Các cơ sở toán học cho phân tích tín hiệu

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm 2007


17


2.3. CÁC CƠ SỞ TOÁN HỌC CHO PHÂN TÍCH TÍN HIỆU:
2.3.1. Định nghĩa các không gian vector và tích trong:
2.3.1.1. Không gian vector:
Một không gian vector E qua trường số thực R hoặc phức C, là một tập vector
E, tương ứng với phép cộng và phép nhân vô hướng.
x, y ∈ E là một tập hợp hoặc chuỗi gồm n phần tử

( ) ( ) ( )
KKK ,,,,,,
22112121
yxyxyyxxyx ++=+=+

( ) ( )
KK ,,,,
1121
xxxxx αααα ==
2.3.1.2. Vector trực chuẩn:
Vector trong không gian V được gán thêm độ dài v .
Tính chất:
- v thực và dương .
- v =0 chỉ khi v =0.
- vv αα = với ∈α R.
- vuvu .≤+ .
Phân tích rời rạc:

p
j
p
j
p
/1






=
∑
vv (2.1)
Phân tích liên tục:
p
b
a
p
p
dxxff
1
)(







=
∫
(2.2)


PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
www.bme.vn

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm 2007


18


2.3.1.3. Không gian con và tập sinh:
Một tập M được gọi là không gian con của E nếu:
. Myx ∈∀ , thì Myx ∈+ .
. CMx ∈∈∀ α, hoặc R thì
Mx ∈α
.
Cho
ES ∈
, tập sinh của S là một không gian con của E bao gồm tất cả các tổ
hợp tuyến tính của các vector trong S.
Các không gian hữu hướng:
{}







∈∈=
∑
=
SxRCxSSpan
i
i
ii
,/
1
1
αα

2.3.1.4. Tích trong:
Một tích trong trên không gian vector E ( qua C hoặc R ) là một giá trị phức
⋅⋅, , định nghĩa trên ExE với các tính chất sau:
- zyzxzyx ,,, +=+ .
- yxyx ,, αα = .
- xyyx ,, =
∗
.
- 0, ≥xx và 00, =⇔= xxx .
Tích trong là tuyến tính.
Chuẩn của vector được định nghĩa từ tích trong:
xxx ,=
Khoảng cách giữa hai vector x và y là hiệu chuẩn của chúng: yx − .
Trong phân tích rời rạc
∑
==

j
T
jj
vwwvwv
*
, . (2.3)
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm 2007


19


Trong phân tích liên tục:
∫
>=<
b
a
dxxgxfgf *)()(,
(2.4)
2.3.2. Trực giao và trực chuẩn:
- Cho x, y ∈ E, chúng được gọi là trực giao nếu và chỉ nếu 0, =yx .
- Chúng thỏa mãn định lý Pythagor:
222
yxyx +=+ .
- Một vector x được gọi là trực giao với tập vector
{ }
i
yS = nếu yyx

i
∀= ,0, .
- Hai không gian con S
1
,S
2
,chúng được gọi là trực giao, nếu tất cả các vector của S
1
là trực giao với tất cả các vector của S
2.

- Một tập vector
{ }
K,,
21
xx được gọi là trực giao nếu xi ⊥ xj
,
khi i ≠ j .
- Nếu các vector được chuẩn hóa để có chuẩn là L, thì chúng ta có hệ thống trực
chuẩn, và chúng thỏa mãn điều kiện
( )
jixx
ji
−= δ, .
2.3.3. Không gian Hilbert:
- Không gian vector được trang bị một tích trong được gọi là không gian tích trong
đầy đủ. Một không gian tích trong đầy đủ gọi là không gian Hilbert.
- Chúng ta quan tâm đến không gian Hilbert có thể chia được, bởi vì một không
gian Hilbert chứa một cơ sở trực chuẩn đếm được nếu và chỉ nếu nó là chia được.
- Cho một không gian Hilbert E và một không gian con S, bù trực giao của S kí hiệu

S
⊥
là
{ }
SxEx ⊥∈ . Giả sử S là một tập hợp đóng, như vậy nó chứa tất cả các chuỗi vector
giới hạn.
- Cho các vector Ey ∈ , tồn tại duy nhất
Sv∈
, và cũng tồn tại duy nhất
⊥
⊥Sw sao
cho wvy += . Chúng ta có thể viết:
⊥
⊕= SSE
E là tổng trực tiếp của không gian con và bù trực giao của nó.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm 2007


20


2.3.4.Cơ sở trực chuẩn:
2.3.4.1. Phương pháp trực giao hóa Grand – Smchidt:
Cho một tập các veetor độc lập tuyến tính
{ }
Ex
i
∈ , chúng ta có thể xây dựng một

tập trực chuẩn
{ }
i
y với cùng tập sinh như sau:
Đặt
1
1
1
x
x
y =
Tập đệ qui:
kk
kk
k
vx
vx
y
−
−
= (2.5)
k = 2,3, …
Trong đó
i
k
i
iik
yxyv
∑
−

=
=
1
1
,
Lúc đó
{ }
i
y là một cơ sở trực chuẩn của E.
2.3.4.2. Bất đẳng thức Bessel:
Nếu chúng ta có một hệ thống vector trực chuẩn
{ }
Ex
i
∈ thì Ey ∈∀ đều thỏa mãn
bất đẳng thức Bessel:

∑
≥
k
k
yxy
2
2
(2.6)
Nếu ta có một hệ thống trực chuẩn đầy đủ trong E, thì ta có một cơ sở trực chuẩn
trong E, và quan hệ Bessel trở thành đẳng thức, được gọi là đẳng thức Parseval.
2.3.4.3. Cơ sở trực chuẩn:
Một tập vector
{ }

i
xS = được gọi là cơ sở trực chuẩn khi có hai điều kiện sau:
- Tất cả các vector trong S là trực chuẩn.
- Nó là đầy đủ. Nghĩa là mỗi vector bất kỳ của không gian đều có thể biểu diễn
thành một tổ hợp tuyến tính của các vector thuộc S.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm 2007


21


Một hệ thống trực chuẩn
{ }
i
x được gọi là một cơ sở trực chuẩn của E nếu với mỗi y
∈ E thì
∑
=
k
kk
xy α
.
Định lý: Cho một hệ thống trực chuẩn
{ }
Exxx
n
∈K,,
21

, các điều kiện sau là tương
đương:
- Tập các vector
{ }
n
xxx K,,
21
là một tập cơ sở.
- Nếu 0, =yx
i
với i = 1, … thì y = 0.
- Tập sinh
{ }( )
i
x là trù mật trong E, đó là mỗi vector trong E là một giới hạn của
chuỗi vector trong tập sinh
{ }( )
i
x .
- Với Eyy ∈
21
, thì
∑
∗
=
i
iiyøyù
yxyxyy
21
,, phương trình Parseval tổng quát.

2.3.5. Cơ sở tổng quát:
Một hệ thống
{ }
ii
xx
~
, tạo nên một cặp cơ sở đồng trực giao của không gian Hilbert
E nếu và chỉ nếu :
-
( )
jixxZji
ji
−=∈∀ δ
~
,:,
- Tồn tại các hằng số dương A,B, BA
~
,
~
sao cho Ey ∈∀ thì
2
2
2
, yByxyA
k
k
≤≤
∑

2

2
2 ~
,
~
~
yByxyA
k
k
≤≤
∑

2.3.6. Đại số tuyến tính:
a) Giá trị riêng và vector riêng:
Đa thức đặc tính của ma trận A là D(x) =det(xI – A) nghiệm của đa thức này gọi là
giá trị riêng λ
i
.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com