Một số đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán (1)

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM
NĂM HỌC 2004 – 2005

Câu 1 : (4 điểm) : Giải hệ
3 6
1
2
( )
1 1
0
2
x y x y
I
x y x y

− = −

− +



− =

− +

đk :
2 0
0
x y
x y

− ≠


+ ≠

Đặt
1
2
1
u
x y
v
x y

=

−



=

+

thì :
3 6 1
( )
0
1
3

2 3
3
2
1
u v
I
u v
u v
x y
x y
x
y
− = −

⇔

− =

⇔ = =
− =

⇔

+ =

=

⇔

=


Câu 2 : (3 điểm) : Cho x > 0 thoả
2
2
1
7. x
x
+ =
Tính
5
5
1
x
x
+
Vì:
2
2
2
2
1 1
7 -2=7
1
x+ 9
x
1
x+ 3 ( 0)
x
x x
x x

do x
 
+ = ⇒ +
 ÷
 
 
⇒ =
 ÷
 
⇒ = >
Nên :
[ ]
5 4 3 2
5 2 3 4
4 2
4 2
2
2
2
1 1 1 1 1 1
1 1
3 1
1
3 2 7 1
3 49 8
123
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x

x
x
  
+ = + − + − +
 ÷ ÷
  
 
 
= + − + +
 ÷
 
 
 
 
 
= + − − +
 
 ÷
 
 
 
= −
=

Câu 3 : (3 điểm) : Giải phương trình:
3
3 1 1 (1)
3 10
x
x

x
= + −
+
Đk : 3x + 1 ≥ 0
1
3
x
⇔ ≥ −
Ðặt
2
2
0
3 1
3 1
9 3 10
t
t x
t x
t x
≥

= + ⇔

= +

⇒ + = +

Ta có :
(
)

2
2
2
2
2
2 2
1
(1) 1
9
( 1) 1 9 0
1 (2)
1 9 0 (3)
(2) 3 1 1
3 1 1
0
(3) 9 1
9 2 1
2 8
4
3 1 4
3 1 16
5
t
t
t
t t t
t
t t
x
x

x
t t
t t t
t
t
x
x
x
−
⇔ = −
+
⇔ − + − + =
=

⇔

+ − + =


⇔ + =
⇔ + =
⇔ =
⇔ + = +
⇔ + = + +
⇔ =
⇔ =
⇔ + =
⇔ + =
⇔ =
Vậy (1)

0 5x x
⇔ = ∨ =

Câu 4 : (4 điểm)
a) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 5x
2
+ 9y
2
– 12xy + 24x – 48y + 82
b) b) Tìm các số nguyên x, y, z thoả hệ
3 3 3
3
3
x y z
x y z
+ + =


+ + =

a) a) Ta có:
P = (2x – 3y + 8)
2
+ (x – 4)
2
+ 2 ≥ 2

Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi
16
2 3 8 0

3
4
4
x y
y
x
x

− + =
=


⇔
 
=


=

Vậy Min P = 2

b) b) Ta có :
( )
3
3 3 3
3( )( )( )
3 27 3( )( )( )
1 9 ( )( )( )
( )( )( ) 8
(3 )(3 )(3 ) 8

x y z x y z x y y z z x
x y y z z x
x y y z z x
x y y z z x
z x y
+ + = + + − + + +
⇔ = − + + +
⇔ = − + + +
⇔ + + + =
⇔ − − − =
Suy ra 3 – z, 3 – x, 3 – z là các ước số của 8
Mà các ước số của 8 là
1, 2, 4, 8
± ± ± ±
Như vậy 3 - x, 3 - y, 3 - z nhận một trong các giá trị đã nêu
Lập bảng :
-1 +1 -2 2 -4 4 -8 8
3-x *
3-y *
3-z *
Thử trên bảng ta được :
1 4 4 5
1; 4 ; 5; 4
1 5 4 4
x x x x
y y y y
z z z z
= = = = −
   
   

= = = − =
   
   
= = − = =
   

Câu 5 : (4 điểm) :
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O (AB <
BC). Vẽ đường tròn tâm I qua hai điểm A và C cắt đoạn AB, BC lần lượt
tại M, N. Vẽ đường tròn tâm J qua ba điểm B, M, N cắt đường tròn tâm
(O) tại điểm H (khác B)
a) Chứng minh OB vuông góc với MN
b) Chứng minh IOBJ là hình bình hành
c) Chứng minh BH vuông góc với IH

a) Chứng minh OB vuông góc với MN

Dựng tiếp tuyến Bx tại B của đường tròn ngoại tiếp tam giác BAC thì Bx ⊥
OB. Ta chứng minh Bx // MN
Ta có góc xBN= góc BAC (cùng chắn cung BC của đường tròn (O))
Góc BAC= góc BNM (do tứ giác AMNC nội tiếp)
Suy ra : góc xBN= góc BNM
Suy ra : MN // Bx (2 góc ở vị trí so le trong bằng nhau) (đpcm)

b) Chứng minh IOBJ là hình bình hành
Chứng minh tương tự như câu a, ta có: BJ ⊥AC
Vì IJ là là đường nối tâm của (I) và (J) nên IJ ⊥ MN
Vì
//
OB MN
OB IJ
IJ MN
⊥

⇒

⊥

(1)
Chứng minh tương tự ta có OI // BJ (2)
Từ (1) và (2) suy ra IOBJ là hình bình hành

c) Gọi F là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành IOBJ thì F là trung
điểm BI và F ∈ OJ.

Vì BH là dây chung và OJ là đường nối tâm của (O) và (J) nên OJ là trung
trực của BH ==> OJ cắt BH tại trung điểm E của BH ==> EF BH.
Vì EF là đường trung bình của tam giác BHI nên EF // HI
Suy ra IH BH (đpcm)


Câu 6 : (2 điểm) : Cho hình bình hành ABCD. Qua một điểm S ở trong hình
bình hành ABCD kẻ đường thẳng song song với AB lần lượt cắt AD, BC tai
x
O
B
C
A
I
M
N
J
H
M, P và cũng qua S. Kẻ đường thẳng song song với AD lần lượt cắt AB, CD
tại N, Q. Chứng minh ba đường thẳng AS, BQ, DP đồng quy

A
D
C
B
S
N
Q
M
P

O
K
I
Giải:
Gọi I là giao điểm của DP và NQ.
K là giao điểm của SA và BC.
Ta có:
KP PK SP SP IS
PB AM SM QD IQ
= = = =
Vậy
KP IS
BP IQ
=
suy ra
KP BP
IS IQ
=
(1).
Gọi O là giao điểm SA và DP . Ta có
OP KP
OI IS
=
(2)
Gọi O' là giao điểm BQ và DP . Ta có
'
'
O P BP
O I IQ
=

(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: . Vậy O' trùng O, tức là SA, BQ và DP đồng qui.