Kỹ thuật giải phương trình dùng hằng đẳng thức

Bài của thầy Huỳnh Chí Hào
Sau đây tôi xin trình bày một phương pháp mà theo tôi nó cũng là một trong
những phương pháp mới, sáng tạo và là một công cụ hữu hiệu để giải đa số
những phương trình chứa căn thức mà chúng ta thường bắt gặp trong những
đề thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi.
Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến một hằng đẳng thức cơ bản nhưng
có nhiều ứng dụng trong giải toán sau: .
Ví dụ 1: Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện
Nhận thấy không là nghiệm của phương trình, viết lại phương trình dạng:
Vì Nhân vào hai vế của phương trình ta được:
Nhận thấy là một nghiệm của phương trình xét , chia cả hai vế của
phương trình cho ta được:
Giải phương trình này ta tìm được hai nghiệm và (loại)
Vậy phương trình có hai nghiệm và .
Ví dụ 2: Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện
Phương trình tương đương với:
Vì
Nhân vào hai vế của phương trình ta thu được:
Nếu hoặc (loại)
Nếu , chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
Giải phương trình này ta được
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 3: Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện và .
Phương trình tương đương với:
Vì , nhân vào hai vế của phương trình ta thu được:
+Nếu
+Nếu , chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
(vì )

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 4: Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện
Nhận thấy không phải là nghiệm của phương trình , viết lại phương trình
dạng:
Vì , nhân vào hai vế của phương trình ta
thu được:
+Nếu hoặc .
+Nếu , chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
Giải phương trình này ta được
Vậy phương trình có hai nghiệm và
Sau đây là một số bài tập dành cho bạn đọc:
Giải các phương trình sau: