùng chỉnh hợp. Chọn ba em học sinh giỏi ta chọn 3 trong 8 em học
sinh giỏi, chọn ba em không có học sinh trung bình ta chọn 3 trong 22 học sinh
khá giỏi.
Lời giải :
Số cách chọn 3 học sinh từ 30 học sinh là C303 =4060 ⇒ n(Ω) = 4060
a. Gọi A là biến cố: “Ba em được chọn đều là học sinh giỏi ”
7/22


Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất
Số cách chọn ba em học sinh giỏi là C83 = 56 ⇒ n(A) = 56
n( A)

56

2

Xác suất chọn ba em học sinh giỏi là = P( A) = n(Ω) = 4060 = 145
b. Gọi B là biến cố “Ba em được chọn không có học sinh trung bình”
Số cách chọn ba em không có học sinh trung bình là C223 =1540 ⇒ n(B) = 1540

Xác suất chọn ba em học sinh không có học sinh trung bình là :
P ( A) =

n(B) 1540 11
=
=
n(Ω) 4060 29

Bài toán 5 . Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng lúc 4 con. Tính xác
suất sao cho:
a. Cả bốn con đều là con Át.
b. Được hai con át và hai con K.
Lời giải :
Số cách chọn 4 con bài là C524 =270725 ⇒ n(Ω) = 270725
a. Gọi A là biến cố “cả bốn con đều là con Át”
Số cách chọn 4 con át là C44 =1 ⇒ n(A) = 1
n( A)

1

Xác suất chọn 4 con Át là P( A) = n(Ω) = 270725
b. Gọi B là biến cố “hai con át và hai con K”
Số cách chọn 2 con át và 2 con K là C42 . C42 =36 ⇒ n(B) = 36
n(B)

36

Xác suất chọn được 2 con át và 2 con K là P( A) = n(Ω) = 270725
Bài toán 6. Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi xuất hiện
mặt ngửa hoặc cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại.

a. Mô tả không gian mẫu.
b. Tính xác suất:
A: “Số lần gieo không vượt quá ba”
B: “Số lần gieo là năm”
Phân tích: Đối với bài toán này rất nhiều học sinh lúng túng không biết cách
xác định không gian mẫu vì học sinh vốn quen với các bài toán cho trước số lần
gieo. Bài toán này trước hết phải xác định được số lần gieo. Giáo viên có thể gợi
ý cho học sinh bằng các câu hỏi như:
8/22


Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất
• Nếu không có giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta
phải gieo đồng tiền bao nhiêu lần?
• Nếu kết hợp với giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta
phải gieo đồng tiền tối đa bao nhiêu lần?
Với câu hỏi đầu tiên học sinh không thể đưa ra một con số cụ thể vì nếu gieo
1000 lần vẫn có thể là cả 1000 lần đều xuất hiện mặt sấp do đó vẫn chưa thể
dừng lại nhưng học sinh đã hình dung ra các phần tử đầu tiên. Với câu hỏi thứ
hai học sinh có thể trả lời được số lần gieo tối đa là 6. Từ đó học sinh có thể xác
định được không gian mẫu.
Lời giải:
a. Không gian mẫu Ω ={N, SN, SSN, SSSN, SSSSN, SSSSSN, SSSSSS}
⇒ n (Ω ) = 7

b. Ta có: A={N, SN, SSN} ⇒ n( A) = 3 ⇒ P( A) =
B={SSSSN} ⇒ n( B) = 1 ⇒ P(b) =

3
7

1
7

3. Bài tập tự luyện
Bài toán 7. (Đề thi đại học khối A, A1 năm 2013) Gọi S là tập hợp tất cả các số
tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.
Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số
được chọn là số chẵn.
Bài toán 8. ( Đề thi đại học khối B năm 2013)
Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp
thứ 2 chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hôp ra 1 viên
bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.
Bài tập 9. Một công ty cần tuyển 3 nhân viên. Có 5 người nam và 4 người nữ
ứng tuyển. Tính xác suất để 3 người trúng tuyển
a. Đúng 2 nữ trúng tuyển
b. Có cả nam và nữ
Bài tập10. Có hai hộp đựng quả cầu. Hộp 1 có 13 quả cầu xanh, 5 quả cầu vàng.
Hộp 2 có 12 quả cầu xanh, 7 quả cầu vàng. Chọn mỗi hộp một quả cầu. Tính xác
suất để
a. Hai quả cùng màu
b. Hai quả khác màu
9/22


Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất
Bài tập 11. Một giá sách gồm 5 quyển Toán, 6 quyển Lí và 7 quyển Hóa. Chọn
ngẫu nhiên 4 quyển sách. Tính xác suất để 4 quyển được chọn
a. Có đủ ba loại và nhiều nhất một quyển Toán
b. Không có đủ ba loại

Dạng 2: Các bài tập sử dụng biến cố đối
1. Phương pháp: - Tìm biến cố đối
- Tìm xác suất của biến cố đối
- Áp dụng công thức:P ( A ) = 1- P(A)
2. Các ví dụ:
Bài toán 1. Một tổ có 20 nam, 7 nữ. Chọn ngẫu nhiên năm người. Tính xác suất
sao cho ít nhất một nữ
Phân tích: Đối với bài toán này học sinh sẽ chia các trường hợp:
T/h1: 1 nữ, 4 nam
T/h2: 2 nữ, 3 nam
T/h3: 3 nữ, 2 nam
T/h4: 4 nữ, 1 nam
T/h5: 5 nữ
Cách này đúng nhưng dài và dễ bỏ xót nghiệm. Khi đó, giáo viên có thể hỏi học
sinh nêu tất cả các trường hợp của không gian mẫu?

+1nu , 4 nam 
+2nu , 3nam 


+3nu , 2nam  Các khả năng của biến cố A
+4nu ,1nam 

+5nu



+5nam} =Ω\ {A} là biến cố đối của A
Bài toán này ta dùng biến cố đối sẽ nhanh và gọn hơn nhiều.
Lời giải1:( Sử dụng dạng 1)

5
Số cách chọn 5 người trong số 27 người là C27 = 80730 ⇒ n(Ω ) = 80730

Gọi A là biến cố: “5 người được chọn có ít nhất một nữ”. Khi đó biến cố A có
các khả năng:
10/22


Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất
+ Chọn 1 nữ 4 nam: có C71 .C204 = 33915 cách chọn.
+ Chọn 2 nữ 3 nam: có C72 .C203 = 23940 cách chọn.
+ Chọn 3 nữ 2 nam: có C73 .C202 = 6650 cách chọn.
+ Chọn 4 nữ 1 nam: có C74 .C201 = 700 cách chọn.
+ Chọn 5 nữ: có C75 = 21 cách chọn.
⇒ n( A) = 33915 + 23940 + 6650 + 700 + 21 = 65226
⇒ P ( A) =

n( A) 65226
=
; 0,808
n( P ) 80730

Lời giải 2: (Sử dụng biến cố đối)
5
Số cách chọn 5 người trong số 27 người là C27 = 80730 ⇒ n(Ω ) = 80730

Gọi A là biến cố: “5 người được chọn có ít nhất một nữ”. Khi đó A là biến cố:
“không có nữ”
Số cách chọn 5 người nam trong số 20 nam là C205 = 15504 ⇒ n( A) = 15504
⇒ P ( A) =

n( A) 15504
=
n(Ω) 80730

Vậy P ( A) = 1 − P ( A) = 1 −

15504 65226
=
; 0,808
80730 80730

Bài toán 2. Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên
đồng thời 4 quả. Tính xác suất sao cho:
a. Bốn quả lấy ra cùng màu.
b. Có ít nhất một quả màu trắng.
Phân tích: Gọi A là biến cố: “Bốn quả lấy ra cùng màu”, gọi B là biến cố: “Có ít
nhất một quả màu trắng”.
- Tìm biến cố đối của A? Trả lời: A = “Bốn quả lấy ra khác màu”
- Các khả năng của biến cố đối của A, A ? Trả lời:
+A:

* 4 quả cầu mầu trắng
*4 quả màu đen

+ A : * 1 trắng, 3 đen
* 2 trắng, 2 đen
11/22

Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất
* 3 trắng, 1 đen
Vậy chúng ta tìm trực tiếp số phần tử của A, không nên sử dụng biến cố đối.
- Tìm biến cố đối của B? Trả lời: B = “Không có quả cầu nào màu trắng”
- Các khả năng của biến cố đối của B, B ? Trả lời:
+B: * 1 trắng, 3 đen
* 2 trắng, 2 đen
* 3 trắng, 1 đen
* 4 trắng
+ B : * 4 đen
Vậy chúng ta nên sử dụng biến cố đối?
Lời giải:
Số cách chọn 4 quả trong số 10 quả cầu là: C104 = 210 ⇒ n(Ω) = 210
a. Gọi A là biến cố: “Bốn quả lấy ra cùng màu”
Số cách chọn 4 quả cùng màu trắng là: C64 = 15
Số cách chọn 4 quả cùng màu đen là: C44 = 1
n( A)

16

8

Số cách chọn 4 quả cầu cùng màu là ⇒ n( A) = 15 + 1 = 16 ⇒ P ( A) = n(Ω) = 210 = 105
b. Gọi B là biến cố: “Có ít nhất một quả màu trắng”
Ta có B là biến cố: “Không có quả cầu màu trắng nào”
⇒ n( B ) = C44 = 1 ⇒ P ( B) =

1
209
⇒ P( B) =

210
210

Bài toán 3. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác
suất sao cho:
a. Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm
b. Tổng số chấm trong hai lần gieo lớn hơn 3
Phân tích:
Gọi A là biến cố: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm”
Gọi B là biến cố: “Tổng số chấm trong hai lần gieo lớn hơn 3”
Tính trực tiếp ta phải xét các trường hợp:
a. Biến cố A:

+ Mặt 6 chấm xuất hiện lần thứ nhất
12/22


Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất
+ Mặt 6 chấm xuất hiện lần thứ hai
b. Biến cố B:
+ Tổng số chấm trong hai lần gieo = 4
+ Tổng số chấm trong hai lần gieo = 5
+ Tổng số chấm trong hai lần gieo = 6
+ Tổng số chấm trong hai lần gieo = 7
+ Tổng số chấm trong hai lần gieo = 8
+ Tổng số chấm trong hai lần gieo = 9
+ Tổng số chấm trong hai lần gieo = 10
+ Tổng số chấm trong hai lần gieo = 11
+ Tổng số chấm trong hai lần gieo = 12
Như vậy bài toán dài và dẫn đến thiếu nghiệm. Có thể dùng biến cố đối được

không? Biến cố đối của A, B là gì?
Trả lời: A : Cả hai lần không xuất hiện mặt 6 chấm
B : Tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 4
Lời giải:
Không gian mẫu Ω = {(i, j ) | i, j ∈{1, 2,3, 4,5, 6}} ⇒ n(Ω) = 6.6 = 36
a. Ta có biến cố đối của A là A = {(i, j ) | i, j ∈ {1, 2,3, 4,5}} ⇒ n( A) = 5.5 = 25
⇒ P ( A) =

n( A) 25
11
=
. Vậy ⇒ P (A) = 1 − P( A) =
n(Ω) 36
36

b. Ta có biến cố đối của B là B = {(1,1), (1, 2), (2,1)} ⇒ n( B) = 3

⇒ P ( A) =

n( A) 3 1
11
= = ⇒ P( B) = 1 − P( B) =
12
n(Ω ) 36 12

Nhận xét: Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp hay, tuy nhiên
để vận dụng được phương pháp này học sinh cần nắm được hai yếu tố:
+ Nhận dạng loại toán: Các bài toán có cụm từ “có ít nhất một”...hoặc tính
chẵn, lẻ hoặc vô nghiệm, có nghiệm,…hoặc nếu tính kiểu bù gọn hơn thì ta dùng
biến cố đối

+ Xác định tốt mệnh đề phủ định và phép toán lấy phần bù của một tập
hợp để tránh xác định sai biến cố đối.
3. Bài tập tự luyện
Bài toán 4. Gieo 3 đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất để:
a. Cả ba đồng xu đều sấp.
b. Có ít nhất một đồng xu sấp
Hướng dẫn:
Gọi A là biến cố: “Cả ba đồng xu đều sấp”
13/22


Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất
Gọi B là biến cố: “Có ít nhất một đồng xu sấp”
Tìm biến cố đối của B? Trả lời: B = : “Không có đồng xu nào sấp”

1
1 7
⇒ B = {NNN} ⇒ n( B) = 1 ⇒ P( B) = ⇒ P( B) = 1 − =
8
8 8
Bài toán 5. Gieo một con xúc sắc 6 lần liên tiếp. Tính xác suất để ít nhất một lần
xuất hiện mặt lục.
Hướng dẫn:
Chọn

là biến cố “ít nhất một lần xuất hiện mặt lục”

Tìm biến cố đối của A? Trả lời: A “Không xuất hiện mặt lục”
6

2

5
5
⇒ n( A) = 5 = 15625 ⇒ P ( A) =  ÷ ⇒ P ( A) = 1 − P ( A) = 1 −  ÷
6
6
6

Bài tập 6. Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất để :
a. Có ít nhất một mặt xuất hiện mặt một chấm
b. Tích các chấm trên 3 mặt là số chẵn
Hướng dẫn:
a. Tương tự bài 5
b. Gọi A là biến cố “Tích các chấm trên 3 mặt là số chẵn”. Biến cố đối của B là
gì? Trả lời: A “Tích các chấm trên ba mặt lẻ”
Dạng 3 Các bài tập dùng công thức xác suất
1. Phương pháp:
- Tìm biến cố cở sở
- Biểu diễn các biến cố cần tìm theo các biến cố cơ sở
- Áp dụng các quy tắc:
+ Quy tắc cộng xác suất
• Nếu A và B xung khắc thì: P( A ∪ B ) = P( A) + P( B)
• Nếu A ∩ B = φ thì P( A ∪ B ) = P( A) + P( B)
• Với mọi biến cố

và

bất kì ta có:

P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A.B )

+ Quy tắc nhân xác suất:
Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P( A.B) = P( A).P( B)
14/22


Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất
Từ hai qui tắc trên ta thấy:
• Quy tắc cộng áp dụng cho biến cố dạng A ∪ B hay “A hoặc B”,....
• Quy tắc nhân áp dụng cho biến cố dạng AB hay “A đồng thời B”,....
2. Các ví dụ
Bài toán 1. Hai hộp đựng các quả cầu. Hộp một có 5 quả cầu đỏ, 9 quả cầu đen.
Hộp 2 có 6 quả cầu đỏ, 8 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp ra một quả cầu.
Tính xác suất để hai quả lấy ra cùng màu đỏ.
Phân tích:
- Với bài toán này ta có thể dùng dạng 1 song giáo viên đưa vào áp dụng vào
quy tắc xác suất để cho học sinh bước đầu làm quen với các phép toán giao, hợp
của biến cố, hai biến cố độc lập từ đó có cách phân biệt dùng quy tắc công hay
quy tắc nhân xác suất.
- Có mấy hành động lấy cầu? Trả lời: Có hai hành động lấy quả cầu.
Hành động 1: lấy quả cầu từ hộp 1. Hành động 2: lấy quả cầu từ hộp 2.
- Yêu cầu bài toán hai quả cầu lấy ra mầu đỏ nên ta chọn biến cố cơ sở là: A là
biến cố: “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ”, B là biến cố: “Quả cầu lấy ra
từ hộp thứ hai màu đỏ”. A, B có độc lập không?
- Biểu diễn biến cố C: “Hai quả cầu lấy ra màu đỏ” theo A và B? Trả lời: C=AB
Lời giải:
5
14
6

Gọi B là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ” ⇒ P(B) =
14

Gọi A là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ” ⇒ P( A) =

Gọi C là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra màu đỏ”
Việc lấy quả cầu đỏ từ hộp 1 không ảnh hưởng đến việc lấy quả cầu đỏ từ hộp 2
nên A và B là hai biến cố độc lập.
Vậy C= AB ⇒ P(C ) = P(AB) = P(A).P(B) =

30
142

Bài toán 2 Gieo một con xúc sắc 2 lần liên tiếp. Tính xác suất để ít nhất một lần
xuất hiện mặt lục.
Phân tích:
- Bài toán gieo xúc sắc mấy lần? Yêu cầu các mặt có số chấm như thế nào? Lúc
này khi đã trả lời được hai câu hỏi trên học sinh sẽ xác định được biến cố cơ sở:

15/22


Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất
1

là biến cố “lần một xuất hiện mặt lục”,

2

là biến cố “lần hai xuất hiện mặt

lục”.
- Các biến cố

1

và

2

- Biểu diễn biến cố

có độc lập không?

“ít nhất một lần xuất hiện mặt lục” theo các biến cố cơ sở?

Trả lời: A = A1 ∪ A2
Lời giải:
Gọi

1

là biến cố “lần một xuất hiện mặt lục” ⇒ n( A1 ) =

1
6

Gọi

2

là biến cố “lần hai xuất hiện mặt lục” ⇒ n( A2 ) =

1
6

là biến cố “ít nhất một lần xuất hiện mặt lục”
Ta thấy A1 ,A2 độc lập và A = A1 ∪ A2
⇒ P ( A) = P( A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P ( A2 ) − P( A1.A 2 ) =

1 1 1 11
+ −
=
6 6 36 36

Nhận xét: Các bài toán sử dụng quy tắc tính xác suất là các bài toán phải dựa
vào các biến cố cơ sở. Do đó, học sinh phải có kĩ năng xác định và biểu diễn các
biến cố cần tính xác suất theo các biến cố cỏ sở. Các biến cố cơ sở thường có
sẵn xác suất hoặc tính xác suất đơn giản.
Khi sử dụng quy tắc cộng mở rộng hoặc quy tắc nhân thì hai biến cố cơ sở
phải độc lập. Học sinh phải nắm rõ định nghĩa hai biến cố độc lập. Qua một vài
ví dụ giáo viên hướng dẫn học sinh nhận dạng hai biến cố độc lập. Chẳng hạn:
+ Gieo hai con xúc sắc hoặc gieo con xúc sắc liên tiếp hai lần thì biến cố
xảy ra trong lần gieo 1độc lập với các biến cố xảy ra trong lần gieo 2. Tương tự
đối với việc gieo một đồng tiền và một con xúc sắc, gieo 2 đồng tiền, gieo 3
đồng tiền, gieo một đồng tiền 2, 3 lần liên tiếp, gieo n con xúc sắc...

16/22

Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất
+ Hai hộp đựng bi. Lấy mỗi hộp một viên thì biến cố lấy bi ở hộp 1 độc
lập với các biến cố lấy bi ở hộp 2. Tương tự với hai hộp đựng quả cầu, Hai hộp
đựng bóng đèn...
+ Hai người làm việc thì biến cố liên quan đến người này độc lập với biến
cố liên quan đến người kia. Tương tự với hai xạ thủ bắn súng, một người bắn 2
phát, n phát súng...
Bài toán 3 .Gieo một đồng xu và một con xúc sắc .Tính xác suất để
a. Con xúc sắc xuất hiện mặt một chấm
b. Đồng xu xuất hiện mặt ngửa
c. Đồng xu xuất hiện mặt ngửa và con xúc sắc xuất hiện mặt một chấm
Phân tích: - Tương tự như bài 2. Biến cố cơ sở là gì? Trả lời: Con xúc sắc sắc
xuất hiện mặt một chấm và đồng xu xuất hiện mặt ngửa.
- Biểu diễn biến cố ở câu c theo biến cố cơ sở?
Lời giải:
Gọi A là biến cố: “Con xúc sắc xuất hiện mặt một chấm” ⇒ P( A) =
Gọi B là biến cố: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” ⇒ P(B) =

1
6

1
2

Gọi C là biến cố: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa và con xúc sắc xuất hiện mặt
1 1
2 6

một chấm” ⇒ C = A.B và A, B độc lập ⇒ C = A.B ⇒ P (C ) = P (A).P (B) = .

Bài toán 4. Tại một vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh tim là 9%, mắc bệnh
huyết áp là 12% và mắc cả hai bệnh đó là 7%. Chọn ngẫu nhiên một người sống
tại vùng đó. Tính xác suất đẻ người đó :
a. Mắc ít nhất một trong hai bệnh tim hoặc huyết áp.
b. Chỉ mắc một bệnh: tim hoặc huyết áp
Phân tích: - Biến cố cơ sở là gì? Trả lời: A= “Người đó mắc bệnh tim” và B=
“Người đó mắc bệnh huyết áp”
- Biểu diễn biến cố ở câu a, b theo biến cố cơ sở?
A ∪ B , ( A ∪ B ) \ (A ∩ B)
Lời giải:
Gọi

là biến cố “Người đó mắc bệnh tim” ⇒ n( A) = 0, 09

Gọi B là biến cố “Người đó mắc bệnh huyết áp” ⇒ n(B) = 0,12
P ( AB ) = 0, 07

17/22


Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất
a. Gọi C là biến cố: “Người đó mắc ít nhất một trong hai bệnh tim hoặc huyết
áp” ⇒ C = A ∪ B ⇒ P(C ) = P(A) + P(B) − P(AB) = 0, 09 + 0,12 − 0, 7 = 0,14
b. Gọi D là biến cố: “Người đó chỉ mắc một bệnh: tim hoặc huyết áp”
Khi đó D= ( A ∪ B) \ (A∩ B) ⇒ P( D) = P( A) + P( B) − 2 P( AB) = 0, 09 + 0,12 − 2.0, 07 = 0, 07
Bài toán 5. Trong kì kiểm tra chất lượng ở hai khối lớp, mỗi khối lớp có 25%
học sinh trượt Toán, 15% trượt lí và 10% trượt cả Toán lẫn Lí. Từ mỗi khối chọn
ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất sao cho:
a. Hai học sinh đó trượt toán
b. Hai học sinh đó đều bị trượt một môn nào đó

c. Hai học sinh đó không bị trượt môn nào
d. Có ít nhất một trong hai học sinh trượt ít nhất một môn.
Phân tích:
Gọi A1,A2 lần lượt là biến cố học sinh trượt Toán, trượt Lí của khối I
Gọi B1,B2 lần lượt là biến cố học sinh trượt Toán, trượt Lí của khối II
Gọi C là biến cố: “Hai học sinh đó trượt toán”
Gọi D là biến cố: “Hai học sinh đó đều bị trượt một môn nào đó”
Gọi E là biến cố: “Hai học sinh đó không bị trượt môn nào”
Gọi F là biến cố: “Có ít nhất một trong hai học sinh trượt ít nhất một môn”
Ai, Bj độc lập với i=1,2 và j=1,2
Hãy biểu diễn C theo các biến cố cơ sở?
C= A1 ∩ B1 , D= (A1 ∪ A2 ) ∩ ( B1 ∪ B2 ) , E= A1 ∪ A2 ∩ B1 ∪ B2 , F = E
Lời giải:
Gọi A1,A2 lần lượt là biến cố học sinh trượt Toán, trượt Lí của khối I
Gọi B1,B2 lần lượt là biến cố học sinh trượt Toán, trượt Lí của khối II
Gọi C là biến cố: “Hai học sinh đó trượt toán”
Gọi D là biến cố: “Hai học sinh đều bị trượt một môn nào đó”
Gọi E là biến cố: “Hai học sinh không bị trượt môn nào”
Gọi F là biến cố: “Có ít nhất một trong hai học sinh trượt ít nhất một môn”
a. Ta có: C= A1 ∩ B1 và A1, B1 độc lập
⇒ P (C ) = P ( A1.B1 ) = P ( A1 ).P ( B2 ) = 0, 25.0, 25 = 0, 0625

b. Gọi A là biến cố “Học sinh khối I trượt Toán hoặc Lí”, A = (A1 ∪ A2 )
Gọi B là biến cố “Học sinh khối II trượt Toán hoặc Lí”, B = ( B1 ∪ B2 )
Ta có: D= A ∩ B và A, B độc lập
P ( A) = P ( A1 ∪ A2 ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) − P ( A1 ∩ A2 ) = 0, 25 + 0,15 − 0,1 = 0,3
P ( B) = P (B1 ∪ B2 ) = P (B1 ) + P (B2 ) − P (B1 ∩ B2 ) = 0, 25 + 0,15 − 0,1 = 0,3
⇒ P(D) = P( A ∩ B ) = P(A).P( B) = 0, 4.0, 4 = 0,16

18/22

Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất
c. Ta có E= A ∩ B ⇒ P( E ) = P( A).P( B) = 0, 6.0, 6 = 0,36
d. Ta có F= E ⇒ P( F ) = 1 − P( E ) = 1 − 0,36 = 0, 64
Bài toán 6. Một lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là

1
. Lớp
4

học đủ sáng nếu có ít nhất 4 bóng đèn sáng. Tính xác suất để lớp học đủ ánh
sáng.
Lời giải:
6

Gọi

3
729
là biến cố “lớp có 6 bóng sáng” ⇒ P( A) =  ÷ =
 4  4096
5

 3  1 729
Gọi B là biến cố “lớp có 5 bóng sáng” ⇒ P(B) = C65  ÷ . =
4 4
4

3

Gọi C là biến cố “lớp có 4 bóng sáng” ⇒ P(C) = C  ÷
4
4
6

2048

2

 1  1215
 ÷ =
2048
4

Gọi D là biến cố: “lớp học đủ ánh sáng” ⇒ D = A ∪ B ∪ C
Ta thấy A ,B,C xung khắc nên
P ( D) = P( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P ( B ) + P (C ) =

729 + 2.729 + 1215 1701
=
= 0,8305
4096
2048

3. Bài tập đề nghị
Bài tập 7 .Có hai hộp đựng chi tiết máy. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một chi tiết
máy. Xác suất lấy được chi tiết tốt ở từng hộp lần lượt là 0,7 và 0,9. Tính xác
suất để trong hai chi tiết máy lấy ra:
a. Cả hai chi tiết máy đều tốt.
a. Có ít nhất một chi tiết máy chất lượng tốt.

b. Có đúng một chi tiết máy chất lượng tốt.
Hướng dẫn:
Biến cố cơ sở:

+A1: “Lấy được chi tiết máy tốt ở hộp 1”
+A2: “Lấy được chi tiết máy tốt ở hộp 2” A1, A2 độc lập

a. A = A1 ∩ A2

Kq: P(A)=0,63

b. B = A1 ∪ A2

Kq: P(B)=0,97

c. C = A1 A2 ∪ A1 A2

Kq: P(C)= 0,34

19/22


Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất
Bài tập 8. Một hộp bóng đèn gồm 9 bóng sáng và 3 bóng tối. Lấy ngẫu nhiên 6
cái bóng. Tính xác suất để
a. 6 bóng lấy ra nhiều nhất 1 bóng hỏng.
b. 6 bóng lấy ra ít nhất 1 bóng hỏng
Hướng dẫn:
Biến cố cơ sở:

+ A1: “Lấy được 6 bóng sáng”
+ A2: “Lấy được 5 bóng sáng ” A1, A2 xung khắc

a. A = A1 ∪ A2 ⇒ P( A) = P( A1 ) + P( A2 )
b. B = A1
Bài tập 9. Từ một cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con, lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn
lại từng con cho đến khi lần đầu tiên lấy được con Át thì dừng. Tính xác suất sao
cho
a. Quá trình ấy dừng lại ở lần thứ hai.
b. Quá trình ấy dừng lại sau không quá hai lần.
Hướng dẫn:
Biến cố cơ sở: Ai: “Lần thứ i lấy được con Át”
a. A = A1 ∩ A 2
b. B = A1 ∪ A1 A2 , A1 , A1 A2 xung khắc

C. KẾT QUẢ SAU KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
Trên đây là một vài kinh nghiệm giúp học sinh có kĩ năng giải các bài toán xác
suất mà tôi đã áp dụng vào thực tế giảng dạy tại lớp 11A6.
Trước khi thực hiện đề tài này tôi đã cho học sinh làm một bài kiểm tra, kết
quả như sau:
Điểm

Điểm dưới 5

Điểm 5;6

Điểm 7;8

Điểm 9;10

50%

40%

7,5%

2,5%

Lớp
11A6

20/22


Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất
Sau khi thực hiện đề tài này, tôi tiếp tục cho học sinh làm bài kiểm với mức độ
tương đương và thu được kết quả như sau:
Điểm

Điểm dưới 5

Điểm 5;6

Điểm 7;8

Điểm 9;10

2,1%

25,5%

51%

21,4%

Lớp
11A6

Đây là kết quả khả quan, cho thấy học sinh đã tự tin khi giải quyết các bài
toán tính xác suất.

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Với nội dung cô đọng, ngắn gọn, được phân chia theo từng dạng dễ hiểu
nên học sinh tiếp thu nhanh và tự tin áp dụng vào các bài toán xác suất.
2. Kiến nghị
Để giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác
suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán xác
suất tôi mạnh dạn đưa ra một số kiến nghị như sau:
+ Giáo viên cần giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản: phép thử,
không gian mẫu, biến cố, tập các kết quả thuận lợi của biến cố bằng những ví dụ
đơn giản (có thể liệt kê) rồi đến những ví dụ trừu tượng. Từ đó, giáo viên mới
hướng dẫn học sinh tính xác suất theo công thức xác suất cổ điển.
+ Củng cố cho học sinh các kiến thức: Biến cố đối, biến cố xung khắc, biến cố
độc lập thông qua các ví dụ cụ thể. Sau đó, giáo viên phân tích, hướng dẫn học
sinh chọn các biến cố cơ sở và biểu diễn các biến cố cần tìm theo các biến cố cơ
sở. Lúc này, học sinh mới áp dụng được các quy tắc tính xác suất vào bài toán
xác suất.
+ Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, gợi mở những hướng mở rộng bài
toán.

Trên đây là một số ý kiến nhỏ của tôi qua quá trình giảng dạy các bài toán
xác suất ở lớp 11 THPT. Đề tài này không tránh khỏi hạn chế thiếu xót, rất mong
nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo, hội đồng giám khảo và các em học
sinh. Xin chân thành cảm ơn.

21/22


Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất
Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm này là do tôi viết, không sao chép
nội dung của người khác.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa, sách bài tập toán lớp 11- Nhà xuất bản Giáo dục.
2. Đề thi Đại học các năm – Bộ giáo dục và Đào tạo.
3. Sách giáo khoa, sách bài tập Đại số và giải tích 11 nâng cao - NXB
Giáo dục

22/22


Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất

MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU........................................................................................1
1. TÊN ĐỀ TÀI :............................................................................................1
2. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI..............................................................................1
3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ....................................................................2
4. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU ..............................................2
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU............................................................2

PHẦN II: NỘI DUNG...................................................................................3
A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT:................................................................................3
1. Lý thyết tổ hợp..........................................................................................3
2. Biến cố và phép thử biến cố......................................................................3
3. Định nghĩa cổ điển của xác suất ..............................................................3
4. Tính chất của xác suất:.............................................................................4
B. GIẢI PHÁP:..............................................................................................4
Dạng1. Các bài toán áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất...............4
Dạng 2: Các bài tập sử dụng biến cố đối...................................................10
Dạng 3 Các bài tập dùng công thức xác suất............................................14
C. KẾT QUẢ SAU KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI.......................................20
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.................................................21
1. Kết luận....................................................................................................21
2. Kiến nghị..................................................................................................21
23/22


Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................22

24/22