SKKN Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn

Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn
ĐỀ TÀI SKKN:

SỬ DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO MỘT SỐ BÀI
TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Đất nước ta đang trên con đường công nghiệp hóa và hiện đại hóa, để thành
công thì yếu tố con người đóng vai trò quyết định. Do vậy xã hội đang rất cần
những con người có khả năng lao động tự chủ, sáng tạo có năng lực giải quyết
những vấn đề khó.
Quan điểm chung về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ
thông là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động sáng tạo, chống lại thói quen
học tập thụ động. Việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá giỏi là đặc
biệt quan trọng và cần được bồi dưỡng thường xuyên bời chính các em là thế hệ
nhân tài của đất nước.
Trong chương trình Toán THPT, Phép biến hình được giảng dạy ở lớp 11, là
một nội dung khó, tài liệu tham khảo không nhiều, và có nhiều ứng dụng hay
nhưng chưa được khai thác. Vì vậy tôi xin trình bày một ứng dụng của phép biến
hình trong giải toán hình học, cụ thể là “ SỬ DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO MỘT SỐ
BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN”
Khi gặp bài toán yêu cầu viết phương trình đường tròn trên mặt phẳng toạ độ
Oxy chúng ta thường hướng học sinh vào suy nghĩ thông thường đó là tìm tâm và
bán kính của đường tròn. Trong đa số các bài toán thì việc xác định tâm và bán kính
của đường tròn dựa trên sự mô tả của giả thiết về đường tròn đó, tuy nhiên có một
số bài toán giả thiết lại không mô tả về đường tròn đó mà lại mô tả về một đường
tròn có liên quan đến đường tròn phải tìm, bằng một phép biến hình bài toán đó
được giải quyết thế nào? Trong nội dung bài viết này tôi xin trình bày cách sử dụng
phép biến hình để giải quyết một số bài toán như vậy. Do kinh nghiệm công tác còn
hạn chế, thời gian tìm hiểu nội dung còn hạn chế nên bài viết chắc chắn còn thiếu
sót rất mong nhận được sự chia sẻ của các đồng nghiệp.

2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục tiêu
Nhằm đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực, tạo hứng thú cho
học sinh khi học toán. Rèn luyện khả năng sáng tạo linh hoạt của học sinh.
1/18


Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn
Tạo giờ học thân thiện, góp phần thực hiện phong trào “ Trưòng học thân thiện, học
sinh tích cực”.
Giúp học sinh khai thác thêm ứng dụng của các phép biến hình trong thực
hành giải toán, đặc biệt là với phương pháp toạ độ trong mặt phẳng.
2.2.Nhiệm vụ
Nêu và giải quyết một số bài toán viết phương trình đường tròn bằng phép
biến hình. Giúp học sinh biết thêm về việc vận dụng phép biến hình trong giải toán.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng
Ứng dụng của phép biến hình trong thực hành giải toán trên mặt phẳng toạ
độ.
3.2. Đối tượng khảo sát, thực nghiệm.
Học sinh khá, giỏi lớp 11A4 năm học 2013-2014.
3.3. Phạm vi nghiên cứu, kế hoạch nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu:
Ứng dụng của phép biến hình trong việc giải một số bài toán viết phương
trình đường tròn.(Áp dụng với đối tượng học sinh khá, giỏi).
Kế hoạch nghiên cứu:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn.
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình
giảng dạy.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 11 trong năm học từ 2013

-2014 (11A4, 11A6, 11A8) và trực tiếp giảng dạy các lớp khối 12 năm học 20142015.
Thời gian nghiên cứu: Năm học 2013-2014.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp:
- Nghiên cứu các tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lý học, từ điển, lý
luận dạy học bộ môn Toán) có liên quan đến đề tài.
- Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tạp chí, các tài liệu có liên quan đến nội dung
kỹ năng, ứng dụng phép biến hình vào giải toán THPT.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .
- Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm.
2/18


Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn
5. Cấu trúc của đề tài:
Đề tài gồm 3 phần: Mở đầu, Nội dung và Kết luận
Phần Nội dung gồm 2 phần:
I: Cơ sở khoa học của đề tài
II: Thực trạng của đề tài
III: Giải quyết vấn đề

3/18


Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn

PHẦN II. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận
Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và

hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo
nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông
đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con
người. Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng,
đa phần các em ngại học môn này.
Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở
môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng
bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư
duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên
cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận
dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp
cho học sinh lớp 11 vận dụng phép biến hình vào thực hành giải toán và và biết tư
duy tìm ra tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán viết phương trình đường
tròn.
2. Cơ sở thực tiễn
Trong chương trình môn toán THPT, sách giáo khoa mới trình bày nội dung
phép biến hình ở chương I sách giáo khoa hình học lớp 11, đây là nội dung kế tiếp
của chương trình hình học lớp 10 sau khi học sinh học xong chương phương pháp
toạ độ trong mặt phẳng. Do vậy cùng với việc trình bày khái niệm các phép biến
hình trong chương này học sinh biết được biểu thức toạ độ của các phép biến hình,
các bài tập trong chương này cũng chủ yếu là các bài tập sử dụng biểu thức toạ độ
của phép biến hình để giải quyết, điều đó không chỉ làm giảm tính hàn lâm của việc
trình bày các khái niệm về phép biến hình mà còn trang bị cho học sinh một công
cụ giải toán hữu ích, công cụ này làm cho các bài toán như: Tìm điểm đối xứng của
một điểm qua đường thẳng, bài toán tìm đỉnh của hình bình hành, bài toán viết
phương trình đường thẳng là ảnh của một đường thẳng cho trước qua phép tịnh
tiến, phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép quay, viết phương trình đường
tròn là ảnh của một đường tròn cho trước qua qua phép tịnh tiến, phép đối xứng
tâm, phép đối xứng trục, phép quay, phép vị tự và sau này là bài toán tìm điểm đối

xứng của một điểm qua đường thẳng, mặt phẳng, ảnh của mặt cầu qua phép đối
xứng qua mặt phẳng trong không gian được giải quyết một cách đơn giản, gần gũi
và phong phú hơn. Ở đây tôi chỉ đề cập đến việc sử dụng phép biến hình để giải
4/18


Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn
một số bài toán viết phương trình đường tròn, đây là một bài toán khá mới mẻ và ít
gặp.
II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
Qua thực tế giảng dạy và tìm hiểu tình hình chung việc dạy và học toán ở
trường THPT tôi nhận thấy : Việc sử dụng phép biến hình vào giải toán hình học
được dạy và học rất ít, cụ thể là chỉ dừng lại ở bài toán tìm ảnh của một điểm, một
đường thẳng, một đường tròn qua một phép biến hình bằng cách sử dụng biểu thức
tọa độ của phép biến hình. Nhiều học sinh khi học về phép biến hình các em
thường không biết sử dụng phép biến hình để làm gì, nói cách khác các em không
gắn lý thuyết vào thực hành.
Qua trao đổi với một số đồng nghiệp thì nguyên nhân ít sử dụng phép biến
hình vào giải bài toán viết phương trình đường tròn cho học sinh là do :
• Phần lớn các bài tập trong sách cũng chỉ là dạng cơ bản về viết phương
trình đường tròn bằng cách xác định tâm, bán kính thông qua biểu thức tọa
độ của các phép biến hình. Trong các kỳ thi hiện nay, phép biến hình chưa
phải là nội dung được quan tâm, hơn nữa thời lượng chương trình dành cho
nội dung này không nhiều nên không có điều kiện để đi sâu thêm các vấn đề
có liên quan.
• Bản thân giáo viên có thể chưa thực sự quan tâm đến nội dung mới mẻ này.
• Mặt khác tài liệu viết về sử dụng phép biến hình để giải toán còn ít.
Số liệu điều tra trước khi thực hiện đề tài
Tham khảo trên 50 HS lớp 11A4, Trường THPT Phú Xuyên A, năm học
2013-2014.

Câu hỏi điều tra: Đứng trước một bài toán trong mặt phẳng tọa độ yêu
cầu tìm ảnh của một đường tròn qua một đường tròn đã biết em sẽ :
 Cố gắng giải bằng cách tìm tâm và bán kính thông qua biểu thức tọa độ.
 Cố gắng giải bằng phép biến hình
 Lựa chọn phương pháp giải (dùng biểu thức tọa độ hoặc phép biến hình) tùy
theo đặc điểm từng bài.
Kết quả :
Nội dung

Kết quả

Cố gắng giải bằng biểu thức tọa độ

48

Cố gắng giải bằng phép biến hình
5/18

0


Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn
Lựa chọn phương pháp giải tùy theo
đặc điểm từng bài.

2

Phần lớn HS chưa biết sử dụng phép biến hình để viết phương trình đường tròn.
Nguyên nhân :
Phần lớn học sinh còn lúng túng trong việc tìm ảnh của một hình qua một

phép biến hình.
Khả năng tưởng tượng, tư duy logic còn hạn chế.
III. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Xuất phát từ tính chất của các phép biến hình mà ta đã biết
1- Tính chất của phép dời hình (Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối
xứng tâm, phép quay) : Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán
kính.
2- Tính chất của phép đồng dạng (phép vị tự): Biến một đường tròn có bán kính
R thành một đường tròn có bán kính k R (k là tỉ số vị tự)
Và hai bài toán quen thuộc:
Bài toán 1
Cho đường tròn tâm O và hai điểm B,C cố định trên (O), A là điểm thay đổi
trên (O). Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC khi A thay đổi
Sơ lược cách giải:
Cách 1(Sử dụng phép tịnh tiến)
Gọi BB’ là đường kính của (O) thì B’ là điểm cố định, dễ dàng chứng minh được tứ
uuur uuuur
giác AHB’C là hình bình hành do vậy: AH = B ' C hay TuBuu'Cur ( A) = H
Do tập hợp A ulà
(O) nên tập hợp {H} là đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép
uuur
tịnh tiến theo B ' C . Dễ chứng minh được (O’) đi qua B,C.

6/18


Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn

O'
B

C
O

H

B'
A

Phân tích:
Nếu biết hai đỉnh và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì có thể xác định
đường tròn đi qua hai đỉnh đó và trực tâm của tam giác.
Cách 2 (Dùng phép đối xứng tâm)
Gọi AA’ là đường kính của (O) dễ dàng chứng minh HBA’C
làr hình bình
uuuu
r
uuuu
hành. Gọi D là trung điểm của BC thì D là điểm cố định và DA ' = − DH hay phép
đối xứng tâm D biến A’ thành H. Vậy tập hợp {H} là đường tròn tâm O’ là ảnh của
đường tròn tâm O qua phép đối xứng tâm D. Dễ chứng minh được (O’) đi qua B,C.

B

A'
O'
D
O

H

C

A

Phân tích:
Qua bài toán trên và cách giải cho thấy nếu biết trung điểm của cạnh BC của
tam giác ABC và đường tròn đi qua trực tâm H của tam giác ABC thì có thể xác
định đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đồng thời có thể xác định được các đỉnh
và trực tâm của của tam giác ABC.
Cách 3 (dùng phép đối xứng trục)
Gọi AA’ là đường kính của (O), H’ là giao của AH và (O), D là trung điểm
của BC. Dễ dàng chứng minh được BC song song với A’H’ từ đó suy ra DK là
đường trung bình của tam giác HA’H’ vậy BC là đường trung trực của HH’ hay
7/18


Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn
phép đối xứng trục BC biến H’ thành H. Vậy tập hợp {H} là đường tròn tâm O’ là
ảnh của đường tròn tâm O qua phép đối xứng trục BC.Dễ chứng minh được (O’) đi
qua B,C.

B

H'
K

H

D
O

O'

A'
C

A

Phân tích:
Qua bài toán trên và cách giải cho thấy nếu biết đường thẳng chứa cạnh BC
của tam giác ABC và đường tròn đi qua trực tâm H của tam giác ABC thì có thể
xác định đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài toán 2
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác , các
điểm A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng với H qua BC, AC, AB. CMR: A’, B’, C’
thuộc (O)
Sơ lược cách giải
Gọi AA’’ là đường kính của đường tròn (O) , D là giao của AH và BC, I là
trung điểm của BC. Ta dễ chứng minh được tứ giác HCA’’B là hình bình hành. Do
đó I là trung điểm của HA’’, mặt khác D là trung điểm của HA’ nên DI là đường
trung bình của tam giác HA’A’’ hay DI //A’A’’ suy ra A ' A '' ⊥ AA ' hay A’ thuộc (O).
Tương tự chứng minh B’, C’ thuộc (O)

8/18


Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn

A

B'

C'
H
B

O
D

I

A'

C
A''

Phân tích:
Từ bài toán trên ta thấy (O) ucố
định,
H là điểm cố định, D là chân đường cao
uuu
r
uuur
hạ từ A của tam giác ta luôn có HA ' = 2 HD hay phép vị tự tâm H tỉ số 2 biến D
thành A’. Như vậy nếu biết trực tâm tam giác và đường tròn ngoại tiếp tam giác thì
có thể xác định đường tròn đi qua chân các đường cao của tam giác và ngược lại.
Tôi tìm cách giải một số bài toán ví dụ sau:
Ví dụ 1: Trên mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết B(1;-1), C(4;2) và đường
tròn ngoại tiếp tam giác là (C) x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 4 = 0 . Viết phương trình đường tròn
đi qua trực tâm H và hai đỉnh B,C của tam giác.

Phân tích: Đây là bài toán có yêu cầu: Viết phương trình đường tròn. Khi gặp bài
toán này học sinh sẽ nghĩ đến một trong hai hướng giải sau:
Hướng thứ nhất: Tìm tâm I của đường tròn cần tìm dựa trên các giả thiết của bài
toán sau đó tính R= IB hoặc R= IC
Hướng thứ hai: Tìm toạ độ điểm H là trực tâm tam giác ABC sau đó viết phương
trình đường tròn qua ba điểm H, B, C.
Tuy nhiên giả thiết của bài toán không cho phép làm được các việc trên vì ở
đây có vô số tam giác ABC thoả mãn yêu cầu đầu bài do điểm A không xác định cụ
thể. Nhưng nếu suy nghĩ kĩ học sinh có thể để ý thấy mặc dù điểm A không xác
định cụ thể về vị trí nhưng quỹ tích của A đã xác định và đặt câu hỏi đường tròn
cần tìm có liên quan gì đến (quỹ tích của điểm A) đường tròn đã cho?
Và nếu học sinh đã biết bài toán ở trên thì dễ ràng đưa ra ba cách giải cho ví
dụ này như sau:
Cách 1 (Dùng phép tịnh tiến)
B1: Gọi BB’ là đường kính của đường
tròn. Chứng minh đường tròn cần tìm là ảnh
uuuur
của (C) qua phép tịnh tiến theo B ' C
9/18


Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn
uuuur

B2: Tìm toạ độ tâm I và bán kính của (C) từ đó suy ra toạ độ B’ và toạ độ B ' C
uur

uuuur

B3: Tìm I’ là tâm đường tròn cần tìm qua hệ thức II ' = B ' C và viết phương trình

đường tròn (C’) tâm I’ , bán kính R.
Cách 2 (Dùng phép đối xứng tâm)
B1: Gọi D là trung điểm của BC, chứng minh đường tròn cần tìm là ảnh của (C)
qua phép đối xứng tâm D
B2: Tìm tâm I và bán kính của (C), tìm toạ độ D

uuur

uuu
r

B3: Tìm I’ là tâm đường tròn cần tìm qua hệ thức DI ' = − DI , viết phương trình
đường tròn (C’) tâm I’, bán kính R
Cách 3 (Dùng phép đối xứng trục)
B1: Chứng minh đường tròn cần tìm là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục BC.
B2: Tìm tâm I và bán kính R của (C), tìm I’ đối xứng I qua BC
B3: Viết phương trình đường tròn (C’) tâm I’, bán kính R
Ví dụ 2. Trên mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC. Biết trực tâm tam giác là H(2;2)
và đường tròn đi qua chân các đường cao của tam giác là (C): x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 1 = 0 .
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Cách giải:
B1: Chứng minh phép vị tự tâm H tỉ số 2 biến chân các đường cao của tam giác
thành các điểm tương ứng trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Suy ra phép vị tự
tâm H tỉ số 2 biến đường tròn đi qua chân các đường cao của tam giác thành đường
tròn ngoại tiếp tam giác
B2: Tìm I là tâm, R là bán kính
củauuuđường
tròn (C), tìm I’ là ảnh của I qua phép vị
uuur
r

tự tâm H tỉ số 2 qua hệ thức HI ' = 2 HI , R’=2R
B3: Viết phương trình đường tròn (C’) tâm I’, bán kính R’
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H
a/ Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB,HBC,HCA có
bán kính bằng nhau
b/ Gọi O1 , O2 , O3 là tâm các đường tròn nói trên . Chứng minh rằng đường tròn đi
qua ba điểm O1 , O2 , O3 bằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Hd Giải:
a/ Giả sử O1 là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC , thì O1 chính là ảnh
của (O) qua phép đối xứng trục BC . Cho nên bán kính của chúng bằng nhau .

10/18


Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn
Tương tự hai đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác còn lại có bán kính bằng bán
kính của (O) .
b/ Ta hoàn toàn chứng minh được O1 , O2 , O3 là các ảnh của O qua phép đối xứng trục
BC,CA,AB . Vì vậy bán kính các đường tròn này bằng nhau . Mặt khác ta chứng
minh tam giác ABC bằng tam giác O1O2O3 .
Ví dụ 4 ( bài toán 2-tr17-HH11NC).
Cho đường tròn (O;R)
và hai điểm A, B cố định . Với mỗi điểm M, ta xác định
uuuuur uuur uuur
điểm M’ sao cho MM ' = MA + MB . Tìm quỹ tích điểm M’ khi điểm M chạy trên
(O;R) .
HD Giải:
- Gọi I là trung điểm của AB . Theo tính chất của véc tơ trung tuyến thì :

uuur uuur

uuu
r
uuuuur
uuu
r
MA + MB = 2MI , suy ra : MM ' = 2MI . Có nghĩa là I là trung điểm của MM’

- Vì A,B cố định , cho nên I cố định . Do đó DI : M → M ' . Nhưng M chạy trên
(O;R) cho nên M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I sẽ chạy trên đường tròn
ảnh của (O;R)
- Cách xác định (O’;R) như sau : Nối IO kéo dài , đặt IO’=IO . Sau đó lấy O’ làm
tâm , quay đường tròn có bán kính R .
Ví dụ 5 ( Bài 17-tr19-HH11NC).
Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O;R) và một điểm A thay đổi
trên đường tròn đó. Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực tâm H
của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định. (Hay: tìm quỹ tích của H khi
A thay đổi ).
Hd Giải:

11/18


Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn
- Nối đường kính AM, tìm vị trí của H. Ta thấy CH ⊥ AB và MB ⊥ AB suy ra
CH//BM. Tương tự BH//MC và tứ giác BHCM là hình bình hành, do đó hai đường
chéo BC và MH cắt nhau tại trung điểm I của BC.
- Do B, C cố định cho nên I cố định. Vậy H là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I.
Mặt khác M chạy trên (O; R) do đó H chạy trên đường tròn (O’; R) là ảnh của (O;
R) qua phép đối xứng tâm I.
Ví dụ 6 ( Bài 35-tr10-BTHH11NC).

Cho đường tròn (O) và tam giác ABC. Một điểm M thay đổi trên (O). Gọi
M 1 là điểm đối xứng với M qua A, M 2 là điểm đối xứng với M 1 qua B và M 3 là
điểm đối xứng với M 2 qua C. Tìm quỹ tích điểm M 3 ?

Giải .

- Từ hình vẽ ta có : Do M 1 , M 2 đối xứng nhau qua B cho nên BM 1 = BM 2 ( 1)
- Vì M 2 và M 3 đối xứng nhau qua C cho nên : CM 2 = CM 3 (2). Từ (1) và (2) chứng
tỏ BC là đường trung bình của tam giác M 1M 2 M 3 , có nghĩa là BC// M 1M 3 (3).
- Gọi D là trung điểm của M M 3 thì AD là đường trung bình của tam giác
MM 1M 3 ⇒ AD / / M 1M 3 (4). Từ (3) và (4) suy ra AD//BC và tứ giác ABCD là hình
bình hành. Có nghĩa là D cố định. Như vậy : DD : M → M 3 . Mà M chạy trên (O) cho
nên M 3 chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép đối xứng tâm D.
Ví dụ 7
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A( có bán kính
khác nhau ) .Một điểm M nằm trên đường tròn (O) . Dựng đường tròn đi qua M và
tiếp xúc với O và O’.
HD Giải:
12/18


Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn
- Vẽ hình minh họa cho học sinh .
- Gọi S là tâm vị tự ngoài của (O) và (O’) ,N là ảnh của M qua phép vị tự tâm S, M’
là giao điểm thứ hai của AN với (O’) , Gọi O’’ là giao của OM với O’M’ ( Chú ý :
OM//O’N ) ta có :

O '' M O '' M '
=
( O ' N = O ' M ') nên O’’M=O’’M’ . Chứng tỏ (O’’)

O'N
M 'O '

tiếp xúc với (O) và (O’) tại M và M’ .
- Cách dựng : Tìm tâm S ( kẻ tiếp tuyến chung của O và O’ cắt OO’ tại S .
Nối SA cắt (O’) tại N và M’. O’ chính là giao của OM với O’M’
Ví dụ 8 ( Bài 29-tr29-HH11NC) .
Cho đường tròn (O;R) và một điểm I cố định khác O. Một điểm M thay đổi
trên đường tròn. Tia phân giác góc MOI cắt IM tại N. Tìm quỹ tích điểm N.
Phương pháp:
Để giải một bài toán quỹ tích điểm M khi điểm A thay đổi trên một đường
(C) cho sẵn. Trước hết ta cần phải làm một số việc sau
1. Trong hình H đã cho, ta tìm ra một điểm A thay đổi trên một đường (C ) cho sẵn
nào đó (có thể là đường tròn, có thể là một đường thẳng) sao cho AM nằm trên một
đường thẳng đi qua một điểm cố định I nào đó.
2. Gán cho A và M cùng với I hai tam giác dồng dạng, từ đó tìm ra một tỉ số không
đối k.
uuur

uu
r

3. Viết đẳng thức véc tơ : IM = k IA để kết luận M là ảnh của A qua phép vị tự tâm I
với tỉ số vị tự là k .
4. Nếu A chạy trên (C ) thì M chạy trên (C’) là ảnh của (C ) qua phép vị tự tâm I tỉ
số k. Nêu cách dựng (C’) .
HD Giải:

Từ hình vẽ và tính chất của đường phân giác trong chia cạnh đối diện làm hai doạn
thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề của hai cạnh đó. Ta có kết quả sau :

13/18


Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn
* Do O, I cố định cho nên OI=a không đổi. Gọi N là chân đường phân giác của góc
NI
OI
a
NI
a
a
=
= ⇔
=
⇔ IN =
IM
NM OM R
NM + NI a + R
a+R
uur
a
a uuur
IM ⇒ IN =
IM .
Hay: ⇔ IN =
a+R
a+R

MOI ( N thuộc IM), từ đó ta có :

Vì I cố định cho nên V( I ,k ) : M → N . Nhưng M chạy trên đường tròn (O;R) cho nên N
chạy trên đường tròn (C’) là ảnh của (O;R) qua phép vị tự tâm I tỉ số vị tự là k .
* Cách xác định (O’;R’) như sau
uuur

uur

- Nối OI , tìm O’ sao cho : IO ' = kOI , từ đó suy ra O’.
- Bán kính R’ được xác định bằng công thức : k= R’/R suy ra : R’=kR .
( Hoặc : lấy O’ làm tâm quay một đường tròn có bán kính là O’N )

14/18


Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn
Một số bài tập tương tự
1. Trên mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có H (0;1) là trực tâm biết phương trình
cạnh BC là x − y + 3 = 0 , phương trình đường tròn qua H,B,C là ( x + 2)2 + ( y + 4)2 = 13 .
Tìm toạ độ đỉnh A của tam giác và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam
giác.
2. Trên mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC, cạnh AB nằm trên trục Ox, phương
trình đường tròn đia qua trực tâm tam giác và các đỉnh A, B là x 2 + y 2 + x + 2 y − 2 = 0 .
Tìm các đỉnh A, B của tam giác và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC.
3. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC. Biết trực tâm của tam giác là
H(1;1) và đường tròn ngoại tiếp tam giác có phương trình ( x − 2)2 + ( y − 3)2 = 16 . Viết
phương trình đường tròn đi qua chân các đường cao của tam giác.
4. Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 6x + 2 y + 1 = 0 . Tìm phương trình đường tròn (C’)
qua phép đối xứng trục d : x-y-0 .
5. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O)bán kính R, các dỉnh B,C cố

định còn A thay đổi trên (O). Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC chạy
trên một đường tròn .
6. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;3R) tiếp xúc trong với nhau tại A. Nếu O biến
thành O’ trong phép vị tự tâm A thì tỉ số vị tự bằng bao nhiêu?
7. Cho đường tròn (O;R) và một điểm I cố định với OI=2R. M là một điểm di động
trên O, phân giác góc IOM cắt IM tại M’. Tìm quỹ tích điểm M’ khi M chạy trên
đường tròn O.
8. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong với nhau tại A , đường kính kẻ từ
A cắt (O), (O’) theo thứ tự tại B, C. Qua A vẽ đường thẳng d cắt (O); (O’) tại M, N.
Tìm quỹ tích giao điểm T của BN và CM, khi d thay đổi?
9. Cho đường tròn O và một điểm A nằm trong O, M là một điểm di động trên
đường tròn O.
a/ Tìm quỹ tích trung điểm I của AM?
b/ Đường trung trực AM cắt đường tròn O tại P và P’. Tìm quỹ tích chân đường
vuông góc H kẻ từ O đến PP’?
c/ Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APP’?
10. Cho đường tròn (O) và một điểm P ngoài O. M là một điểm thay đổi trên O. H
là hình chiếu vuông góc của của O trên PM
a/ Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác POM?
b/ Tìm quỹ tích các điểm H và trung điểm I của PH?
15/18


Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn

PHẦN III. KẾT LUẬN
1. KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ ĐỐI CHỨNG:
Sau khi thực hiện đề tài, tôi thấy học sinh hứng thú hơn với sử dụng phép
biến hình vào giải toán. Tôi cho học sinh trả lời câu hỏi điều tra kết quả thay đổi rõ
ràng so với trước khi thực hiện đề tài. Cụ thể là:

Câu hỏi điều tra: Đứng trước một bài toán trong mặt phẳng tọa độ yêu cầu tìm
ảnh của một đường tròn qua một đường tròn đã biết em sẽ :
 Cố gắng giải bằng cách tìm tâm và bán kính thông qua biểu thức tọa độ.
 Cố gắng giải bằng phép biến hình
 Lựa chọn phương pháp giải (dùng biểu thức tọa độ hoặc phép biến hình) tùy
theo đặc điểm từng bài.
Kết quả :
Nội dung

Kết quả

Cố gắng giải bằng biểu thức tọa độ

15

Cố gắng giải bằng phép biến hình

6

Lựa chọn phương pháp giải tùy theo
đặc điểm từng bài.

29

Như vậy đứng trước một bài toán học sinh đã có sự linh hoạt, tự tin để lựa chọn
phương pháp giải phù hợp; từ đó mà năng lực giải toán của các em cũng được phát
triển.
2. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Từ bài toán trên tôi rút ra một số bài học kinh nghiệm sau:
Về bài toán viết phương trình đường tròn: Để viết phương trình nói chung

cần đi xác định tâm và bán kính của đường tròn. Để làm được điều này cần chú ý
đến sự mô tả của giả thiết về đường tròn cần tìm và mối quan hệ giữa các đối tượng
cho trong bài toàn. Tìm hiểu thêm các bài toán trong chương III- SGK hình học lớp
10 cũ và chương I sách giáo khoa lớp 11 mới để đưa ra một số bài toán viết phương
trình đường tròn bằng việc ứng dụng phép biến hình.
Về việc bồi dưỡng nâng cao trình độ chuyên môn: Không ngừng tìm hiểu
học tập, sáng tạo trong quá trình công tác.
Về phương pháp dạy học: Cần tìm cách khai thác kết quả các bài toán trong
sách giáo khoa để đưa ra các bài toán cụ thể, phù hợp hoặc tổng quát các bài toán
cụ thể thành một bài toán có phương pháp giải chung. Điều này giúp nâng cao khả
16/18


Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn
năng sáng tạo của giáo viên đồng thời cũng giúp học sinh có những “ Bữa ăn cải
thiện” trong quá trình học toán, tạo sự hứng thú, phấn khởi, khơi dậy lòng đam mê
và khả năng sáng tạo của học sinh.
3. KIẾN NGHỊ
Đề nghị hội đồng khoa học nhà trường xem xét thẩm định và giới thiệu đề tài
đến các giáo viên dạy toán cùng tham khảo.
Tôi nghĩ đây là một nội dung khá phong phú rất mong được các đồng nghiệp
quan tâm khai thác, đề xuất ý kiến bổ xung cho đề tài ngày càng hoàn thiện.
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm của mình viết không sao
chép nội dung của người khác!

4. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa hình học, sách bài tập 10 -2003, NXB Giáo dục.
2. Sách giáo khoa, Sách bài tập hình học 11 chương trình chuẩn, 2007, NXB
Giáo dục.
3. Sách giáo khoa, sách bài tập hình học 11 chương trình nâng cao, 2007, NXB

Giáo dục.
4. Các bài giảng luyện thi môn Toán, NXB Giáo dục, Tác giả Nguyễn Mạnh
Sơn, Nguyễn Doãn Phú, Lê Duy Nam.
5. Internet.
6. Phần mềm vẽ hình Cabri II.

17/18


Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn

MỤC LỤC

18/18