Thuật toán slice cho phân tích bất khả quy của IĐêan đơn thức (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ ÁNH LY

THUẬT TOÁN SLICE CHO PHÂN TÍCH BẤT KHẢ QUY
CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ ÁNH LY

THUẬT TOÁN SLICE CHO PHÂN TÍCH BẤT KHẢ QUY
CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60. 46. 01. 04

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN THỊ DUNG

THÁI NGUYÊN - 2016


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng luận văn này là hoàn toàn trung thực và không trùng
lặp với các luận văn trước đây. Các thông tin, tài liệu trong luận văn đã được ghi
rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, ngày .... tháng .... năm 2016
Học viên

NGUYỄN THỊ ÁNH LY

i


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS
Nguyễn Thị Dung, giảng viên Trường Đại học Nông Lâm- Đại học Thái Nguyên.
Đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô. Trong suốt quá
trình làm luận văn, cô đã dành nhiều thời gian và công sức để chỉ bảo hướng dẫn
tôi từ những điều nhỏ nhặt nhất tới những vấn đề khó khăn cô vẫn luôn kiên nhẫn,
tận tình quan tâm giúp đỡ tôi để hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toán học
và Đại học Thái Nguyên, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động
viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng tôi xin
cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn
thành tốt khóa học của mình.
Thái Nguyên, ngày .... tháng .... năm 2016
Học viên

NGUYỄN THỊ ÁNH LY

ii


Mục lục
Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Mở đầu

1

1 Iđêan đơn thức

3

1.1

Iđêan đơn thức và đồ thị của iđêan đơn thức . . . . . . . . . . .

3

1.2

Các phép toán trên iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1

Giao của các iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Căn của iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3

Phép chia trên iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3

Iđêan đơn thức bất khả quy và sự phân tích . . . . . . . . . . . .

12

1.4

Phân tích tham số của các iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . .

15

1.4.1

Iđêan tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.2

Phần tử góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2 Thuật toán Slice

18

2.1

Đơn thức chuẩn cực đại, đế và sự phân tích . . . . . . . . . . . .

18

2.2

Nhãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3

Thuật toán Slice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.4

Slice cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.5

Sự kết thúc và sự lựa chọn then chốt . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.6

Giả mã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

iii

2.7

Cải tiến thuật toán cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.7.1

Đơn thức chặn dưới của cái chứa slice . . . . . . . . . .

33

2.7.2

Tách độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Tài liệu tham khảo

41

iv


Mở đầu
Một trong những kết quả cơ bản trong Đại số giao hoán là định lý phân tích
bất khả quy được chứng minh bởi Emmy Noether năm 1921. Trong bài báo đó
Emmy Noether đã chứng minh rằng iđêan bất kì trong vành Noether có thể viết

thành giao hữu hạn của các iđêan bất khả quy. Cho A là một vành giao hoán có
đơn vị và đặt R = A[X1 , . . . , Xd ] là vành đa thức d biến trên A. Một iđêan đơn thức
m-bất khả quy theo một nghĩa nào đó là iđêan đơn thức nhỏ nhất, tức là nó không
thể viết được thành giao không tầm thường của các iđêan đơn thức. Cho J là một
iđêan đơn thức của R, một phân tích m-bất khả quy của J là biểu diễn J = ∩ni=1 Ji

thành giao của các iđêan m-bất khả quy, phân tích này được gọi là rút gọn nếu
Ji

Ji′ với mọi i = i′ và phân tích m-bất khả quy rút gọn là duy nhất nếu không

kể đến thứ tự các iđêan đơn thức trong phân tích. Chú ý rằng nếu J

R là iđêan

đơn thức bất khả quy thì là nó luôn là iđêan m-bất khả quy và điều ngược lại cũng
đúng nếu A là miền nguyên.
Gần đây phân tích bất khả quy của iđêan đơn thức trở thành vấn đề tính toán
cơ bản và được áp dụng trong nhiều lĩnh vực từ thuần túy toán học đến toán học
ứng dụng và các lĩnh vực như sinh học, ... Một vài ví dụ của áp dụng phân tích
bất khả quy của iđêan đơn thức là cát tuyến của các iđêan đơn thức và lũy thừa
hình thức của iđêan đơn thức đưa ra bởi B. Sturmfels and S. Sullivant [8], vấn đề
Frobenius đưa ra bởi B.H. Roune [7], kỹ thuật nghịch đảo của các mạng sinh học
đưa ra bởi A.S Jarrah [3].
Mục đích của luận văn là giới thiệu về thuật toán Slice, một thuật toán dùng
để tính phân tích bất khả quy của iđêan đơn thức, nghĩa là viết iđêan đơn thức
đó thành giao rút gọn của các iđêan đơn thức bất khả quy. Các kết quả này được
trình bày lại và chứng minh chi tiết một phần của bài báo "The slice Algorithm
for Irreducible Decomposition of Monomial ideals" của tác giả B. Roune [6].
1

Cho k là một trường và đặt R = k[x1, . . . , xn ], với n

2 là vành đa thức n biến

lấy hệ số trên k, I là iđêan đơn thức của R. Một đơn thức m ∈ R được gọi là đơn

thức chuẩn cực đại của I nếu m ∈
/ I và mxi ∈ I, với mọi i = 1, . . . , n. Tập tất cả

các đơn thức chuẩn cực đại của I được ký hiệu là msm(I). Nếu biểu diễn I bằng

đồ thị thì mỗi đơn thức chuẩn cực đại của I ứng với một điểm nằm ngoài I nhưng
nằm ở góc "gần nhất" so với phần đồ thị thuộc I.
Tập đơn thức chuẩn cực đại msm(I) đóng một vai trò quan trọng trong thuật
toán Slice bởi ý tưởng cơ bản của thuật toán bắt nguồn từ một kết quả sau của
Miller và Sturmfels [4]:
Chọn số nguyên t sao cho t lớn hơn bậc của mỗi đơn thức trong tập các đơn
thức sinh rút gọn min(I) và định nghĩa φ (xm ) = (ximi +1 | mi + 1 < t). Khi đó, ánh
xạ φ là một song ánh từ tập chuẩn cực đại msm(I + (xt1 , . . . , xtn )) vào tập các iđêan
đơn thức bất khả quy irr(I) của I.
Vì thế, bài toán tìm phân tích bất khả quy được quy về bài toán tìm tập đơn
thức chuẩn cực đại. Thuật toán Slice cung cấp một công cụ để tính msm(I) bằng
cách tách nó thành hai tập con gọi là slice trong và slice ngoài. Cả hai slice này
đều phụ thuộc vào cách chọn một đơn thức gọi là then chốt. Các đơn thức của
mỗi slice này lại được coi như tập chuẩn cực đại của các iđêan mới. Tiếp theo
mỗi slice này lại được tách thành các slice đơn giản hơn và quá trình này tiếp tục
cho đến khi tách thành những slice đủ đơn giản để có thể tính được tập các đơn
thức chuẩn cực đại của chúng.

Cấu trúc của luận văn gồm hai chương. Chương 1 của luận văn dành để nhắc
lại một số kiến thức về iđêan đơn thức: đồ thị, các phép toán giao, căn, chia và
phân tích bất khả quy, phân tích tham số của iđêan đơn thức.
Chương 2 giới thiệu về thuật toán slice: mô tả thuật toán thông qua tập đơn
thức chuẩn cực đại; chứng minh thuật toán dừng và đoạn giả mã để thực hiện
thuật toán; mục 2 của chương 2 giới thiệu một số cải tiến cho phiên bản cơ sở của
thuật toán.
Phần kết luận của luận văn tổng kết một số công việc đã thực hiện.

2


Chương 1

Iđêan đơn thức
Ký hiệu A là một vành giao hoán có đơn vị và đặt R = A[X1 , . . . , Xd ]. Chương
này dành để nhắc lại một số kiến thức về iđêan đơn thức: đồ thị, các phép toán,
phân tích tham số của iđêan đơn thức. Các kết quả ở chương này được viết dựa
theo [5].

1.1 Iđêan đơn thức và đồ thị của iđêan đơn thức
Định nghĩa 1.1.1. Một iđêan đơn thức trong R là một iđêan của R được sinh bởi
các đơn thức theo các biến X1 , . . . , Xd .
Ví dụ 1.1.2. Đặt R = A[X,Y ].
(i) Iđêan I = (X 2 , X 3Y,Y 3 )R là một iđêan đơn thức.
(ii) Iđêan J = (X 5 −Y 3 , X 5 ) là một iđêan đơn thức vì J = (X 5 ,Y 3 ).

(iii) Iđêan 0 và R là các iđêan đơn thức vì 0 = (0)R
/ và R = 1R R = X10 · · · Xd0 R.
Với mỗi iđêan đơn thức khác không I ⊆ R, ta ký hiệu [[I]] là tập hợp tất cả các

đơn thức chứa trong I. Khi đó tập hợp [[I]] ⊂ R là một tập vô hạn nhưng không

là iđêan. Theo định nghĩa, ta có [[I]] = I ∩ [[R]]. Hơn nữa, với mỗi iđêan đơn thức

I ⊆ R, ta có I = ([[I]])R.

Mệnh đề 1.1.3. Cho I và J là hai iđêan đơn thức của R.
(i) I ⊆ J nếu và chỉ nếu [[I]] ⊆ [[J]].

(ii) I = J nếu và chỉ nếu [[I]] = [[J]].
Định nghĩa 1.1.4. (i) Cho f và g là các đơn thức của R. Khi đó f được gọi là bội
đơn thức của g nếu tồn tại một đơn thức h ∈ R sao cho f = gh.
3


n

(ii) Với mỗi đơn thức f = X n = X1n1 . . . Xd d ∈ R, khi đó ta có bộ d-số tự nhiên

n = (n1 , . . . , nd ) ∈ Nd được gọi là véc tơ lũy thừa của f .

Vì thế, có một sự tương ứng 1 − 1 giữa các đơn thức trong R với các véc tơ

trong Nd và vì các đơn thức trong R = A[X1 , . . . , Xd ] là độc lập tuyến tính trong A
nên véctơ lũy thừa của mỗi đơn thức f ∈ R là hoàn toàn xác định.
Cho d là một số nguyên dương. Giả sử trên Nd ta định nghĩa một quan hệ
như sau: m = (m1 , . . . , md )

(n1 , . . . , nd ) nếu và chỉ nếu với mọi i = 1, . . . , d ta

có mi ≥ ni theo thứ tự thông thường trên N. Khi đó nhờ vào tính độc lập tuyến
tính của các đơn thức trong R, kết quả sau đây nói rằng tích của một đơn thức và

một đa thức thì không là đơn thức (xem [5, Bổ đề 2.1.9]).
Bổ đề 1.1.5. Cho f = X m và g = X n là các đơn thức trong R. Nếu h là một đa thức
trong R sao cho f = gh thì m

n và h = X p là đơn thức, trong đó pi = mi − ni .

Ví dụ 1.1.6. Đặt R = A[X,Y ]. Cho f = X 2Y và g = X 3Y, vì m1 = 2 < n1 = 3 nên
theo Bổ đề 1.1.5 thì f không là bội của g nhưng ngược lại g là một bội của f .
Cho d là số nguyên dương, với mỗi n ∈ Nd , đặt
[n] = {m ∈ Nd | m

n} = n + Nd .

Kết quả tiếp theo cho ta một tiêu chuẩn để kiểm tra xem khi nào thì một đơn
thức f thuộc iđêan sinh bởi đơn thức g. Đặc biệt là các điều kiện tương đương (i)
và (iv) cho phép ta có thể kiểm tra bằng cách làm việc trên các véc tơ lũy thừa.
Bổ đề 1.1.7. Cho f = X m và g = X n là các đơn thức trong R. Khi đó các điều
kiện sau là tương đương:
(i) f ∈ gR.
(ii) f là một bội của g.
(iii) f là một bội đơn thức của g.
(iv) m

n.

(v) m ∈ [n].

Vì ta có một song ánh giữa các đơn thức của [[R]] và các bộ số thuộc Nd , nên
theo Bổ đề 1.1.7 (iii) ⇔ (iv), ta có thể xây dựng một quan hệ trên tập hợp các
4


đơn thức [[R]] của R như sau: X m

X n khi X m là một bội của X n và rõ ràng rằng

là một quan hệ thứ tự gọi là thứ tự chia hết trên [[R]].
Kết quả sau đây cho ta một tiêu chuẩn để kiểm tra xem một đơn thức bất kỳ có
thuộc vào một iđêan sinh bởi các đơn thức hay không (xem [5, Định lý 2.1.14]).
Định lý 1.1.8. Cho f , f1 , . . . , fm là các đơn thức trong R. Khi đó f ∈ ( f1 , . . . , fm )R
nếu và chỉ nếu tồn tại i sao cho f ∈ fi R.

Để có một hình dung trực quan hơn về iđêan đơn thức, đặc biệt là đối với vành
đa thức hai biến, người ta đưa ra khái niệm sau: Đồ thị của một iđêan đơn thức I
là tập hợp
Γ(I) = {n ∈ Nd | X n ∈ I}.
Khái niệm đồ thị của iđêan đơn thức cho ta một sự kết nối giữa các đơn thức
sinh của I với các tập con của tập Nd (xem [5, Định lý 2.1.17]):
Định lý 1.1.9. Nếu I = (X n1 , . . . , X nm )R thì Γ(I) = [n1 ] ∪ · · · ∪ [nm ].

Chứng minh. Cho m ∈ [n1 ] ∪ · · · ∪ [nm ]. Khi đó tồn tại i sao cho m ∈ [ni ] và do đó
ni . Theo Bổ đề 1.1.7 ta có

m

X m ∈ X ni R ⊆ (X n1 , . . . , X nm )R = I.
Từ định nghĩa suy ra m ∈ Γ(I).

Ngược lại, giả sử rằng p ∈ Γ(I). Khi đó X p ∈ I = (X n1 , . . . , X nm )R. Theo Định

lí 1.1.8 suy ra X p ∈ X n j R với mỗi j. Từ Bổ đề 1.1.7 ta kết luận
p ∈ [n j ] ⊆ [n1 ] ∪ · · · ∪ [nm ].

Ví dụ 1.1.10. (i) Đặt R = A[X,Y ]. Đồ thị của iđêan I = (X 3 , X 2Y 2 ,Y 3 )R là tập
hợp Γ(I) = [(3, 0)] ∪ [(2, 2)] ∪ [(0, 3)] ⊆ N2 , được biểu diễn bởi đồ thị trong Hình

1.1.

(ii) Đặt R = A[X,Y ]. Cho I = (X)R và J = (Y 3 )R. Khi đó I + J = (X,Y 3 )R. Theo
Định lí 1.1.9, Γ(I) = [(1, 0)], Γ(J) = [(0, 3)] và
Γ(I + J) = [(1, 0)] ∪ [(0, 3)] = Γ(I) ∪ Γ(J).
Ta có đồ thị của chúng được biểu diễn trong Hình 1.2.
5


..
.

..
.

..
.

..
.

..
.

4

...

3

...

2

...

1

...
...

0
3
1
2
4
0
3
2
2
3

Hình 1.1: Γ(X , X Y ,Y )
..
.

..
.

..
.

..
.

..
.

..
.

..
.

..
.

4

...

4

...

3

...

3

...

2

...

2

1

...

1

0

...
1

2

3

0

4

Γ(I)

..
.

..
.

..
.

..
.

1

3

4

Γ(J)

..
.

4

...

3

...

2

...

1

...

0

2

...
1

2

3

4

Γ(I + J) = Γ(I) ∪ Γ(J)
Hình 1.2:

Tiếp theo, ta cần nhắc lại một số kiến thức về tập các phần tử sinh của iđêan
đơn thức. Cho I là một iđêan đơn thức của R. Cho z1 , . . . , zm ∈ [[I]] sao cho ta có

I = (z1 , . . . , zm )R. Dãy z1 , . . . , zm là một dãy sinh đơn thức rút gọn của I nếu zi

không là một bội đơn thức của z j , với i = j. Ngược lại, dãy trên được gọi là dãy
sinh đơn thức không rút gọn. Khi đó Định lý cơ sở Hilbert khẳng định rằng mọi
iđêan đơn thức I trong R đều hữu hạn sinh và được sinh bởi một tập hữu hạn các
đơn thức. Hơn nữa, mọi tập sinh đơn thức của I đều chứa một dãy sinh đơn thức
rút gọn và dãy này là duy nhất nếu không kể đến thứ tự. Nếu ký hiệu tập các đơn

6


thức trong dãy sinh đơn thức rút gọn của I là min(I) thì ta có
min(I) = {X n ∈ I | không tồn tại X m sao cho n

m}.

Ví dụ 1.1.11. Đặt R = A[X,Y ]. Vì XY | X 2Y nên X 3 , XY, X 2Y,Y 3 là một dãy sinh

đơn thức không rút gọn của iđêan (X 3 , XY, X 2Y,Y 3 )R. Dãy X 3 , X 2Y 2 , XY 3 ,Y 5 là
một dãy sinh đơn thức rút gọn đối với (X 3 , X 2Y 2 , XY 3 ,Y 5 )R vì không có một đơn
thức nào trong X 3 , X 2Y 2 , XY 3 ,Y 5 là bội của đơn thức còn lại.
Sau đây là một thuật toán để tìm dãy sinh đơn thức rút gọn.
Thuật toán 1.1.12. Cho các đơn thức z1 , . . . , zm ∈ [[R]] và đặt J = (z1 , . . . , zm )R.

Ta giả sử rằng m

1.

Bước 1. Kiểm tra xem dãy sinh z1 , . . . , zm là rút gọn bằng cách sử dụng định
nghĩa.
Bước 1a. Nếu mọi chỉ số i và j sao cho i = j, ta có z j ∈ (zi )R, thì dãy sinh đó

là rút gọn. Trong trường hợp này, thuật toán dừng lại.

Bước 1b. Nếu tồn tại chỉ số i và j sao cho i = j và z j ∈ (zi )R, thì dãy sinh

không rút gọn; ta thực hiện tiếp bước 2.

Bước 2. Rút gọn dãy sinh bằng cách loại bỏ các phần tử z j sao cho z j ∈ (zi )R

với i = j. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết j = m và sắp xếp lại các
chỉ số sao cho zm ∈ (zi )R với i < m. Suy ra J = (z1 , . . . , zm )R = (z1 , . . . , zm−1 )R.
Bây giờ ta áp dụng bước 1 cho một dãy các đơn thức mới z1 , . . . , zm−1 .

Thuật toán sẽ dừng lại sau m − 1 bước vì ta có thể loại bỏ nhiều nhất m − 1 đơn

thức trong dãy sinh và cuối cùng là thu được một iđêan khác 0.

1.2 Các phép toán trên iđêan đơn thức
1.2.1 Giao của các iđêan đơn thức

Ta đã biết rằng các iđêan của một vành giao hoán luôn đóng đối với phép toán
giao. Đối với các iđêan đơn thức, điều này cũng được chứng minh là đúng nhờ
vào các kết quả sau.

Định lý 1.2.1. Nếu I1 , . . . , In là các iđêan đơn thức của R thì giao I1 ∩ · · · ∩ In là

một iđêan đơn thức của R và [[I1 ∩ · · · ∩ In ]] = [[I1 ]] ∩ · · · ∩ [[In ]]. Hơn nữa, ta có
đồ thị của iđêan giao Γ(I1 ∩ · · · ∩ In ) = Γ(I1 ) ∩ · · · ∩ Γ(In ).
7


Ví dụ 1.2.2. Đặt R = A[X,Y ]. Cho I = (XY 2 )R và J = (X 2Y )R. Khi đó nhờ vào
Định lý 1.2.1, quan sát đồ thị Hình 1.3 ta có thể tìm được I ∩ J = (X 2Y 2 )R.
..
..
..
..
.
.
.
.
..
..
.
◦
⊛
⊛
⊛
..
..
◦..
⊛
⊛
⊛

..
.
◦. ..... ⊛
⊛
⊛
..
..
∗. ..... ∗ ..... ∗ .....

4
3
2
1

..
.

..
.

..
.

...

4

⊛

⊛

⊛

...

...

3

⊛

⊛

⊛

...

...

2

⊛

⊛

⊛

...

...

1

2

3

4

0

0
0

1

2

3

0

4

1

KEY
Γ((XY 2 )R) ................ ◦
Γ((X 2Y )R) ................ ∗
Γ((XY 2 )R ∩ (X 2Y )R) ........ ⊛

Hình 1.3: Γ(I + J)

Đối với vành hai biến ta có thể sử dụng đồ thị để tìm giao của hai iđêan đơn
thức, tuy nhiên việc sử dụng đồ thị là khó khăn với vành nhiều hơn hai biến. Kết
quả sau đây cho ta một phương pháp chung để tìm giao của hai iđêan đơn thức.
Trước hết ta cần định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.2.3. Cho f = X m và g = X n với m, n ∈ Nd . Khi đó, bội chung nhỏ
nhất của f và g là đơn thức lcm( f , g) = X p , với pi = max{mi , ni }, và với mọi
i = 1, . . . , d.

Ví dụ 1.2.4. Đặt R = A[X,Y, Z] và cho f = X 2Y Z, g = XZ 5. Khi đó m = (2, 1, 1)
và n = (1, 0, 5), do đó p = (2, 1, 5). Vậy bội chung nhỏ nhất của f và g là
lcm(X 2Y Z, XZ 5) = X 2Y Z 5.
Mệnh đề 1.2.5. Giả sử I được sinh bởi tập hợp các đơn thức { f1 , . . . , fm } và J

được sinh bởi tập hợp các đơn thức {g1 , . . . , gn }. Khi đó I ∩ J được sinh bởi tập

hợp các đơn thức

{lcm( fi , g j ) | 1

i
8

m, 1

j

n}.

Mệnh đề trên và Thuật toán 1.1.12 sẽ được áp dụng trong ví dụ sau để tìm dãy
sinh đơn thức rút gọn.
Ví dụ 1.2.6. Đặt R = A[X,Y, Z]. Cho I = (X 3Y Z, XY 2 Z 2)R ∩ (X 4 ,Y 3 , Z 4 )R. Ta
có

lcm(X 3Y Z, X 4) = X 4Y Z

lcm(XY 2 Z 2, X 4 ) = X 4Y 2 Z 2 .

lcm(X 3Y Z,Y 3 ) = X 3Y 3 Z

lcm(XY 2 Z 2 ,Y 3 ) = XY 3 Z 2 .

lcm(X 3Y Z, Z 4) = X 3Y Z 4

lcm(XY 2 Z 2 , Z 4) = XY 2 Z 4 .

Khi đó theo Mệnh đề 1.2.5 suy ra X 4Y Z, X 4Y 2 Z 2 , X 3Y 3 Z, XY 3 Z 2, X 3Y Z 4 , XY 2 Z 4
là dãy sinh của I. Tiếp theo, ta dùng Thuật toán 1.1.12 để tìm dãy sinh đơn thức
rút gọn của I. Chỉ có đơn thức X 4Y 2 Z 2 là bội của đơn thức X 4Y Z vì vậy ta loại
X 4Y 2 Z 2 ra khỏi dãy và vì không có đơn thức nào trong dãy là một bội của các
đơn thức còn lại nên dãy X 4Y Z, X 3Y 3 Z, XY 3 Z 2 , X 3Y Z 4 , XY 2 Z 4 là một dãy sinh
đơn thức rút gọn của I.
1.2.2 Căn của iđêan đơn thức

Cho A là vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan của A. Nhắc lại rằng căn của
I là tập hợp
rad(I) = {x ∈ A | ∃ n ∈ N, xn ∈ I}.
√

Ta cũng thường kí hiệu căn của I là I hoặc r(I).
Chú ý rằng căn của một iđêan đơn thức nhìn chung không là iđêan đơn thức.
Ví dụ trong vành đa thức một biến R = Z4 [X], iđêan J = (X)R là một iđêan đơn
thức. Tuy nhiên, iđêan rad(J) = (2, X)R không phải là một iđêan đơn thức. Vì
thế, trong mục này ta sẽ giới thiệu một khái niệm căn sao cho căn của một iđêan
đơn thức vẫn là iđêan đơn thức.
Định nghĩa 1.2.7. Cho J là một iđêan đơn thức trong R. Căn đơn thức của J, ký
hiệu là m-rad(J) là một iđêan đơn thức m-rad(J) = (S)R, trong đó
S = {z ∈ [[R]] | ∃ n

1sao cho zn ∈ J} = rad(J) ∩ [[R]].

Ví dụ 1.2.8. Đặt R = A[X,Y ] và cho I = (X 5 ,Y 7 )R. Khi đó theo định nghĩa ta có
m-rad(I) = (S)R, trong đó
S = {X,Y ∈ [[R]] | ∃ n1 = 5 sao cho X 5 ∈ Ivà n2 = 7 sao cho Y 7 ∈ I}.
9


Vì thế m-rad(I) = (X,Y )R. Tương tự m-rad((X 4Y 6 )R) = (XY )R.
Kết quả sau đây cho ta mối quan hệ giữa rad(J) và m-rad(J).
Mệnh đề 1.2.9. Cho J là một iđêan đơn thức trong R.
(i) m-rad(J) ⊆ rad(J).

(ii) m-rad(J) = rad(J) nếu và chỉ nếu rad(J) là một iđêan đơn thức.
(iii) Nếu A là một trường thì m-rad(J) = rad(J).
1.2.3 Phép chia trên iđêan đơn thức

Trước hết, ta nhắc lại khái niệm iđêan chia trên một vành giao hoán có đơn vị
A. Cho S là một tập con của A và cho I là một iđêan của A. Với mỗi phần tử r ∈ A,
đặt rS = {rs | s ∈ S}. Khi đó iđêan chia của I cho S được định nghĩa là

(I :A S) = {r ∈ A | rS ⊆ I} = {r ∈ A | rs ∈ I, ∀s ∈ S}.
Với mỗi s ∈ S, ta đặt (I :A s) = (I :A {s}).

Cho J và I là các iđêan của vành đa thức R = A[X1 , . . . , Xd ]. Khi đó iđêan chia

của J cho I được định nghĩa là
J :R I = { f ∈ R | f g ∈ J, ∀g ∈ I}.
Ví dụ 1.2.10. Đặt R = A[X], cho I = (X 7 )R và J = (X 2 )R. Khi đó (J :R I) = R.
Kết quả sau nói rằng phép toán chia là đóng trên tập các iđêan đơn thức.
Định lý 1.2.11. Nếu I và J là các iđêan đơn thức của R thì iđêan chia (J :R I) là
một iđêan đơn thức của R.
Đối với những ví dụ đơn giản ta có thể sử dụng định nghĩa để tính iđêan chia,
tuy nhiên đối với những ví dụ phức tạp hơn việc tính iđêan chia sẽ trở nên khó
khăn hơn. Kết quả sau đây cho phép ta xác định một đơn thức có thuộc iđêan chia
hay không.
Chú ý 1.2.12. (i) Cho I và J là hai iđêan đơn thức trong R. Ta luôn có J ⊆ (J :R I)

bởi vì theo định nghĩa f g ∈ J với mọi f ∈ R và g ∈ I. Vì thế để tính (J :R I) thay

vì ta phải kiểm tra tất cả các đơn thức f của R sao cho f I ∈ J thì nay ta chỉ cần

kiểm tra f ∈ [[R]] \ [[J]].

10


(ii) Đặt R = A[X,Y ]. Cho I là một iđêan đơn thức của R và đặt X = (X,Y )R. Một
đơn thức f ∈ R là nằm trong (I :R X) nếu và chỉ nếu f X, fY ∈ I. Mối quan hệ

giữa các phần tử f , f X, fY được thể hiện qua đồ thị Hình 1.4 dưới đây

fY

f

fX

..
.
...
Hình 1.4:

Do đó, điểm (a, b) ∈ N biểu diễn một điểm trong (I :R X) nếu và chỉ nếu các cặp
có thứ tự (a + 1, b) và (a, b + 1) đều nằm trong đồ thị Γ(I).

Một cách tổng quát, điều này cũng đúng trong vành đa thức R = A[X1 , . . . , Xd ]
(Xem thêm ở mục phần tử góc).
Ví dụ 1.2.13. (i) Cho I = (X 2 , XY,Y 2 ) và J = (X 2 ,Y 3 ). Để tính (J :R I) theo chú ý
trên ta chỉ cần kiểm tra xem các đơn thức thuộc [[R]]\[[J]] = {1, X,Y,Y 2 , XY, XY 2 }
có thuộc J :R I hay không. Ta có
1∈
/ (J :R I).

X∈
/ (J :R I) vì X.X 2 = X 3 ∈ J, X.XY = X 2Y ∈ J, X.Y 2 = XY 2 ∈
/ J.

Y∈
/ (J :R I) vì Y.X 2 = X 2Y ∈ J,Y.XY = XY 2 ∈
/ J,Y.Y 2 = Y 3 ∈ J.

Y 2 ∈ (J :R I) vì Y 2 .X 2 = X 2Y 2 ∈ J,Y 2 .XY = XY 3 ∈ J,Y 2 .Y 2 = Y 4 ∈ J.

XY ∈ (J :R I) vì XY.X 2 = X 3Y ∈ J, XY.XY = X 2Y 2 ∈ J, XY.Y 2 = XY 3 ∈ J.

XY 2 ∈ (J :R I) vì XY 2 .X 2 = X 3Y 2 ∈ J, XY 2 .XY = X 2Y 3 ∈ J, XY 2 .Y 2 = XY 4 ∈ J.
Vậy (J :R I) = (Y 2 , XY, XY 2 , X 2 ,Y 3 )R = (Y 2 , XY, X 2 )R.

(ii) Cho I = (X 3 , X 2Y 2 ,Y 3 ) và đặt X = (X,Y )R. Theo Chú ý 1.2.12(ii) và quan
sát đồ thị Hình 1.5 ta có
(I :R X) = (X 2Y, XY 2 )R.

11


..
.

..
.

..
.

..
.

..
.

4

...

3

...

2

...

1

...

0

...
0

1

3
2
Hình 1.5:

4

1.3 Iđêan đơn thức bất khả quy và sự phân tích
Trước hết, ta nhắc lại các khái niệm về iđêan bất khả quy trên vành giao hoán

A khác không có đơn vị.
Một iđêan J

A được gọi là iđêan bất khả quy nếu tồn tại hai iđêan J1 và J2

sao cho J = J1 ∩ J2 thì J = J1 hoặc J = J2 . Nếu A là một vành Noether thì luôn

tồn tại các iđêan bất khả quy J1 , . . . , Jn sao cho J = ∩ni=1 Ji và được gọi là sự phân

tích bất khả quy của J, phân tích này được gọi là rút gọn nếu J = ∩i=i′ Ji với mọi

chỉ số i′ .

Bây giờ, ta sẽ quan tâm tới phân tích bất khả quy của iđêan đơn thức trên vành
đa thức R = A[X1 , . . . , Xd ].
Định nghĩa 1.3.1. Một iđêan đơn thức J

R là m-bất khả quy nếu có hai iđêan

đơn thức J1 , J2 sao cho J = J1 ∩ J2 thì J = J1 hoặc J = J2 .
Ví dụ 1.3.2. Đặt R = A[X,Y ], cho I = (X,Y 2 )R. Vì (X,Y 2 )R ⊆ (X,Y )R nên ta có
viết I = (X,Y 2 )R ∩ (X,Y )R. Theo định nghĩa, ta có I là iđêan đơn thức m-bất khả

quy.

Định lý sau đây cho phép ta dễ dàng kiểm tra một iđêan đơn thức có là m-bất
khả quy hay không.
Định lý 1.3.3. Cho J là một iđêan đơn thức khác không của R. Iđêan J là m-bất
khả quy nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên dương k,t1 , . . . ,tk , e1 , . . . , ek sao cho
k

1 ≤ t1 , . . . ,tk ≤ d và J = (Xte11 , . . . , Xtek )R.
12


Ví dụ 1.3.4. Đặt R = A[X,Y, Z,W ]. Khi đó theo định lý trên các iđêan đơn thức
I = (X,Y 2 )R, J = (Y 3 , Z,W 2 ) là các iđêan đơn thức m-bất khả quy.
Iđêan m-bất khả quy theo nghĩa nào đó là iđêan đơn thức đơn giản nhất, trong
đó chúng không viết được thành giao của các iđêan đơn thức không tầm thường.
Tuy nhiên trong vành đa thức bất kỳ, một iđêan đơn thức là bất khả quy thì cũng
là m-bất khả quy, nhưng điều ngược lại nhìn chung không đúng. Ví dụ trong vành
Z6 [X] iđêan 0 là m-bất khả quy nhưng lại là khả quy trong Z6 [X]. Định lý sau cho
ta điều kiện của vành A để điều ngược lại cũng đúng.
Định lý 1.3.5. Cho A là một miền nguyên, và đặt R = A[X1 , . . . , Xd ]. Một iđêan
đơn thức khác không J

R là bất khả quy nếu và chỉ nếu nó là m-bất khả quy.

Tương tự phân tích bất khả quy, một kết quả quan trọng sau được chứng minh
bởi Emmy Noether cũng cho phép đưa ra khái niệm phân tích bất khả quy rút
gọn.
Định lý 1.3.6. Nếu J

R là một iđêan đơn thức thì có các iđêan đơn thức m-bất

khả quy J1 , . . . , Jn của R sao cho J = ∩ni=1 Ji .
Định nghĩa 1.3.7. Cho J

R là một iđêan đơn thức. Một phân tích m-bất khả

quy của J là biểu diễn J = ∩ni=1 Ji trong đó mỗi Ji là m-bất khả quy, sự phân tích
này là rút gọn nếu Ji

Ji′ với mọi chỉ số i = i′ . Hơn nữa, phân tích m-bất khả

quy rút gọn là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các nhân tử và ta ký hiệu tập
các iđêan đơn thức m-bất khả quy trong phân tích m-bất khả quy rút gọn của J là
irr(J).
Ví dụ 1.3.8. Đặt R = A[X,Y ]. Cho J = (X 4 , XY 2 ,Y 3 )R. Khi đó, các phân tích
m-bất khả quy của J
J = (X,Y 3 )R ∩ (X 4 ,Y 2 )R ∩ (X,Y )R

= (X,Y 3 )R ∩ (X 4 ,Y 2 )R ∩ (X 2 ,Y 2 )R

là không rút gọn vì (X 4 ,Y 2 )R ⊆ (X,Y )R, (X 4 ,Y 2 )R ⊆ (X 2 ,Y 2 )R. Rõ ràng rằng
sự phân tích m-bất khả quy không rút gọn của J là không duy nhất.

13


Mặt khác, vì ta có X ∈ (X,Y 3 )R \ (X 4 ,Y 2 )R và Y 2 ∈ (X 4 ,Y 2 )R \ (X,Y 3 )R nên

(X,Y 3 )R

(X 4 ,Y 2 )R và (X 4 ,Y 2 )R

(X,Y 3 )R. Do đó phân tích m-bất khả quy

J = (X,Y 3 )R ∩ (X 4 ,Y 2 )R
là rút gọn và duy nhất.

Sau đây là một thuật toán để tìm phân tích m-bất khả quy rút gọn.
Thuật toán 1.3.9. Đặt R = A[X1 , . . . , Xd ]. Cho J là một iđêan đơn thức có phân
tích m-bất khả quy là J = ∩ni=1 Ji . Chú ý rằng n

1.

Bước 1: Kiểm tra xem phân tích J = ∩ni=1 Ji đã rút gọn chưa.

Bước 1a: Nếu với mọi chỉ số j và j′ sao cho j = j′ , ta có J j
là rút gọn; trong trường hợp này, thuật toán dừng lại.

J j′ thì J = ∩ni=1 Ji

Bước 1b: Nếu tồn tại chỉ số j và j′ sao cho j = j′ ta có J j ⊆ J j′ thì J = ∩ni=1 Ji

là không rút gọn; trong trường hợp này, ta tiếp tục bước 2.

Bước 2: Nếu tồn tại chỉ số j, j′ sao cho j = j′ và J j ⊆ J j′ thì ta loại bỏ iđêan

J j′ . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết j′ = n và sắp xếp lại các chỉ số
sao cho J j ⊆ J j′ với j < n. Suy ra J = ∩ni=1 Ji = ∩n−1
i=1 Ji .

Bước 3: Áp dụng bước 1 cho phân tích mới J = ∩n−1
i=1 Ji .

Thuật toán sẽ dừng lại sau n − 1 bước vì ta có thể loại bỏ nhiều nhất là n − 1

iđêan đơn thức trong giao và cuối cùng thu được một iđêan là giao khác rỗng của
các iđêan m-bất khả quy.

Tiếp theo cho các phân tích m-bất khả quy của các iđêan đơn thức I = ∩nj=1 I j

và J = ∩m
i=1 Ji . Ta quan tâm tới phân tích m-bất khả quy của I + J. Ta đã biết tổng
của các iđêan đơn thức là một iđêan đơn thức. Hơn nữa ta có

Mệnh đề 1.3.10. Nếu J1 , . . . , Jn là các iđêan đơn thức m-bất khả quy của R thì
tổng J1 + . . . + Jn là m-bất khả quy.
Kết quả sau cho ta luật phân phối của giao đối với tổng của các iđêan đơn thức.
Bổ đề 1.3.11. Cho các iđêan đơn thức I1 , . . . , In và J1 , . . . , Jm của R. Khi đó ta có
m
n
(∩nj=1 I j ) + (∩m
i=1 Ji ) = ∩ j=1 ∩i=1 (I j + Ji ).
14


Kết quả tiếp theo là làm thế nào để xây dựng phân tích m-bất khả quy cho tổng
của các iđêan đơn thức.
Định lý 1.3.12. Cho I, J là các iđêan đơn thức của R với phân tích m-bất khả quy
I = ∩nj=1 I j và J = ∩m
i=1 Ji . Khi đó phân tích m-bất khả quy của I + J là
I + J = ∩nj=1 ∩m
i=1 (I j + Ji ).
Ví dụ 1.3.13. Đặt R = A[X,Y, Z]. Cho
I = (X 3 , X 2Y, X 3 Z 4,Y Z)R = (X 2 , Z)R ∩ (X 3 ,Y )R; J = (Y 3 , Z 4 )R.
Khi đó ta có phân tích m-bất khả quy rút gọn của I + J là
I + J = (X 3 , X 2Y, X 3 Z 4 ,Y Z,Y 3 , Z 4)R
= ((X 2 , Z)R + (Y 3 , Z 4 )R) ∩ ((X 3 ,Y )R + (Y 3 , Z 4 )R)

= (X 2 ,Y 3 , Z)R ∩ (X 3 ,Y, Z 4 )R.

1.4 Phân tích tham số của các iđêan đơn thức
1.4.1 Iđêan tham số

Định nghĩa 1.4.1. Một iđêan tham số trong R là một iđêan có dạng (X1a1 , . . . , Xd d )R,
a

với a1 , . . . , ad ≥ 1. Nếu cho đơn thức f = X n với n ∈ Nd thì iđêan tham số ứng với
f là

n +1

PR ( f ) = (X1n1 +1 , . . . , Xd d

)R.

Ví dụ 1.4.2. Cho R = A[X,Y ].
(i) Cho đơn thức f = XY, khi đó ta có iđêan tham số của f là PR (XY ) = (X 2 ,Y 2 )R.
Quan sát đồ thị Hình 1.6, ta thấy rằng ký hiệu trong đồ thị của PR (XY ) tương
ứng với đơn thức XY.
(ii) Đặc biệt PR (1) = (X,Y )R, PR (X) = (X 2 ,Y ) và PR (Y ) = (X,Y 2 ).

15


..
.

..

.

..
.

..
.

..
.

4

...

3

...

2

...

1

...

0
0

3
1
2
Hình 1.6: Γ(PR (XY ))

4

Bổ đề sau cho ta một công cụ hữu ích để làm việc với các iđêan tham số.
Bổ đề 1.4.3. Cho f , g là các đơn thức trong R. Khi đó:
(i) f ∈
/ PR ( f ).
(ii) g ∈ PR ( f ) nếu và chỉ nếu f ∈
/ (g)R.
Định nghĩa 1.4.4. Cho J là một iđêan đơn thức của R. Một phân tích tham số
của J là phân tích có dạng J = ∩ni=1 PR (zi ). Hơn nữa, phân tích này là phân tích
tham số rút gọn nếu với mọi j = j′ ta có PR (z j )

PR (z j′ ).

Chú ý 1.4.5. (i) Một iđêan đơn thức J của R có thể có hoặc không có phân tích
tham số và mục tiếp theo chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ để J có phân tích tham
số là m-rad(J) = X.
(ii) Định lý 1.3.3 chỉ ra rằng mọi iđêan tham số trong R là m-bất khả quy. Vì thế,
mỗi phân tích tham số của J là một phân tích m-bất khả quy. Cũng vậy, mỗi một
phân tích tham số là rút gọn nếu và chỉ nếu nó là một phân tích m-bất khả quy rút
gọn. Hơn nữa, mỗi phân tích tham số rút gọn là duy nhất nếu không kể đến thứ
tự các nhân tử.
1.4.2 Phần tử góc

Mục này đưa ra một công thức để tính phân tích tham số rút gọn. Trước hết ta

có định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.4.6. Cho J là một iđêan đơn thức trong R. Một đơn thức z ∈ [[R]]
16


là phần tử J-góc nếu z ∈
/ J và X1 z, . . . , Xd z ∈ J. Tập hợp các phần tử J-góc của J

trong [[R]] được ký hiệu là CR (J).

Ví dụ 1.4.7. Cho R = A[X,Y ], J = (X 3 , X 2Y, XY 2 ,Y 3 ). Khi đó ta có tập phần tử
J-góc của J là
CR (J) = {X 2 , XY,Y 2 }.
Kết quả dưới đây cho ta mối quan hệ chặt chẽ giữa các phần tử góc và phân
tích tham số rút gọn của một iđêan đơn thức.
Định lý 1.4.8. Đặt X = (X1 , . . . , Xd )R và J là iđêan đơn thức của R sao cho mrad(J) = X. Nếu các phần tử J-góc phân biệt là z1 , . . . , zm thì J = ∩mj=1 PR (z j ) là

phân tích tham số rút gọn của J.

Chứng minh. Chú ý rằng [5, Mệnh đề 6.3.4] đã chỉ ra rằng J có một phần tử góc.
Đặt J ′ = ∩mj=1 PR (z j ), theo [5, Hệ quả 6.3.3] suy ra giao này là rút gọn và J ′ ⊆ J.

Do đó ta sẽ chỉ ra J ′ ⊇ J. Vì PR (z j ) là một iđêan đơn thức, Định lý 1.2.1 chỉ ra
rằng J ′ là một iđêan đơn thức. Giả sử ngược lại J ′

J. Theo [5, Mệnh đề 6.3.4]

suy ra J ′ chứa một phần tử J-góc, hay zi ∈ J ′ . Do đó zi ∈ PR (zi ), điều này mâu
thuẫn với Bổ đề 1.4.3 (i).

Định lý 1.4.8 chỉ ra rằng các phần tử J-góc hoàn toàn xác định một phân tích
tham số rút gọn của J và kết quả dưới đây cũng chỉ ra rằng một phân tích tham
số rút gọn của J cũng xác định các phần tử J-góc.
Mệnh đề 1.4.9. Cho các đơn thức z1 , . . . , zm ∈ [[R]] và giả sử J = ∩mj=1 PR (z j )

là một phân tích tham số rút gọn của J. Khi đó các phần tử J-góc phân biệt là

z1 , . . . , zm .

17


Chương 2

Thuật toán Slice
Trong chương này, ta sẽ giới thiệu về thuật toán Slice, một thuật toán dùng để
tính phân tích bất khả quy của iđêan đơn thức, nghĩa là viết iđêan đơn thức đó
thành giao rút gọn của các iđêan bất khả quy thông qua việc tính tập các đơn thức
chuẩn cực đại. Cho k là một trường và đặt R = k[x1, . . . , xn ] với n

2 là vành đa

thức n biến lấy hệ số trên k, I là iđêan đơn thức của R. Thuật toán Slice cung cấp
một công cụ để tính tập các đơn thức chuẩn cực đại msm(I) bằng cách tách nó
thành hai tập con gọi là slice trong và slice ngoài. Cả hai slice này đều phụ thuộc
vào cách chọn một đơn thức gọi là then chốt. Các đơn thức của mỗi slice này lại
được coi như tập chuẩn cực đại của các iđêan mới. Tiếp theo mỗi slice này lại
được tách thành các slice đơn giản hơn và quá trình này tiếp tục cho đến khi tách
thành những slice đủ đơn giản để có thể tính được tập các đơn thức chuẩn cực đại
của chúng.

Các kết quả của chương này được viết dựa theo [6]. Chú ý rằng vì R là vành
đa thức lấy hệ số trên trường k nên theo các kết quả của chương 1 ta không phân
biệt các khái niệm rad, m-rad, bất khả quy và m-bất khả quy.

2.1 Đơn thức chuẩn cực đại, đế và sự phân tích
Trong phần này ta sẽ tìm hiểu về đơn thức chuẩn cực đại, đế và mối quan hệ
giữa chúng. Cho I là iđêan đơn thức và min(I) là tập các phần tử sinh rút gọn của
I.
Định nghĩa 2.1.1. Đơn thức m được gọi là đơn thức chuẩn của I nếu m ∈
/ I, m

được gọi là đơn thức chuẩn cực đại của I nếu m ∈
/ I và mxi ∈ I với i = 1, . . . , n.
18


Tập các đơn thức chuẩn cực đại ký hiệu là msm(I).
Nhận xét 2.1.2. Tập các đơn thức chuẩn cực đại msm(I) chính là tập các phần tử
góc trong Định nghĩa 1.4.6.
Ví dụ 2.1.3. (i) Cho iđêan đơn thức I = (x6 , x5 y2 , x2 y4 , y6 ). Khi đó tập chuẩn cực
đại msm(I) = {x5 y, x4y3 , xy5 } vì theo định nghĩa các đơn thức x5 y, x4 y3, xy5 ∈
/I
và x5 y.y = x5 y2 ∈ I, x5 y.x = x6 y ∈ I. Tương tự đối với các đơn thức x4 y3, xy5 .

(ii) Cho iđêan đơn thức J = (x5 y2 , x2 y4 ). Tương tự (i), ta có msm(J) = {x4 y3 }.

(iii) Cho iđêan đơn thức K = (x5 y2 ). Khi đó ta có msm(K) = 0.
/ Thật vậy, nếu gọi

tập các đơn thức không thuộc K là S thì ta có S = {x, x2 , x3 , x4 , y, xy, x2y, x3 y, x4y}.

Tuy nhiên, ta thấy mi x ∈
/ K và mi y ∈
/ K, với mọi đơn thức mi ∈ S.
Ta có thể kiểm tra bằng cách quan sát đồ thị Hình 2.1 .
y6
x2 y4

x2 y4

xy5
x5 y2
x6

x4 y3

x4 y3

x5 y2

x5 y
Hình 2.1:

Cho R là vành giao hoán, Noether, M là R-môđun. Nhắc lại rằng, đế của một
môđun M, ký hiệu là Soc(M) là môđun con của M
Soc(M) = {∑ N | N là môđun con đơn của M}.
Nếu (R, m, k) là vành giao hoán, Noether, địa phương thì
Soc(M) = 0 :M m ∼
= HomR (k, M).
Trên vành đa thức R = k[x1 , . . . , xn ], cho tập các phần tử sinh rút gọn min(I),

theo định nghĩa đế và tập đơn thức chuẩn cực đại, ta có
Soc(R/I) = 0 :R/I (x1 , . . . , xn )
= {m + I|mxi ∈ I, i = 1, . . . , n}
= {m + I | m ∈ msm(I)}.
19