Phương Trình Bậc Nhất Đối Với Sin Và Cos Giải Chi Tiết Rất Hay

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHẦN I: ĐỀ BÀI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN
Có dạng: a sinx + b cosx = c (1)
Cách 1:
a2  b2 ta được:
a
b
c
sin x 
cos x 
(1) 
a2  b2
a2  b2
a2  b2
a
b
, cos 
 Đặt: sin  
  0, 2 
2
2
2
2
a b
a b
c
phương trình trở thành: sin  .sin x  cos  .cos x 

a2  b2
c
 cos( x   ) 
 cos  (2)
2
2
a b
 Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
c
 1  a2  b2  c 2 .
a2  b2
 (2)  x      k 2 (k  Z )
Lưu ý:
1

3

cos x   2sin( x  )
 sin x  3 cos x  2  sin x 
2
3
2

 3

1

 3 sin x  cos x  2  sin x  cos x   2sin( x  )
2
6

 2

1

 1

cos x   2 sin( x  ) .
 sin x  cos x  2  sin x 
4
2
 2

Cách 2:
x 
a) Xét x    k 2    k có là nghiệm hay không?
2 2
x
b) Xét x    k 2  cos  0.
2

 Chia hai vế phương trình cho

x
2t
1  t2
Đặt: t  tan , thay sin x 
, cos x 
, ta được phương trình bậc hai theo t:
2
1  t2

1  t2

(b  c)t 2  2at  c  b  0 (3)
Vì x    k 2  b  c  0, nên (3) có nghiệm khi:

 '  a2  (c2  b2 )  0  a2  b2  c2 .
Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan
Ghi chú:
1)
Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.

File Word liên hệ: 0937351107

Trang 1

x
 t0 .
2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
2)
3)

Lượng giác – ĐS và GT 11

Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a2  b2  c2 .
Bất đẳng thức B. C. S:

y  a.sin x  b.cos x  a2  b2 . sin2 x  cos2 x  a2  b2

 min y   a2  b2 vaø max y  a2  b2 

sin x cos x
a

 tan x 
a
b
b

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x
A. sin 2 x  cos x 1  0 .
B. sin 2 x  cos x  0 .
C. 2 cos x  3sin x  1 .
D. 2 cos x  3sin 3 x  1 .
Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm:
A. 2 cos x  3  0 .
B. 3sin 2 x  10  0 .
2
C. cos x  cos x  6  0 .
D. 3sin x  4 cos x  5 .
Câu 3: Phương trình nào sau đây vô nghiệm
1
A. sin x  .
B. 3 sin x  cos x  3 .
3
C. 3 sin 2 x  cos 2 x  2 .
D. 3sin x  4 cos x  5 .
Câu 4: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
1

A. cos x  .
B. 3 sin x  cos x  1 .
3
C. 3 sin 2 x  cos 2 x  2 .
D. 3sin x  4 cos x  6 .
Câu 5: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. 2sin x  cos x  3 .
B. tan x  1 .
C. 3 sin 2 x  cos 2 x  2 .
D. 3sin x  4 cos x  5 .
Phương trình nào sau đây vô nghiệm.
1
A. sin x  .
B. 3 sin x  cos x  1 .
4
C. 3 sin 2 x  cos 2 x  4 .
D. 3sin x  4 cos x  5 .
Câu 7: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
1
1
A. 3 sin x  2
B. cos 4 x 
4
2
2
2sin
x

3cos
x


1
C.
D. cot x  cot x  5  0
Câu 8: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. 3 sin 2 x  cos 2 x  2
B. 3sin x  4 cos x  5
Câu 6:

C. sin x  cos


4

D.

3 sin x  cos x  3

Câu 9: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. sin x  cos x  3
B. cosx  3sinx  1
C. 3 sin 2 x  cos 2 x  2
D. 2sinx  3cosx  1
Câu 10: Trong các phương trình phương trình nào có nghiệm:.
A. sin x  2 cos x  3 .
B. 2 sin x  cos x  2 .
C. 2 sin x  cos x  1 .
D. 3 sin x  cos x  3 .
Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm:
A. sin x  cos x  3 .

B. 2 sin x  cos x  1 .
C.

2 sin x  cos x  1 .

File Word liên hệ: 0937351107

D.
Trang 2

3 sin x  cos x  2 .


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

Câu 12: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:
1
1
A. 3 sin x  2 .
B. cos 4 x  .
4
2
2
C. 2 sin x  3cos x  1 .
D. cot x  cot x  5  0 .
Câu 13: Phương trình nào dưới đây vô nghiệm?
A. cos3x  3 sin 3x  2 .
B. cos3x  3 sin 3x  2 .






C. sin x  .
D. 3sin  x    4cos  x    5  0 .
3
3
3


Câu 14: Nghiệm của phương trình cos x  sin x  1 là:


A. x  k 2 ; x   k 2 .
B. x  k ; x    k 2 .
2
2


C. x   k ; x  k 2 .
D. x   k ; x  k .
6
4
Câu 15: Nghiệm của phương trình cos x  sin x  1 là:


A. x    k 2 ; x    k 2 .
B. x    k 2 ; x   k 2 .

2
2


C. x    k ; x  k 2 .
D. x   k ; x  k .
3
6
Câu 16: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là:

5

3
 k 2 .
 k 2 .
A. x    k 2 ; x 
B. x    k 2 ; x 
12
12
4
4

2

5
 k 2 .
 k 2 .
C. x   k 2 ; x 
D. x    k 2 ; x  
3

3
4
4
Câu 17: Nghiệm của phương trình sin x – 3 cos x  0 là:
A. x 


 k 2 .
6

B. x 


 k 2 .
3

C. x 


 k .
6

D. x 


 k .
3

D. x 


 k .
2

Câu 18: Phương trình lượng giác: cos x  3 sin x  0 có nghiệm là


 k .
6
Câu 19: Số nghiệm của phương trình sin x  cos x  1 trên khoảng  0;  là
A. x 


 k .
6

C. x  

B. Vô nghiệm.

D. 3 .

A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
Câu 20: Nghiệm của phương trình: sin x  cos x  1 là :

 x  k 2
B. 
.

 x    k 2

2

A. x  k 2 .

C. x 


 k 2 .
4

Câu 21: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là:
5
5

 k .
 k 2 .
A. x 
B. x 
C. x    k .
6
6
6
Câu 22: Phương trình





3  1 sin x 





3  1 cos x  3  1  0 có các nghiệm là



 x   2  k 2
B. 
,k  .

 x   k 2

3



 x   4  k 2
A. 
,k  .

 x   k 2

6
File Word liên hệ: 0937351107

Trang 3



 x  4  k 2
D. 
.

 x    k 2

4
D. x 


 k 2 .
6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11





 x   6  k 2
 x   8  k 2
C. 
D. 
,k  .

,k  .
 x    k 2
 x    k 2


9
12
Câu 23: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là

3

5
 k 2 , k  .
 k 2 , k  .
A. x    k 2 , x 
B. x    k 2 , x 
4
4
12
12

2

5
 k 2 , k  .
 k 2 , k  .
C. x   k 2 , x 
D. x    k 2 , x  
3
3

4
4
Câu 24: Nghiệm của phương trình sin 2 x  3 cos 2 x  0 là




A. x   k , k  .
B. x   k , k  .
C. x   k , k  .
D.
3
2
6
3


x   k ,k  .
6
2
Câu 25: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: sin x  cos x  1 .
 x  k 2
,k  .
A. x  k 2 , k  .
B. 
 x    k 2

2



x   k 2


4
C. x   k 2 , k  .
D. 
,k  .
4
 x     k 2

4
Câu 26: Phương trình: 3.sin 3x  cos 3x  1 tương đương với phương trình nào sau đây:
 1

1



1




A. sin  3x    
B. sin  3x    
C. sin  3x    
D. sin  3x   
6 2
6
2

6
6
6
2




1
3
Câu 27: Phương trình sin x 
cos x  1 có nghiệm là
2
2
5
5
 k 2 , k  .
A. x 
B. x    k , k  .
6
6


 k 2 , k  .
C. x 
D. x   k 2 , k  .
6
6
Câu 28: Phương trình 3cos x  2 | sin x | 2 có nghiệm là:
A. x 


 k .
8

B. x 


 k .
6

C. x 


 k .
4

D. x 


 k .
2

Câu 29: Với giá trị nào của m thì phương trình (m  1) sin x  cos x  5 có nghiệm.
m  1
A. 3  m  1 .
B. 0  m  2 .
C. 
.
D.  2  m  2 .

 m  3
Câu 30: Điều kiện để phương trình m sin x  3cos x  5 có nghiệm là :
 m  4
A. m  4 .
B. 4  m  4 .
C. m  34 .
D. 
.
m  4
Câu 31: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x  cos x  m có nghiệm:
A.  2  m  2 .
B. m  2 .
C. 1  m  1 .
D. m  2 .

File Word liên hệ: 0937351107

Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

Câu 32: Cho phương trình:  m2  2 cos2 x  2m sin 2 x  1  0 . Để phương trình có nghiệm thì giá trị
thích hợp của tham số m là
1
1
1
1

B.   m  .
C.   m  .
2
2
4
4
m
Câu 33: Tìm m để pt sin 2 x  cos 2 x 
có nghiệm là
2
A. 1  3  m  1  3 .
B. 1  2  m  1  2 .

A. 1  m  1 .

C. 1  5  m  1  5 .
D. 0  m  2 .
Câu 34: Điều kiện có nghiệm của pt a sin 5 x  b cos 5 x  c là
A. a2  b2  c2 .
B. a2  b2  c2 .
C. a2  b2  c2 .
Câu 35: Điều kiện để phương trình m sin x  8cos x  10 vô nghiệm là
 m  6
A. m  6 .
B. 
.
C. m  6 .
m  6
Câu 36: Điều kiện để phương trình 12sin x  m cos x  13 có nghiệm là
 m  5

A. m  5 .
B. 
.
C. m  5 .
m  5
Câu 37: Tìm điều kiện để phương trình m sin x  12 cos x  13 vô nghiệm.
 m  5
A. m  5 .
B. 
.
C. m  5 .
m  5
Câu 38: Tìm điều kiện để phương trình 6sin x  m cos x  10 vô nghiệm.
 m  8
A. 
.
B. m  8 .
C. m  8 .
m  8
Câu 39: Tìm m để phương trình 5cos x  m sin x  m  1 có nghiệm
A. m  13 .
B. m  12 .
C. m  24 .
Câu 40: Tìm điều kiện của m để phương trình 3sin x  m cos x  5 vô nghiệm.
 m  4
A. 
.
B. m  4 .
C. m  4 .
m  4

Câu 41: Điều kiện để phương trình m.sin x  3cos x  5 có nghiệm là
A. m  4 .

D. a2  b2  c2 .
D. 6  m  6 .

D. 5  m  5 .

D. 5  m  5 .

D. 8  m  8 .
D. m  24 .
D. 4  m  4 .
 m  4
D. 
.
m  4

C. m  34 .

B. 4  m  4 .

D. | m | 1 .

 
Câu 42: Tìm m để phương trình 2sinx  mcosx  1  m (1) có nghiệm x    ;  .

A.  3  m  1
B.  2  m  6
C. 1  m  3

Câu 43: Tìm m để phương trình msinx  5cosx  m  1 có nghiệm.
A. m  12
B. m  6
C. m  24
Câu 44: Điều kiện để phương trình m.sin x  3cos x  5 có nghiệm là :
 m  4
A. 
.
B. m  4 .
C. m  34 .
m  4
Câu 45: Để phương trình cos x  sin x  m có nghiệm, ta chọn:
A. 1  m  1 .
B. 0  m  2 .
C. m tùy ý.
Câu 46: Phương trình m cos2x  sin 2x  m  2 có nghiệm khi và chỉ khi




3

A. m   ;  .
4






4

B. m   ;  .
3

File Word liên hệ: 0937351107



Trang 5

4
3




C. m   ;   .



2 2 

D.  1  m  3
D. m  3
D. 4  m  4 .
D.  2  m  2 .

3
4




D. m   ;   .


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

Câu 47: Cho phương trình 4sin x  (m 1)cos x  m . Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương
trình có nghiêm:
17
17
17
17
A. m  .
B. m   .
C. m  .
D. m  .
2
2
2
2
Câu 48: Phương trình 3sinx – 4cosx  m có nghiệm khi
A. 5  m  5
A. m  5 hoặc m  –5
C. m  5
D. m  –5

Câu 49: Cho phương trình lượng giác: 3sinx   m 1 cosx  5 . Định m để phương trình vô nghiệm.
A. 3  m  5
B. m  5
C. m  3 hay m  5
D. 3  m  5
Câu 50: Cho phương trình m sin x  1  3m cos x  m  2 . Tìm m để phương trình có nghiệm.
1
1
A.  m  3
B. m 
3
3
C. Không có giá trị nào của m
D. m  3
2
Câu 51: Tìm m để phương trình 2sin x  m sin 2 x  2m vô nghiệm.
m  0
m  0
4
4

A. 0  m  .
B.
C. 0  m  .
D. 
.
4.

m  4
3

3
m
3
3


Câu 52: Tìm m để phương trình m sin x  5cos x  m  1 có nghiệm:
A. m  12 .
B. m  6 .
C. m  24 .
D. m  3 .


Câu 53: Cho phương trình sin  x    3 cos  x    2m . Tìm m để phương trình vô nghiệm.
3
3


A.  ; 1  1;  .
B.  ; 1  1;  .
C.  1;1 .
D. m  .

File Word liên hệ: 0937351107

Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN
2
Câu 1: Giải phương trình 5sin 2 x  6cos x  13 .
A. Vô nghiệm.
C. x    k 2 , k  .

B. x  k , k  .
D. x  k 2 , k  .

Câu 2: Phương trình sin x  cos x  2 sin 5x có nghiệm là






x  4  k 2
 x  12  k 2
A. 
B. 
,k  .
,k  .
x    k 
x    k 


6
3

24
3






x


k
x


k
 16
 18
2
2
C. 
D. 
,k  .
,k  .
x    k 
x    k 


8
3

9
3
2
Câu 3: Phương trình 2sin x  3 sin 2 x  3 có nghiệm là

2
4
 k , k  .
 k , k  .
A. x   k , k  .
B. x 
C. x 
D.
3
3
3
5
x
 k , k  .
3
Câu 4: Phương trình sin8x  cos 6 x  3  sin 6 x  cos8x  có các họ nghiệm là:







 x  3  k
 x  5  k

 x  4  k
A. 
.
B. 
.
C. 
.
x    k 
x    k 
x    k 



12
7
6
2
7
2
Câu 5: Phương trình: 3sin 3x  3 cos9 x  1  4sin 3 3x có các nghiệm là:

2

2

2



 x   12  k 9

x   6  k 9
x   9  k 9
A. 
.
B. 
.
C. 
.
 x  7  k 2
 x  7  k 2
 x  7  k 2



12
9
6
9
9
9
3
1
.Câu 6: Phương trình 8cos x 
có nghiệm là:

sin x cos x










x  k
x


k
 x  16  k 2


8
2
12
2
A. 
.
B. 
.
C. 
.
 x  4  k
 x    k
 x    k



3

3
6
Câu 7: Phương trình sin 4 x  cos7 x  3(sin 7 x  cos4x)  0 có nghiệm là
A. x 



 k2 ,k  .
6
3

C. x 

5

 k2 ,k  .
66
11

File Word liên hệ: 0937351107



 x  8  k
D. 
.
x    k 

9
3




 x   54  k 9
D. 
 x    k 2

18
9




x  9  k 2
D. 
.
 x  2  k

3




x


k
2

6

3
B. 
(k  Z ) .
 x  5  k 2 

66
11
D. khác

Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

2

x
x

Câu 8: Phương trình:  sin  cos   3cosx = 2 có nghiệm là:
2
 2




 x   6  k
 x   6  k 2

A. 
B. 
k  Z 
k  Z 
 x    k
 x    k 2


2
2


C. x    k 2 , k 
D. x   k , k 
6
2



Câu 9: Phương trình: 2 3 sin  x   cos  x    2cos2  x    3  1 có nghiệm là:
8
8
8



3
5
5
3





 x  8  k
 x  4  k
 x  8  k
 x  4  k
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
 x  5  k
 x  5  k
 x  7  k
 x  5  k




16
12
24
24

2 



Câu 10: Phương trình: 4sin x.sin  x   .sin  x 
  cos3x  1 có các nghiệm là:
3
3 



2







x  6  k 3
 x  4  k
 x  2  k 2
x


k
2

A. 
.
B. 
.

C. 
.
D. 
.
3

2



x  k
x  k
x  k
 x  k



3
4
3
Câu 11: Phương trình 2 2 sin x  cos x  .cos x  3  cos2 x có nghiệm là:
A. x 


 k .
6

B. x  



 k .
6


 k 2 .
3

2

C. x 

D. Vô nghiệm.

  

Câu 12: Phương trình 2 3 sin  x   cos  x    2cos  x    3  1 có nghiệm là:
8
8
8



3
3


 x  8  k
 x  4  k
A. 
B. 

,k  .
,k  .
 x  5  k
 x  5  k


12
24
5
5


 x  4  k
 x  8  k
C. 
D. 
,k  .
,k  .
 x  5  k
 x  7  k


16
24
1
1
2


Câu 13: Giải phương trình

sin 2 x cos 2 x s in4x
A. x  k , x 


 k , k  .
4

B. x  k , k  .
D. x 

C. Vô nghiệm.
Hướng dẫn giải:
C
C.
sin 2 x  0
 sin 4 x  0 .
Điều iện: 
cos 2 x  0

File Word liên hệ: 0937351107

Trang 8


 k , k  .
4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

Phương trình đề bài  sin 2 x  cos 2 x  1 . Suy ra:  sin 2 x  cos 2 x   1  sin 4 x  0 (loại)
ậy phương trình đ cho vô nghiệm.
2

File Word liên hệ: 0937351107

Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ TÍCH
Câu 1: Phương trình 1  cosx  cos2 x  cos3x  sin2 x  0 tương đương với phương trình.
A. cosx  cosx  cos3x   0 .
B. cosx  cosx  cos2 x   0 .

C. sinx  cosx  cos2 x   0 .
D. cosx  cosx  cos2 x   0 .
Câu 2: Phương trình sin 3 x  4sin x.cos 2 x  0 có các nghiệm là:
 x  k 2
 x  k

A.
, k , n .
B. 
, k , n .

 x     n
 x     n
3
6


2



x  k 3
x  k 2
C. 
, k , n .
D. 
, k , n .
 x   2  n
 x     n


4
3
  69 
2
Câu 3: Số nghiệm thuộc  ;
 của phương trình 2sin 3x 1  4sin x   0 là:
14 10 
40
A.
.

B. 34 .
C. 41 .
D. 46 .
2
Câu 4: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt  2sin x  cos x 1  cos x   sin x là:


6

5

C. x  
D. x 
6
12
2
Câu 5:
[1D1-2] Nghiệm của pt cos x  sin x cos x  0 là:



A. x   k ; x   k
B. x   k
4
2
2

5
7
 k ; x 

 k
C. x   k
D. x 
2
6
6
Câu 6: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sin x  2 2 sin x cos x  0 là:
3


A. x 
B. x 
C. x 
D. x  
4
4
3
Câu 7: Tìm số nghiệm trên khoảng (; ) của phương trình :
A. x 

B. x 

2( sinx  1)( sin2 2 x  3sinx  1)  sin4 x.cosx

A. 1
Câu 8:

B. 2
2
2

Giải phương trình sin 2x  cos 3x  1 .

C. 3

D. 4

2π
,k 
5

A. x  k 2π, k 

B. x  k

C. x  π  kπ, k 

D. x  kπ  x  k

π
,k 
5

Câu 9: Phương trình 4 cos x  2 cos 2 x  cos 4 x  1 có các nghiệm là:





x   k
x  k



A.
B.
,k  .
2
4
2 ,k  .


 x  k 2
 x  k

2




x  3  k 3
x  6  k 3
C. 
D. 
,k  .
,k  .
x  k 
x  k 


2
4

File Word liên hệ: 0937351107

Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

Câu 10: Phương trình 2sin x  cos x  sin 2 x  1  0 có nghiệm là:




 x  6  k
 x  6  k 2


5
5

A. x 
B.  x 
 k , k  .
 k 2 , k  .


6
6



 x  k
 x  k 2






 x  6  k 2
 x  6  k 2





C. x    k 2 , k  .
D.  x    k 2 , k  .


6
6


 x  k 2
 x  k


Câu 11: Phương trình sin 3 x  cos 2 x  1  2 sin x cos 2 x tương đương với phương trình
sin x  0

sin x  0
sin x  0
sin x  0

A.
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
sin x  1
sin x   1
sin
x

1
sin
x


1



2

2
2

Câu 12: Giải phương trình sin 2x  cot x  tan 2x   4cos x .
A. x 
C. x 


2


2

 k , x  
 k , x  



 k , k 

6


3

B. x 

.

 k 2 , k  .

D. x 

Câu 13: Giải phương trình cos3 x  sin3 x  cos 2x .



 k , x   k , k  .
2
4


C. x  k 2 , x   k  , x   k , k  .
2
4
A. x  k 2 , x 


2


2

 k , x  
 k , x  



 k 2 , k 

6



 k , k 

3

.
.



 k  , x   k 2 , k  .
2
4


D. x  k , x   k , x   k , k  .
2
4
B. x  k 2 , x 

Câu 14: Giải phương trình 1  sin x  cos x  tan x  0 .
A. x    k 2 , x 
C. x    k 2 , x 


4


4

 k , k 
 k 2 , k 

B. x    k 2 , x  

.

D. x    k 2 , x  

.


4


4

 k 2 , k 
 k , k 

Câu 15: Một họ nghiệm của phương trình cos x.sin2 3x  cos x  0 là :
A. 



k .
6
3

B.



k .
6
3

C. k


.
2

D. k


4.

Câu 16: Phương trình 2 sin x  cot x  1  2 sin 2 x tương đương với phương trình
 2sin x  1
 2sin x  1
A. 
.
B. 
.
sin x  cos x  2sin x cos x  0
sin x  cos x  2sin x cos x  0
 2sin x  1
 2sin x  1
C. 

.
D. 
.
sin x  cos x  2sin x cos x  0
sin x  cos x  2sin x cos x  0
Câu 17: Giải phương trình sin 3 x  cos3 x  2  sin 5 x  cos5 x  .
A. x 


4

 k , k 

B. x 

.

File Word liên hệ: 0937351107

Trang 11


4



k
2

, k

.

.
.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C. x 


4

 k 2 , k 

Lượng giác – ĐS và GT 11


D. x    k 2 , k 

.

4

Câu 18: Giải phương trình tan x  tan 2 x   sin 3 x.cos 2 x
A. x 
C. x 

k
3

k

, x    k 2 , k 

3

, k

B. x 

.

k
3

,x 


2

D. x  k 2 , k 

.

.

 k 2 , k 

.

.


x
x 
Câu 19: Cho phương trình sin 2    tan 2 x  cos 2  0 (*) và x    k (1), x    k 2 (2),
4
2
2 4
x


 k 2 (3), với k  . Các họ nghiệm của phương trình (*) là:
2

A. (1) và (2).
B. (1) và (3).
C. (1), (2) và (3).
D. (2) và (3).
Câu 20: Phương trình 2 3 sin 5 x cos3x  sin 4 x  2 3 sin 3 x cos5 x có nghiệm là:
k
3 k
, x   arccos

,k  .
4
48 2
k
,k  .
C. Vô nghiệm.

D. x 
2
Câu 21: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin x  sin 2 x  cos x  2cos2 x là :

2


A. .
B.
C. .
D. .
.
3
6
4
3

A. x 

k
1
3 k
, x   arccos

,k  .
4
4
12
2

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là x 

B. x 


.
4

Câu 22: Một nghiệm của phương trình lượng giác: sin2 x  sin2 2 x  sin2 3x  2 là.
A.


3

B.


12

C.


6

D.


.
8

Câu 23: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2cos2 x  cos x  sin x  sin 2 x là?


.
6


.
4


.
3

2
.
3
Câu 24 Dùng máy tính thử vào phương trình, nghiệm nào thỏa phương trình và có giá trị nhỏ nhất thì
nhận.
Câu 25: Phương trình sin 3x  cos 2 x  1  2 sin x cos 2 x tương đương với phương trình:
sin x  0
sin x  0
A. 
.
B. 
.
 sin x  1
sin x  1
 sin x  0
sin x  0


C.
C. 
1.
1.
sin x 
sin x  
2
2


Câu 26: Phương trình sin 3x  4sin x.cos 2 x  0 có các nghiệm là:
2



x

k
x

k
 x  k 2
 x  k


3
2
A. 
.

B. 
.
C. 
.
D. 
.


 x    n
 x    n
2


x  
 x    n
 n
3
6




4
3
Câu 27: Phương trình 2 cot 2 x  3cot 3x  tan 2 x có nghiệm là:

A. x  k .
B. x  k .
C. x  k 2 .
D. Vô nghiệm.

3
Câu 28: Phương trình cos4 x  cos2 x  2sin6 x  0 có nghiệm là:
A. x 

B. x 

File Word liên hệ: 0937351107

C. x 

Trang 12

D. x 


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. x 


 k .
2

B. x 



k

Lượng giác – ĐS và GT 11



.
C. x  k .
D.
4
2
Câu 29: Phương trình: 4cos5 x.sin x  4sin5 x.cos x  sin2 4 x có các nghiệm là:




 x  k
x  k 4
x  k 2
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D.
3
x 




 k
x   k

x   k
4



8
2
4
2
Câu 30: Phương trình: sin x  sin 2 x sin x  sin 2 x   sin2 3x có các nghiệm là:



x  k 3
A. 
.
x  k 

2
Câu 31: Phương trình



 x   4  k 2


A.  x   k
.

8



x  k
2

Câu 32: Phương trình
A. x 


 k .
4

Câu 33: Phương trình


 x  k 12
A. 
.
x  k 

4
Câu 34: Phương trình
A. x 
B. x 


3



k
k


2



2

x  k 6
xk

B. 
.
C.
3 .

x  k 
 x  k

4
cos 2 x
cos x  sin x 
có nghiệm là:
1  sin 2 x

3



 x  4  k 2
 x  4  k





B. x   k .
C.  x    k 2 .


2
2
 x  k
 x  k 2




1
1
2sin 3 x 
 2 cos 3 x 
có nghiệm là:
sin x
cos x

3
 k .
B. x    k .

C. x 
4
4
sin2 3x  cos2 4 x  sin2 5x  cos2 6 x có các nghiệm là:




x  k 9
xk

B. 
.
C.
6.

x  k 
 x  k

2
sin x  sin 2 x  sin 3 x
 3 có nghiệm là:
cos x  cos 2 x  cos 3x

x  k 2 .

 x  k 2

.


 x   k 2
3


 x  k 3
D. 
.
 x  k 2

5

 x  4  k

3
D.  x 
 k .

8


x  k
4


D. x  

3
 k .
4



xk

D.
3 .

 x  k 2

.



.
6
2
2

k .
C. x 
3
2
D. x 


7
5
 k 2 , x 
 k 2 , x 
 k 2 ,  k 

6
6
3

Câu 35: Các

nghiệm

thuộc

khoảng

.
0; 

của

phương

tan x  sin x  tan x  sin x  3tan x là:
 5
 3
 5

A. ,
.
B. ,
.
C. ,
.

D. .
8 8
4 4
6 6
6
2
Câu 36: Phương trình  2sin x  13cos4 x  2sin x  4  4cos x  3 có nghiệm là:
File Word liên hệ: 0937351107

Trang 13

trình:


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A



 x  6  k 2

5
B.  x 
 k 2 .

6
 x  k






 x   6  k 2

7
A.  x 
 k 2 .

6


x  k
2


Câu 37: Phương trình 2 tan x  cot 2 x  2sin 2 x 

Lượng giác – ĐS và GT 11



 x  3  k 2

2
D.  x 
 k 2 .

3

2
x  k

3




 x   3  k 2

4
C.  x 
 k 2 .

3
 x  k 2


1
có nghiệm là:
sin 2 x




 k .
C. x    k .
D. x    k .
6
3
9
Câu 38: Phương trình: 5  sin x  cos x   sin 3x  cos3x  2 2  2  sin 2 x  có các nghiệm là



A. x   k 2 , k  .
B. x    k 2 , k  .
A. x  



k .
12
2

B. x  

4



4



 k 2 , k  .
2
2
Câu 39: Một nghiệm của phương trình cos2 x  cos2 2x  cos2 3x  1 có nghiệm là

C. x 

A. x 



8

 k 2 , k 

D. x  

.

B. x 

.


.
12

C. x 



.

3
 x  7
Câu 40: Phương trình: sin x.cos 4 x  sin 2 2 x  4sin 2     có nghiệm là
 4 2 2

D. x 


6

.





 x   6  k
 x   6  k 2
A. 
, k .
B. 
, k .
 x  7  k
 x  7  k 2


6
6




 x   6  k 2
 x   6  k
C. 
, k .

D. 
, k .
 x    k 2
 x    k


6
6
2
2
2
2
Câu 41: Giải phương trình sin x  sin 3x  cos x  cos 3x

 k
 k
,x  
A. x    k 2 , k  .
B. x   
, k .
4
4 2
8 4
 k
 k
 k
 k
,x  
,x  
C. x  

, k .
D. x   
, k .
4 2
8 4
4 2
4 2
3

Câu 42: Phương trình: sin12 x  cos12 x  2(sin14 x  cos14 x)  cos2 x có nghiệm là
A. x 
C. x 


4



4

2

 k , k 
 k 2 , k 

B. x 

.
.


4

 k 2 .

4

k


2

, k

.

D. Vô nghiệm.

Câu 43: Giải phương trình 4cot 2 x 
A. x 



B. x 

File Word liên hệ: 0937351107

cos 2 x  sin 2 x
.
cos6 x  sin 6 x


4

 k .

Trang 14

C. x  


4

 k 2 .

D. x 


4



k
2

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

 cos
Câu 44: Giải phương trình 8cot 2 x 
A. x  


4

 k .

B. x  

File Word liên hệ: 0937351107


4



2

x  sin 2 x  .sin 2 x

cos6 x  sin 6 x
k
2

.

Trang 15

Lượng giác – ĐS và GT 11

.

C. x 


4

 k .

D. x 


4



k
2

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG THƯỜNG GẶP
Câu 1:

Giải phương trình  tan x  cot x   tan x  cot x  2 .
2

B. x 

A. Cả 3 đáp án.
C. x 
Câu 2:


 k , k  .
6

Câu 3:


 k , k  .
4

sin10 x  cos10 x
sin 6 x  cos6 x
Giải phương trình
.

4
4cos2 2 x  sin 2 2 x

A. x  k 2 , x 
C. x 

D. x 


 k , k  .
4


2


2

 k 2 , k 

B. x 

.

k
2

, k

D. x  k , x 

 k , k  .


2

.

 k 2 , k 

.

Cho phương trình: 4cos2 x  cot 2 x  6  2  2cos x  cot x  . Hỏi có bao nhiều nghiệm x

thuộc vào khoảng (0;2 ) ?
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 0.
2
2
Câu 4: Cho phương trình: 4cos x  cot x  6  2 3  2cos x  cot x  . Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc
vào khoảng (0;2 ) ?
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. đáp số khác.
Câu 5: Phương trình: sin3x  cos x  2sin3x   cos3x 1  sin x  2cos3x   0 có nghiệm là:
A. x 


 k .
2

B. x 


4

k


2

.

4x
 cos 2 x .
3

 x  k


B.  x    k .

4

5
x  
 k
4


C. x 


 k 2 .
3

D. Vô nghiệm.

Câu 6: Giải phương trình cos


 x  k 3


A.  x    k 3 .

4

5
x  
 k 3
4


 x  k 3
C. 
.
 x     k 3
4


 x  k 3

D. 
 x   5  k 3
4


.
Câu 7: Giải phương trình
A. x 


12

.

1  sin x
1  sin x
4
 


x   0; 
1  sin x
1  sin x
3 với
 2 .

B. x 


4

C. x 

.


3

.

D. x 


6

.

Câu 8: Để phương trình: 2sin x  2cos x  m có nghiệm, thì các giá trị cần tìm của tham số m là:
A. 1  m  2 .
B. 2  m  2 2 .
C. 2 2  m  3 .
D. 3  m  4 .
2

File Word liên hệ: 0937351107

2

Trang 16

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN
Có dạng: a sinx + b cosx = c (1)
Cách 1:
a2  b2 ta được:
a
b
c
sin x 
cos x 
(1) 
a2  b2
a2  b2
a2  b2
a
b
, cos 
 Đặt: sin  
  0, 2 
2
2
2
2
a b
a b

c
phương trình trở thành: sin  .sin x  cos  .cos x 
a2  b2
c
 cos( x   ) 
 cos  (2)
2
2
a b
 Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
c
 1  a2  b2  c 2 .
a2  b2
 (2)  x      k 2 (k  Z )
Lưu ý:
1

3

cos x   2sin( x  )
 sin x  3 cos x  2  sin x 
2
3
2

 3

1

 3 sin x  cos x  2  sin x  cos x   2sin( x  )

2
6
 2

1

 1

cos x   2 sin( x  ) .
 sin x  cos x  2  sin x 
4
2
 2

Cách 2:
x 
a) Xét x    k 2    k có là nghiệm hay không?
2 2
x
b) Xét x    k 2  cos  0.
2

 Chia hai vế phương trình cho

x
2t
1  t2
Đặt: t  tan , thay sin x 
, cos x 
, ta được phương trình bậc hai theo t:

2
1  t2
1  t2

(b  c)t 2  2at  c  b  0 (3)
Vì x    k 2  b  c  0, nên (3) có nghiệm khi:

 '  a2  (c2  b2 )  0  a2  b2  c2 .
Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan
Ghi chú:
1)
Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.

File Word liên hệ: 0937351107

Trang 17

x
 t0 .
2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
2)
3)

Lượng giác – ĐS và GT 11

Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a2  b2  c2 .
Bất đẳng thức B. C. S:

y  a.sin x  b.cos x  a2  b2 . sin2 x  cos2 x  a2  b2
 min y   a2  b2 vaø max y  a2  b2 

sin x cos x
a

 tan x 
a
b
b

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x
A. sin 2 x  cos x 1  0 .
B. sin 2 x  cos x  0 .
C. 2 cos x  3sin x  1 .
D. 2 cos x  3sin 3 x  1 .
Hướng dẫn giải:
C
C.
Phương trình a sin x  b cos x  c 1 trong đó a, b, c  và a 2  b2  0 được gọi là phương trình bậc
nhất đối với sin x, cosx .
Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm:
A. 2 cos x  3  0 .
B. 3sin 2 x  10  0 .
C. cos2 x  cos x  6  0 .
D. 3sin x  4 cos x  5 .
Hướng dẫn giải::
Ch n D .
Câu D: 3sin x  4 cos x  5 , đây là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x .

Phương trình trên có nghiệm vì 32  42  25  52 .
3
Câu A: 2 cos x  3  0  cos x   1  PT vô nghiệm.
2
10
Câu B: sin 2 x 
 1  PT vô nghiệm.
3
 cos x  3  1
 PT vô nghiệm.
Câu C: cos2 x  cos x  6  0  
 cos x  2  1
Câu 3: Phương trình nào sau đây vô nghiệm
1
A. sin x  .
B. 3 sin x  cos x  3 .
3
C. 3 sin 2 x  cos 2 x  2 .
D. 3sin x  4 cos x  5 .
Hướng dẫn giải:
Ch n B.
PT 3 sin x  cos x  3 vô nghiệm vì không thoả ĐK a2  b2  c2
Câu 4: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
1
A. cos x  .
B. 3 sin x  cos x  1 .
3
C. 3 sin 2 x  cos 2 x  2 .
D. 3sin x  4 cos x  6 .
Hướng dẫn giải:

Ch n D.
1
Câu A có nghiệm vì  1
3
2
Câu B có nghiệm vì a 2  b2  3  1  4   1
Câu C có nghiệm vì a 2  b2  3  1  4   2  .
2

Câu D vô nghiệm vì a2  b2  32  42  25  62 .
File Word liên hệ: 0937351107

Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 5: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. 2sin x  cos x  3 .
C. 3 sin 2 x  cos 2 x  2 .

Lượng giác – ĐS và GT 11

B. tan x  1 .
D. 3sin x  4 cos x  5 .

Hướng dẫn giải:
Ch n A.
Câu A vô nghiệm vì a2  b2  22  12  5  32 .
Câu 6: Phương trình nào sau đây vô nghiệm.
1

A. sin x  .
4
C. 3 sin 2 x  cos 2 x  4 .

B.

3 sin x  cos x  1 .

D. 3sin x  4 cos x  5 .

Hướng dẫn giải:
Ch n C.

1
1
4
2
Câu B có nghiệm vì a 2  b2  3  1  4   1
Câu A có nghiệm vì

Câu C vô nghiệm vì a2  b2  3  1  4   4  .
2

Câu D có nghiệm vì a2  b2  32  42  25  52 .
Câu 7: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
1
1
A. 3 sin x  2
B. cos 4 x 
4

2
2
C. 2sin x  3cos x  1
D. cot x  cot x  5  0
Hướng dẫn giải:
Ch n C
2
2
Phương trình 3 sin x  2  sinx 
, mà
 1 nên phương trình vô nghiệm.
3
3
1
1
Phương trình cos 4 x   cos 4 x  2 nên phương trình vô nghiệm.
4
2
Phương trình 2sin x  3cos x  1 có 22 +33 >1 nên phương trình có nghiệm.
2

1  19

Phương trình cot x  cot x  5  0   cot t     0 nên phương trình vô nghiệm.
2
4

Câu 8: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. 3 sin 2 x  cos 2 x  2
B. 3sin x  4 cos x  5

2

C. sin x  cos


4

D.

3 sin x  cos x  3

Hướng dẫn giải:
Ch n D
Ta có:

 3

2

  1  4   3 nên phương trình
2

2

3 sin x  cos x  3 vô nghiệm.

Câu 9: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. sin x  cos x  3
B. cosx  3sinx  1
C. 3 sin 2 x  cos 2 x  2

D. 2sinx  3cosx  1
Hướng dẫn giải:
Đáp á A
sin x  cos x  (12  (1)2 )(sin 2 x  cos 2 x)  2  3 nên phương trình vô nghiệm

cosx  3sinx  (12  32 )(sin 2 x  cos 2 x)  10  1 nên phương trình có nghiệm
File Word liên hệ: 0937351107

Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

3 sin 2 x  cos 2 x  (( 3) 2  ( 1) 2 )(sin 2 x  cos 2 x)  10  2 nên phương trình có nghiệm

2sinx  3cosx  (22  32 )(sin 2 x  cos 2 x)  13  1 nên phương trình có nghiệm
Câu 10: Trong các phương trình phương trình nào có nghiệm:.
A. sin x  2 cos x  3 .
B. 2 sin x  cos x  2 .
C. 2 sin x  cos x  1 .
D. 3 sin x  cos x  3 .
Hướng dẫn giải:
Ch n C.
Lần lượt thử các đáp án.
sin x  2 cos x  3 vô nghiệm vì 12  22  32 nên loại đáp án A.

 2   1  2 nên loại đáp án B.
2 sin x  cos x  1 có nghiệm vì  2   1   1 . Vậy chọn C

2 sin x  cos x  2 vô nghiệm vì

2

2

2

2

2

2

Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm:
A. sin x  cos x  3 .
B. 2 sin x  cos x  1 .
C. 2 sin x  cos x  1 .
D. 3 sin x  cos x  2 .
Hướng dẫn giải:
Ch n D.
Lần lượt thử các đáp án.
sin x  cos x  3 vô nghiệm vì 12  12  32 nên chọn đáp án A.
Câu 12: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:
1
1
A. 3 sin x  2 .
B. cos 4 x  .
4
2

2
C. 2 sin x  3cos x  1 .
D. cot x  cot x  5  0 .
Hướng dẫn giải::
Ch n C .
Câu C: 2 sin x  3cos x  1 là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x , phương trình có nghiệm khi
22  32  12 (đúng).
2
 1  PTVN.
Câu A: 3 sin x  2  sin x 
3
1
1
Câu B: cos 4 x   cos 4 x  2  1  PTVN.
4
4
2
Câu D: cot x  cot x  5  0 vô nghiệm do   19  0 .
Câu 13: Phương trình nào dưới đây vô nghiệm?
A. cos3x  3 sin 3x  2 .
B. cos3x  3 sin 3x  2 .





C. sin x  .
D. 3sin  x    4cos  x    5  0 .
3
3

3


Hướng dẫn giải:
Ch n C
Các phương trình ở đáp án A, B, D để có dạng A cos ax  B sin ax  C và A2  B2  C 2 nên các
phương trình này đều có nghiệm.
 3,14
 1 nên phương trình này vô nghiệm.
Phương trình ở đáp án C có dạng sin x  m với m  
3
3
Câu 14: Nghiệm của phương trình cos x  sin x  1 là:


A. x  k 2 ; x   k 2 .
B. x  k ; x    k 2 .
2
2
File Word liên hệ: 0937351107

Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C. x 



 k ; x  k 2 .

D. x 

6
Hướng dẫn giải:
Ch n A.

Lượng giác – ĐS và GT 11


4

 k ; x  k .

  
 x  4  4  k 2


2


cos x  sin x  1  2 sin  x    1  sin  x   

4
4 2


 x    3  k 2

4 4

 x  k 2

k   .
 x    k 2

2
Câu 15: Nghiệm của phương trình cos x  sin x  1 là:


A. x    k 2 ; x    k 2 .
B. x    k 2 ; x   k 2 .
2
2


C. x    k ; x  k 2 .
D. x   k ; x  k .
3
6
Hướng dẫn giải:
Ch n B.

 
x     k 2



2



4
4
cos x  sin x  1  2 sin  x    1  sin  x    

4
4
2


 x    5  k 2

4
4


x   k 2


k   .
2

 x    k 2
Câu 16: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là:

5

3
 k 2 .
 k 2 .
A. x    k 2 ; x 

B. x    k 2 ; x 
12
12
4
4

2

5
 k 2 .
 k 2 .
C. x   k 2 ; x 
D. x    k 2 ; x  
3
3
4
4
Hướng dẫn giải:
Ch n A.
1
3
2



sin x  3 cos x  2  sin x 
cos x 
 cos .sin x  sin .cos x  sin
2
2

2
3
3
4





x    k 2
x    k 2






3 4
12
 sin  x    sin  

k   .
3
4

 x    3  k 2
 x  5  k 2


3 4

12
Câu 17: Nghiệm của phương trình sin x – 3 cos x  0 là:
A. x 


 k 2 .
6

B. x 


 k 2 .
3

C. x 


 k .
6

Hướng dẫn giải:
Ch n D.
1
3


Ta có sin x – 3 cos x  0  sin x –
cos x  0  sin  x    0
2
2

3


File Word liên hệ: 0937351107

Trang 21

D. x 


 k .
3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

 x



 k  x   k  k 
3
3

Lượng giác – ĐS và GT 11



Câu 18: Phương trình lượng giác: cos x  3 sin x  0 có nghiệm là
A. x 


 k .
6

C. x  

B. Vô nghiệm.


 k .
6

D. x 


 k .
2

Hướng dẫn giải:
Ch n A.
3
1


sin x  cos x  0  sin( x  )  0  x   k ,  k 
2
2
6
6

Câu 19: Số nghiệm của phương trình sin x  cos x  1 trên khoảng  0;  là
cos x  3 sin x  0 

A. 0 .
Hướng dẫn giải:
Ch n B.

B. 1 .

.
D. 3 .

C. 2 .



2


sin x  cos x  1  2 sin  x    1  sin  x   
4
4 2




x   k 2





 sin  x    sin 
,k   .
2

4
4

 x  k 2

Trên khoảng  0;  phương trình có 1 nghiệm là x  .
2
Câu 20: Nghiệm của phương trình: sin x  cos x  1 là :
 x  k 2
B. 
.
 x    k 2

2

A. x  k 2 .

C. x 


 k 2 .
4




 x  4  k 2
D. 
.
 x     k 2

4

Hướng dẫn giải:
Ch n B.



2


sin x  cos x  1  2 sin  x    1  sin  x   
4
4 2




x   k 2




 sin  x    sin 
.
2


4
4

 x  k 2
Câu 21: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là:
5
5

 k .
 k 2 .
A. x 
B. x 
C. x    k .
6
6
6
Hướng dẫn giải:
Ch n D.
1
3
sin x  3 cos x  2  sin x 
cos x  1
2
2

 


 sin  x    1  x    k 2  x   k 2 ,  k   .

3
3 2
6

Câu 22: Phương trình





3  1 sin x 

File Word liên hệ: 0937351107





3  1 cos x  3  1  0 có các nghiệm là

Trang 22

D. x 


 k 2 .
6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11





 x   4  k 2
 x   2  k 2
A. 
B. 
,k  .
,k  .
 x    k 2
 x    k 2


6
3




 x   6  k 2
 x   8  k 2
C. 
D. 
,k  .
,k  .
 x    k 2

 x    k 2


9
12
Hướng dẫn giải:
Ch n B.
5
3 1

Ta có tan
. Chia hai vế PT cho 3  1 được
12
3 1
5
5
5
5
5 
5

.cos x  1  0  sin x.cos
 cos x.sin
 cos
 0  sin  x 
PT: sin x  tan
   cos
12
12
12

12

12 
12





 5
x


k
2

x

 k 2
x




k
2



 12

5 

  
3
3
12
 sin  x 


(k  )
  sin     

12 
 12 
 x  3  k 2
 x     k 2
 x  5      k 2


 12
12
2
2
Câu 23: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là

3

5
 k 2 , k  .
 k 2 , k  .

A. x    k 2 , x 
B. x    k 2 , x 
4
4
12
12

2

5
 k 2 , k  .
 k 2 , k  .
C. x   k 2 , x 
D. x    k 2 , x  
3
3
4
4
Hướng dẫn giải:
Ch n B.


1
3
2

Chia hai vế PT cho 2 ta được sin x 
 sin  x    sin
cos x 
2

2
2
3
4


  

 x  3  4  k 2
 x   12  k 2


(k  )
5

 x        k 2
x 
 k 2


3
4
12
Câu 24: Nghiệm của phương trình sin 2 x  3 cos 2 x  0 là




A. x   k , k  .
B. x   k , k  .

C. x   k , k  .
D.
3
2
6
3


x   k ,k  .
6
2
Hướng dẫn giải:
Ch n D.


1
3

Chia hai vế PT cho 2 ta được sin 2 x 
cos 2 x  0  sin  2 x    0  2 x   k 
3
2
2
3



x  k
(k  )
6

2
Câu 25: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: sin x  cos x  1 .

File Word liên hệ: 0937351107

Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

 x  k 2
,k  .
B. 
 x    k 2

2


 x  4  k 2
D. 
,k  .
 x     k 2

4

A. x  k 2 , k  .

C. x 



 k 2 , k  .
4

Hướng dẫn giải:
Ch n B.
Phương trình đ cho tương đương với

Lượng giác – ĐS và GT 11


 1


2 sin  x    1  sin  x   
4
4
2



  
 x  k 2
 x  4  4  k 2
 

(k  )
 x    k 2


 x      k 2


2

4
4
Câu 26: Phương trình: 3.sin 3x  cos 3x  1 tương đương với phương trình nào sau đây:
 1

1



1




A. sin  3x    
B. sin  3x    
C. sin  3x    
D. sin  3x   
6 2
6
2
6
6
6
2





Hướng dẫn giải:
Ch n C.
3
1
1

1

3 sin 3x  cos 3x  1 
sin 3 x  cos 3 x    sin  3x    
2
2
2
6
2

Câu 27: Phương trình

1
3
sin x 
cos x  1 có nghiệm là
2
2

5
5
 k 2 , k  .

B. x    k , k  .
6
6


 k 2 , k  .
C. x 
D. x   k 2 , k  .
6
6
Hướng dẫn giải:
Ch n A.
1
3




sin x 
cos x  1  sin  x    1  sin  x    1
2
2
3
3


 
5
 x    k 2  x 
 k 2 (k  )

3 2
6
Câu 28: Phương trình 3cos x  2 | sin x | 2 có nghiệm là:



A. x   k .
B. x   k .
C. x   k .
8
6
4
Hướng dẫn giải:
Ch n D.
3cos x  2 | sin x | 2  2 | sin x | 2  3cos x
A. x 

4 1  cos 2 x   4  12cos x  9cos 2 x
4sin 2 x  4  12 cos x  9 cos 2 x




2
2
cos x 
cos x 

3


3


File Word liên hệ: 0937351107

Trang 24

D. x 


 k .
2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

13cos 2 x  12 cos x  0
cos x  0


 x   k  k   .


12
2
cos x  (L)
2
cos x 

13

3

Câu 29: Với giá trị nào của m thì phương trình (m  1) sin x  cos x  5 có nghiệm.
m  1
A. 3  m  1 .
B. 0  m  2 .
C. 
.
D.  2  m  2 .
 m  3
Hướng dẫn giải:
Ch n C.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :
m  1  2
m  1
2
2

.
a 2  b2  c 2   m  1  1  5   m  1  4  
 m  1  2
 m  3
Câu 30: Điều kiện để phương trình m sin x  3cos x  5 có nghiệm là :
 m  4
A. m  4 .
B. 4  m  4 .
C. m  34 .
D. 

.
m  4
Hướng dẫn giải:
Ch n D.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :
m  4
a 2  b 2  c 2  m 2  9  25  m 2  16  
.
 m  4
Câu 31: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x  cos x  m có nghiệm:
A.  2  m  2 .
B. m  2 .
C. 1  m  1 .
D. m  2 .
Hướng dẫn giải:
Ch n A.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi a2  b2  c2  1  1  m2  m2  2   2  m  2 .
Câu 32: Cho phương trình:  m2  2 cos2 x  2m sin 2 x  1  0 . Để phương trình có nghiệm thì giá trị

thích hợp của tham số m là
A. 1  m  1 .

1
1
B.   m  .
2
2

1
1

C.   m  .
4
4

D. | m | 1 .

Hướng dẫn giải:
Ch n D.
Cách 1 (Chuyển PT về dạng a sin x  b cos x  c )
Áp dụng công thức hạ bậc cho cos 2 x , PT trở thành  m2  2    m2  2  cos 2 x  4m sin 2 x  2  0 

4m sin 2 x   m2  2  cos 2 x  m2  4

2
ĐK PT có nghiệm  4m   m2  2   m2  4  m2  1  m  1
Cách 2 (Chuyển PT về dạng bậc hai theo một HSLG)
Ta có cos x  0 không là nghiệm PT. Chia hai vế PT cho cos 2 x ta được
m2  2  4m tan x  1  tan 2 x  0  tan 2 x  4m tan x  m2  3  0
PT có nghiệm khi    0  4m2  m2  3  0  m2  1  m  1
m
Câu 33: Tìm m để pt sin 2 x  cos 2 x 
có nghiệm là
2
A. 1  3  m  1  3 .
B. 1  2  m  1  2 .
2

2

C. 1  5  m  1  5 .

Hướng dẫn giải:
Ch n C.
File Word liên hệ: 0937351107

D. 0  m  2 .

Trang 25